精品解析：青海省西宁市大通回族土族自治县第二完全中学2025-2026学年高二上学期第一次教学质量检测数学试卷

大通县第二中学2025～2026学年第一学期第一次教学质量检测 高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间四边形中，（ ） A. B. C. D. 2. 若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在长方体中，M为棱的中点. 若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 设，分别为两平面的法向量，若两平面所成的角为60°，则t等于（ ） A. 1 B. －1 C. －1或1 D. 2 6. 已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 3 7. 已知正四棱锥的各棱长均相等，点E是的中点，点F是的中点，则异面直线和所成角的余弦值是（ ）． A. B. C. D. 8. 已知三棱锥的体积为13，是空间中一点，，则三棱锥的体积是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 10. 已知四边形是平行四边形，，，，则（ ） A. 点D的坐标是 B. C. D. 四边形的面积是 11. 在棱长为2的正方体中，点满足，其中，，则（ ） A. 平面平面 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，存在点，使得 D. 当时，存在点，使得平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为______. 13. 已知向量，若向量、、共面，则实数等于__． 14. 在四棱柱中，四边形是正方形，，，，则的长为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 16. 已知正四面体的棱长为2，点G是的重心，点M是线段的中点. （1）用，，表示，并求出； （2）求. 17. 如图，在四棱锥中，，，平面平面ABCD，，M，N分别是AD，CQ的中点． （1）证明：； （2）若，直线MN与平面QBC所成角的正弦值为，求QM的长度． 18. 如图，直四棱柱的底面为直角梯形，为的中点，点为棱上一动点. （1）证明：平面； （2）当点为棱的中点时，证明：平面平面； （3）若二面角的余弦值为，求的值. 19. 在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中． （1）求经过的直线的点方向式方程； （2）已知平面，平面，平面，若，证明：； （3）已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大通县第二中学2025～2026学年第一学期第一次教学质量检测 高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间四边形中，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的加减法运算即可得解. 【详解】. 故选：B． 2. 若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得首先求出直线上的一个向量，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线的坐标表示可得出答案． 【详解】因为A，B在直线l上，所以， 与共线的向量可以是直线l的一个方向向量，其他选项经验证与均不共线. 故选：B 3. 如图，在长方体中，M为棱的中点. 若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算即可得到结果. 【详解】由题意得，. 故选：A． 4. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由投影向量的定义直接求解即可. 【详解】已知向量，， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：C 5. 设，分别为两平面的法向量，若两平面所成的角为60°，则t等于（ ） A. 1 B. －1 C. －1或1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】借助向量夹角公式求解即可. 【详解】因为法向量，所成的角与两平面所成的角相等或互补， 所以，得t＝±1． 故选：C． 6. 已知平面的一个法向量，是平面内一点，是平面外一点，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量点到面的距离公式直接进行求解即可. 【详解】因为，，则， 点在平面内，点平面外， 平面的一个法向量， 所以点到平面的距离. 故选：C. 7. 已知正四棱锥的各棱长均相等，点E是的中点，点F是的中点，则异面直线和所成角的余弦值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设相交于点O，以所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出直线和的坐标，利用向量夹角余弦公式求解即可. 【详解】设相交于点O，根据题意，以所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 不妨设，则，， 则，，，，， 因为点E是的中点，点F是的中点， 所以，， 所以，， 则， 因为异面直线夹角的取值范围是, 所以异面直线和所成角的余弦值是． 故选:D． 8. 已知三棱锥的体积为13，是空间中一点，，则三棱锥的体积是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理，结合四点共面性质、共线向量的性质、三棱锥体积的性质进行求解即可. 【详解】由 ， 因为，所以在平面内存在一点，使得 成立，即， ， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间向量基底的定义，结合向量共面的性质，逐一列式判断即可得解. 【详解】A中，，所以，，共面，故A正确； B中，，所以，，共面，故B正确； C中，假设，，共面，则存在非零实数，满足， 整理可得，故， 不存在满足条件的实数，故假设不成立，所以，，不共面，故C错误； D中，，所以，，共面，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知四边形是平行四边形，，，，则（ ） A. 点D的坐标是 B. C. D. 四边形的面积是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可知即可求出D点坐标判断A，利用两点间距离公式判断B，由向量夹角公式判断C，由三角形面积公式可得平行四边形面积判断D. 【详解】不妨设点D坐标为，因为四边形是平行四边形，所以， 即，所以，，，所以点D坐标为，故A错误； ，故B正确； ，，所以，故C错误； 因为，所以四边形的面积，故D正确. 故选：BD 11. 在棱长为2的正方体中，点满足，其中，，则（ ） A. 平面平面 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，存在点，使得 D. 当时，存在点，使得平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先以点为原点建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量的关系，即可判断A；利用向量法求点到平面的距离，即可判断B；利用向量数量积，即可判断C；要证明线面垂直，转化为证明线线垂直，即可判断D. 【详解】以点为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，. 设平面的一个法向量为，，， 则，令，解得，， 所以平面的一个法向量， 又，， 因为， 故.设平面的一个法向量为， 则，令，解得，， 所以平面的一个法向量，又，所以， 所以平面平面，故A正确； 当时，点，设平面的一个法向量，，， 则， 令，解得，，所以平面的一个法向量为， 且，所以点到平面的胜离为， 又的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，故B正确； 当时，此时，所以，， 所以， 所以不存在点，使得，故C错误； 当，此时，所以，，， 因为，要使平面， 则，解得，符合题意， 故存在点，使得平面，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题考查利用坐标法，解立体几何中的位置关系，本题的关键是点坐标的设法问题，利用坐标法解决位置关系问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间点关于坐标轴对称的点的坐标特点，即可求解. 【详解】点关于轴对称点的坐标为. 故答案为： 13. 已知向量，若向量、、共面，则实数等于__． 【答案】10 【解析】 【分析】根据向量共面得到，代入数据计算得到答案. 【详解】因为向量、、共面，所以存在实数、使得． 所以，所以． 故答案为： 14. 在四棱柱中，四边形是正方形，，，，则的长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意先将分解成的线性组合，结合已知条件以及模长公式即可求解. 【详解】如图所示： 由题意知， 所以 ， 所以，即的长为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）首先分别求和的坐标，再根据向量平行的坐标表示，即可求解； （2）分别求和的坐标，再根据向量垂直的坐标表示，即可求解. 【小问1详解】 ，， 若，则， 即，，，解得. 【小问2详解】 ，， 若，则， 即，化简可得， 解得或. 16. 已知正四面体的棱长为2，点G是的重心，点M是线段的中点. （1）用，，表示，并求出； （2）求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据空间向量的线性运算得到，再求其模长即可. （2）根据展开求解即可. 【小问1详解】 因为点M是线段的中点，点G是的重心， 所以， 因为， 所以 ， ∴. 【小问2详解】 . 17. 如图，在四棱锥中，，，平面平面ABCD，，M，N分别是AD，CQ的中点． （1）证明：； （2）若，直线MN与平面QBC所成角的正弦值为，求QM的长度． 【答案】（1） ∵M是AD中点，，∴， ∵平面平面ABCD，平面平面，平面QAD， ∴平面ABCD，又平面ABCD，∴． （2）或 【解析】 【分析】（1）先证明平面ABCD，由线面垂直的性质即可得证； （2）建立恰当的空间直角坐标系，利用空间向量法，由直线MN与平面QBC所成角的正弦值为即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取BC中点F，连接MF， ∵M，F分别为AD，BC中点，， ∴，又，∴； 以F为坐标原点，，正方向为x，y轴正方向，过F作z轴，可建立如图所示空间直角坐标系 设， ∵，， ∴，，，，， ∴，，； 设平面QBC的法向量，则， 令，解得，，∴； ∴， 解得或，故QM的长为或 18. 如图，直四棱柱的底面为直角梯形，为的中点，点为棱上一动点. （1）证明：平面； （2）当点为棱的中点时，证明：平面平面； （3）若二面角的余弦值为，求的值. 【答案】（1） 取的中点，连接， 在中，为中位线，所以，且， 因为四边形为直角梯形，，所以， 又，所以， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面平面， 所以平面. （2） 易知两两垂直，以为坐标原点， 以直线，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，， 因为， 且， 所以，即， 因为平面，所以平面， 又平面，故平面平面. （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，先证出四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理直接证明即可； （2）以为坐标原点，以直线，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量的数量积，即可得到线线垂直，然后利用面面垂直的判定定理证明即可； （3）设，设平面的一个法向量，并求出法向量，又向量是平面的一个法向量，然后利用向量法表示出二面角的余弦值，即可求得，即可得出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，则由（2）知，所以， 设平面的一个法向量， 则，即， 取，解得，所以， 由（2）可知，向量是平面的一个法向量， 因为二面角的余弦值为， 所以， 整理，得，解得，或（舍去）， 所以，则，故. 19. 在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中． （1）求经过的直线的点方向式方程； （2）已知平面，平面，平面，若，证明：； （3）已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小． 【答案】（1） （2） 由平面可知，平面的法向量为， 由平面可知，平面的法向量为， 设交线的方向向量为，则， 令，则，可得， 由平面可知，平面的法向量为， 因为，即， 且，所以． （3） 【解析】 【分析】（1）先求直线的方向向量，结合题意即可得直线方程； （2）根据题意可得平面、、的法向量，进而可求交线的方向向量，利用空间向量判断线面关系； （3）根据题意可得平面、的法向量，进而可求交线的方向向量，根据线面关系可得，利用空间向量求面面夹角. 【小问1详解】 由得，直线的方向向量为， 故直线的点方向式方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因平面经过三点，可得， 设侧面所在平面的法向量， 则，令，解得，可得， 由平面可知，平面法向量为， 设平面与平面的交线的方向向量为， 则，令，则，可得， 由平面可知，平面的法向量为， 因为，解得，即， 则， 故平面与平面夹角的大小为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $