精品解析：浙江省湖州市长兴县龙山共同体素养检测2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

2025学年第一学期长兴县龙山中学共同体素养监测（一） 八年级数学 试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，必须在答题卷的左边填写班级、姓名、座位号等信息． 3．所有答案都必须写在答题卷标定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应． 一、选择题（每题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列语句中，不是命题的是（ ） A. 锐角小于钝角 B. 作∠A的平分线 C. 对顶角相等 D. 同角的补角相等 2. 以下依次是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 工人师傅常借助“角尺这个工具来平分一个角，其背后的依据就是全等三角形的性质．如图，在的两边、上分别取，适当摆放角尺图中的，使其两边分别经过点、，且点、处的刻度相同，这时经过角尺顶点的射线就是的平分线．这里判定两个三角形全等的依据是( ) A. B. C. D. 5. 将一副直角三角尺按如图位置摆放在同一平面内，含角的直角三角尺的直角顶点E在含角的直角三角尺的斜边上，且点F在的延长线上，已知，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，是的垂直平分线，交于点D，交于点E，，，，则周长为（　　） A. B. C. D. 7. 根据下列已知条件，能唯一画出的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ， 8. 如图，在中，和的角平分线相交于点，连接，，，若，，的面积分别为，，，则有（ ） A. B. C. D. 9. 如图，BD是△ABC的中线，点E，F分别为BD，CE的中点，若△ABC的面积为12．则△AEF的面积是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 10. 如图，分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的有（ ）个 A. B. C. D. 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 请写出一个能说明命题“，则”是假命题的反例_____ 12. 如图，已知，，请在空格上添加一个适当的条件，使得，则添加的这个条件是_________． 13. 一个三角形的三边为、、，另一个三角形的三边为、、，若这两个三角形全等，则_____ ． 14. 如图，与关于射线对称，与关于射线对称，点，，，在一条直线上，记，，则，的数量关系为_____ 15. 知识储备：三角形的三条边的中线交于一点，该点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．如图，点为直线外一动点，，连接、，点、分别是、的中点，连接、交于点，当四边形的面积为5时，线段长度的最小值为_____． 16. 如图，在中，，，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点运动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线向终点运动，点，都运动到各自的终点时停止．设运动时间为（秒），直线经过点，且，过点，分别作直线的垂线段，垂足为，．当与全等时，则的值是_____． 三、解答题（第17，18，19，20，21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 请完成以下证明过程 如图，已知，，．求证：． 证明：， （ ）， ， ， 即， 在和中， ， （ ）； （ ）， （ ） ．（ ） 18. 如图，在中，，． （1）求的度数； （2）若，交于点，判断的形状，并说明理由． 19. 如图，某娱乐休闲景区内有两条小路与相交于点C，咖啡厅和购物商店分别在点A和点C处，景区管理员打算在区域内的点Q处修建游客服务区，要求点Q到的距离与点Q到的距离相等，且．请你帮景区管理员找出点Q．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 20. 如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E． （1）求证：BC＝DC； （2）若∠A＝25°，∠D＝15°，求∠ACB的度数． 21. 如图，在四边形中，平分，，． （1）求证：． （2）若，，求四边形的周长． 22. （1）问题提出：在中，，，求边上的中线的取值范围． 思维点拨：延长中线至等长，构造全等三角形，把、、集中在中，利用三边关系，可得的取值范围． 问题解决1：在图1中找出与的数量关系并证明； 问题解决2：的取值范围是_____，和的位置关系是_____． （2）问题拓展：如图2，是的中线，，，，探究线段与的数量关系并加以证明． 23. 如图，在等边中，，射线交边于点，为射线上一点，以为边作等边，连接交射线于点． （1）当点在线段上时， 求证：． 求的度数． （2）当点不在线段上时，的度数是否发生改变？若不变，请说明理由；若改变，请求出此时的度数． （3）当时，请直接写出与的数量关系：_____． 24. （1）如图1：在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系． 小明同学探究的方法是：延长到点．使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是_____（直接写结论，不需证明）； （2）如图2，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，猜想上述结论是否仍然成立，并证明； （3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当，，时，求的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期长兴县龙山中学共同体素养监测（一） 八年级数学 试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，必须在答题卷的左边填写班级、姓名、座位号等信息． 3．所有答案都必须写在答题卷标定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应． 一、选择题（每题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列语句中，不是命题的是（ ） A. 锐角小于钝角 B. 作∠A的平分线 C. 对顶角相等 D. 同角的补角相等 【答案】B 【解析】 【详解】锐角小于钝角、对顶角相等；同角的补角相等，它们都是命题，而作∠A的平分线为描叙性语言，它不是命题． 故选B． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 2. 以下依次是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．据此解答即可． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项C能找到这样的一个直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：C． 3. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：的边上的高是经过点C与垂直的线段， A、是边上的高，故此选项不符合题意； B、不是边上的高，故此选项不符合题意； C、是边上的高，故此选项不符合题意； D、是边上的高，故此选项符合题意． 4. 工人师傅常借助“角尺这个工具来平分一个角，其背后的依据就是全等三角形的性质．如图，在的两边、上分别取，适当摆放角尺图中的，使其两边分别经过点、，且点、处的刻度相同，这时经过角尺顶点的射线就是的平分线．这里判定两个三角形全等的依据是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得出，即可证明，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 5. 将一副直角三角尺按如图位置摆放在同一平面内，含角的直角三角尺的直角顶点E在含角的直角三角尺的斜边上，且点F在的延长线上，已知，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，由题意得，，，结合可得，进而可判定，根据平行线的性质可求出的度数． 【详解】解：由题意得，，， ， ， ， ， ， 故选：C． 6. 如图，在中，是的垂直平分线，交于点D，交于点E，，，，则周长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质， 根据是的垂直平分线得，继而得到，可得答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴周长为． 故选：B． 7. 根据下列已知条件，能唯一画出的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系和确定三角形的条件是解题的关键，根据三角形的三边关系对各项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、，不能构成三角形，此项错误，不符合题意； B、已知两角夹边，三角形即可确定，此项正确，符合题意； C、边边角不能确定三角形，此项错误，不符合题意； D、一角一边不能确定三角形，此项错误，不符合题意； 故选：B． 8. 如图，在中，和的角平分线相交于点，连接，，，若，，的面积分别为，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，三角形三边关系，也考查了三角形面积公式．过点作于，于，于，如图，先根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式得到，，，然后根据三角形三边的关系对各选项进行判断． 【详解】解：过点作于，于，于，如下图， ∵和的角平分线相交于点， ∴，， ∴． ∵，，， ， ∴， ∴． 故选：A． 9. 如图，BD是△ABC的中线，点E，F分别为BD，CE的中点，若△ABC的面积为12．则△AEF的面积是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由是的中线，是的中线，是的中线，得的面积，再由是的中线，得到的面积． 【详解】解：是的中线， ， 点是的中点， ，， ， 点是的中点， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形中线和三角性的面积之间的关系，“三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形”，这也是本题的关键点． 10. 如图，分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的有（ ）个 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高和角平分线，全等三角形的判定和性质，由三角形的高可得，进而由三角形角平分线的定义可得，即可判定①；证明，得到，，进而可证明，即可判定②；由得到，，可得，，可判定③④，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∵，， ∴，故②正确； ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，故③正确，④错误； 综上，正确的有个， 故选：． 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 请写出一个能说明命题“，则”是假命题的反例_____ 【答案】（满足条件即可） 【解析】 【分析】本题考查的是命题与定理，理解命题的定义，能够根据命题适当的举出反例是解题关键．要使得成立，则或，因此举反例可列举的数字即可． 【详解】解：当时，，但不满足， 故命题“，则”是假命题， 故答案为：（满足条件即可）． 12. 如图，已知，，请在空格上添加一个适当的条件，使得，则添加的这个条件是_________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，添加条件，先由平行线的性质得到，再利用即可证明． 【详解】解：添加条件，证明如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 一个三角形的三边为、、，另一个三角形的三边为、、，若这两个三角形全等，则_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质，对应边相等，得出和的值即可得解． 【详解】解：两个三角形全等， 对应边相等， 由于两个三角形都有边长为的边， 可能对应，则对应，对应， ，， ． 其他对应关系均导致矛盾，只有这一种情况成立． 故答案为：． 14. 如图，与关于射线对称，与关于射线对称，点，，，在一条直线上，记，，则，的数量关系为_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，由轴对称的性质可得，则可推出，进而得到，再由轴对称的性质可得，则由三角形外角的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：∵与关于射线对称， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与关于射线对称， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 知识储备：三角形的三条边的中线交于一点，该点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．如图，点为直线外一动点，，连接、，点、分别是、的中点，连接、交于点，当四边形的面积为5时，线段长度的最小值为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，垂线段最短．如图：连接，过点C作于点H，根据三角形中线的性质求得，从而求得，利用垂线段最短求解即可． 【详解】解：如图：连接，过点C作于点H， ∵点D、E分别是的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵垂线段最短， ∴， ∴的最小值为5， 故答案为：5． 16. 如图，在中，，，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点运动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线向终点运动，点，都运动到各自的终点时停止．设运动时间为（秒），直线经过点，且，过点，分别作直线的垂线段，垂足为，．当与全等时，则的值是_____． 【答案】2，或6 【解析】 【分析】分三种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值． 【详解】解：当在上，在上时，如图，过点，，分别作于点，于点，于点， ， ， ∵于点，点，． ， ， ， ， ，解得； 当在上，在上时，即、重合时，则， 由题意得，， 解得； 当在上，在上时，即、重合时，则， 由题意得，， 解得． 综上，当与全等时，的值为2，或6； 故答案为2，或6． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、作图—基本作图，根据题意得出关于的方程是解题的关键． 三、解答题（第17，18，19，20，21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 请完成以下证明过程 如图，已知，，．求证：． 证明：， （ ）， ， ， 即， 在和中， ， （ ）； （ ）， （ ） ．（ ） 【答案】两直线平行，内错角相等；；；已证；；全等三角形的对应角相等；等角的补角相等；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．先根据全等三角形的判定方法证明，得出，根据补角的性质得出，最后根据平行线的判定，得出结论即可． 【详解】证明：， （两直线平行，内错角相等）， ， ∴， 即， 在和中， ， ， （全等三角形的对应角相等）， ∵， （等角的补角相等）， ．（内错角相等，两直线平行） 18. 如图，在中，，． （1）求的度数； （2）若，交于点，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）为直角三角形， 理由如下： ∵， ， 由（1）得， ， 为直角三角形． 【解析】 【分析】（）根据三角形内角和定理即可求解； （）由平行线的性质可得，进而由三角形内角和定理可得，据此即可判断求解； 本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：，， ； 【小问2详解】 略 19. 如图，某娱乐休闲景区内有两条小路与相交于点C，咖啡厅和购物商店分别在点A和点C处，景区管理员打算在区域内的点Q处修建游客服务区，要求点Q到的距离与点Q到的距离相等，且．请你帮景区管理员找出点Q．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图，点即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，作角平分线和线段的垂直平分线，涉及角平分线的判定和线段的垂直平分线的判定，正确理解题意是解题的关键． 作出线段的垂直平分线和的平分线，交点即为点． 【详解】略 20. 如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E． （1）求证：BC＝DC； （2）若∠A＝25°，∠D＝15°，求∠ACB的度数． 【答案】（1）见解析 （2）∠ACB＝140° 【解析】 【分析】（1）根据“”证明，再利用全等三角形的性质求解； （2）根据全等三角形的性质和三角形内角和定理解答即可． 【小问1详解】 证明：， ， 即． 在和中 ， ， ； 【小问2详解】 解：， ． ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定和性质知识． 21. 如图，在四边形中，平分，，． （1）求证：． （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明：如图，过点作交的延长线于， 平分，，， ，， ，， ， 在和中， ， ； （2）22 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质． （1）如图所示，过点作交的延长线于，根据角平分线的性质得出，再证明，证明，根据全等三角形的性质即可证明； （2）根据，得出，证明，得出，再根据四边形周长定义及线段的和差求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，，， 平分， ， 在和中， ， ∴． 四边形的周长 ， ，， 四边形的周长． 22. （1）问题提出：在中，，，求边上的中线的取值范围． 思维点拨：延长中线至等长，构造全等三角形，把、、集中在中，利用三边关系，可得的取值范围． 问题解决1：在图1中找出与的数量关系并证明； 问题解决2：的取值范围是_____，和的位置关系是_____． （2）问题拓展：如图2，是的中线，，，，探究线段与的数量关系并加以证明． 【答案】（1）问题解决1：；问题解决2：，平行；（2），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查倍长中线，三角形三边的数量关系，全等三角形的判定和性质，合理作图，证明三角形全等是解题的关键． （1）问题解决1：根据题意证明即可求解； 问题解决2：根据全等三角形的性质，三角形三边数量关系即可求解； （2）如图，延长至点，使，连接，可证，，由此即可求解． 【详解】解：（1）问题解决1：， 证明：延长至点，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，； 问题解决2：∴，， ∴，即， 故答案为：，平行， （2）．理由如下： 证明：如图，延长至点，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中： ， ， ，， ，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 23. 如图，在等边中，，射线交边于点，为射线上一点，以为边作等边，连接交射线于点． （1）当点在线段上时， 求证：． 求的度数． （2）当点不在线段上时，的度数是否发生改变？若不变，请说明理由；若改变，请求出此时的度数． （3）当时，请直接写出与的数量关系：_____． 【答案】（1） ①证明：和是等边三角形， ，，． ． ． 在和中， ． ． ② （2）的度数发生改变，此时的度数为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质定理解答即可； 利用全等三角形的性质定理得到，利用等边三角形的判定与性质得到，再利用三角形的内角和定理解答即可∶ （2）当点不在线段上时，利用全等三角形的判定与性质得到，利用等边三角形的判定与性质得到， ，再利用三角形的内角和定理解答得到，则结论可求； （3）利用直角三角形的性质得到，利用等边三角形的性质和（2）的结论得到，将两式相减即可得出结论． 【小问1详解】 略 ②由（1）知∶ ， ． 和是等边三角形， ． ． ． ， ． 【小问2详解】 解：当点D不在线段上时，的度数发生改变，此时的度数为． ， ． 在和中， ． 和是等边三角形， ． ． ． ， ． ． 【小问3详解】 解∶设于O， ， ． 为等边三角形， ． ． 由(2)知∶， ． 得∶ ． 故答案为∶ ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 24. （1）如图1：在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系． 小明同学探究的方法是：延长到点．使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是_____（直接写结论，不需证明）； （2）如图2，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，猜想上述结论是否仍然成立，并证明； （3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当，，时，求的周长． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）13 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，补角性质，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）延长到点，使，连接，证明和，根据全等三角形的性质即可求解； （2）（1）中的结论仍然成立．如图中，延长至，使，连接，证明和即可求证； （3）结论不成立，结论：．在上截取，使，连接，证明和即可求证； 【详解】（1）解：如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：如图2中，延长至，使，连接， ∵， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，在上截取，使，连接． ，， ． 在与中，， ， ，， ， ． ， ， ， 的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $