专题03 旋转【知识梳理+解题方法+专题过关】-2025-2026学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（人教版）

专题03 旋转 一．旋转的相关概念 1．把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．如果图形上的点P经过旋转变为点，那么这两个点叫做这个旋转的对应点． 2．图形旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角．在旋转过程中，始终保持不动的那个点就是旋转中心，旋转中心既可在图形的外部，也可在图形的内部，还可在图形上． 3．对应元素：一个图形绕定点旋转一定角度后得到它的旋转图形，如图所示，就是绕点O顺时针旋转得到的，其中点A，B，C分别与点，，是对应点，，，分别与，，是对应角，线段，，分别与线段，，是对应边． 二．旋转的性质 性质 示意图 对应点到旋转中心的距离相等 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 旋转前、后的图形全等 ，，， 注意：旋转不改变图形的形状和大小，只是图形位置发生了变化． 三．旋转中心的确定 如图所示，绕点O顺时针旋转到．由旋转的性质得，，，故和是等腰三角形．由“三线合一”知，点O既在线段的垂直平分线上，又在线段的垂直平分线上，故旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点． 四．旋转与平移、轴对称的不同点与相同点 平移 旋转 轴对称 不同点 平移变换前后，两个图形的对应线段平行（或在同一条直线上），对应角的两边分别平行（或在同一条直线上）且方向一致 旋转变换前后，两个图形的任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都是旋转角 若成轴对称的两个图形的对应线段或其延长线相交，则其交点在对称轴上；成轴对称的两个图形的对应点所连线段被对称轴垂直平分 相同点 （1） 都是在平面内进行的图形变换； （2） 都是只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即变换前后图形的对应边相等，对应角相等，两图形全等； （3） 都是把一个已知图形变换后得到另一个图形 五．旋转作图和图案设计 旋转作图具体步骤： （1）连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心． （2）转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）． （3）截：即在角的另一边上截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段，得到各点的对应点． （4）连：即连接所得到的各对应点． （5）写：即写出结论，说明作出的图形． 六．中心对称及其相关概念 1．把一个图形绕着某一个点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点． 如图所示，与关于点O对称，也就是说，绕点O旋转后，能与重合．点A与点，点B与，点C与分别关于点O对称． 注意： （1）中心对称是指两个图形间的位置关系． （2）中心对称是特殊的旋转，旋转角为． 2． 中心对称与轴对称的区别与联系： 变换 中心对称 轴对称 区别 图形绕中心旋转 图形沿轴对折 图形旋转后与另一个图形重合 图形折叠后与另一个图形重合 对称中心只有一个点 对称轴至少有一条直线 相同点 都是两个图形之间的关系，两个图形是全等图形 七．中心对称的性质 1．中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分； 2．中心对称的两个图形是全等图形． 注意：成中心对称的两个图形一定是全等的，但是全等的两个图形不一定成中心对称． 八．确定对称中心的方法 方法1：任意连接一对对称点，取这条线段的中点，则该点为对称中心； 方法2：任意连接两对对称点，这两条线段的交点即是对称中心． 九．中心对称的作图方法 1．作图关键：确定对称中心，再作出原图形上特殊点关于对称中心的对称点． 2．作图步骤： （1）连接原图形上的所有特殊点和对称中心； （2）再将以上连线延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等； （3）将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于对称中心对称的图形． 十．中心对称图形 1．把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 2．①围绕某点；②旋转；③与本身重合，这是判定一个图形是不是中心对称图形的重要依据． 3．中心对称图形的性质 （1）中心对称图形上的对称点的连线都经过对称中心，且被对称中心所平分．即过对称中心的直线与中心对称图形的两个对应交点是对称点． （2）过对称中心的直线把中心对称图形分成的两部分是全等图形． 4．中心对称与中心对称图形的区别与联系 中心对称 中心对称图形 区别 （1） 是针对两个图形而言的 （2） 是指两个图形的（位置）关系 （3） 对称点在两个图形上 （4） 对称中心在两个图形之间 （1） 是针对一个图形而言的 （2） 是指具有某种性质的一个图形 （3） 对称点在一个图形上 （4） 对称中心在图形本身内部 联系 （1） 都是通过把图形旋转后重合来定义的 （2） 两者可以相互转化，如果把成中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图形”就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这“两个图形”成中心对称 5． 中心对称图形与轴对称图形的区别 中心对称图形 轴对称图形 概念 把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形 区别 对称中心——点 对称轴——直线 图形绕对称中心旋转 图形沿轴折叠 旋转后与原图形重合 折叠后直线两旁的部分重合 6． 常见轴对称图形和中心对称图形的比较 轴对称图形 中心对称图形 图形 对称轴条数 图形 对称中心 角 1条 等腰三角形 1条 等边三角形 3条 平行四边形 对角线交点 矩形 2条 对角线交点 菱形 2条 对角线交点 正方形 4条 对角线交点 圆 无数条 圆心 十一．关于原点对称的点的坐标 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点为． 若点，关于点对称，则，． 【专题过关】 一．旋转的相关概念（共5小题） 1．平移和旋转在我们生活中随处可见．下面属于旋转的现象是（     ） A．乘坐电梯 B．用钥匙开锁 C．推拉窗户 D．火箭升空 【答案】B． 【解析】解：A．乘坐电梯啊，电梯整体沿着直线上下移动，属于平移现象，故不符合题意； B．用钥匙开锁，钥匙需要绕着锁芯这个固定点转动，属于旋转现象，故符合题意； C．推拉窗户时，窗户沿着轨道做直线移动，属于平移现象，故不符合题意； D．火箭升空属于平移现象，故不符合题意； 故选：B． 2．如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D． 【解析】解：连接，， 分别作这两条线段的垂直平分线，如图所示： 则交点D即为旋转中心， 故选：D． 3．如图，三角形是由三角形绕点O旋转得到的，则下列结论不成立的是（     ） A．点A与点D是对应点 B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：根据旋转的性质可知， 点A与点D是对应点，，，． 故选：C． 4．如图，可以通过平移变换但不能通过旋转变换得到的图案有 ；可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的图案有 ；既可以通过平移变换，又可以通过旋转变换得到的图案有 ．（填序号） 【答案】①④；③；②． 【解析】可以通过平移换，但不可以通过旋转变换得到的图案是：①④； 可以通过旋转变换，但不可以通过平移变换得到的图案是：③； 既可以由平移，也可以由旋转变换得到的图案是：②. 故答案为：①④；③；②． 5．如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，，解答下列问题． （1）将向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，请画出； （2）已知是由旋转得到的，的三个顶点的坐标分别为，，，则旋转中心的坐标是_________，旋转角是_________度． 【答案】（1）作图见解析；（2），90． 【解析】（1）解：根据题意，，，，向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，，，画图如下：    则即为所求． （2）解：根据题意，旋转中心在对应点连线垂直平分线的交点处，画图如下：    此时坐标为，旋转角为，且为逆时针旋转， 故答案为：，90． 二．旋转相关的规律探索（共4小题） 6．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上，如图①．在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，则按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C． 【解析】解：根据题意可知， 骰子第一次向右翻滚，上面的点数为5，逆时针旋转前面的点数为4， 骰子第二次向右翻滚，上面的点数为6，逆时针旋转前面的点数为2， 骰子第三次向右翻滚，上面的点数为3，逆时针旋转前面的点数为1， 骰子第四次向右翻滚，上面的点数为5，逆时针旋转前面的点数为4， …， 以此类推可知连续3次变换是一循环． ∵． ∴得到第1次变换后的图形，即按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是5． 故选：C． 7．如下图，将图形以点O为旋转中心，每次按顺时针方向旋转，依次得到其他图形，则第2024次旋转后得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】解：观察图形发现：每四次旋转一周， ∵， ∴第2024次旋转后和开始时一样， 故选：D． 8．如图，等腰的顶点B在y轴上，顶点C在x轴上，已知，，，将绕点C顺时针旋转，每次旋转，若旋转后点A的对应点的坐标为，则旋转的次数可能是（    ）    A．71 B．72 C．73 D．74 【答案】D． 【解析】根据题意，第一次旋转落在第一象限，第二次旋转落在第四象限，第三次旋转落在第三象限，第四次回到启动点，由此得到旋转的图形按照循环节为4进行规律旋转，除以4看余数即可， ∵在第四象限， ∴除以4后的余数为2， ∵， 故选D．   ． 9．下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2024个图案与第1个至第4个中的第 个箭头方向相同（填序号）． 【答案】4． 【解析】解：每次4个图案为一个周期，， 则第2024个图案中箭头的指向与第4个图案方向一致． 故答案为：4． 三．利用旋转性质解决问题（共5小题） 10．如图，在中，，，，M为边的中点．将绕点M旋转一定角度得到，点A，B，C的对应点分别为点，，，连接，若恰好经过点C，则的长为（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】C． 【解析】解：由旋转的性质得，， ∵M为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 故选：C． 11．如图，将绕点A逆时针旋转得到，，此时边经过点B，则 ． 【答案】． 【解析】解：∵绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，是等边外的一点，若将绕点A顺时针旋转到，若，则的长为 ． 【答案】1． 【解析】解：连接，如图所示： ∵为等边三角形， ∴， 由旋转的性质，得旋转角，， ∴为等边三角形， ∴． 故答案为：1． 13．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接．若，则 ． 【答案】50． 【解析】解：∵绕点A逆时针旋转，得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：50． 14．如图，已知，，，点E在上，点D在延长线上． （1）求证：； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析． 【解析】（1）证明：∵，， ， ∴． （2）． 理由： ∵， ∴由绕点C旋转得到，旋转角度为的度数， ∴与为对应边， ∴与也旋转了的度数， 又 ∴． 四．旋转作图（共3小题） 15．如图，将图形A绕点O顺时针旋转得B图形，再把图形B向右平移3格得图形C．画出图形B，C． 【答案】作图见解析． 【解析】解：图形B和图形C即为所求． 16．如图，点A，B的坐标分别为、，将绕点A按逆时针方向旋转，得到（其中点A和点A对应，点B和点对应，点C和点对应）． （1）画出旋转后的； （2）直接写出点的坐标为______． （3）连接，直接写出的度数为______． 【答案】（1）作图见解析；（2）；（3）45． 【解析】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由图可知：； （3）解：由旋转可知：，， ∴． 故答案为：45． 17．在如图所示的直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）将向下平移5个单位后得到，请在图中画出，； （2）将绕原点O逆时针旋转后得到，请在图中画出． （3）请判断的形状． 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）为等腰直角三角形，证明见解析． 【解析】（1）解：如图，，即为所求作的三角形； （2）解：如图，即为所求作的三角形； （3）解：∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形． 五．求旋转后的点坐标（共4小题） 18．平面直角坐标系中，点A的坐标为，将线段绕点O逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：如图，过点A作轴于点B， ∵点A的坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵线段绕点O逆时针旋转， ∴，， ∴， ∴点在y轴正半轴上， ∴点A的对应点的坐标为． 故选：B． 19．在平面直角坐标系中，已知，将点A绕原点逆时针旋转45度得到点B，则点B的坐标为 ． 【答案】． 【解析】解：如图，过A作x轴的垂线，垂足为C，绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作的垂线交于点D．连接． ∴， ∴，， ∴，，， ∴． ∴，， ∴E的坐标为． ∴所在直线的解析式为， 中，，， ∴， ∴点B在上． 设点B坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵点B在第三象限， ∴，， 点B坐标为． 故答案为：． 20．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，将顺时针旋转得到，则直线的解析式为 ． 【答案】． 【解析】解：如图，过点A作轴，交x轴于点C，过点B作轴，交x轴于点D， ∴， ∵将顺时针旋转得到，点A坐标为， ∴，，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点B在第一象限， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为． 故答案为：． 21．已知抛物线的顶点为，且经过点，将抛物线绕原点O旋转后，得到抛物线，求的解析式． 【答案】． 【解析】解：设抛物线的解析式为：， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 抛物线绕原点O旋转后的顶点为， ∴解析式为：． 六．旋转综合问题（共5小题） 22．如图，有两个边长为2的正方形，其中正方形的顶点E与正方形的中心重合．在正方形绕点E旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是 ． 【答案】1． 【解析】解：如图，过点E作于点P，于点Q， 则， ∵点E是正方形的中心， ∴， ∵， ∴四边形为正方形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 23．如图，边长为8的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是 ． 【答案】2． 【解析】解：如图，取的中点F，连接， ∵等边三角形的边长为8， ∴， ∵， ∴，， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∵线段绕点B逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴ ∴， 由垂线段最短可知，当时，有最小值，此时有最小值， ∵，，， ∴， ∴线段长度的最小值是2， 故答案为：2． 24．如图，四边形、均为正方形． （1）如图1，连接、，试判断和的数量关系和位置关系并证明． （2）将正方形绕点B顺时针旋转角，如图2，连接、相交于点M，连接，求的度数． （3）若，，连接，将正方形绕点B顺时针旋转角，则在这个旋转过程中线段长度的最大值为____________，最小值为_____________（直接填空，不写过程）． 【答案】（1），，证明见解析；（2）；（3）10；． 【解析】（1）解：，． 证明：延长交于点H， ∵四边形、均为正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过B作，，垂足分别为P、Q，设交于点O， ∴， ∵将正方形绕点B顺时针旋转角，且四边形为正方形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴； （3）∵将正方形绕点B顺时针旋转角，且四边形为正方形， 当正方形在初始位置时，最大，如图， ∵四边形、均为正方形，，， ∴，，， 此时； 当G点在线段上时，最小，如图， ∵四边形、均为正方形，，， ∴，，， ∴ 此时； 综上所述，在这个旋转过程中线段长度的最大值为10，最小值为． 故答案为：10；． 25．旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：和均为等腰直角三角形，，点D为中点，将绕点D旋转，连接、． 观察猜想：（1）如图1，在旋转过程中，与的位置关系为______； 探究发现：（2）如图2，当点E、F在内且C、E、F三点共线时，试探究线段、与之间的数量关系，并说明理由． 解决问题：（3）若中，，在旋转过程中，当且C、E、F三点共线时，直接写出的长． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）的长为或． 【解析】解：． 理由：如图所示，连接，设交于点G， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∵点D为中点， ∴，平分， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在四边形中， ， ∴， 故答案为：； G （2）． 理由：如图所示，连接， 由（1）可知：， ∵C、E、F三点共线 ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴； （3），，C、E、F三点共线， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ①如图所示，连接， 由（2）可知：， 由（1）可知：，， ∴，， 在中，， ∴， ∴； ②如图所示，连接， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 由（1）可知：，， ∴，， 在中，， ∴， ∴（此时，不符合题意，舍去）； ③如图所示，连接， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 由（1）可知：，， ∴，， 在中，， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 26．如图 ，点，，且a、b满足． （1）如图1 ，求的面积 ； （2）如图2 ，点C在线段上（不与A、B重合）移动，，且， 猜想线段、、之间的数量关系并证明你的结论 ； （3）如图3 ，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点 ，连接，将线段绕点P顺时针旋转至，直线交y轴于点Q ，当P点在x轴正半轴上移动时 ，线段和线段中哪一条线段长为定值 ，并求出该定值． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）线段为定值2． 【解析】（1）解：（1）∵， ∴，， ∴，， ∴、， ∴，， ∴的面积； （2），证明如下： 如图2，将绕点O逆时针旋转得到， ∵，， ∴，即D，B，F共线， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：作于F，在上截取，如图，则：， ∵旋转， ∴且， ∴，， ∵P在x轴上移动， ∴随着P点的移动而变化， ∴也随着P点的移动而变化，不是定值， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴线段为定值2． 七．中心对称相关概念（共5小题） 27．如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，M，N是网格线交点，与关于某点对称，则其对称中心是（     ） A．点G B．点H C．点M D．点N 【答案】C． 【解析】解：∵与关于某点对称， ∴连接对应点，它们的连线会交于一点，这点即为对称中心， 如图所示： 故点M是对称中心， 故选：C． 28．如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（     ） A．点C与点是对称点 B． C． D． 【答案】C． 【解析】解：∵与关于点O成中心对称， ∴点C与点是对称点，，，， ∴结论错误． 故选：C． 29．若点与点关于点中心对称．则 ． 【答案】． 【解析】解：∵点与点关于点中心对称， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：． 30．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，，如此作下去，则的顶点的坐标是 ． 【答案】． 【解析】解：∵是边长为2的等边三角形， ∴的坐标为，的坐标为， ∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点成中心对称， ∵，， ∴点的坐标是， ∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点成中心对称， ∵，， ∴点的坐标是， ∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点成中心对称， ∵，， ∴点的坐标是， … ∵，，，，， ∴的横坐标是， 当n为奇数时，的纵坐标是，当n为偶数时，的纵坐标是， ∴的顶点的坐标是． 故答案为：． 31．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于x轴对称的； （2）画出关于原点O成中心对称的． 【答案】作图见解析． 【解析】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； 八．中心对称图形的识别（共4小题） 32．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B． 【解析】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，选项错误； B．既是轴对称图形又是中心对称图形，选项正确； C．是轴对称图形，但不是中心对称图形，选项错误； D．是中心对称图形，但不是轴对称图形，选项错误； 故答案为：B． 33．下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】解：A．图案是轴对称图形，但不是中心对称图形，错误； B．图案是轴对称图形，也是中心对称图形，错误； C．图案不是轴对称图形，也不是中心对称图形，错误； D．图案是中心对称图形，不是轴对称图形，正确． 故选：D． 34．如图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格图，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影． （1）在①网格图中涂上一个三角形，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形； （2）在②网格图中涂上一个三角形，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形． 【答案】作图见解析． 【解析】（1）解：图形如图①所示（答案不唯一） （2）解：图形如图②所示（答案不唯一） 38 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 旋转 一．旋转的相关概念 1．把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．如果图形上的点P经过旋转变为点，那么这两个点叫做这个旋转的对应点． 2．图形旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角．在旋转过程中，始终保持不动的那个点就是旋转中心，旋转中心既可在图形的外部，也可在图形的内部，还可在图形上． 3．对应元素：一个图形绕定点旋转一定角度后得到它的旋转图形，如图所示，就是绕点O顺时针旋转得到的，其中点A，B，C分别与点，，是对应点，，，分别与，，是对应角，线段，，分别与线段，，是对应边． 二．旋转的性质 性质 示意图 对应点到旋转中心的距离相等 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 旋转前、后的图形全等 ，，， 注意：旋转不改变图形的形状和大小，只是图形位置发生了变化． 三．旋转中心的确定 如图所示，绕点O顺时针旋转到．由旋转的性质得，，，故和是等腰三角形．由“三线合一”知，点O既在线段的垂直平分线上，又在线段的垂直平分线上，故旋转中心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点． 四．旋转与平移、轴对称的不同点与相同点 平移 旋转 轴对称 不同点 平移变换前后，两个图形的对应线段平行（或在同一条直线上），对应角的两边分别平行（或在同一条直线上）且方向一致 旋转变换前后，两个图形的任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角都是旋转角 若成轴对称的两个图形的对应线段或其延长线相交，则其交点在对称轴上；成轴对称的两个图形的对应点所连线段被对称轴垂直平分 相同点 （1） 都是在平面内进行的图形变换； （2） 都是只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，即变换前后图形的对应边相等，对应角相等，两图形全等； （3） 都是把一个已知图形变换后得到另一个图形 五．旋转作图和图案设计 旋转作图具体步骤： （1）连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心． （2）转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）． （3）截：即在角的另一边上截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段，得到各点的对应点． （4）连：即连接所得到的各对应点． （5）写：即写出结论，说明作出的图形． 六．中心对称及其相关概念 1．把一个图形绕着某一个点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点． 如图所示，与关于点O对称，也就是说，绕点O旋转后，能与重合．点A与点，点B与，点C与分别关于点O对称． 注意： （1）中心对称是指两个图形间的位置关系． （2）中心对称是特殊的旋转，旋转角为． 2． 中心对称与轴对称的区别与联系： 变换 中心对称 轴对称 区别 图形绕中心旋转 图形沿轴对折 图形旋转后与另一个图形重合 图形折叠后与另一个图形重合 对称中心只有一个点 对称轴至少有一条直线 相同点 都是两个图形之间的关系，两个图形是全等图形 七．中心对称的性质 1．中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分； 2．中心对称的两个图形是全等图形． 注意：成中心对称的两个图形一定是全等的，但是全等的两个图形不一定成中心对称． 八．确定对称中心的方法 方法1：任意连接一对对称点，取这条线段的中点，则该点为对称中心； 方法2：任意连接两对对称点，这两条线段的交点即是对称中心． 九．中心对称的作图方法 1．作图关键：确定对称中心，再作出原图形上特殊点关于对称中心的对称点． 2．作图步骤： （1）连接原图形上的所有特殊点和对称中心； （2）再将以上连线延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等； （3）将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于对称中心对称的图形． 十．中心对称图形 1．把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 2．①围绕某点；②旋转；③与本身重合，这是判定一个图形是不是中心对称图形的重要依据． 3．中心对称图形的性质 （1）中心对称图形上的对称点的连线都经过对称中心，且被对称中心所平分．即过对称中心的直线与中心对称图形的两个对应交点是对称点． （2）过对称中心的直线把中心对称图形分成的两部分是全等图形． 4．中心对称与中心对称图形的区别与联系 中心对称 中心对称图形 区别 （1） 是针对两个图形而言的 （2） 是指两个图形的（位置）关系 （3） 对称点在两个图形上 （4） 对称中心在两个图形之间 （1） 是针对一个图形而言的 （2） 是指具有某种性质的一个图形 （3） 对称点在一个图形上 （4） 对称中心在图形本身内部 联系 （1） 都是通过把图形旋转后重合来定义的 （2） 两者可以相互转化，如果把成中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图形”就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这“两个图形”成中心对称 5． 中心对称图形与轴对称图形的区别 中心对称图形 轴对称图形 概念 把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形 区别 对称中心——点 对称轴——直线 图形绕对称中心旋转 图形沿轴折叠 旋转后与原图形重合 折叠后直线两旁的部分重合 6． 常见轴对称图形和中心对称图形的比较 轴对称图形 中心对称图形 图形 对称轴条数 图形 对称中心 角 1条 等腰三角形 1条 等边三角形 3条 平行四边形 对角线交点 矩形 2条 对角线交点 菱形 2条 对角线交点 正方形 4条 对角线交点 圆 无数条 圆心 十一．关于原点对称的点的坐标 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点为． 若点，关于点对称，则，． 【专题过关】 一．旋转的相关概念（共5小题） 1．平移和旋转在我们生活中随处可见．下面属于旋转的现象是（     ） A．乘坐电梯 B．用钥匙开锁 C．推拉窗户 D．火箭升空 2．如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 3．如图，三角形是由三角形绕点O旋转得到的，则下列结论不成立的是（     ） A．点A与点D是对应点 B． C． D． 4．如图，可以通过平移变换但不能通过旋转变换得到的图案有 ；可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的图案有 ；既可以通过平移变换，又可以通过旋转变换得到的图案有 ．（填序号） 5．如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，，解答下列问题． （1）将向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，请画出； （2）已知是由旋转得到的，的三个顶点的坐标分别为，，，则旋转中心的坐标是_________，旋转角是_________度． 二．旋转相关的规律探索（共4小题） 6．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上，如图①．在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，则按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．如下图，将图形以点O为旋转中心，每次按顺时针方向旋转，依次得到其他图形，则第2024次旋转后得到的图形是（    ） A． B． C． D． 8．如图，等腰的顶点B在y轴上，顶点C在x轴上，已知，，，将绕点C顺时针旋转，每次旋转，若旋转后点A的对应点的坐标为，则旋转的次数可能是（    ）    A．71 B．72 C．73 D．74 9．下面摆放的图案，从第2个起，每一个都是前一个按顺时针方向旋转得到，第2024个图案与第1个至第4个中的第 个箭头方向相同（填序号）． 三．利用旋转性质解决问题（共5小题） 10．如图，在中，，，，M为边的中点．将绕点M旋转一定角度得到，点A，B，C的对应点分别为点，，，连接，若恰好经过点C，则的长为（　　） A．2 B． C．1 D． 11．如图，将绕点A逆时针旋转得到，，此时边经过点B，则 ． 12．如图，是等边外的一点，若将绕点A顺时针旋转到，若，则的长为 ． 13．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接．若，则 ． 14．如图，已知，，，点E在上，点D在延长线上． （1）求证：； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 四．旋转作图（共3小题） 15．如图，将图形A绕点O顺时针旋转得B图形，再把图形B向右平移3格得图形C．画出图形B，C． 16．如图，点A，B的坐标分别为、，将绕点A按逆时针方向旋转，得到（其中点A和点A对应，点B和点对应，点C和点对应）． （1）画出旋转后的； （2）直接写出点的坐标为______． （3）连接，直接写出的度数为______． 17．在如图所示的直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）将向下平移5个单位后得到，请在图中画出，； （2）将绕原点O逆时针旋转后得到，请在图中画出． （3）请判断的形状． 五．求旋转后的点坐标（共4小题） 18．平面直角坐标系中，点A的坐标为，将线段绕点O逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 19．在平面直角坐标系中，已知，将点A绕原点逆时针旋转45度得到点B，则点B的坐标为 ． 20．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，将顺时针旋转得到，则直线的解析式为 ． 21．已知抛物线的顶点为，且经过点，将抛物线绕原点O旋转后，得到抛物线，求的解析式． 六．旋转综合问题（共5小题） 22．如图，有两个边长为2的正方形，其中正方形的顶点E与正方形的中心重合．在正方形绕点E旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是 ． 23．如图，边长为8的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是 ． 24．如图，四边形、均为正方形． （1）如图1，连接、，试判断和的数量关系和位置关系并证明． （2）将正方形绕点B顺时针旋转角，如图2，连接、相交于点M，连接，求的度数． （3）若，，连接，将正方形绕点B顺时针旋转角，则在这个旋转过程中线段长度的最大值为____________，最小值为_____________（直接填空，不写过程）． 25．旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：和均为等腰直角三角形，，点D为中点，将绕点D旋转，连接、． 观察猜想：（1）如图1，在旋转过程中，与的位置关系为______； 探究发现：（2）如图2，当点E、F在内且C、E、F三点共线时，试探究线段、与之间的数量关系，并说明理由． 解决问题：（3）若中，，在旋转过程中，当且C、E、F三点共线时，直接写出的长． 26．如图 ，点，，且a、b满足． （1）如图1 ，求的面积 ； （2）如图2 ，点C在线段上（不与A、B重合）移动，，且， 猜想线段、、之间的数量关系并证明你的结论 ； （3）如图3 ，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点 ，连接，将线段绕点P顺时针旋转至，直线交y轴于点Q ，当P点在x轴正半轴上移动时 ，线段和线段中哪一条线段长为定值 ，并求出该定值． 七．中心对称相关概念（共5小题） 27．如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，M，N是网格线交点，与关于某点对称，则其对称中心是（     ） A．点G B．点H C．点M D．点N 28．如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（     ） A．点C与点是对称点 B． C． D． 29．若点与点关于点中心对称．则 ． 30．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，，如此作下去，则的顶点的坐标是 ． 31．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于x轴对称的； （2）画出关于原点O成中心对称的． 八．中心对称图形的识别（共4小题） 32．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 33．下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 34．如图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格图，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影． （1）在①网格图中涂上一个三角形，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形； （2）在②网格图中涂上一个三角形，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形． 16 学科网（北京）股份有限公司 $