第04讲 空间向量的概念及其运算、空间向量法与纯几何法求空间角与空间距离（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第04讲 空间向量的概念及其运算、 空间向量法与纯几何法求空间角与空间距离 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 空间向量的定义、表示及有关概念 3 知识点2 空间向量的线性运算 4 知识点3 空间向量的数量积 5 知识点4 空间向量的有关定理 5 知识点5 空间向量的坐标运算 6 知识点6 空间向量平行与垂直 6 知识点7 直线的方向向量和平面的法向量 7 知识点8 空间中的平行、垂直的位置关系的向量表示 7 知识点9 空间向量求空间角（线线角、线面角、面面角） 8 知识点10 空间向量求空间距离集 10 知识点11 几何法求空间角与空间距离 11 题型破译 12 题型1 空间向量的基本概念及其运算 12 题型2 空间向量求异面直线所成角及其异面角的应用 14 【方法技巧】空间向量求异面直线所成角及其异面角的应用 题型3 空间向量求线面角及其线面角的应用 15 【方法技巧】空间向量求线面角及其线面角的应用 题型4 空间向量求二面角及其二面角的应用 18 【方法技巧】空间向量求二面角及其二面角的应用 题型5 空间向量求空间距离及其应用 20 【方法技巧】空间向量求空间距离及其应用 题型6 利用空间向量解决立体几何小题（难度中低档） 22 题型7 利用空间向量解决立体几何小题（难度压轴题） 24 题型8 几何法求点面距 28 【方法技巧】几何法求点面距 题型9 几何法求异面直线所成角 30 【方法技巧】几何法求异面直线所成角 题型10 几何法求线面角 31 【方法技巧】几何法求线面角 题型11 几何法求二面角 33 【方法技巧】几何法求二面角 题型12 范围与最值的综合问题 34 【方法技巧】范围与最值的综合问题 04真题溯源·考向感知 37 05课本典例·高考素材 39 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）线面角的向量求法 （2）面面角的向量求法（3）由二面角大小求线段长度或距离 单选题 填空题 解答题 北京卷T17（13分） 北京卷T17（13分） 北京卷T9（4分） 北京卷T16（13分） 考情分析： 北京卷中，本讲多以解答题（中高档，13 分左右） 考查。核心考查：空间向量的线性运算、数量积，用向量 法求线线角、线面角、二面角，距离；纯几何法辅助验证。易错点：坐标系建错（轴不垂直），法向量计算错误， 角的范围混淆，距离公式应用错误。 复习目标： 1.掌握空间向量的运算（加减、数乘、数量积）及坐标表示； 2.能建立空间直角坐标系，表示点、向量的坐标； 3.用向量法求空间角（线线、线面、二面角）与距离； 4.会用纯几何法（如平移法求异面直线夹角）辅助解题； 5.结合几何与向量方法，解决含动态元素的角与距离问题。 知识点1 空间向量的定义、表示及有关概念 1．空间向量的有关概念 （1）定义：空间中 的量称为空间向量． （2）表示法： ①符号表示法：，． ②几何表示法：有向线段． （3）向量的模：空间向量的大小（或长度）称为的模，记为 ． （4）几类特殊向量 概念 定义 单位向量 长度为 的向量 零向量 模为 的向量，记作 零向量的方向可以是任意的 相等向量 方向 且长度 的向量 相反向量 方向相反、长度相等的向量 共线向量（平行向量） 对于空间任意两个向量，若 ，其中为实数，则与共线或平行，记作 ．零向量与任意向量 共面向量 空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面 自主检测给出下列命题： ①向量的长度与向量的长度相等； ②向量与平行，则与的方向相同或相反； ③两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ④若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 知识点2 空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 减法 数乘 当时，； 当时，； 当时， 运算律 （1）交换律：； （2）结合律： ， ； （3）分配律： ， 自主检测四面体中，，且，则等于（   ） A． B． C． D． 知识点3 空间向量的数量积 （1）空间向量的夹角及其表示 给定两个非零向量，任意在空间中选定一点O，作，，则大小在 内的 称为与的夹角，记作 . 特别地，若，则称与 ，记作. （2）向量的数量积 两个非零向量，的数量积定义为 ． （3）数量积的性质： ① ⇔ ；         ②·= =； ③|·|≤||||；                   ④(λ)·=λ(·)； ⑤·= (交换律)；    ⑥(+)·= (分配律). 自主检测已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 知识点4 空间向量的有关定理 空间向量的有关定理 （1）共线向量定理：如果且，则存在唯一的实数，使得． （2）共面向量定理：如果两个向量，不共线，则向量，，共面的充要条件是，存在唯一的实数对，使 ． 由共面向量定理可得判断空间中四点是否共面的方法：如果，，三点不共线，则点在平面内的充要条件是，存在唯一的实数对，使． （3）空间向量基本定理：如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得 ．其中，称为空间向量的一组基底． 知识点5 空间向量的坐标运算 已知空间向量，其坐标形式为， 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 减法 数乘 ， 数量积 夹角余弦值 模长 自主检测已知在空间直角坐标系中，三点，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 知识点6 空间向量平行与垂直 设，，则 平行 垂直 ______（，均为非零向量） 自主检测已知空间向量，，若，则的值为（    ） A．1或 B．2或 C．1或 D．2或 知识点7 直线的方向向量和平面的法向量 1.直线的方向向量和平面的法向量 （1）直线的方向向量：如果是空间中的一条直线，是空间中的一个非零向量，且表示的有向线段所在的直线与平行或重合，则称为直线的一个 ． （2）平面的法向量：如果是空间中的一个平面，是空间中的一个非零向量，且表示的有向线段所在的直线与平面垂直，则称为平面的一个 ，此时也称与平面垂直，记作． 2.求平面法向量的步骤： （1）设向量：设平面的法向量为. （2）选向量：在平面内选取两个不共线向量. （3）列方程组：由 列出方程组. （4）解方程组. （5）赋非零值：取的其中一个为 (常取). （6）得结论：得到平面的一个法向量. 自主检测1若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 自主检测2在空间直角坐标系中，，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 知识点8 空间中的平行、垂直的位置关系的向量表示 设分别是直线的方向向量，分别是平面的法向量． 线线平行 ，使得 注：此处不考虑线线重合的情况．但用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合 线面平行 注：证明线面平行时，必须说明直线不在平面内； 面面平行 ，使得 注:证明面面平行时，必须说明两个平面不重合． 线线垂直 线面垂直 ，使得 面面垂直 自主检测如图，在正方体中，分别是棱的中点. (1)证明： ； (2)证明：； 知识点9 空间向量求空间角（线线角、线面角、面面角） （1）求异面直线所成的角 若两异面直线所成角为，它们的方向向量分别为，则有= . （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与 的角为，则有 = . （3）求二面角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则 为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若二面角的平面角的大小为，其两个面的法向量分别为，则= = （4）求平面与平面的夹角 平面与平面相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角 = . 自主检测1如图，四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，，为的中点，，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)写出，两点的坐标； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 自主检测2如图，直三棱柱中，，是的中点，是的中点． (1)证明：直线直线; (2)求直线与平面所成的角的大小． 自主检测3如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，点在上，且. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 知识点10 空间向量求空间距离集 （1）点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，点P到直线l的距离为 . （2）两条平行直线之间的距离 求两条平行直线l，m之间的距离，可在其中一条直线l上任取一点P，则两条平行直线间的距离就等于 . （3）求点面距 ①求出该平面的一个 ；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离. 即：点A到平面 的距离= ，其中，是平面的一个法向量. （4）线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解 直线与平面 之间的距离：= ，其中，是平面 的一个法向量. 两平行平面之间的距离：= ，其中，是平面的一个法向量. 自主检测如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，求点到平面的距离. 知识点11 几何法求空间角与空间距离 异面直线所成角 1.定义：已知两条异面直线经过空间任意一点作直线我们把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角） 2.范围： 3.平移两异面直线使它们相交，转化为相交直线所成角； 直线与平面所成角 1.定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。 2.范围： 3.求法： （1）由定义作出线面角的平面角，再求解： （2）在斜线上异于斜足取一点，求出该点到斜足的距离（设为 ）和到平面的距离（设为 则 二面角 1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，则两射线所成的角为二面角的平面角。 2.范围： 3.求法： （1）定义法： 利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角。 （2）三垂线法： 已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。 （3）垂面法： 已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。 （4）射影面积法： 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（如图)求出二面角的大小 空间距离 点面距可转化为三棱锥等体积求解 题型1 空间向量的基本概念及其运算 例1-1给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 例1-2三个非零向量则“共面”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例1-3设，，向量，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例1-4已知正方体，设向量，则（    ） A． B． C． D． 例1-5已知空间中三点，，，则（   ） A．与是共线向量 B．的单位向量是 C．平面ABC的一个法向量是 D．与夹角的余弦值是 【变式训练1-1】已知正方体的中心为，则在下列各结论中正确的共有（ ） ①与是一对相反向量； ②与是一对相反向量； ③与是一对相反向量； ④与是一对相反向量． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练1-2】下列命题中正确的是（    ） ①若，则，，三点共线； ②若，则，，，四点共面； ③若，则，，，四点共面． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式训练1-3】已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-4】已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-5】如图所示，在平行六面体中，，.设，，，，则（   ） A． B． C． D． 题型2 空间向量求异面直线所成角及其异面角的应用 例2-1已知圆台的上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，点，分别在上、下底面圆周上，且，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 例2-2在四棱锥中，,，. (1)求证：平面； (2)设为棱上一点，若直线与所成角的余弦值为，求的值. 方法技巧 （1）确定异面直线的方向向量：在每条直线上取两点，得到对应方向向量。​ （2）计算方向向量夹角：通过数量积求出夹角余弦值，取绝对值得到异面直线所成角的余弦。​ （3）明确角的范围：异面直线所成角在 0 到 90 度之间，故结果取锐角或直角。​ （4）应用于位置关系：若角为 90 度，说明两异面直线垂直。​ （5）结合几何体：在具体立体图形中，准确找到方向向量，避免坐标错误。 【变式训练2-1】在直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】如图，分别是正八面体（8个面均为正三角形）棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，且，，点M是线段中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）线段上是否存在点P，使得与所成的角恰为？若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由. 题型3 空间向量求线面角及其线面角的应用 例3-1（2025·北京·模拟预测）在如图所示的多面体中，，四边形为矩形，，. (1)求证：平面； (2)，平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 例3-2（2025·北京大兴·三模）如图，在三棱柱中，是边长为2的正三角形，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值． 条件①：平面平面； 条件②：三棱柱的体积为； 条件③：三棱锥是正四面体． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 例3-3（2025·北京海淀·二模）如图1，五边形中， ．将三角形沿翻折，使得平面平面，如图2． (1)求证：平面； (2)记直线与平面所成角为．若，求的长． 方法技巧 （1）找到直线的方向向量和平面的法向量：方向向量描述直线走向，法向量垂直于平面。​ （2）计算两向量夹角：通过数量积求方向向量与法向量的夹角。​ （3）转化线面角：线面角是直线与平面中垂线的夹角的余角，取夹角的补角的一半等对应关系。​ （4）确定范围：线面角在 0 到 90 度之间，结果需符合此范围。​ （5）应用于判定：线面角为 0 度时直线在平面内或平行，90 度时直线垂直于平面。 【变式训练3-1】（2025·北京·三模）如图，在棱长为2的正方体中，M、E分别是、的中点，点F在线段上，平面. (1)证明：F是的中点； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【变式训练3-2】（2025·北京大兴·三模）如图，矩形，平面平面，，平面ADF与棱BE交于点． (1)求证：； (2)求直线CF与平面ADF夹角的正弦值． 【变式训练3-3】（2025·北京石景山·一模）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，N为的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)点M在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点M到平面的距离． 题型4 空间向量求二面角及其二面角的应用 例4-1（2025·北京·三模）如图，在四棱柱 中， 侧面和底面均为菱形， 且   为的中点，与平面 交于点， (1) 求证: 为的中点； (2) 若平面平面，求二面角 的余弦值. 例4-2（2025·北京海淀·三模）在四棱锥中，四边形为边长为4的正方形，．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 条件①，平面平面； 条件②：； 条件③，． 例4-3（2025·北京房山·一模）如图，在长方体中，为的中点，与平面交于点. (1)求证：为的中点； (2)若二面角的余弦值为，求的长度. 方法技巧 （1）求出两个平面的法向量：法向量分别垂直于两个平面。​ （2）计算法向量夹角：通过数量积得到夹角的余弦值。​ （3）判断二面角类型：根据法向量方向，确定二面角是法向量夹角还是其补角。​ （4）明确范围：二面角在 0 到 180 度之间，结果需在此区间内。​ （5）应用于面面关系：二面角为 90 度时两平面垂直。 【变式训练4-1】（2025·北京·模拟预测）如图，在三棱柱中，，点D,E分别在棱和棱上，且为棱的中点． (1)求证：平面； (2)若平面ABC， （i）求二面角的余弦值： （ii）点到平面的距离． 【变式训练4-2】（2025·北京·二模）如图，在三棱锥中，平面平面分别为的中点． (1)求证：平面平面； (2)设，从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【变式训练4-3】如图，在斜三棱柱中，，，点在底面上的投影为的中点，点满足. (1)当时，证明：平面平面； (2)已知 ，若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 题型5 空间向量求空间距离及其应用 例5-1（2025·北京东城·一模）如图，在几何体中，四边形为平行四边形，平面平面 . (1)证明：平面； (2)已知点到平面的距离为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的长. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 例5-2如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面是的中点，点是棱上靠近的四等分点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到直线的距离. 方法技巧 （1）求点到面的距离：利用点与平面上一点的向量，结合法向量，通过投影计算距离。​ （2）求线到面的距离：转化为线上某点到面的距离，前提是线面平行。​ （3）求面面距离：转化为一个平面上某点到另一个平面的距离，前提是面面平行。​ （4）求异面直线距离：找公垂向量，通过向量投影计算，或转化为线面距离。​ （5）应用于长度问题：在几何体中，通过距离判断线段长短或位置关系。 【变式训练5-1】（24-25高三下·北京·阶段练习）如图，在三棱柱中，，，，点分别在棱和棱上，且，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)已知平面， ①求二面角的正弦值： ②点到平面的距离. 【变式训练5-2】如图，在多面体ABCDGEF中，四边形ABCD为直角梯形，且满足，，，，平面ABCD． (1)证明：平面CDE； (2)求平面CDE与平面ABE夹角的余弦值； (3)求点G到直线AB的距离． 题型6 利用空间向量解决立体几何小题（难度中低档） 例6-1（2025·北京顺义·一模）六氟化硫是一种无机化合物，常温常压下为无色无味无毒不燃的稳定气体.化学式为，在其分子结构中，硫原子位于中心，六个氟原子均匀分布在其周围，形成一个八面体的结构.如图所示，该分子结构可看作正八面体，记为，各棱长均相等，则平面与平面夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 例6-2（2025·北京·模拟预测）北京天桥艺术中心旁边的四面钟是天桥附近颇有意趣的传统景观之一.这个主体建筑可以近似看做正四棱柱.四面钟的每一面都挂在该正四棱柱的一个侧面上.当四面钟都正常显示标准北京时间时，相邻两面钟的时针所在直线所成角最大为（   ）    A． B． C． D． 例6-3（24-25高三上·北京海淀·期末）如图，正方体的棱长为2，分别为棱的中点，为正方形边上的动点（不与重合），则下列说法中错误的是（   ）    A．平面截正方体表面所得的交线形成的图形可以是菱形 B．存在点，使得直线与平面垂直 C．平面把正方体分割成的两个几何体的体积相等 D．点到平面的距离不超过 【变式训练6-1】（2025·北京·二模）设正方体的棱长为2，P为正方体表面上一点，且点P到直线的距离与它到平面ABCD的距离相等，记动点P的轨迹为曲线W，则曲线W的周长为（   ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】（24-25高三下·北京·阶段练习）如图，正方体中，分别是上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（   ） A．平面截正方体所得截面为等腰梯形 B．平面平面 C．存在点，使得平面 D．存在点，使得 【变式训练6-3】如图，正方体中，P是线段上的动点，有下列四个说法： ①存在点P，使得平面； ②对于任意点P，四棱锥体积为定值； ③存在点P，使得平面； ④对于任意点P，都是锐角三角形. 其中，不正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 题型7 利用空间向量解决立体几何小题（难度压轴题） 例7-1（2025·北京石景山·一模）如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），给出下列三个命题： ①对任意点Q，都有； ②存在点Q，使得平面； ③过点Q且与垂直的平面截正方体所得截面面积的最大值为． 其中正确的命题个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 例7-2（2025·北京海淀·二模）如图，在正方体中，，、为上底面（包含边界）内的两个动点，且满足，．给出下面四个结论： ①当与重合时，五面体的体积为； ②记直线分别与平面和平面所成角为、，则的值不变； ③存在、，使得； ④存在、，使得五面体中，所在平面与其余四个面所在平面的四个夹角中，有三个彼此相等． 其中，所有正确结论的序号为 ． 【变式训练7-1】如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则以下说法中不正确的是（    ） A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变 B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．若是的中点，点在底面上运动时，不存在点满足平面 D．若点在底面上运动，则使直线与平面所成的角为的点的轨迹为圆上的一段弧 【变式训练7-2】（24-25高三上·北京通州·期末）如图，正方形和正方形所在的平面互相垂直. 为中点，为正方形内一点（包括边界），且满足，为正方形内一点（包括边界），设，给出下列四个结论： ①，使； ②，使； ③点到的最小值为； ④四棱锥体积的最大值为. 其中正确结论的序号是 . 【变式训练7-3】如图，在正方体中，为棱上的动点，平面为垂足.给出下列四个结论： ①； ②线段的长随线段的长增大而增大； ③存在点，使得； ④存在点，使得 平面. 其中所有正确结论的序号是 . 【变式训练7-4】如图，在长方体中，，动点分别在线段和上.给出下列四个结论： ①； ②不可能是等边三角形； ③当时，； ④至少存在两组，使得三棱锥的四个面均为直角三角形. 其中所有正确结论的序号是 . 【变式训练7-5】如图，在棱长为a的正方体中，P，Q分别为的中点，点T在正方体的表面上运动，满足． 给出下列四个结论： ①点T可以是棱的中点； ②线段长度的最小值为； ③点T的轨迹是矩形； ④点T的轨迹围成的多边形的面积为． 其中所有正确结论的序号是 ． 【变式训练7-6】如图，几何体是以正方形ABCD的一边BC所在直线为旋转轴，其余三边旋转90°形成的面所围成的几何体，点G是圆弧的中点，点H是圆弧上的动点，，给出下列四个结论： ①不存在点H，使得平面平面CEG； ②存在点H，使得平面CEG； ③不存在点H，使得点H到平面CEG的距离大于； ④存在点H，使得直线DH与平而CEG所成角的正弦值为． 其中所有正确结论的序号是 ． 题型8 几何法求点面距 例8-1如图，在正三棱柱中，分别为的中点，. (1)证明：； (2)证明：平面平面； (3)求点到平面的距离. 方法技巧 （1）找过点且垂直于平面的线段：该线段长度即为点面距，常需作辅助线构造垂线。​ （2）利用三棱锥体积转换：通过等体积法，用体积和底面积表示高，即点面距。​ （3）在柱体中：利用侧棱与底面垂直时，侧棱长即为点面距（如直棱柱顶点到底面距离）。 【变式训练8-1】如图，在直三棱柱中，，，，E，F分别是，的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面BCE； (3)求点B到平面ACE的距离. 【变式训练8-2】如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，，是的中点.    (1)求证：直线平面； (2)求直线到平面的距离. 题型9 几何法求异面直线所成角 例9-1如图，在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点． (1)求的长； (2)求与所成角的余弦值； (3)求证：平面． 方法技巧 （1）平移一条或两条直线：将异面直线转化为相交直线，平移时保持方向不变。​ （2）找夹角：相交后形成的锐角或直角即为异面直线所成角。​ （3）在几何体中平移：利用中位线、平行四边形等实现平移，如连接中点得到平行线。​ （4）计算角度：在形成的三角形中，通过边长用余弦定理求出角度。 【变式训练9-1】如图1，四边形ABCD为菱形，是边长为2的等边三角形，点为AB的中点，将沿AB边折起，使，连接PD，如图2， (1)证明：； (2)求异面直线BD与PC所成角的余弦值； (3)在线段PD上是否存在点，使得平面MCN？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式训练9-2】如图所示，在三棱锥中，，，点O，M分别为线段，的中点． (1)若平面平面，证明：； (2)证明：平面； (3)求与所成角的余弦值． 题型10 几何法求线面角 例10-1如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面ABCD是等腰梯形，是PD的中点. (1)求证：平面PAB； (2)若， （i）求证：平面平面ABCD； （ii）求直线CE与底面ABCD所成角的余弦值. 方法技巧 （1）找斜线在平面内的射影：过斜线上一点作平面的垂线，垂足与斜线和平面交点的连线即为射影。​ （2）确定线面角：斜线与射影的夹角即为线面角，是锐角或直角。​ （3）构造直角三角形：斜线、垂线、射影构成直角三角形，线面角为斜线与射影的夹角。​ （4）计算角度：在直角三角形中，通过边长关系用三角函数求出角度。 【变式训练10-1】如图，在四棱锥中平面， ， ， (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求证：平面 (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【变式训练10-2】如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且.    (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正切值. 【变式训练10-3】如图，在三棱锥中，平面平面，，，M，N，E分别为BC，AC，PC的中点. (1)证明：平面平面； (2)若，，三棱锥的外接球为球O. （ⅰ）证明：A，B，C，O四点共面； （ⅱ）求直线PO与平面所成角的正弦值. 题型11 几何法求二面角 例11-1在四棱锥中，平面，，，，，分别为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求二面角的正弦值． 方法技巧 （1）明确二面角的棱以及构成二面角的两个半平面。 （2）在其中一个半平面内选取一个不在棱上的点作为基准点。 （3）过基准点作另一个半平面的垂线，确定垂足（该垂足在另一个半平面内）。 （4）过上述垂足，在其所在的半平面内作二面角棱的垂线，确定这条垂线与棱的垂足。 （5）连接基准点和棱上的垂足，得到一条线段。 （6）基准点与棱上垂足的连线、垂足与棱上垂足的连线所形成的角，即为该二面角的平面角 （7）解直角三角形即可求得该角 【变式训练11-1】如图，已知四棱锥中，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，，O为AD中点，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为．    (1)证明平面PBO； (2)求点P到平面ABCD的距离； (3)求二面角的余弦值． 【变式训练11-2】如图1，在中，，，分别是的中点，现将沿逆时针翻折形成四棱锥（如图2），且，直线与平面所成的角为. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正切值. 【变式训练11-3】如图，已知平面平面，，，，． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求二面角的平面角的余弦值． 题型12 范围与最值的综合问题 例12-1如图，在多面体ABCDEF中，四边形CDEF为正方形，，AD=AE=BC=BF=3，EF=2AB=4． (1)设平面ADE∩平面BCF=l，证明：； (2)直线DE上是否存在点G，使得DE⊥平面 ABG？若存在，确定点G的位置并说明理由；若不存在，请说明理由； (3)若，λ∈[0,1]，求平面BFG与平面DEA夹角的余弦的取值范围． 例12-2如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，底面ABCD，E，F分别为线段PA，DC的中点． (1)证明：平面PBC； (2)证明：平面PBD； (3)若，记PC与平面PAB所成的角为，求的最大值． 方法技巧 （1）分析变量因素：确定几何体中变化的量，如动点位置、线段长度等。​ （2）转化为函数关系：将角度或距离表示为变量的函数，如二次函数、三角函数等。​ （3）确定变量范围：根据几何体约束，明确变量的取值区间。​ （4）求函数最值：利用函数单调性、导数、基本不等式等求最值。​ （5）结合几何意义：从图形角度分析最值出现的位置，验证计算结果。​ 【变式训练12-1】中，，，，D是的中点，E是的中点，F是的中点．如图，将和分别沿、向平面的同侧翻折至和的位置，且使得． (1)证明：； (2)若，求三棱锥的体积； (3)求平面与平面的夹角的余弦值的最大值． 【变式训练12-2】如图①所示，长方形中，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥． (1)若为等边三角形，求四棱锥的体积； (2)在图②中画出平面与平面的交线，并陈述作图方法的理由； (3)设二面角的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 【变式训练12-3】如图，在三棱锥中，，，，. (1)若为的重心，点在棱上，且，求证：平面； (2)若三棱锥外接球的表面积为. （i）求二面角的余弦值； （ii）若点是棱上的动点（异于端点），求直线与平面所成角的取值范围. 【变式训练12-4】如图，在三棱锥中，，且． (1)判断直线与是否垂直，并说明理由； (2)若二面角的正切值为，求的长度； (3)若，点E在的角平分线上（异于点D），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【变式训练12-5】如图，四棱锥中，平面平面，是边长为6的等边三角形，，，点在棱上，且． (1)求证：∥平面； (2)已知． ①若二面角的正切值为2，求三棱锥的体积； ②若，设直线与平面所成的角为，若，求的取值范围． 1．（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． (1)若分别为的中点，求证：平面PAB； (2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 2．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 3．（2023·北京·高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（    ）    A． B． C． D． 4．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．    (1)求证：平面PAB； (2)求二面角的大小． 5．（2022·北京·高考真题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点． (1)求证：平面； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 6．（2021·北京·高考真题）如图：在正方体中，为中点，与平面交于点． （1）求证：为的中点； （2）点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值． 1．如图，在平行六面体中，，，，、、分别是、、的中点，点在上，且．用空间的一个基底表示下列向量： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．如图，在直三棱柱中，，，，M是AB的中点，N是的中点，P是与的交点．在线段上是否存在点Q，使得平面？ 3．如图，已知正方体的棱长为1，Q为的中点，点P在棱上，．求平面ABCD与平面BQP的夹角． 4．如图，已知正方体的棱长为1，E为CD的中点，求点到平面的距离. 5．如图，在长方体中，点E，F，G分别在棱，，上，；点P，Q，R分别在棱，CD，CB上，．求证：平面平面PQR． 6．如图，在长方体中，，，E是CD的中点．求证：平面． 7．如图，在三V-ABC中，，作出二面角V-AB-C的平面角，并求出它的余弦值. 8．如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点，E和点A，F，使，且.已知，，，求线段的长. 9．如图，在四面体中，分别是的中点．    (1)求证：四点共面； (2)求证：平面； (3)设是和的交点，求证：对空间任意一点，有． 10．如图，把正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为AD，BC的中点，O是原正方形ABCD的中心，求折纸后的大小. 11．如图，在四棱锥中，底面ABCD满足，，底面ABCD，且，. （1）求四棱锥的体积； （2）求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值. 12．如图，在长方体中，点E、F分别在，上，且，． (1)求证：平面； (2)当，，时，求平面与平面的夹角的余弦值． 13．如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为的正方形，侧棱的长为，且.    求： (1)的长； (2)直线与AC所成角的余弦值. 14．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子、分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记. (1)证明：平面； (2)当为何值时，的长最小并求出最小值； (3)当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值. 15．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求侧面与底面所成二面角的余弦值． 16．如图，在三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC.    (1)求证：平面PAC⊥平面PBC； (2)若AC=BC=PA，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值； (3)在（2）的条件下，求平面PAB与平面PBC夹角的正弦值. 17．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，上的动点，且． (1)求证：； (2)当为的中点时，求与所成角的余弦值； (3)当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角正切值． 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 空间向量的概念及其运算、 空间向量法与纯几何法求空间角与空间距离 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 空间向量的定义、表示及有关概念 3 知识点2 空间向量的线性运算 5 知识点3 空间向量的数量积 6 知识点4 空间向量的有关定理 6 知识点5 空间向量的坐标运算 7 知识点6 空间向量平行与垂直 7 知识点7 直线的方向向量和平面的法向量 8 知识点8 空间中的平行、垂直的位置关系的向量表示 9 知识点9 空间向量求空间角（线线角、线面角、面面角） 10 知识点10 空间向量求空间距离集 15 知识点11 几何法求空间角与空间距离 16 题型破译 18 题型1 空间向量的基本概念及其运算 18 题型2 空间向量求异面直线所成角及其异面角的应用 22 【方法技巧】空间向量求异面直线所成角及其异面角的应用 题型3 空间向量求线面角及其线面角的应用 27 【方法技巧】空间向量求线面角及其线面角的应用 题型4 空间向量求二面角及其二面角的应用 36 【方法技巧】空间向量求二面角及其二面角的应用 题型5 空间向量求空间距离及其应用 45 【方法技巧】空间向量求空间距离及其应用 题型6 利用空间向量解决立体几何小题（难度中低档） 51 题型7 利用空间向量解决立体几何小题（难度压轴题） 59 题型8 几何法求点面距 72 【方法技巧】几何法求点面距 题型9 几何法求异面直线所成角 76 【方法技巧】几何法求异面直线所成角 题型10 几何法求线面角 81 【方法技巧】几何法求线面角 题型11 几何法求二面角 86 【方法技巧】几何法求二面角 题型12 范围与最值的综合问题 92 【方法技巧】范围与最值的综合问题 04真题溯源·考向感知 106 05课本典例·高考素材 114 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）线面角的向量求法 （2）面面角的向量求法（3）由二面角大小求线段长度或距离 单选题 填空题 解答题 北京卷T17（13分） 北京卷T17（13分） 北京卷T9（4分） 北京卷T16（13分） 考情分析： 北京卷中，本讲多以解答题（中高档，13 分左右） 考查。核心考查：空间向量的线性运算、数量积，用向量 法求线线角、线面角、二面角，距离；纯几何法辅助验证。易错点：坐标系建错（轴不垂直），法向量计算错误， 角的范围混淆，距离公式应用错误。 复习目标： 1.掌握空间向量的运算（加减、数乘、数量积）及坐标表示； 2.能建立空间直角坐标系，表示点、向量的坐标； 3.用向量法求空间角（线线、线面、二面角）与距离； 4.会用纯几何法（如平移法求异面直线夹角）辅助解题； 5.结合几何与向量方法，解决含动态元素的角与距离问题。 知识点1 空间向量的定义、表示及有关概念 1．空间向量的有关概念 （1）定义：空间中 既有大小又有方向 的量称为空间向量． （2）表示法： ①符号表示法：，． ②几何表示法：有向线段． （3）向量的模：空间向量的大小（或长度）称为的模，记为 ． （4）几类特殊向量 概念 定义 单位向量 长度为 1 的向量 零向量 模为 0 的向量，记作 零向量的方向可以是任意的 相等向量 方向 相同 且长度 相等 的向量 相反向量 方向相反、长度相等的向量 共线向量（平行向量） 对于空间任意两个向量，若 ，其中为实数，则与共线或平行，记作 ．零向量与任意向量 共线 共面向量 空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面 自主检测给出下列命题： ①向量的长度与向量的长度相等； ②向量与平行，则与的方向相同或相反； ③两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ④若向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】 对于①，，故①为真命题； 对于②，若与中有一个为零向量时，其方向不确定，故②为假命题； 对于③，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反，所以③为假命题； 对于④，共线向量所在直线可以重合，也可以平行，不能得到点A，B，C，D必在同一条直线上，故④为假命题； 对于⑤，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故⑤为假命题． 故假命题的个数为4. 故选：C 知识点2 空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 减法 数乘 当时，； 当时，； 当时， 运算律 （1）交换律：； （2）结合律： ， ； （3）分配律： ， 自主检测四面体中，，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 因为， 所以，点为的中点， 所以，即. 故选：B 知识点3 空间向量的数量积 （1）空间向量的夹角及其表示 给定两个非零向量，任意在空间中选定一点O，作，，则大小在 内的 称为与的夹角，记作 . 特别地，若，则称与 垂直 ，记作. （2）向量的数量积 两个非零向量，的数量积定义为 ． （3）数量积的性质： ① ⇔ ·=0 ；         ②·= =； ③|·|≤||||；                   ④(λ)·=λ(·)； ⑤·= · (交换律)；    ⑥(+)·= ·+· (分配律). 自主检测已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知，， 所以， 又，所以. 故选：D. 知识点4 空间向量的有关定理 空间向量的有关定理 （1）共线向量定理：如果且，则存在唯一的实数，使得． （2）共面向量定理：如果两个向量，不共线，则向量，，共面的充要条件是，存在唯一的实数对，使 ． 由共面向量定理可得判断空间中四点是否共面的方法：如果，，三点不共线，则点在平面内的充要条件是，存在唯一的实数对，使． （3）空间向量基本定理：如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得 ．其中，称为空间向量的一组基底． 知识点5 空间向量的坐标运算 已知空间向量，其坐标形式为， 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 减法 数乘 ， 数量积 夹角余弦值 模长 自主检测已知在空间直角坐标系中，三点，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，， 所以向量与夹角的余弦值为. 故选：A 知识点6 空间向量平行与垂直 设，，则 平行 垂直 ___ ___（，均为非零向量） 自主检测已知空间向量，，若，则的值为（    ） A．1或 B．2或 C．1或 D．2或 【答案】A 【详解】，， ，解得或. 故选：A 知识点7 直线的方向向量和平面的法向量 1.直线的方向向量和平面的法向量 （1）直线的方向向量：如果是空间中的一条直线，是空间中的一个非零向量，且表示的有向线段所在的直线与平行或重合，则称为直线的一个 方向向量 ． （2）平面的法向量：如果是空间中的一个平面，是空间中的一个非零向量，且表示的有向线段所在的直线与平面垂直，则称为平面的一个 法向量 ，此时也称与平面垂直，记作． 2.求平面法向量的步骤： （1）设向量：设平面的法向量为. （2）选向量：在平面内选取两个不共线向量. （3）列方程组：由 列出方程组. （4）解方程组. （5）赋非零值：取的其中一个为 非零值 (常取). （6）得结论：得到平面的一个法向量. 自主检测1若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为A，B在直线l上，所以， 与共线的向量可以是直线l的一个方向向量，其他选项经验证与均不共线. 故选：B 自主检测2在空间直角坐标系中，，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知，设平面的一个法向量为， ，取，得， 选项A符合，另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线. 故选：A. 知识点8 空间中的平行、垂直的位置关系的向量表示 设分别是直线的方向向量，分别是平面的法向量． 线线平行 ，使得 注：此处不考虑线线重合的情况．但用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合 线面平行 注：证明线面平行时，必须说明直线不在平面内； 面面平行 ，使得 注:证明面面平行时，必须说明两个平面不重合． 线线垂直 线面垂直 ，使得 面面垂直 自主检测如图，在正方体中，分别是棱的中点. (1)证明： ； (2)证明：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则 ， 故， 由于，故，显然，不重合，故 ； （2） 故， 因此，故 知识点9 空间向量求空间角（线线角、线面角、面面角） （1）求异面直线所成的角 若两异面直线所成角为，它们的方向向量分别为，则有= . （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与 的角为，则有 = . （3）求二面角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则 为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若二面角的平面角的大小为，其两个面的法向量分别为，则= = （4）求平面与平面的夹角 平面与平面相交，形成四个二面角，把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角 = . 自主检测1如图，四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，，为的中点，，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)写出，两点的坐标； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）在菱形中，，则， 易知与为等边三角形，则， 在等边中，为的中点，则，， 在中，， 所以，. （2）由，，，， 则，， 所以，，， 设异面直线与的夹角为， . 自主检测2如图，直三棱柱中，，是的中点，是的中点． (1)证明：直线直线; (2)求直线与平面所成的角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）不妨设，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， ,. ,因为，所以. （2），, 易知平面的一个法向量为, 设直线与平面所成的角为，则， 所以，即直线与平面所成的角的大小为. 自主检测3如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，点在上，且. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【详解】（1）证明：由题平面，底面为矩形，以为原点，直线，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图： 则，，，，，， ，，， ∵∴， ∵，∴， ∵,且平面，∴平面. （法二）证明：由题平面，底面为矩形，以为原点，直线，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图： 则，，，，，， 设是平面的一个法向量. ，. 取，有 ∴，， 则，. ∴平面. （法三）证明：连接 ∵平面，平面,∴. 在中，，. ∵，∴，且， ∴平面， 又∵平面，∴. ∵，又∵， ∴，∴. 且，且平面，∴平面. （2）（接向量法）由（1）可知平面的法向量为（也可为）. 平面的一个法向量为. . ∴平面PAM与平面PDC的夹角的余弦值为. （法二）延长AM，DC，交于点N，连接PN. ∵，∴平面，∵，∴平面. ∴平面平面. 过D做于，连接. ∵平面，∴. 又，， ∴平面，又平面，∴. 又∵，，平面, ∴平面，∴， ∴为二面角的平面角. 在中，， ∴. ∴平面与平面的夹角的余弦值为. 知识点10 空间向量求空间距离集 （1）点到直线的距离 已知直线l的单位方向向量为，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，点P到直线l的距离为 . （2）两条平行直线之间的距离 求两条平行直线l，m之间的距离，可在其中一条直线l上任取一点P，则两条平行直线间的距离就等于 到直线的距离 . （3）求点面距 ①求出该平面的一个 法向量 ；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离. 即：点A到平面 的距离= ，其中，是平面的一个法向量. （4）线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解 直线与平面 之间的距离：= ，其中，是平面 的一个法向量. 两平行平面之间的距离：= ，其中，是平面的一个法向量. 自主检测如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，求点到平面的距离. 【答案】 【详解】如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， ，，，，，， ，， 设平面的一个法向量为， 由，即，可令，则，， 则，又， 点C到面的距离. 知识点11 几何法求空间角与空间距离 异面直线所成角 1.定义：已知两条异面直线经过空间任意一点作直线我们把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角） 2.范围： 3.平移两异面直线使它们相交，转化为相交直线所成角； 直线与平面所成角 1.定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。 2.范围： 3.求法： （1）由定义作出线面角的平面角，再求解： （2）在斜线上异于斜足取一点，求出该点到斜足的距离（设为 ）和到平面的距离（设为 则 二面角 1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，则两射线所成的角为二面角的平面角。 2.范围： 3.求法： （1）定义法： 利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角。 （2）三垂线法： 已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。 （3）垂面法： 已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。 （4）射影面积法： 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（如图)求出二面角的大小 空间距离 点面距可转化为三棱锥等体积求解 题型1 空间向量的基本概念及其运算 例1-1给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】A 【详解】对于（1），当时，与不一定平行，故（1）错误； 对于（2），空间任意两个单位向量的模长相等，方向不一定相同，故（2）错误； 对于（3），取，满足， 且，但是，故（3）错误； 对于（4），因为与都是常数，所以和表示两个向量， 若与方向不同，则与不相等，故（4）错误； 故选：A 例1-2三个非零向量则“共面”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由共面向量的基本定理可知，若三个非零向量满足，则共面， 反之，若三个非零向量共面，当共线，与不共线时，就不存在实数使得， 故共面是的必要不充分条件， 故选：B 例1-3设，，向量，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】设、，向量，且， ，解得， 又因为，所以，解得， 所以， 故选：． 例1-4已知正方体，设向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于， 所以，，. 故选：B 例1-5已知空间中三点，，，则（   ） A．与是共线向量 B．的单位向量是 C．平面ABC的一个法向量是 D．与夹角的余弦值是 【答案】C 【详解】A选项，，设， 则，无解，故与不是共线向量，A错误； B选项，的单位向量为，B错误； C选项，由于， ， 与均垂直，又由A知，与不共线， 故平面ABC的一个法向量是，C正确； D选项，， 设与夹角为，则，D错误. 故选：C 【变式训练1-1】已知正方体的中心为，则在下列各结论中正确的共有（ ） ①与是一对相反向量； ②与是一对相反向量； ③与是一对相反向量； ④与是一对相反向量． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】对于①，，， ， 与是一对相反向量，①正确；    对于②，，，又， 与不是相反向量，②错误； 对于③，，，，， ， 与是一对相反向量，③正确； 对于④，，，又， 与是一对相反向量，④正确. 故选：C. 【变式训练1-2】下列命题中正确的是（    ） ①若，则，，三点共线； ②若，则，，，四点共面； ③若，则，，，四点共面． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【详解】根据共线定理推论，系数，所以，，三点共线，命题①正确； ，若，，不共面， 则根据平行六面体法则，此时四点不共面，命题②错误； ， 所以，即，，，四点共面，命题③正确． 故选：C. 【变式训练1-3】已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】向量，，则， 所以. 故选：A 【变式训练1-4】已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】向量在平面法向量上的投影向量： ， 设在平面上的投影向量是， 则， 所以， 故选：D 【变式训练1-5】如图所示，在平行六面体中，，.设，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 则 ， 所以，故. 故选：D. 题型2 空间向量求异面直线所成角及其异面角的应用 例2-1已知圆台的上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，点，分别在上、下底面圆周上，且，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】过的母线为，连接，则，又因为，所以，    以为坐标原点，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 所以， 所以与所成角的余弦值为. 故选：A. 例2-2在四棱锥中，,，. (1)求证：平面； (2)设为棱上一点，若直线与所成角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析; (2)或. 【详解】（1） 在棱上取一点，使得，连接, 因为，所以四边形是平行四边形，则，因为，所以. 又因为，根据余弦定理可得，即， 则有，所以， 又平面，则平面， 又平面，则， 又因为平面， 所以平面. （2）以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，过点作轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则， 则， 于是， 化简得，解得或， 所以或. 方法技巧 （1）确定异面直线的方向向量：在每条直线上取两点，得到对应方向向量。​ （2）计算方向向量夹角：通过数量积求出夹角余弦值，取绝对值得到异面直线所成角的余弦。​ （3）明确角的范围：异面直线所成角在 0 到 90 度之间，故结果取锐角或直角。​ （4）应用于位置关系：若角为 90 度，说明两异面直线垂直。​ （5）结合几何体：在具体立体图形中，准确找到方向向量，避免坐标错误。 【变式训练2-1】在直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如下图所示：设，则，，，， 可得， 设直线与所成的角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 【变式训练2-2】如图，分别是正八面体（8个面均为正三角形）棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正八面体结构特征知，， 若正八面体的棱长为2，且各侧面都是正三角形，为正方形， 所以 ， ， 同理得， 所以，异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C 【变式训练2-3】已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，且，，点M是线段中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）线段上是否存在点P，使得与所成的角恰为？若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，. 【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系: ， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则， 所以，又平面， 所以平面； （2）易知， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则， 易知， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则， 则， 设二面角的大小为， 易知为锐角，则， 所以； （3）假设存在点P，有，则 ，， 设与所成的角为， 则， 解得， 所以. 所以线段上存在点P，使得与所成的角恰为，且的长为1. 题型3 空间向量求线面角及其线面角的应用 例3-1（2025·北京·模拟预测）在如图所示的多面体中，，四边形为矩形，，. (1)求证：平面； (2)，平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由四边形为矩形，可得，因 平面，平面，故平面； 因，平面，平面，故平面， 又因平面，故有平面平面. 再由平面可得平面. （2）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面. 又因为平面，所以，在矩形中，. 因为平面，，故平面. 因为平面，所以. 故分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意得，，，. 所以，. 设平面的法向量为，则 即 令，则，.于是. 因为，设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 例3-2（2025·北京大兴·三模）如图，在三棱柱中，是边长为2的正三角形，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值． 条件①：平面平面； 条件②：三棱柱的体积为； 条件③：三棱锥是正四面体． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)证明见解析 (2)选条件②或条件③， 【详解】（1）证明：取中点为，连接和 ∵，∴ 又为等边三角形，∴ ∵，，面， ∴平面，又面，∴ ∵三棱柱中， ∴，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形. （2）条件①：不符合题意 条件②：取中点为，连接，交于点 则底面 三棱柱的体积为，底面积为，所以高， 以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向， 过点且与平行的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量， 因为，． 则，取，可得， 又， 设直线与平面所成角为， 所以． 条件③：为正四面体，∴ 取中点为，连接，交于点 则底面 由等边易得， 以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向， 过点且与平行的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量， 因为，． 则， 取，可得， 又， 设直线与平面所成角为， 所以． 例3-3（2025·北京海淀·二模）如图1，五边形中， ．将三角形沿翻折，使得平面平面，如图2． (1)求证：平面； (2)记直线与平面所成角为．若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为平面平面，平面，平面平面 ，， 所以平面，又平面， 所以，又，平面， 所以平面. （2）如图，过点作于点，则， 在中，，所以，得. 过点作轴平面，建立如图空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 所以， 解得，即. 方法技巧 （1）找到直线的方向向量和平面的法向量：方向向量描述直线走向，法向量垂直于平面。​ （2）计算两向量夹角：通过数量积求方向向量与法向量的夹角。​ （3）转化线面角：线面角是直线与平面中垂线的夹角的余角，取夹角的补角的一半等对应关系。​ （4）确定范围：线面角在 0 到 90 度之间，结果需符合此范围。​ （5）应用于判定：线面角为 0 度时直线在平面内或平行，90 度时直线垂直于平面。 【变式训练3-1】（2025·北京·三模）如图，在棱长为2的正方体中，M、E分别是、的中点，点F在线段上，平面. (1)证明：F是的中点； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 如图所示，以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系. 因为正方体的棱长为2，则， 设， ，可得，解得， 可得，则设平面的一个法向量， 则，得，解得，所以F是的中点. （2） 如图所示，，，当时，， 设面的法向量，则，即， 令，解得，面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【变式训练3-2】（2025·北京大兴·三模）如图，矩形，平面平面，，平面ADF与棱BE交于点． (1)求证：； (2)求直线CF与平面ADF夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为，平面,平面, 所以平面, 又，平面,平面, 所以平面, 又，且平面 所以平面平面, 又因为平面CDF，所以平面 因为平面ADF，平面平面 所以，即 （2）因为平面平面ABCD 所以．又, 如图，以为原点，分别以所在直线为x轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则 所以 设平面ADF的一个法向量为，则，即 不妨令，则，所以 所以直线CF与平面ADF夹角的正弦值. 【变式训练3-3】（2025·北京石景山·一模）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，N为的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)点M在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点M到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）设的中点为，连接， 因为N为的中点，所以，且， 又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面. （2）记的中点为，连结， 因为，，， 所以四边形是矩形，则，， 以为原点，以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则， 所以， 由图可知，二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. （3）依题意，设，则， 又由（2）得平面的一个法向量为， 记直线与平面所成角为， 所以，解得（负值舍去）， 所以，则， 而由（2）得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 题型4 空间向量求二面角及其二面角的应用 例4-1（2025·北京·三模）如图，在四棱柱 中， 侧面和底面均为菱形， 且   为的中点，与平面 交于点， (1) 求证: 为的中点； (2) 若平面平面，求二面角 的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在四棱柱 中， 平面平面， 又因为平面CDE 平面ABCD=CD， 所以， 又因为，所以， 又因为E为的中点，所以F为的中点 （2）取AD的中点O，连接， 在四棱柱 中， 四边形，四边形均为菱形， 又 所以均为等边三角形， 所以， 又因为平面 平面ABCD，平面 平面ABCD=AD， 平面，所以平面ABCD， 平面ABCD，所以， 如图建立空间直角坐标系， 所以， 所以即为平面的一个法向量， ， 设平面的一个法向量为， 所以，令得， 所以， 所以， 因为二面角 为锐角， 所以二面角 的余弦值为， 例4-2（2025·北京海淀·三模）在四棱锥中，四边形为边长为4的正方形，．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 条件①，平面平面； 条件②：； 条件③，． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）选择①②， 因为为正方形，所以， 由①知，平面平面，平面， 平面平面=，， 所以平面，又平面 ，所以， 由②知，，，，所以， 又在平面内相交于点A，所以平面， 选择①③， 因为为正方形，所以， 由①知，平面平面，平面， 平面平面=，， 所以平面，又平面 ，所以， 由③知，，又为正方形，所以， 所以，所以， 所以，， 又在平面内相较于点A，所以平面， 选择②③， 由②知，，，，所以， 由③知，，又为正方形，所以， 所以，所以， 所以，， 又在平面内相较于点A，所以平面 （2）由（1）知，平面， 又为正方形，所以， 如图，以A为原点建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，所以， 设平面的法向量为， 则， 令，则。 所以， 设平面与平面所成角为， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 例4-3（2025·北京房山·一模）如图，在长方体中，为的中点，与平面交于点. (1)求证：为的中点； (2)若二面角的余弦值为，求的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【详解】（1）在长方体中，因为平面 平面， 平面平面，平面平面， 所以 .同理 . 所以是平行四边形.所以. 又， . 所以. 所以为的中点. （2）在长方体中，建立空间直角坐标系，设， 则. 因此. 设平面的法向量为， 则即 令，则，因此. 易知平面的法向量为，则 . 解得.所以. 方法技巧 （1）求出两个平面的法向量：法向量分别垂直于两个平面。​ （2）计算法向量夹角：通过数量积得到夹角的余弦值。​ （3）判断二面角类型：根据法向量方向，确定二面角是法向量夹角还是其补角。​ （4）明确范围：二面角在 0 到 180 度之间，结果需在此区间内。​ （5）应用于面面关系：二面角为 90 度时两平面垂直。 【变式训练4-1】（2025·北京·模拟预测）如图，在三棱柱中，，点D,E分别在棱和棱上，且为棱的中点． (1)求证：平面； (2)若平面ABC， （i）求二面角的余弦值： （ii）点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）（ii） 【详解】（1） 取中点G，连接， 则，又因为， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2） （i）以为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则， 则． 设平面的法向量为， 则，取，则 设平面的法向量为， 设二面角为， 则 ， 因为为锐角，所以； （ii）由（i）平面的一个法向量为， 点到平面的距离 【变式训练4-2】（2025·北京·二模）如图，在三棱锥中，平面平面分别为的中点． (1)求证：平面平面； (2)设，从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，平面平面，平面平面， 所以平面． 由分别为中点，得， 所以平面． 又因为平面， 所以平面平面． （2）选择条件①②： 因为， 所以，则． 所以． 由平面，得． 故两两垂直． 如图建立空间直角坐标系，则，，，， ，，，． 设平面的法向量为， 则，即. 令，则．于是． 易知平面的一个法向量． 设平面与平面夹角为， 则． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 选择条件①③； 由平面，得． 因为， 所以平面． 所以．故两两垂直． 如图建立空间直角坐标系，以下同选条件①②，略． 选择条件②③； 由平面，得． 因为， 所以平面． 所以．故两两垂直． 又因为， 所以． 如图建立空间直角坐标系，以下同选条件①②，略． 【变式训练4-3】如图，在斜三棱柱中，，，点在底面上的投影为的中点，点满足. (1)当时，证明：平面平面； (2)已知 ，若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【详解】（1）当时，即为线段的中点， 因为，所以，所以， 又，所以， 又因为平面，平面//平面， 所以平面，平面，所以， 且，，平面，所以平面. 又因为平面，所以平面平面. （2）因为，为的中点，所以，且平面， 故以为坐标原点，，，分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以，， 所以，，，， 可得，， 所以，. 设平面的法向量为， 则化简得 令，则，， 可得， 由题意可知，平面的法向量， 所以， 又平面与平面夹角的余弦值为， 所以，解得或，所以的值为或. 题型5 空间向量求空间距离及其应用 例5-1（2025·北京东城·一模）如图，在几何体中，四边形为平行四边形，平面平面 . (1)证明：平面； (2)已知点到平面的距离为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的长. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)证明见解析； (2)所选条件见解析，. 【详解】（1）由四边形为平行四边形，则，又， 平面，平面，则平面，同理平面， 由，都在平面内，则平面平面， 平面，则平面； （2）平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，则，， 选条件①：，都在平面内，则平面， 平面，则； 选条件②：由，，， 则，又，故， 所以，则， 综上，，，， 以为原点，为的正方向建立空间直角坐标系， 所以，令，则， 故，， 令是平面的一个法向量，则， 取，则， 由题设，可得， 所以. 例5-2如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面是的中点，点是棱上靠近的四等分点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）法一：如图，连接交于，连接， 因为底面为矩形，所以为的中点， 因为为的中点，所以是的中位线， 得到，而平面，平面，故平面. 法二：根据题意，以点为坐标原点， 分别以为轴，建立空间直角坐标系， 由题意得， 则， 设为平面的法向量， 则，即， 令，则，故， 平面，平面. （2）， ， 直线与平面所成角的正弦值为. （3）由已知得， 由点到直线的距离公式得， 故点到直线的距离为. 方法技巧 （1）求点到面的距离：利用点与平面上一点的向量，结合法向量，通过投影计算距离。​ （2）求线到面的距离：转化为线上某点到面的距离，前提是线面平行。​ （3）求面面距离：转化为一个平面上某点到另一个平面的距离，前提是面面平行。​ （4）求异面直线距离：找公垂向量，通过向量投影计算，或转化为线面距离。​ （5）应用于长度问题：在几何体中，通过距离判断线段长短或位置关系。 【变式训练5-1】（24-25高三下·北京·阶段练习）如图，在三棱柱中，，，，点分别在棱和棱上，且，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)已知平面， ①求二面角的正弦值： ②点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2)①；② 【详解】（1）取的中点为，连接，如下图所示： M为棱的中点，的中点为，可得且； 又易知，且，所以，； 又，所以； 由三棱柱性质可得，因此， 所以，可知四边形为平行四边形； 可得，又平面，平面； 所以平面 （2）①由已知平面，可得； 又，可知两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知， 可知， 设平面的一个法向量为， 所以，令，可得， 因此法向量可以为， 又易知平面与轴垂直，所以平面的一个法向量可以为； 则； 因此二面角的正弦值为； ②由（1）可知，平面的法向量可以为， 又， 所以点到平面的距离为. 【变式训练5-2】如图，在多面体ABCDGEF中，四边形ABCD为直角梯形，且满足，，，，平面ABCD． (1)证明：平面CDE； (2)求平面CDE与平面ABE夹角的余弦值； (3)求点G到直线AB的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 且，，平面， 所以平面，平面， 所以， 由条件可知四边形是正方形，所以， ，且平面， 所以平面； （2） 如图，以点为原点，以为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，，，，，， 由（1）可知，平面的法向量可为， ，， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则，， 所以平面的一个法向量， 设平面CDE与平面ABE的夹角为， 所以； （3）, 所以点到直线的距离. 题型6 利用空间向量解决立体几何小题（难度中低档） 例6-1（2025·北京顺义·一模）六氟化硫是一种无机化合物，常温常压下为无色无味无毒不燃的稳定气体.化学式为，在其分子结构中，硫原子位于中心，六个氟原子均匀分布在其周围，形成一个八面体的结构.如图所示，该分子结构可看作正八面体，记为，各棱长均相等，则平面与平面夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 设正八面体的棱长为，连接、相较于点，连接， 根据正八面体的性质可知为正方形，，平面， 建立如图所示，以为坐标原点， 分别以、、为、、轴的空间直角坐标系， ，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 所以，，令， 则有：，所以， ，， 设平面的法向量为， 所以，，令， 则有：，所以， 设平面与平面夹角为，则， 平面与平面夹角的余弦值为. 故选：D 例6-2（2025·北京·模拟预测）北京天桥艺术中心旁边的四面钟是天桥附近颇有意趣的传统景观之一.这个主体建筑可以近似看做正四棱柱.四面钟的每一面都挂在该正四棱柱的一个侧面上.当四面钟都正常显示标准北京时间时，相邻两面钟的时针所在直线所成角最大为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】    由题意，在正四棱柱中，建立如图所示的空间直角坐标系. 不妨设平面上的时钟的时针的方向向量，不同时为0， 因为四面钟都正常显示标准北京时间，所以设平面上的时钟的时针的方向向量. 设相邻两面钟的时针所在直线所成角为， 则， ①当时，，则； ②当时，，因为，则， 即，则； 综上所述：，则的最大值为， 因此，相邻两面钟的时针所在直线所成角最大为. 故选：C. 例6-3（24-25高三上·北京海淀·期末）如图，正方体的棱长为2，分别为棱的中点，为正方形边上的动点（不与重合），则下列说法中错误的是（   ）    A．平面截正方体表面所得的交线形成的图形可以是菱形 B．存在点，使得直线与平面垂直 C．平面把正方体分割成的两个几何体的体积相等 D．点到平面的距离不超过 【答案】B 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 对于A，，即，而直线，则， 又，因此四边形为平行四边形，又， 则四边形为菱形，当点与重合时，平面截正方体表面所得的交线形成的图形是菱形，A正确； 对于B，，，即与不垂直， 而平面，因此直线与平面不垂直，B错误； 对于C，线段的中点为正方体的中心，平面过该正方体的中心， 由对称性，平面把正方体分割成的两个几何体的体积相等，C正确； 对于D，当点时，，，则， 即，，平面，于是平面， 此时点到该正方体中心的距离即为点到平面的距离， 是点到过的所有截面距离最大值，因此点到平面的距离不超过，D正确. 故选：B 【变式训练6-1】（2025·北京·二模）设正方体的棱长为2，P为正方体表面上一点，且点P到直线的距离与它到平面ABCD的距离相等，记动点P的轨迹为曲线W，则曲线W的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 显然点到平面的距离为， 设点，在上取一点，而， 所有，从而， 所以点P到直线的距离为， 所以， 令，得，此时点的轨迹就是一个点，此时点的轨迹长度是0， 令，得，此时点在以为圆心半径为2的四分之一的圆周上面运动，此时点的轨迹长度是， 令，得，即，此时点的轨迹长度是0， 令，得，即，此时点在线段上运动，轨迹长度是， 令，，即，此时点在线段上运动，轨迹长度为， 令得，，即，此时点的轨迹长度是0， 综上所述，所求为. 故选：D. 【变式训练6-2】（24-25高三下·北京·阶段练习）如图，正方体中，分别是上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（   ） A．平面截正方体所得截面为等腰梯形 B．平面平面 C．存在点，使得平面 D．存在点，使得 【答案】D 【详解】对于A，取的中点为，连接，如下图所示： 由中位线性质可得，显然，所以, 即可得四点共面，即四边形即为平面截正方体所得截面， 易知，所以四边形为等腰梯形，即A正确； 对于B，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 设正方体的棱长为2，可得， 易知， 设平面的一个法向量为， 可得，解得，令，可得； 所以 易知， 设平面的一个法向量为， 可得，解得，可得，； 所以， 显然，即，所以平面平面，即B正确； 对于C，取的中点为，连接，如下图所示： 当为的中点时，可得，且， 又且，可得， 即四边形为平行四边形，可得， 又平面，平面，即平面； 所以存在点为的中点时，使得平面，可得C正确； 对于D，由B选项中空间直角坐标系如下图所示： 可得，即， 设，则； 此时，即不成立； 所以不存在点，使得，即D错误. 故选：D 【变式训练6-3】如图，正方体中，P是线段上的动点，有下列四个说法： ①存在点P，使得平面； ②对于任意点P，四棱锥体积为定值； ③存在点P，使得平面； ④对于任意点P，都是锐角三角形. 其中，不正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【详解】以为原点，的方向为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设正方体棱长为1， 则，， 设， ，，， 平面的一个法向量为，， 令，则，即， 若，得， 则时，，又平面，所以平面， 即点P为中点时， 平面，说法①正确； 正方体中，平面平面，平面， 则点到平面的距离为定值，又正方形面积为定值， 所以对于任意点P，四棱锥体积为定值，说法②正确； ，，, 若平面，则有，方程组无解， 所以不存在点P，使得平面，说法③错误； ，，， ，， 则中，，都是锐角， ，也是锐角， 所以对于任意点P，都是锐角三角形，说法④正确. 只有说法③不正确. 故选：C. 题型7 利用空间向量解决立体几何小题（难度压轴题） 例7-1（2025·北京石景山·一模）如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点（不包含端点），给出下列三个命题： ①对任意点Q，都有； ②存在点Q，使得平面； ③过点Q且与垂直的平面截正方体所得截面面积的最大值为． 其中正确的命题个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 设， 对于①，， 则， 所以，即，故①正确； 对于②，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 要使平面，则， 则，即，不符合题意， 所以不存在点Q，使得平面，故②错误； 对于③，如下图，在平面内作⊥，垂足为点， 过点作在平面内作⊥交于， 因为平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 又平面，所以⊥， 因为，、平面，所以平面， 平面截正方体截面为平行四边形， 当与点重合时，为中点，截面面积最大， 此时，，截面面积为，故③对. 故选：C. 例7-2（2025·北京海淀·二模）如图，在正方体中，，、为上底面（包含边界）内的两个动点，且满足，．给出下面四个结论： ①当与重合时，五面体的体积为； ②记直线分别与平面和平面所成角为、，则的值不变； ③存在、，使得； ④存在、，使得五面体中，所在平面与其余四个面所在平面的四个夹角中，有三个彼此相等． 其中，所有正确结论的序号为 ． 【答案】①②④ 【详解】对于①，当与重合时， ，①对； 对于②，过点作分别交、于点、，连接、， 过点作分别交、于点、，连接、， 过点在平面内作，垂足为点， 因为，，则，且，故平面， 因为平面，平面，则， 又因为，，、平面，故平面， 故，同理可得， 所以，为定值，②对； 对于③，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、，设点，则， 则，， 所以，， 故不存在、，使得，③错； 对于④，不妨取点，则点，则、， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得， 易知平面的一个法向量为， 所以，， 故底面与平面夹角的余弦值为， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 所以，， 即底面与平面所成夹角的余弦值为， 同理可知，底面与平面所成夹角的余弦值为， 此时，点为棱的中点，则平面平面， 则底面与平面夹角的余弦值为，④对. 故答案为：①②④. 【变式训练7-1】如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则以下说法中不正确的是（    ） A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变 B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．若是的中点，点在底面上运动时，不存在点满足平面 D．若点在底面上运动，则使直线与平面所成的角为的点的轨迹为圆上的一段弧 【答案】C 【详解】当在平面上运动时，到的距离恒为2，故四棱锥的体积不变，A对； 如下图示空间直角坐标系，， 所以且， 设与所成角为且 ，则， 当时，且，可得；当时，； 所以，故 ，B对； 如下图示空间直角坐标系，， 所以，则， 所以，又且面， 所以面，即是面的一个法向量， 由，则， 若平面，则，即， 显然，直线与底面有公共点，即存在点满足平面，C错； 若点在底面上运动，设，，则， 又面的一个法向量，则直线与平面所成的角为， 所以，整理得， 所以的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，其在底面上轨迹为圆上的一段弧，D对. 故选：C 【变式训练7-2】（24-25高三上·北京通州·期末）如图，正方形和正方形所在的平面互相垂直. 为中点，为正方形内一点（包括边界），且满足，为正方形内一点（包括边界），设，给出下列四个结论： ①，使； ②，使； ③点到的最小值为； ④四棱锥体积的最大值为. 其中正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【详解】根据题意，正方形和正方形所在的平面互相垂直， 平面 平面 ，为正方形内一点， 所以平面，平面，平面， 所以 、 均为直角三角形， 因为， 所以，又因为为中点， , 所以 , 如图，以D为原点， 所在直线分别作 ， 轴，建立平面直角坐标系， 因为，所以，，，设， 由可得 ， 化简可得 ，点 的轨迹为以圆心 半径为的圆的一部分，如图所示， 当 与 重合， 在点 时，此时平面，平面，所以，故①正确； 当 与 重合， 在点 时，最大，即， ， ，所以在 中，， 因为,故不存在，使，故②错误； 设到的距离为，点到的距离最小值为-， 在 中，利用等面积法可得：，即，解得 ， 所以点到的距离最小值为，故③正确； 四边形的面积，， 当 在点 时，四棱锥体积有最大值，，故④正确. 故答案为：①③④ 【点睛】关键点点睛：求出点 的轨迹方程，建立适当的直角坐标系，借助空间线面的概念研究位置关系是解题关键，第④个结论的关键点在于借助四面体的体积公式，分别求出高与底面三角形的最大值. 【变式训练7-3】如图，在正方体中，为棱上的动点，平面为垂足.给出下列四个结论： ①； ②线段的长随线段的长增大而增大； ③存在点，使得； ④存在点，使得 平面. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②④ 【详解】在正方体中，令，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，， 令平面的法向量，则，取，得， 由平面于，得，即， ，显然，解得， 于是， 对于①，，①正确； 对于②，在上单调递增，②正确； 对于③，而，， 若， 显然，即不存在，使得，③错误； 对于④，平面的一个法向量，而， 由，得，即，整理得， 令，显然函数在上的图象连续不断， 而，因此存在，使得，此时平面， 因此存在点，使得平面，④正确. 所以所有正确结论的序号是①②④. 故答案为：①②④ 【点睛】思路点睛：涉及探求几何体中点的位置问题，可以建立空间直角坐标系，利用空间向量证明空间位置关系的方法解决. 【变式训练7-4】如图，在长方体中，，动点分别在线段和上.给出下列四个结论： ①； ②不可能是等边三角形； ③当时，； ④至少存在两组，使得三棱锥的四个面均为直角三角形. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②④ 【详解】由题意，在长方体中，到平面CC1D1D的距离为1，到边的距离为2，所以，故①正确； 由图可知，的最小值为2，若，则, 则，若此时，则，可得， 则，即取最小值为2时，不能同时取得2，当变大时，不可能同时大于2，故不可能是等边三角形，故②正确； 建立空间直角坐标系，如图， 则,设，， ，由可得，即， ， ， 显然与不恒相等，只有时才成立，故③错误； 当为中点，与重合时，如图， 此时，，， 又，，故，所以， 因为，所以, 所以，即三棱锥的四个面均为直角三角形， 当与重合，与重合时，如图， 显然，，，， 故三棱锥的四个面均为直角三角形， 综上可知，至少存在两组，使得三棱锥的四个面均为直角三角形，故④正确. 故答案为：①②④ 【点睛】关键点点睛：本题四个选项比较独立， ①的关键在于转化顶点，得出高及底面积为定值； ②分析三边中的最小值为2，此时其余两边不能同时等于2; ③利用向量得出两点的关系，在此关系下不一定能推出两边长相等； ④考虑特殊位置寻求满足条件的位置是解题关键. 【变式训练7-5】如图，在棱长为a的正方体中，P，Q分别为的中点，点T在正方体的表面上运动，满足． 给出下列四个结论： ①点T可以是棱的中点； ②线段长度的最小值为； ③点T的轨迹是矩形； ④点T的轨迹围成的多边形的面积为． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③④ 【详解】由题知，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，令正方体棱长 则，，，，，， ，，，，设， 对于①，当点T为棱的中点时，， 则， 不满足，所以点T不是棱的中点，故①错误. ，因为 所以， 当时，，当时， 取，，，， 连结，，，， 则，，，即 所以四边形EFGH为矩形， 因为，， 所以，， 又和为平面中的两条相交直线， 所以平面EFGH， 又，， 所以为EG的中点，则平面EFGH， 为使，必有点平面EFGH， 又点在正方体表面上运动，所以点的轨迹为四边形EFGH， 又，， 所以，则点的轨迹为矩形EFGH，故③正确 面积为，即，故④正确 又因为，，， 则，即， 所以，点在正方体表面运动， 则，解得， 所以， 结合点的轨迹为矩形EFGH， 分类讨论下列两种可能取得最小值的情况 当，或时，， 当，或时， 因为，所以当，或时，取得最小值为，即，故②正确. 综上所述：正确结论的序号是②③④ 故答案为：②③④. 【点睛】本题以正方体为载体，考查空间向量在立体几何中的综合运用和空间几何关系的证明，属于难题，解题的关键是建立空间直角坐标系，设棱长为数值可简化运算，通过空间向量即可证明和求解对应项. 【变式训练7-6】如图，几何体是以正方形ABCD的一边BC所在直线为旋转轴，其余三边旋转90°形成的面所围成的几何体，点G是圆弧的中点，点H是圆弧上的动点，，给出下列四个结论： ①不存在点H，使得平面平面CEG； ②存在点H，使得平面CEG； ③不存在点H，使得点H到平面CEG的距离大于； ④存在点H，使得直线DH与平而CEG所成角的正弦值为． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③④ 【详解】由题意可将图形补全为一个正方体，如图所示： 以点为坐标原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、、、，， 设点，其中， 对于①，，，设平面， 则，即， 取x=1，则，可得， 设平面，，， 则，即， 取，则，可得， 若平面平面CEG，则，解得：， 所以存在使得平面平面CEG，故①错误； 对于②，，若平面CEG， 则，即， 即，故，故存在点H，使得平面CEG，故②正确； 对于③，， 所以点H到平面CEG的距离为， ， 因为，所以，所以， ，所以， 所以不存在点H，使得点H到平面CEG的距离大于，故③正确； 对于④，，，则直线与平面CEG的所成角为， 所以， ，整理可得， 因为函数在时的图象是连续的， 且，， 所以，存在，使得， 所以，存在点，使得直线与平面CEG的所成角的余弦值为，④正确. 故答案为：②③④. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（l为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 题型8 几何法求点面距 例8-1如图，在正三棱柱中，分别为的中点，. (1)证明：； (2)证明：平面平面； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为三棱柱为正三棱柱，所以平面平面. 又为正三角形，为中点，所以. 又平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. （2）因为，，分别为的中点， 所以，，所以， 所以，所以， 又，平面，，所以平面. 又平面，所以平面平面. （3）如图： 设点到平面的距离为. 则. 又 . 在中，，，,所以. 所以 . 方法技巧 （1）找过点且垂直于平面的线段：该线段长度即为点面距，常需作辅助线构造垂线。​ （2）利用三棱锥体积转换：通过等体积法，用体积和底面积表示高，即点面距。​ （3）在柱体中：利用侧棱与底面垂直时，侧棱长即为点面距（如直棱柱顶点到底面距离）。 【变式训练8-1】如图，在直三棱柱中，，，，E，F分别是，的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面BCE； (3)求点B到平面ACE的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）在直三棱柱中，平面，平面，所以， 又，，、平面，所以平面； （2）取为的中点，连接，因为F是的中点，故，且， 又，且，所以，且， 又，所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以，而平面，平面，平面BCE；    （3）由题意，，，所以， 因为E是的中点，平面， 所以，所以， 又， 设点B到平面ACE的距离为，则，解得， 所以点B到平面ACE的距离为. 【变式训练8-2】如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，，是的中点.    (1)求证：直线平面； (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接，并交于点， 因为四边形为正方形，则为的中点， 又因为为的中点，所以， 因为平面，平面，因此平面. （2）因为平面，直线到平面的距离即点到平面的距离， 取的中点，连接，如下图所示：    因为、分别为、的中点，所以，， ， 因为平面，所以平面， 所以. 因为平面，平面，所以， 因为四边形为正方形，则， 因为，、平面，故平面， 因为平面，所以， 因为，为的中点，所以， 因为，、平面，故平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，所以， 所以，， 因为平面，平面，所以， 故， 所以， 设点到平面的距离为，则，解得， 因此，直线与平面的距离为. 题型9 几何法求异面直线所成角 例9-1如图，在直三棱柱中，，，，、分别为、的中点． (1)求的长； (2)求与所成角的余弦值； (3)求证：平面． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）在直三棱柱中，平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 因为，为的中点，所以， 故. （2）分别取、、的中点、、，连接、、、， 因为、分别为、的中点，所以， 且， 同理可得，，， 所以，异面直线、所成角为或其补角， 因为，，故四边形为平行四边形，所以，， 因为、分别为、的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，故，， 因为平面，所以平面， 因为平面，故，所以， 由余弦定理可得， 因此，异面直线与所成角的余弦值为. （3）连接，如下图所示： 由勾股定理可得，， 又因为，故，即，同理可证， 因为，、平面，故平面. 方法技巧 （1）平移一条或两条直线：将异面直线转化为相交直线，平移时保持方向不变。​ （2）找夹角：相交后形成的锐角或直角即为异面直线所成角。​ （3）在几何体中平移：利用中位线、平行四边形等实现平移，如连接中点得到平行线。​ （4）计算角度：在形成的三角形中，通过边长用余弦定理求出角度。 【变式训练9-1】如图1，四边形ABCD为菱形，是边长为2的等边三角形，点为AB的中点，将沿AB边折起，使，连接PD，如图2， (1)证明：； (2)求异面直线BD与PC所成角的余弦值； (3)在线段PD上是否存在点，使得平面MCN？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【详解】（1）连接，因为是边长为2的等边三角形，点M为AB的中点，所以. 因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以 （2）在上取点Q，使得，设，连接，， 因为 ，所以， 在中，，所以 ， 所以或其补角为异面直线BD与PC所成的角，因为，所以， 又， ， 在中，由余弦定理得, 所以异面直线BD与PC所成角的余弦值为. （3）假设线段上存在点，使得平面， 因为平面，平面，平面平面， 所以 ，又，所以. 所以线段PD上存在点N，使得平面，且， ． 【变式训练9-2】如图所示，在三棱锥中，，，点O，M分别为线段，的中点． (1)若平面平面，证明：； (2)证明：平面； (3)求与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解. (2)证明见详解. (3) 【详解】（1）由题：点O，M分别为线段AC，AB的中点，所以 ； 又因为平面，平面，所以平面； 而平面，平面平面，故,所以. （2）因为，所以为边长为4的等边三角形， O为线段AC的中点，所以； 又因为，，故； 在中，，所以； 而，平面ABC，所以平面. （3） 取中点，连接，于是是中位线，则， 于是与所成角即为，由题知，， 又，由三线合一，，做完， 同理，在中，由余弦定理 故直线与所成角的余弦值为. 题型10 几何法求线面角 例10-1如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面ABCD是等腰梯形，是PD的中点. (1)求证：平面PAB； (2)若， （i）求证：平面平面ABCD； （ii）求直线CE与底面ABCD所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析；（ii）. 【详解】（1）在四棱锥中，取PA中点，连接EF、BF， 由是PD的中点，得，而， 则，四边形EFBC是平行四边形，，平面平面PAB， 所以平面PAB. （2）（i）在等腰梯形ABCD中，，过点作交AD于点， 由，得， 在中，由余弦定理得， 则，，又，平面PBD， 因此平面，而平面ABCD， 所以平面平面ABCD. （ii）过点作于点，连接CH，由平面平面ABCD， 平面平面平面PBD，则平面ABCD， 是斜线CE在平面ABCD上的射影，是CE与底面ABCD所成的角， 在Rt中，，得，， 在中，是PD的中点，得，， ，在Rt中，， ，所以即直线AE与底面ABCD成角的余弦值为. 方法技巧 （1）找斜线在平面内的射影：过斜线上一点作平面的垂线，垂足与斜线和平面交点的连线即为射影。​ （2）确定线面角：斜线与射影的夹角即为线面角，是锐角或直角。​ （3）构造直角三角形：斜线、垂线、射影构成直角三角形，线面角为斜线与射影的夹角。​ （4）计算角度：在直角三角形中，通过边长关系用三角函数求出角度。 【变式训练10-1】如图，在四棱锥中平面， ， ， (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求证：平面 (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3) 【详解】（1）因为，所以异面直线与所成角为， 因为平面，平面，所以， 因为，，所以， 所以； （2）因为平面，，所以平面， 平面，所以， 因为，，平面， 所以平面； （3）过点作，且使得，连接， 因为，所以，所以四边形为平行四边形， 故， 由（2）知，平面，所以平面， 因为平面，所以， 故直线与平面所成角为， 在上取点，使得，连接， 因为，所以四边形为平行四边形， 同理可得四边形为平行四边形， 故，， 因为，所以， 因为平面，平面，所以， 由勾股定理得， 故. 【变式训练10-2】如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且.    (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为四边形为正方形，所以， 又因为平面平面平面，平面平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面. （2）连接，设. 因为. 所以， 又因为，所以. 由余弦定理得， 所以，即， 由（1）知平面平面，则， 而平面， 所以平面， 所以就是直线BE与平面所成的角， 在中，， 所以直线与平面所成角的正切值为.    【变式训练10-3】如图，在三棱锥中，平面平面，，，M，N，E分别为BC，AC，PC的中点. (1)证明：平面平面； (2)若，，三棱锥的外接球为球O. （ⅰ）证明：A，B，C，O四点共面； （ⅱ）求直线PO与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【详解】（1）因为M，N，E分别为BC，AC，PC的中点， 所以，因为在平面外，平面， 所以平面，平面，又，所以平面平面； （2）（ⅰ）证明：取中点，连接，因为，，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，且， 设外接圆圆心为，半径为，则， 所以，所以， 所以Q点即为球心O，所以A，B，C，O四点共面； （ⅱ）由（ⅰ）可得， 在中，， 在中， 在中，，故， 设到平面的距离为，则， 又， 所以， 设直线与平面所成的角为，故. 题型11 几何法求二面角 例11-1在四棱锥中，平面，，，，，分别为棱的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为平面，面，则， 又，，则， 又，面， 所以平面. （2）设，连接， 因为，，，是的中点， 所以，且，， 则为正方形，所以为中点， 又是的中点，所以， 又面，面， 所以平面. （3）由（2）知，又是中点，则， 又，所以，则， 又面，面，则， 又，面， 所以面，又面， 所以，则为二面角的平面角， 在中，，，， 所以，故二面角的正弦值为. 方法技巧 （1）明确二面角的棱以及构成二面角的两个半平面。 （2）在其中一个半平面内选取一个不在棱上的点作为基准点。 （3）过基准点作另一个半平面的垂线，确定垂足（该垂足在另一个半平面内）。 （4）过上述垂足，在其所在的半平面内作二面角棱的垂线，确定这条垂线与棱的垂足。 （5）连接基准点和棱上的垂足，得到一条线段。 （6）基准点与棱上垂足的连线、垂足与棱上垂足的连线所形成的角，即为该二面角的平面角 （7）解直角三角形即可求得该角 【变式训练11-1】如图，已知四棱锥中，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，，O为AD中点，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为．    (1)证明平面PBO； (2)求点P到平面ABCD的距离； (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）连接PO，BO，BD，如图， 因是边长为2的正三角形，则， 在菱形ABCD中，，则为正三角形， 所以，又，平面， 则平面. （2）由（1）知，，， 则是二面角的平面角，， 由平面，平面， 则平面平面，过P作的延长线于H， 因为平面平面，平面， 因此平面， 而在正中，，则， 又，则， 所以点P到平面的距离是. （3）由（1）知，是正三角形，则， 取PB中点E，连OE，由（2）知，， 则，，， 取PC中点F，连EF，AE，DF，则有，且， 又平面，平面，则， 即有，又，则， 从而得为二面角的平面角， 在梯形中，， 中，， ， 所以二面角的余弦值是.      【变式训练11-2】如图1，在中，，，分别是的中点，现将沿逆时针翻折形成四棱锥（如图2），且，直线与平面所成的角为. (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为分别是的中点，所以， 因为，所以，则，，即， 又因为，平面，所以平面， 故平面，又平面， 所以平面平面. （2）连接，过点作，垂足为，连接，如图所示， 因为平面，直线与平面所成的角为 所以，即， 因为，，所以，是等腰直角三角形， 可得，所以，即为等边三角形， 则点为中点，， 在中，，在中，，则， 由点为中点得，， 又平面，平面，平面平面， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以二面角的正切值为. 【变式训练11-3】如图，已知平面平面，，，，． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求二面角的平面角的余弦值． 【答案】(1)． (2) 【详解】（1） 如图，过点作交于点，连结． 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，因平面，则， 又因平面，故平面， 又平面，则平面平面． 过点作交于点，则平面，连结， 则即为直线与平面所成的角． 设，则． 因为，由余弦定理，， 故，从而． 又因为，所以， 所以，则． 又平面，因平面，则 所以，故， 所以． （2） 如图，过点作交于点，连结． 由（1）可知，平面，平面， 故，又平面，所以平面， 因平面，故，又平面， 所以平面，因平面，故， 则即为二面角的平面角． 因，则， 故，所以． 题型12 范围与最值的综合问题 例12-1如图，在多面体ABCDEF中，四边形CDEF为正方形，，AD=AE=BC=BF=3，EF=2AB=4． (1)设平面ADE∩平面BCF=l，证明：； (2)直线DE上是否存在点G，使得DE⊥平面 ABG？若存在，确定点G的位置并说明理由；若不存在，请说明理由； (3)若，λ∈[0,1]，求平面BFG与平面DEA夹角的余弦的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，为中点，理由见解析 (3) 【详解】（1）因为四边形为矩形， 所以，因为平面，平面。 所以平面，因为平面平面，平面， 所以； （2）存在为中点，使得平面， 理由如下：取的中点， 因为，所以， 因为且， 所以，因为且平面， 所以平面； （3）设点为中点，取、和中点为， 由（2）知共面且平面， 取与连线交于点，连接， 则，可得为等腰梯形， 所以，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为，所以， 设到平面的距离为， 因为四边形和四边形为两个全等的等腰梯形， 所以，设， 因为， 所以，解得， 所以，可得， 令，所以， 设平面的法向量为， 则， 取，可得， 所以，设平面的法向量为， 则， 取，可得， 所以，所以， 令，则， 则， 令，则， 所以在单调递增， 当时，当时， 所以，所以， 故平面BFG与平面DEA夹角的余弦的取值范围为. 例12-2如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，底面ABCD，E，F分别为线段PA，DC的中点． (1)证明：平面PBC； (2)证明：平面PBD； (3)若，记PC与平面PAB所成的角为，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）证法一：如图1，取PB的中点为Q，连接EQ，CQ． 又E，F分别为线段PA，DC的中点，四边形ABCD为菱形， 所以且，且， 所以且，所以四边形EFCQ为平行四边形，所以． 又平面，平面PBC，所以平面PBC． 证法二：如图2，取PD的中点为G，连接EG，FG． 由中位线性质，可得，且，所以． 又平面，平面PBC，所以平面PBC． 同理可证平面PBC． 又，平面，平面EFG， 所以平面平面PBC． 又平面EFG，所以平面PBC． （2）证明：如图3，连接AC，BD． 因为四边形ABCD为菱形，所以． 因为平面，平面ABCD，所以． 又平面，平面PBD，，所以平面PBD． （3）设． 因为四边形ABCD为菱形，而，故． 因为平面，平面，平面，平面ABCD， 故． 又因为，故． 而，故． 设d为点C到平面PAB的距离， 所以． 又． 由等体积法，有，故， 解得． 而PC与平面PAB所成的角为，所以 ， 当且仅当，即时等号成立，所以． 方法技巧 （1）分析变量因素：确定几何体中变化的量，如动点位置、线段长度等。​ （2）转化为函数关系：将角度或距离表示为变量的函数，如二次函数、三角函数等。​ （3）确定变量范围：根据几何体约束，明确变量的取值区间。​ （4）求函数最值：利用函数单调性、导数、基本不等式等求最值。​ （5）结合几何意义：从图形角度分析最值出现的位置，验证计算结果。​ 【变式训练12-1】中，，，，D是的中点，E是的中点，F是的中点．如图，将和分别沿、向平面的同侧翻折至和的位置，且使得． (1)证明：； (2)若，求三棱锥的体积； (3)求平面与平面的夹角的余弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）D是的中点，翻折前，翻折后. 是的中点，翻折前，翻折后 翻折后，又 ， 且方向相同， . 又E是的中点，F是的中点， 翻折前、后，， 且方向相同， ， 翻折后，在中， ； （2） 过点在平面内作，垂足为，取的中点，连接， 在中， ，，D是的中点， 可知翻折前，；翻折后，， 又，平面， 又平面，， 又，平面， 就是三棱锥的高. 在中，，，， 由余弦定理可知. ， . 在中，，， ，，D是的中点，E是的中点， ， ， . （3）在平面中，过点作，交于点， 平面，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为轴的正方向 建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、， 设，则， ，，， 设平面的一个法向量， 则， 令，则，， ， 设平面的一个法问量， 则， 令，则，， ， 设平面与平面的夹角为， 则 ， ， ，则， 当且仅当，即时，即时，等号成立. 平面与平面的夹角的余弦值的最大值为. 【变式训练12-2】如图①所示，长方形中，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥． (1)若为等边三角形，求四棱锥的体积； (2)在图②中画出平面与平面的交线，并陈述作图方法的理由； (3)设二面角的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 【答案】(1) (2)作图及理由见解析 (3) 【详解】（1）取的中点G，连接， 因为，所以，，. 因为三角形为等边三角形，所以， 所以，故， 因为平面，，所以平面， 因为底面四边形为梯形，所以四边形的面积为， 所以四棱锥的体积为. （2）延长和交于点Q，连接， 则平面与平面的交线为直线.理由如下： 因为，所以直线AM和BC必相交，设交点为Q， 因为平面，平面，所以平面，平面， 因为平面，平面，所以平面与平面的交线为直线. （3）由（1）得，，所以为二面角的平面角， 即， 因为平面，，所以平面， 因为平面，所以平面平面，且平面平面. 在平面中，过点D作，则平面， 如图，以D为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 过P作于点H， 因为平面平面，平面平面，所以平面. 设， 因为，所以， 所以， 所以， 所以， 设平面PAM的法向量为，则， 令，则，     设平面的法向量为， 因为 则， 令，则， 设平面PAM和平面PBC的夹角为， 则 令，则，所以， 因为二次函数图象开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数有最大值，最大值为， 此时有最小值，最小值为， 所以平面和平面夹角余弦值的最小值为. 【变式训练12-3】如图，在三棱锥中，，，，. (1)若为的重心，点在棱上，且，求证：平面； (2)若三棱锥外接球的表面积为. （i）求二面角的余弦值； （ii）若点是棱上的动点（异于端点），求直线与平面所成角的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）；（ii）. 【详解】（1）证明：取中点，连接， 因为为的重心，所以在且， 因为点在棱上，且， 所以，又在平面外，平面， 所以平面； （2）（i）因为三棱锥外接球的表面积为，所以三棱锥外接球的半径为， 在中，所以球心即为中点， 所以. 因为，所以与全等，， 过作交于点，连接，则， 所以为二面角的平面角， 因为，， 所以二面角的余弦值； （ii）由题可得，又由（i）可得， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 过作平面交平面于点，则，连接， 则即为直线与平面所成角， 设， 在中， 所以， 所以，则， 在中， 所以， 因为， 所以， 所以，即直线与平面所成角的取值范围为. 【变式训练12-4】如图，在三棱锥中，，且． (1)判断直线与是否垂直，并说明理由； (2)若二面角的正切值为，求的长度； (3)若，点E在的角平分线上（异于点D），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)与不垂直，理由见解析 (2)． (3) 【详解】（1）直线与不垂直，理由如下： 事实上，假设，又，，平面， 所以平面．又平面，所以． 在和中，，， 所以，所以． 于是，与矛盾． 所以，假设不成立，即与不垂直； （2）设点A在平面内的射影为O，在平面内，过点O作，垂足为P， 连接，因为底面，平面，所以 ， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角．即， 所以， 点O作，垂足为Q，连接，同理可得． 在中，，， 故∽，所以，即， 解得，． 连接并延长交于点F， 因为为边长为2的等边三角形，， 故，则F为的中点，且． 设，在中，，，， 因为，所以，由勾股定理得， 在中，． 因为，所以，解得． 其中， 此时，所以． （3）由已知，点A在底面的射影O在的角平分线上． 在平面内，过点O作，垂足为P． 连接，在平面内，过点O作， 由（2）知，平面，又平面，所以． 又，所以平面． 易得，，，， ． 设，则点E到平面的距离，， 又， 设与平面所成角的大小为θ，则， 因为，， 当时，取得“”． 所以，与平面所成角的正弦值的取值范围为． 【变式训练12-5】如图，四棱锥中，平面平面，是边长为6的等边三角形，，，点在棱上，且． (1)求证：∥平面； (2)已知． ①若二面角的正切值为2，求三棱锥的体积； ②若，设直线与平面所成的角为，若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)① ；② 【详解】（1）连接交于点，连接， ，，由相似三角形的性质，可得， 又，所以， 平面，平面， 平面． （2）①取的中点，取的中点，连接，，， 则，， ，， ∵是边长为6的等边三角形，则，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，． 又，平面，平面， ∵平面，，所以为二面角的平面角． 在中，． 在中，， ， ． ②过作交于，连接，由于平面， 所以平面， 则为与平面所成角，即，． 点在棱上，且． 由，，， 由余弦定理得 ， ，，，， 故的取值范围为． 1．（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． (1)若分别为的中点，求证：平面PAB； (2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN， 与为等腰直角三角形且， 不妨设，.. E、F分别为BC、PD的中点， ，且. ，， ，∴四边形FGMN为平行四边形， ， 平面PAB，平面PAB，平面PAB； （2）平面ABCD，以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面PCD的一个法向量为， ，， 取，，. 设AB与平面PCD所成角为， 则， 即AB与平面PCD所成角的正弦值为. 2．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. （2） 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为 3．（2023·北京·高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，过做平面，垂足为，过分别做，，垂足分别为，，连接，    由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为和， 所以. 因为平面，平面，所以， 因为，平面，， 所以平面，因为平面，所以，. 同理：，又，故四边形是矩形， 所以由得，所以，所以， 所以在直角三角形中， 在直角三角形中，，， 又因为， 所有棱长之和为. 故选：C 4．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．    (1)求证：平面PAB； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为平面平面， 所以，同理， 所以为直角三角形， 又因为，， 所以，则为直角三角形，故， 又因为，， 所以平面. （2）由（1）平面，又平面，则， 以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，    则， 所以， 设平面的法向量为，则，即 令，则，所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以， 所以， 又因为二面角为锐二面角， 所以二面角的大小为. 5．（2022·北京·高考真题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点． (1)求证：平面； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）取的中点为，连接， 由三棱柱可得四边形为平行四边形， 而，则， 而平面，平面，故平面， 而，则，同理可得平面， 而平面， 故平面平面，而平面，故平面， （2）因为侧面为正方形，故， 而平面，平面平面， 平面平面，故平面， 因为，故平面， 因为平面，故， 若选①，则，而，， 故平面，而平面，故， 所以，而，，故平面， 故可建立如所示的空间直角坐标系，则， 故， 设平面的法向量为， 则，从而，取，则， 设直线与平面所成的角为，则 . 若选②，因为，故平面，而平面， 故，而，故， 而，，故， 所以，故， 而，，故平面， 故可建立如所示的空间直角坐标系，则， 故， 设平面的法向量为， 则，从而，取，则， 设直线与平面所成的角为，则 . 6．（2021·北京·高考真题）如图：在正方体中，为中点，与平面交于点． （1）求证：为的中点； （2）点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【详解】(1)如图所示，取的中点，连结， 由于为正方体，为中点，故， 从而四点共面，即平面CDE即平面， 据此可得：直线交平面于点， 当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点与点重合， 即点为中点. (2)以点为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为2，设， 则：， 从而：， 设平面的法向量为：，则： ， 令可得：， 设平面的法向量为：，则： ， 令可得：， 从而：， 则：， 整理可得：，故（舍去）. 【点睛】本题考查了立体几何中的线面关系和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 1．如图，在平行六面体中，，，，、、分别是、、的中点，点在上，且．用空间的一个基底表示下列向量： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， 则； （2）解：，， 所以，； （3）解：. （4）解：. 2．如图，在直三棱柱中，，，，M是AB的中点，N是的中点，P是与的交点．在线段上是否存在点Q，使得平面？ 【答案】存在，在靠近的三等分点处 【详解】如图，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则, 设面的法向量,则,即. 令得 因为平面，所以,即. 所以得， ,所以. 因为，，所以存在在三等分点处靠近，使得平面. 3．如图，已知正方体的棱长为1，Q为的中点，点P在棱上，．求平面ABCD与平面BQP的夹角． 【答案】 【详解】 如图建立空间直角坐标系，， ， 设平面的法向量为， 则，不妨令，则， 所以 平面的法向量为， 所以. 所以面ABCD与平面BQP的夹角为 4．如图，已知正方体的棱长为1，E为CD的中点，求点到平面的距离. 【答案】. 【详解】方法一：如图，以为单位正交基底建立空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，即， 点到平面的距离为； 方法二：如图，连接， 则， 又在中，， ， 设点到平面的距离为h，则， 解得， 点到平面的距离为. 5．如图，在长方体中，点E，F，G分别在棱，，上，；点P，Q，R分别在棱，CD，CB上，．求证：平面平面PQR． 【答案】证明见解析 【详解】构建以为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，如下图示， 设 ，又，， ∴，，，，，， ∴，，，， 设是面的一个法向量，则，令，， 设是面的一个法向量，则，令，， ∴面、面的法向量共线，故平面平面PQR，得证. 6．如图，在长方体中，，，E是CD的中点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则，，， 所以，， 所以，，所以，， 因为，平面． 所以平面． 7．如图，在三V-ABC中，，作出二面角V-AB-C的平面角，并求出它的余弦值. 【答案】作图见解析；. 【详解】解：如答图所示，取AB的中点M，连接VM，CM. 为二面角V-AB-C的平面角 根据已知条件可得. 在中，由余弦定理 ∴二面角V-AB-C的余弦值等于. 【点睛】此题考查根据定义作出二面角并求二面角的大小，作出二面角的平面角，在三角形中解题，解题中需要遵循“一作二证三计算”原则. 8．如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点，E和点A，F，使，且.已知，，，求线段的长. 【答案】. 【详解】依题意，，平方得 ， 因为，，或， 所以， 故. 9．如图，在四面体中，分别是的中点．    (1)求证：四点共面； (2)求证：平面； (3)设是和的交点，求证：对空间任意一点，有． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）连接，， 由共面向量定理的推论知四点共面． （2）分别为的中点，， ，， 又平面EFGH，平面EFGH，平面EFGH． （3）， ，四边形为平行四边形． 又 是和的交点， ，被点平分． ． 10．如图，把正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，E，F分别为AD，BC的中点，O是原正方形ABCD的中心，求折纸后的大小. 【答案】 【详解】折起后的图形如下所示，连接，，则，； 又平面平面，平面平面； 平面； ，，三直线两两垂直，分别以这三直线为，，轴，建立空间直角坐标系 设正方形的对角线长为2，则可确定以下点坐标： ，0，，，，，，0，，，，0，，，1，， ； ； ； ； ． 11．如图，在四棱锥中，底面ABCD满足，，底面ABCD，且，. （1）求四棱锥的体积； （2）求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值. 【答案】（1）；（2）． 【详解】（1） 平面,,，且， 所以四棱锥的体积； （2）分别以所在直线为轴,轴、轴,建立如图空间直角坐标系, 如图: 由， 可得:,,,,, 由（1）知平面, 为平面的一个法向量,且； 设为平面的一个法向量, 则,, ,, ,, , 令,则,, , 设平面与平面所成的二面角为, ， 平面与平面所成二面角的余弦值为． 12．如图，在长方体中，点E、F分别在，上，且，． (1)求证：平面； (2)当，，时，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为平面，平面，所以． 又，，所以平面 因为平面，所以 同理：因为平面，平面，所以． 又，，所以平面 因为平面，所以 又因为，，所以平面 （2）以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图． 则，，，，，． 所以，且是平面的一个法向量． ， 设平面的法向量为 则，即 所以，令，得． 则平面的一个法向量为． 所以． ， 所以． 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 13．如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为的正方形，侧棱的长为，且.    求： (1)的长； (2)直线与AC所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 所以 ； （2）， 所以 ， ，， ， ， 由于异面直线所成角的范围为大于小于等于， 所以直线与AC所成角的余弦值为. 14．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子、分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记. (1)证明：平面； (2)当为何值时，的长最小并求出最小值； (3)当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)时，最小为 (3) 【详解】（1）证明：因为四边形为正方形，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面， 又因为四边形为正方形，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 因为，所以，. 则，易知平面的一个法向量为. 因为，所以. 又平面，所以平面. （2）解：，其中. ， 当时，最小，最小值为. （3）解：由（2）可知，当、分别为、的为中点时，最短， 此时、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 所以，， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 15．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求侧面与底面所成二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3). 【详解】（1）在正方形中，，                                 又侧面底面，侧面底面， 底面， 所以平面； （2）证法一：因为平面，平面， 所以，    因为是正三角形，是的中点，所以， 又，，平面， 所以平面；            证法二：因为平面，又平面， 故平面平面， 因为是正三角形，是的中点，所以，    又平面平面 ，平面， 故平面； （3）取，的中点分别为，，连接，，，    则， ， 因为，所以， 又在正中，， 因为，，平面， 所以平面， 正方形中， ，平面， 又，平面，                            所以，，                                               所以是侧面与底面所成二面角的平面角，                 因为平面， ， 所以平面， 因为平面，所以，                                    . 设正方形的边长，则，， 所以，所以，                即侧面与底面所成二面角的余弦值为. 16．如图，在三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC.    (1)求证：平面PAC⊥平面PBC； (2)若AC=BC=PA，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值； (3)在（2）的条件下，求平面PAB与平面PBC夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：因为，所以， 又平面平面，得， 而平面， 得平面， 因为平面，所以平面平面． （2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，    不妨设，则， 得，， 设平面的一个法向量为：， 则，取，得， 设与平面所成角为， 则， 得，得， 则与平面所成角的正切值为： （3）解： 设平面的一个法向量为：， 则，取，得， 设平面与平面所成角为， 则， 得， 故平面与平面夹角的正弦值为： 17．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，上的动点，且． (1)求证：； (2)当为的中点时，求与所成角的余弦值； (3)当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，因为正方体的棱长为2，可得 ，，，，，， ，， ， ∴，故得证． （2）当为的中点时，，， ，， ， ， 设与所成角为，则． （3）， 当三棱锥的体积取得最大值时，即取得最大值， ， 当时，取得最大值， 故，，，， 设平面的法向量为，则，即， 令得，故， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， ， 故，， 故平面与平面的夹角正切值为． 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$