精品解析：广东省东莞市光明中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试题

光明2025-2026学年度第一学期高一年级10月月考 数学科试卷 命题人：陈展 一、单选题：本大题共8小题，共40.0分．在小题列出的选项中，选出符合题目的一项． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集的运算求解即可； 【详解】由题意可得. 故选：C. 2. 命题“，都有”的否定是（ ） A. ，都有 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即得. 【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以命题“，都有”的否定是“，使得”. 故选：B. 3. 已知，，，均为实数，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可. 【详解】选项A，取，，，，则，A错误； 选项B，当，时，，但，不成立，B错误； 选项C，当时，， C正确； 选项D，根据糖水不等式可知，再根据倒数不等式可得，D错误. 故选:C． 4. 某市评选市级三好学生，申报条件之一为：申报者须获得校级三好学生资格.则“同学甲是校级三好学生”是“同学甲是市级三好学生”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据评选规则，由充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】根据评选规则：若同学甲是市级三好学生，则同学甲必须是校级三好学生， 但是同学甲是校级三好学生不一定能评上市级三好学生， 所以“同学甲是校级三好学生”是“同学甲是市级三好学生”的必要不充分条件. 故选：B 5. 已知，，若，则实数的取值构成的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用集合与集合之间的关系构造方程计算参数即可. 【详解】由得. 当时，，满足； 当时，因为， 所以或， 解得或. 故选：C. 6. 已知，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用不等式的性质求各项代数式的范围. 【详解】A：由不等式的同向可加性得，即，对； B：同乘，不等式变号，得，又， 由不等式的同向可加性得，即，对； C：由B项结论及，利用不等式的同向同正可乘性得，即，对； D：因为，则有又， 由不等式的同向同正可乘性得，则，错. 故选：D 7. 已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由其否定为真命题，通过求解即可； 【详解】因为命题是假命题， 可得：为真命题； 可得：， 解得：， 故选：A 8. 已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】变形式子，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由x为正实数，y为非负实数，得，由，得， 于是 ，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：B 二、多选题：本大题共3小题，共18.0分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知全集，集合，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的真子集个数是7 【答案】AD 【解析】 【分析】化简集合，根据集合交集运算可判断A；根据集合并集运算可判断B；根据集合补集与并集运算可判断C，根据集合中元素个数与真子集关系计算可判断D. 【详解】集合， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，因为， 所以，故C错误； 对于D，因为中有3个元素， 所以的真子集个数是7，故D正确. 故选：AD. 10. （多选）下列命题为真命题的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件与充要条件的定义逐项判断，即可得出结果. 【详解】选项A，当时，，但是，故必要性不成立，所以A错误； 选项B，当时，一定成立，故充分性成立，当时，，故必要性不成立，所以B正确； 选项C，当时，，所以充分性不成立，所以C错误； 选项D，当时，， 即，所以，充分性成立， 当时，，必要性成立，所以D正确． 故选：BD. 11. 已知，，则（ ） A. ab的最大值为 B. 的最小值为8 C. 的最大值为 D. 的最小值为2 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，由基本不等式即可判断选项A；结合“1”的妙用及基本不等式即可判断选项B；由，结合B选项的结论即可判断选项C；先部分通分，结合“1”的妙用，再用基本不等式，且注意等号是否可以取到，进而即可判断选项D． 【详解】由，， 对于A，由，即， 所以，当且仅当，即，时等号成立，即的最大值为，故A正确； 对于B，由， 当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为9，故B错误； 对于C，由B选项可知，，所以， 当且仅当，时等号成立，即的最大值为，故C正确； 对于D，由， 则，当且仅当，即且时等号成立， 联立，整理得到，由，则，无实数解， 所以等号取不到，即，即的最小值不是2，故D错误． 故选：AC． 三、填空题：本大题共3小题，共15.0分． 12. 若，则的最小值是__________. 【答案】5 【解析】 【分析】，利用基本不等式可得最值． 【详解】∵， ∴， 当且仅当即时取等号， ∴当时，取得最小值5. 故答案为：5． 13. 若p是r的充分非必要条件，p是q的必要条件，则r是q的______条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的定义，分析即可得答案. 【详解】因为p是r的充分非必要条件， 所以，但， 因为p是q的必要条件， 所以， 所以，但，即，但， 所以r是q的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 14. 定义集合的“长度”是，其中，.已知集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是________； 【答案】## 【解析】 【分析】根据区间长度定义得到关于的不等式组，再分类讨论即可. 【详解】集合，，且M，N都是集合的子集， 由，可得，由，可得． 要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立. 当，，，“长度”为， 当，，，“长度”为， 故集合的“长度”的最小值是. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77.0分． 15. 已知全集，集合，，或. （1）求； （2）求． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用集合交集的定义与运算，即可求解； （2）根据集合补集的运算，求得，结合基本并集的运算，即可求解. 【小问1详解】 解：由集合和， 可得 【小问2详解】 解：由全集，集合，且或 可得或，所以或 16. 已知集合，． （1）若，求实数a的值； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据，代入即可求得a值. （2）由题意，分别讨论、、和四种情况，分别求得a值，分析即可得答案. 【小问1详解】 由，代入可得，解得. 【小问2详解】 由，解得或4，即集合， 因为， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得，不成立； 当时，，解得. 综上，实数a的取值为范围为或， 17. 某校地势较低，一遇到雨天天气，校园内会有大量积水，不但不方便师生出行，还存在严重安全问题，为此学校决定利用原水池改建一个深3米，底面面积16平方米的长方体蓄水池，不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校植被.现对水池内部地面及四周围墙面铺设公开招标．甲工程队给出的报价如下：改建及蓄水池盖儿固定费用800元，四周围墙每平方米150元，地面每平方米400元，设泳池宽为x米． （1）若甲工程队的报价为y，用x表示y． （2）当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价． 【答案】（1） （2）宽为时，甲工程队的报价最低，最低为14400元. 【解析】 【分析】（1）根据题意，即可列出函数关系式； （2）结合（1）由基本不等式求解即可. 【小问1详解】 设甲工程队的总造价为元， 因为泳池宽为x米，所以泳池长为米 则， 化简得； 【小问2详解】 ， 当且仅当时，即时等号成立. 即当宽为时，甲工程队的报价最低，最低为14400元. 18. 已知集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； （3）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得是的真子集，然后根据真子集关系列不等式组求解即可. （2）由已知条件得集合的关系，然后按照和分类讨论，根据子集关系列不等式组求解即可. （3）方法一：由题意，然后根据集合关系列不等式组求解即可． 方法二：由题意，先求时的取值范围，求解时按照和分类讨论，根据集合关系列不等式组求解，最后利用补集思想求解即可. 【小问1详解】 若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 【小问2详解】 若命题“，都有”是真命题，则是的子集． 当时，满足，此时，得； 当时，若，则，不等式组无解． 综上，实数的取值范围为． 【小问3详解】 方法一：“，”是真命题，则，所以，所以． 所以，解得，所以实数的取值范围为． 方法二：“，”是真命题，则． 当时，若，则； 若，则或，解得． 综上，当时，． 所以当时，，即实数的取值范围为． 19. 已知集合A为非空数集，定义，． （1）若集合，直接写出集合及； （2）若集合，，且，求证：； （3）若集合，且，求A集合中元素个数的最大值． 【答案】（1），； （2）证明:∵，，且， ∴集合也有四个元素，且都为非负数，∵， 又∵，∴且， ∴集合中其他元素为，，， 即， 剩下的， ∵， ∴，， 即，故； （3）1348 【解析】 【分析】（1）根据定义直接求解即可； （2）由题意利用集合与中的元素间的关系证明即可； （3）由题意建立集合间的关系，并列出不等式集合元素个数的范围，最后求出最大值即可． 【小问1详解】 由题意得，； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 设表示集合A中的元素个数， 设满足题意，其中， ∵， ∴， ∵，∴， ∵，∴， 中最小的元素为0，最大的元素为， ， ∴， ， 实际当满足题意，证明如下： 设，， 则，， 由题意得， 即，故的最小值为674． 即时，满足题意， 综上所述，集合中元素的个数为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 光明2025-2026学年度第一学期高一年级10月月考 数学科试卷 命题人：陈展 一、单选题：本大题共8小题，共40.0分．在小题列出的选项中，选出符合题目的一项． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，都有”的否定是（ ） A. ，都有 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 3. 已知，，，均为实数，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 4. 某市评选市级三好学生，申报条件之一为：申报者须获得校级三好学生资格.则“同学甲是校级三好学生”是“同学甲是市级三好学生”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，，若，则实数的取值构成的集合是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 已知x为正实数，y为非负实数，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，共18.0分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知全集，集合，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的真子集个数是7 10. （多选）下列命题为真命题的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充要条件 11. 已知，，则（ ） A. ab的最大值为 B. 的最小值为8 C. 的最大值为 D. 的最小值为2 三、填空题：本大题共3小题，共15.0分． 12. 若，则的最小值是__________. 13. 若p是r的充分非必要条件，p是q的必要条件，则r是q的______条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 14. 定义集合的“长度”是，其中，.已知集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是________； 四、解答题：本大题共5小题，共77.0分． 15. 已知全集，集合，，或. （1）求； （2）求． 16. 已知集合，． （1）若，求实数a的值； （2）若，求实数a的取值范围． 17. 某校地势较低，一遇到雨天天气，校园内会有大量积水，不但不方便师生出行，还存在严重安全问题，为此学校决定利用原水池改建一个深3米，底面面积16平方米的长方体蓄水池，不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校植被.现对水池内部地面及四周围墙面铺设公开招标．甲工程队给出的报价如下：改建及蓄水池盖儿固定费用800元，四周围墙每平方米150元，地面每平方米400元，设泳池宽为x米． （1）若甲工程队的报价为y，用x表示y． （2）当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价． 18. 已知集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； （3）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 19. 已知集合A为非空数集，定义，． （1）若集合，直接写出集合及； （2）若集合，，且，求证：； （3）若集合，且，求A集合中元素个数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $