第二十一章 一元二次方程 整合与提升-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（人教版 陕西专版）

第二十一章 高频考点突破。 考点1一元二次方程的有关概念 1.若a.x2一5x十3=0是关于x的一元二次方 程，则不等式3a十6>0的解集是() A.a>-2 B.a<-2 C.a>-2且a≠0 Da>号 2.(2024·西安雁塔区校级期中)已知关于x 的方程x2+mx+6=0,若该方程的一个根 为一2，则m的值为 3.数学思想整体思想)(2024·宝鸡扶风县期中) 若m是方程2x2+3x一5=0的一个根，则 4m2+6m的值为 考点2一元二次方程的解法 4.用配方法解方程x2一6x一3=0时，原方程 应变形为 A.(x+3)2=3 B.(x+3)2=12 C.(x-3)2=3 D.(x-3)2=12 5.一元二次方程x2十x=0的根是 6.用适当的方法解下列方程： (1)2(x-4)2=8: (2)x2-2x-49=0. 整合与提升 7.新考向过程性学习阅读材料，并解答问题： 小淇在学习一元二次方程时，解方程2一x= 3的过程如下： 解：a=2,b=一1，c=3…第一步 △=b-4ac=(-1)2-4×2X3…第二步 =一1一24=-25<0…第三步 方程无实数根， 问题： (1)上述过程中，从第 步开始出现了 错误； (2)请写出正确的解答过程， 考点3一元二次方程根的判别式及根 与系数的关系 8.下列一元二次方程中，有两个不相等实数根 的是 A.x2-2x+3=0 B.4.x2+3.x+1=0 C.6x2-7x+1=0 D.25.x2+20x+4=0 9.(2024·咸阳校级期中)对于实数a,b,定义 运算“&”：a&b=a2一2b,例如：5&1=52 2×1=23,则方程x&(x十1)=一3的根的 情况为 A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断 第二十一章一元二次方程22 10.(2024·湖南)若关于x的一元二次方程 x2一4x+2k=0有两个相等的实数根，则 的值为 11.新视角结论开放题)若关于x的一元二次方 程2x2一x十k+1=0有两个不相等的实数 根，则k的值可以是 (写出一个即可)》 12.已知，3是方程x2十3x-8=0的两个实数 根，则α2十g的值为 13.(2024·西工大附中期中)已知关于x的一 元二次方程x2-(m-2)x十2m-8=0. (1)求证：无论m为何值，该方程总有两个 实数根； (2)当Rt△ABC的斜边c=2√J10,且两直 角边a和b恰好是该方程的两个根，求 m的值. 23名师测控·数学九年级上册 考点4一元二次方程的实际应用 14.(2024·云南)两年前生产1kg甲种药品的 成本为80元，随着生产技术的进步，现在 生产1kg甲种药品的成本为60元.设甲种 药品成本的年平均下降率为x,根据题意， 下列方程正确的是 A.80(1-x2)=60B.80(1-x)2=60 C.80(1-x)=60D.80(1-2x)=60 15.（教材Ps复习题T7变式)为增强学生身体 素质，某校开展篮球比赛，赛制为单循环形 式（每两队之间赛一场）.现计划安排36场 比赛，应安排多少个球队参赛？设安排x 个球队参赛，根据题意，可列方程为 .（不需化简) 16.(2024·西工大附中开学 考试)如图，在长为28m, 宽为10m的矩形空地上 +x- 修建如图所示的道路（图中的阴影部分）， 余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为 243m,设道路的宽为xm,则x= 17.本土文化臊子面)陕西是面食之乡，其中以 “臊子面”最为有名，它柔软光滑、易于消 化，与北京炸酱面、河南烩面、武汉热干面、 四川担担面被誉为我国五大面食.西安“面 霸”餐馆一份臊子面的成本价为7元，若每 份卖12元，平均每天销售160份，若价格 每提高1元，平均每天少销售10份，每份 臊子面的价格是多少元时，“面霸”餐馆能 实现每天1080元的利润？ 18.新考向项目式学习)根据以下素材，探索完成 任务 泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传 寿 统的一种古老常见的民间艺术.某泥塑作 坊制作泥塑进行销售，7月份制作泥塑 1000件，同年9月份制作泥塑1440件 泥塑的制作成本为30元/件，销售一段时 间后发现，该泥塑每月的销售量m(件)与 2 每件售价n(元)之间符合一次函数关系 m=-10m+800. 问题解决 求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数 量的月平均增长率； 为使月销售利润达到6000元，而且尽可 任 能让顾客得到实惠，则该泥塑每件的售价 2 应定为多少元？ @易错易混专攻。 易错点1忽视一元二次方程的二次项系 数不为0而致错 1.若关于x的一元二次方程(m一3)x2十x= 9x十5化为一般形式后不含一次项，则m的 值为 () A.0 B.±3 C.3 D.-3 易错点2运用根与系数的关系时忽略 △≥0而致错 2.(2024·西安雁塔区校级期中)若关于x的 一元二次方程kx2一4x一1=0有两个不相 等的实数根，则的取值范围是( ) A.k>-4 B.k≥-4 C.≥一4且k≠0 D.k>一4且k≠0 3.已知关于x的一元二次方程x2-2(1一m)x十 m2=0的两实数根为x1,x2.若x1x2=1,则 m的值为 4.已知关于x的一元二次方程x2一2x十m-1=0 有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围； (2)设饣是方程的一个实数根，且满足(p2一 2p十2)(m+4)=0,求m的值. 第二十一章一元二次方程24思维拓展 1.解：1)2zcm(9-0cm（2)Sam=号BP.BQ=子×(9-)X21=8,解得1= 8,2=1.:当点Q运动到点C时，两点停止运动，BC=12,点Q从点B开始沿边BC向 点C以2cm/s的速度移动，4=号-6(s),即0<≤6，则1=1.经过1s,△PBQ的 面积等于8cm. 第二十一章整合与提升 高频考点突破 1.C2.53.104.D5.x1=0,x2=-16.解：(1)(x-4)2=4,x-4=±2，即x- 4=2,或x-4=-2.x1=6,x2=2:(2)移项，得x2-2x=49.配方，得x2-2x十12=49 十12，(x-1)2=50.由此可得x-1=士5V2,x1=1十5√2，x2=1-5√2.7.解：(1)一 (2)方程化为2x2-x-3=0.a=2,b=-1,c=-3,△=b2-4ac=(-1)2-4×2×(-3) =25>0,方程有两个不等实数根x=士证=二（结压=，即 2a 2×2 =号=-1.8.C9A10.2山.-1（答案不唯一）卫.2513.解：）：关 于x的一元二次方程x2-(m-2)x+2-8=0,·△=[-(m-2)]2-4(2m-8)=m -4m十4-8m十32=m2-12m十36=(m-6)2.:无论m为何值，总有(m-6)2≥0， ∴△≥0，∴无论m为何值，该方程总有两个实数根；(2)，a和b恰好是方程x2-(m-2)x 十2m一8=0的两个根，∴.a十b=m一2，ab=2m一8..△ABC是直角三角形，斜边c= 2√/10，∴.a2十b2=c2,.(a十b)2-2ab=c2,∴.(m-2)2-2(2m-8)=40,整理，得m 8m一20=0，解得m1=10,2=一2..a,b是直角三角形的两直角边，∴.a>0,b>0.又 ·m=-2时，a十b=-2-2=-4<0,不符合题意，.m=10.14.B15.2x(x-1) =3616.117.解：设每份臊子面的价格提高了x元.根据题意，得(12+x-7)(160 -10x)=1080.整理，得，x2-11x十28=0.解得x1=4,x2=7.则12十x=16或19.答： 每份臊子面的价格为16元或19元时，“面霸”餐馆能实现每天1080元的利润.18.解： 任务1：设该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率为x,根据题意，得 1000(1十x)2=1440,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意，舍去).答：该泥塑 作坊？月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率为20%.任务2：该泥塑每件的售价 为n元，则每件的销售利润为(n-30)元.根据题意，得(n-30)(800-10n)=6000.整 理，得n2-110n十3000=0.解得n=50,2=60.又要尽可能让顾客得到实惠，∴.n =50.答：该泥塑每件的售价应定为50元. 易错易混专攻 1.D2.D3.-14.解：(1)根据题意，得△=(-2)2-4(m-1)>0,解得m<2; (2):p是方程的一个实数根，.p2-2p十m-1=0,即p2-2p=1-m,代入(p2-2p十 2)(m十4)=0中，得(1-m十2)(m十4)=0，(3-m)(m十4)=0，解得m1=3,2=-4. <2,.m=一4. 第二十二章二次函数 22.1二次函数的图象和性质 22.1.1二次函数 新知梳理 y=ax2十bx十cx二次项系数一次项系数常数项 例题引路 【例1】①④⑤【例2】B 基础过关 1.A2.m≠-1【变式】-13.是-0.54-3是-20-6是-1 10不是01-14.D5.y=a(1+x)26.-2 能力提升 7.C8.(1)0(2)m≠0且m≠19.解：由题意，得AD=21十3-3x=24-3x,224 -3x<10,解得号<x<号.于是S=x(24-3x)=-3x+24,S=-32十 3 24z(告<x<号)10.解：1020250500(2)(x-40）(x-50)5(x-50) 第7页（共60页） (550-5.x)(3)y=(x-40)(550-5x)=-5x2+750x-22000;(4)由题意，得-5x 十750x-22000=6000.整理，得x2-150x十5600=0.解得x1=70,x2=80.答：当售 价定为70元或80元时，每天的销售利润是6000元. 思维拓展 11.解：(1)y=4x2-24x十1440<x<6(2)不能.理由如下：当y=172时，即4x2 24x十144=172.解得x1=7,x2=-1.又：0<x<6,x1=7,x2=-1均不符合题意. .四边形APQC的面积不能等于172mm. 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 新知梳理 ①y轴原点上低下高小②<0>0<0>0③相同相反x 原点 例题引路 【例】解：(1)根据二次函数的定义，得 k2一2=2解得k=士2.“当k=士2时，原函数 k+1≠0， 是二次函数：(2)：抛物线有最低点，∴抛物线的开口向上，k十1>0，∴k>一1，由 (1)得k=士2，.k=2.∴.该抛物线的解析式为y=3x2,∴.抛物线的最低点为(0,0)，当 x>0时，y随x的增大而增大。 基础过关 1A2.B3.1)082028-8-20-2-827072 -2-0-3 -2② y2,(20y=2y=y y=-2x =-2y=-号x②y轴00》4.A【变式】>15.D【变式1C 能力提升 6A7.解：1)将点(-2.8)代入y=ar,得4a=8解得a=2.=2x:2y= 8.解：(1)将P(1,m)代入y=2x-1,得m=2×1一1=1，.点P的坐标为(1,1).将 P(1,1)代入y=ax,得1=a×12,解得a=1..a=1,m=1;(2)二次函数的解析式为y =x,当x>0时，y随x的增大而增大；(3)抛物线的顶点坐标为(0,0)，对称轴为y轴. 思维拓展 9.解：如图 14 以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立平面 直角坐标系.设这条抛物线的解析式为y=ax2.由于抛物线y=ax2经过点(3,3)，∴.3 =aX3,解得a=子.这条抛物线的解析式为y=号，当水面上升1m时，水面的 1 纵坐标为4.令3x=4,解得x=土25.此时水面宽度为25-（一2)=45(m). .当水面上升1m时，水面宽度为4√5m. 22.1.3二次函数y=a(x一h)2+k的图象和性质 第1课时二次函数y=a,x2十k的图象和性质 新知梳理 ①y轴(0，k)上低小k下高大k②k 第8页（共60页） 例题引路 【例1】解：图略.>0=01(0,1)(-1,0)，(1,0)【例2】-22 基础过关 1.A2.(1)(2,0)或(-2,0)(2)(0，-4)(3)增大减小(4)小0小-4 3.C4.解：(1)图象如图： (2)①上y轴(0,0)②上y 岛5 轴(0，-2)(3)下25.2-4 能力提升 6.C7.yM<y2< 8.-4<y≤49.解：(1)a=-7,k=2:(2)由(1)知y=- 十2.列表： -3-2-1012 3 -2.501.521.50-2.5… 描点、连线如图， 10.解：(1)：函数y=(m十3)xm+m-3十5是关 /m+3≠0， 于x的二次函数， m2十41-3=2， 解得m=1,或m=一5；(2)，该函数的对称轴为 y轴，点A(1,y1),B(5,y2),且y1>y2,.在对称轴右边，y随x的增大而减小，.m十3 <0,解得m<一3.∴m=-5,∴二次函数的解析式为y=-2x2十5. 思维拓展 11.解：(1)令x=0,则y=4,.C(0,4),.OC=4.令y=0,则-x2十4=0，解得x1=2, =-2.∴A(2,0,B(-2,0),AB=4Se=号AB0C=号×4X4=8:(2)设 点P(m,则Saw=号AB·p=号SaAm,即宁×4|p=之×8=4e =2.当p=2时，-x2十4=2，解得x=士2.当yp=-2时，-x2+4=-2,解得x= 士6.故当Sam=号S时，点P的坐标为(E,2),(一E,2),(6,-2)或 (-√6，-2). 第2课时二次函数y=a(x一h)的图象和性质 新知梳理 ①抛物线 x=h(h,0)上减小增大下增大减小②右h左hl 例题引路 【例1】解：(1)y=- 号（x十2)'：(2)图略，对称轴是直线x=-2:顶点坐标为（-2,0)： (3)当x<-2时，y随x的增大而增大.【例2=号(x一4) 基础过关 1.D2.A3.>-1-1大04.解：(1)列表如下： 3 0 3 y=x2 y=(x十2) 25 y=(x-2)2… 2516 0 … 描点、连线如图， (x+2】 (x-2 (2)①上x=0(0,0) ②上x= 第9页（共60页）