精品解析：陕西西安市铁一中滨河高级中学2026-2027学年第一学期高三年级数学学情调查（一）

西安市铁一中滨河高级中学2026-2027学年度 第一学期高三年级数学学情调查（一） 时间：120min；总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题得，，则，， ，所以A，C，D错误，B正确． 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，所以. 3. 已知，， 在上单调递增，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】对于，通过分离参数由基本不等式求出另一侧的取值范围进而得到的范围，对于，通过二次函数单调性得到的范围，通过两个范围的推出关系即可求解. 【详解】，，所以在上有解， 又，当且仅当时等号成立，所以等号取不到，即， 所以. 对于图象的对称轴为直线，所以的递增区间是， 故当在上单调递增时，. 因为小范围可以推出大范围，大范围推不出小范围，所以是的充分不必要条件. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式结合二倍角的余弦公式化简可得结果. 【详解】因为，所以， ， 故. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先将原函数的解析式化简，可判断原函数的奇函数，排除D选项，再判断原函数在及上的正负即可确定答案. 【详解】因为， 所以， 即函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除D， 又因为，当且仅当时取等号， 所以， 当时，，当时，， 所以，当时，，当时，，故排除A、B， 故选：C． 【点睛】根据函数的解析式选择函数的图象时，可从选项出发，观察函数图象之间的异同，结合函数的性质判断即可，其一般方法如下： （1）先确定函数的定义域； （2）确定函数的奇偶性，根据函数图象的对称性； （3）确定某些特殊点的函数值的正负，或确定局部区间上函数值的正负; （4）确定局部区间上的单调性. 6. 风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）．我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到，则该瞬时风速对应的风力等级约为（   ）（注：，） A. 9级 B. 11级 C. 13级 D. 15级 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定方程计算瞬时风速对应的风力等级，结合对数运算及指对互化运算即可求解． 【详解】将轮毂高度瞬时风速代入，得， 由知，，则， 所以， 又，所以， 所以． 7. 若函数，则（ ） A. 6322 B. C. 6321 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题干条件易得首末项自变量之和为常数2，可得，进而利用倒序相加求解即可. 【详解】令，则， 所以， 则， 所以， 令， 则，两式相加得， 所以. 8. 已知椭圆，点，过点的直线交椭圆于，两点，的中点为，定点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，的斜率为，，，进而根据点差法求得，进而求得点的轨迹方程为，进而得，进而利用二次函数的最值的求法可求得的最大值. 【详解】当直线的斜率不存在时，，； 当直线的斜率存在时，设，的斜率为，，， 则，两式相减整理得.又， 两式消去化简得点的轨迹方程为， 则. 由，得，所以. 而二次函数图象的对称轴为直线， 所以当时，可取到最大值为.又，故的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数 ，定义域，下列说法正确的是（ ） A. 在 处取得极小值 B. 函数最小值为 C. 函数最大值为3 D. 在区间单调递减 【答案】ABC 【解析】 【详解】因为函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为. 又函数的定义域为，所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以函数 在 处取得极小值，故A正确； 因为，所以函数最小值为 ，故B正确； 因为，，所以函数最大值为3，故C正确； 因为 在区间单调递增，故D错误. 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 在定义域内单调递增 B. 的对称中心为 C. 已知，为方程的两个根，且，则的取值范围为 D. 若，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A利用导函数判断单调性；B根据二阶导函数的零点求对称中心；C根据对称性和单调性以及韦达定理求出；D根据对称性和单调性以及基本不等式求解. 【详解】因为，所以， 则在定义域内单调递增，故A正确； ，得，故的对称中心为即，故B正确； 因为，为方程的两个不同根， 所以， 因为，所以，则， 故，得，故C错误； 因为， 所以， 则，即， 因为，所以， 等号成立时，故D正确. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，且，，，，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A选项，能转化成周期函数；对于B、D选项根据A选项求出周期的函数值，再根据周期求和；对于C选项，将利用周期性求解验证. 【详解】对于A选项，因为， 用替换得 ，化简 ； 同理可得 ； 又由，用替换得 ； 故 ，用替换得 ， 所以，故， 因此，故A选项正确； 对于B选项，因为，所以关于中心对称， 又因，所以 ，，令， 则， ，解得，因为， 所以， 所以， 故B选项正确； 同理对于D选项， ，故D选项错误； 对于C选项，，因为， 所以，令，则，故， 对 求导得 ，令， 解得 ，故，所以C选项错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设、为正数，若，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据换底公式以及对数的运算性质可得出关于的方程，解出的值，可得出的值，即可得出的值. 【详解】因为、为正数，若，且，即，即， 即，即， 整理可得，即， 解得或，故有或，故. 13. 已知点P是直线：和：（m，，）的交点，点Q是圆C：上的动点，则的最大值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分析直线分别过定点，点P的轨迹是以为直径的圆，结合圆的性质运算求解. 【详解】因为直线：，即， 令，解得，可知直线过定点， 同理可知：直线过定点， 又因为，可知， 所以直线与直线的交点P的轨迹是以的中点，半径的圆， 因为圆C的圆心，半径， 所以的最大值是. 故答案为：． 14. 若不等式对恒成立，则的最大值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，将问题转化为，利用导数求出，再转化为，设，利用导数求出即可. 【详解】设，因为对任意的恒成立，则， 求导得 令得，， 当时，，函数在区间单调递减； 当时，，函数在区间单调递增； 所以，所以， 则， 设，， 当时，，函数在区间单调递增； 当时，，函数在区间单调递减； 所以，即的最大值为，的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知． （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1)由题意和二倍角公式可得的方程，解方程结合角的范围，即可求出角A； (2)由余弦定理可得，代入数据可得的值，再由面积公式即可求出结果. 【详解】（1）∵在中， ∴，即， 解得，或（舍去）， 由可得； （2）由余弦定理可得 ， 代入数据可得12=16﹣bc，解得bc=4， ∴的面积． 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理，属于基础题型. 16. 如图，在直四棱柱中，底面是直角梯形，，，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1） 四棱柱为直四棱柱，平面， 平面，，， ，，平面，平面， 平面，； ，，平行四边形为正方形，， ，平面，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定与性质可证得；由正方形性质知；由线面垂直的判定可证得结论； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据面面角的向量求法可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，正方向分别为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系， ，，，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； 轴平面，平面的一个法向量， ， 即平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 17. 大学吸引广大学子，不仅仅靠知识的海洋，还有美味的餐厅．已知某大学只有甲、乙两个餐厅，小丁同学每天中午都在学校餐厅就餐，若他在甲餐厅就餐，则他满意的概率为80%；若他在乙餐厅就餐，则他满意的概率为30%．假设小丁每天中午去乙餐厅就餐的概率为10%． （1）求小丁同学每天中午在学校餐厅就餐满意的概率； （2）在统计调查中，小丁同学有n（，）天中午在学校餐厅就餐，每天中午在学校餐厅就餐是否满意相互独立，记满意的天数为X，（，1，2，3，…，）的概率记为P（），则当n为何值时，的值最大？ 【答案】（1）0.75 （2）当或时，的值最大 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式求得小丁同学每天中午在学校餐厅就餐满意的概率； （2）根据二项分布的知识求得的表达式，由此列不等式求得的取值范围，进而求得正确答案. 【小问1详解】 设事件A为“小丁同学每天中午在学校餐厅就餐满意”， 事件B为“小丁同学当天中午去乙餐厅就餐”，则为“小丁同学当天中午去甲餐厅就餐”． 由题意得，，， ． 根据全概率公式 . 【小问2详解】 由题意可知， 则（，1，2，…，）, 因此, 要使最大，需满足, 即, 化简第一个不等式,,,, 化简第二个不等式,,,, 因为且，所以或． 所以当或时，的值最大． 18. 已知函数． （1）当时，求函数的最小值； （2）若时，，求实数a的取值范围； （3）求证：． 【答案】（1）1 （2） （3） 证明：由（2）知，当时，在上单调递增． 则，即． ∴． ∴，即． 【解析】 【分析】（1）当时，对求导，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，即可求出函数的最小值； （2）由题意可得，令，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，从而求出满足条件的取值范围； （3）令，在上单调递增，得到，从而证出结论. 【小问1详解】 解：当时，，则． 令，得． 当时，；当时，． ∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增． ∴当时，函数取得最小值，其值为． 【小问2详解】 若时，，即． ，令， 则 ①若，由（1）知，即，则，故， 所以， 所以函数在区间上单调递增， 所以，所以. ②若，令， 则 所以函数在区间上单调递增， 由于， ， 故，使得， 则当时，，即， ∴函数在区间上单调递减， ∴，即式不恒成立． 综上所述，实数a的取值范围是 【小问3详解】 略 19. 设抛物线C：（）的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，当F在l上时，A与B的横坐标之积为． （1）求抛物线C的方程； （2）分别过A，B两点作抛物线C的两条切线，两条切线相交于点M，若M是直线上的动点，证明：直线l恒过定点； （3）过点B作直线l的垂线m，直线m与抛物线C交于点D，点B与点D为不同的两点，证明：． 【答案】（1） （2）证明：设，由M是直线上的动点，得， 由（1）知，抛物线C的方程为，即，故， 所以过A，B两点的两条切线方程分别为和， 又，， 故过A，B两点的两条切线方程可分别变形为和， 由两条切线相交于点M，得，， 所以直线l的方程为，又， 所以，即， 由得， 所以直线l恒过定点； （3）证明：设点，由题意知，直线l的斜率k存在且不为0， 则直线m的斜率为，所以直线l的方程为， 由，得， 由，得， 所以，同理，，所以，， 易知，当最小时，B的横坐标在A和D的横坐标之间， 由抛物线的对称性，不妨设，且，则， 则，， 所以 ， 因为过点B的切线的斜率为，所以，即， 令，， 当，即时，； 当，即时，函数单调递增， 所以， 当且仅当时等号成立，又， 所以当时，； 当，即时，函数单调递减， 所以， 设，， 则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 所以当时，； 又， 所以恒成立． 【解析】 【分析】（1）设出过焦点的直线方程，与抛物线方程联立消元，由韦达定理得到两交点横坐标之积，结合已知横坐标之积为求解参数，进而得到抛物线方程. （2）设两条切线的交点的坐标，通过导数求抛物线切线斜率，推导得到切点弦（直线）的方程；结合在定直线上的条件，将直线的方程整理为直线系形式，求解方程组得到定点坐标. （3）设直线的斜率为，得到垂线的斜率，分别联立抛物线方程，由韦达定理得到各点横坐标的关系；利用弦长公式将表示为关于点横坐标与的函数，根据一次函数单调性分、、三种情况讨论最小值，通过构造函数求导分析最小值，最终证明不等式. 【小问1详解】 设，， 抛物线C：（）的焦点为， 当F在l上时，易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为， 联立，消去y，得， 所以，又，解得， 所以抛物线C的方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市铁一中滨河高级中学2026-2027学年度 第一学期高三年级数学学情调查（一） 时间：120min；总分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，， 在上单调递增，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）．我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到，则该瞬时风速对应的风力等级约为（   ）（注：，） A. 9级 B. 11级 C. 13级 D. 15级 7. 若函数，则（ ） A. 6322 B. C. 6321 D. 8. 已知椭圆，点，过点的直线交椭圆于，两点，的中点为，定点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数 ，定义域，下列说法正确的是（ ） A. 在 处取得极小值 B. 函数最小值为 C. 函数最大值为3 D. 在区间单调递减 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 在定义域内单调递增 B. 的对称中心为 C. 已知，为方程的两个根，且，则的取值范围为 D. 若，则的最小值为 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，且，，，，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设、为正数，若，且，则________． 13. 已知点P是直线：和：（m，，）的交点，点Q是圆C：上的动点，则的最大值是__________. 14. 若不等式对恒成立，则的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知． （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积． 16. 如图，在直四棱柱中，底面是直角梯形，，，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 17. 大学吸引广大学子，不仅仅靠知识的海洋，还有美味的餐厅．已知某大学只有甲、乙两个餐厅，小丁同学每天中午都在学校餐厅就餐，若他在甲餐厅就餐，则他满意的概率为80%；若他在乙餐厅就餐，则他满意的概率为30%．假设小丁每天中午去乙餐厅就餐的概率为10%． （1）求小丁同学每天中午在学校餐厅就餐满意的概率； （2）在统计调查中，小丁同学有n（，）天中午在学校餐厅就餐，每天中午在学校餐厅就餐是否满意相互独立，记满意的天数为X，（，1，2，3，…，）的概率记为P（），则当n为何值时，的值最大？ 18. 已知函数． （1）当时，求函数的最小值； （2）若时，，求实数a的取值范围； （3）求证：． 19. 设抛物线C：（）的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，当F在l上时，A与B的横坐标之积为． （1）求抛物线C的方程； （2）分别过A，B两点作抛物线C的两条切线，两条切线相交于点M，若M是直线上的动点，证明：直线l恒过定点； （3）过点B作直线l的垂线m，直线m与抛物线C交于点D，点B与点D为不同的两点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $