专题01 二次函数（压轴题专项训练）数学苏科版九年级下册

专题01 二次函数 目录 典例详解 类型一、二次函数图象与各项系数符号 类型二、二次函数的几何最值 类型三、二次函数的代数最值 类型四、二次函数的应用 类型五、二次函数的铅垂高 类型六、二次函数与特殊三角形 类型七、二次函数与特殊四边形 类型八、二次函数与圆 类型九、二次函数与等角、倍角 类型十、二次函数与的定值与比值 类型十一、二次函数的新定义 类型一、二次函数图象与各项系数符号 一、二次函数的基本形式与图象特征 二次函数的标准形式为y=ax²+bx+c（a≠0），其图象为抛物线。抛物线的开口方向由二次项系数a决定：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，开口向下。|a|的大小影响抛物线的开口宽窄，|a|越大，开口越窄；|a|越小，开口越宽。 二、系数符号与图象性质的关联 （一）一次项系数b的作用 b与a共同决定抛物线对称轴的位置。对称轴公式为x=-b/(2a)，其位置规律可简记为"左同右异"：当a、b同号时，对称轴位于y轴左侧；当a、b异号时，对称轴位于y轴右侧。例如，y=2x²+4x的对称轴x=-1在y轴左侧（a=2>0，b=4>0），而y=-x²+2x的对称轴x=1在y轴右侧（a=-1<0，b=2>0）。 （二）常数项c的几何意义 c决定抛物线与y轴的交点位置。当c>0时，交点位于y轴正半轴；当c=0时，交点为原点；当c<0时，交点位于y轴负半轴。例如，y=x²+1与y轴交于(0,1)，y=x²-3与y轴交于。 三、判别式b²-4ac的图象解读 判别式b²-4ac的值反映抛物线与x轴的交点情况：当b²-4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点；当b²-4ac=0时，有一个交点（顶点在x轴上）；当b²-4ac<0时，无交点。例如，y=x²-2x+1的判别式=0，图象顶点在(1,0)；y=x²+1的判别式=-4<0，图象完全位于x轴上方。 四、特殊点代入法的应用 通过代入x=1、x=-1等特殊值，可快速判断系数关系： 当x=1时，y=a+b+c，其符号反映点(1,y)在x轴上方或下方； 当x=-1时，y=a-b+c，其符号反映点的位置； 当x=2时，y=4a+2b+c，结合对称轴位置可验证图象走势。 例如，已知抛物线对称轴x=1且过(0,3)，代入x=2时y值应与x=0时相等，可验证4a+2b+c=3。 五、综合判定方法 （一）系数乘积的符号规律 abc的符号：结合a的开口方向、b的对称轴位置、c的y轴交点综合判断。例如，开口向下（a<0）、对称轴右侧（b>0）、与y轴正交（c>0）时，abc<0。 2a+b的符号：通过对称轴x=-b/(2a)与x=1的关系判断。若对称轴在x=1右侧，则-b/(2a)>1，推导出2a+b<0（a>0时）或2a+b>0（a<0时）。 （二）图象平移的系数变化 抛物线平移遵循"左加右减，上加下减"原则。例如，y=2x²向右平移3个单位得y=2(x-3)²，向下平移2个单位得y=2x²-2。平移不改变a的绝对值，仅影响b、c的值。 例1．对称轴为直线的抛物线（为常数，且）如图，小明同学得出了以下结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数）；⑥当时，随的增大而增大．其中结论正确的为（   ）． A．①②④ B．②③④ C．②④⑤ D．②④⑥ 变式1-1．在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，下列给出的结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 变式1-2.如图，已知二次函数（）的图像如图所示，其对称轴是直线．有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有 （填序号） 变式1-3.如图，抛物线与x轴负半轴交于点，对称轴为直线，则以下结论中正确的是 ．（填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧一元二次方程有实数根；⑨若都是该抛物线上的点，则；⑩（m为任意实数）． 类型二、二次函数的几何最值 一、核心知识点 抛物线基本性质：二次函数图像为抛物线，开口方向由系数a决定：a>0时开口向上，存在最低点（最小值）；a<0时开口向下，存在最高点（最大值）。 几何转化原理：在几何问题中，二次函数最值常通过面积公式、距离公式等几何量与函数解析式建立联系。例如三角形面积可表示为水平宽与铅垂高乘积的一半，当动点在抛物线上移动时，该面积表达式可转化为二次函数形式。 二、典型求解方法 补形割形法：通过分割或补全几何图形，将不规则区域转化为规则图形（如矩形、三角形）进行计算。例如在抛物线背景下的面积问题中，可将曲边三角形分割为直角三角形与梯形组合，利用几何公式建立面积与动点坐标的函数关系。 铅垂定理法：适用于求三角形面积最值。设动点P(x,y)在抛物线上，过P作水平线与坐标轴交于E点，作BC的平行线交BC于F点。此时三角形面积S=1/2×水平宽（EF）×铅垂高（PE），通过代数化简可得关于x的二次函数，进而求出最值。 切线法：利用抛物线切线性质求极值。当过动点P的切线与固定线段（如BC）平行时，该点到线段的距离最大，对应几何量（如面积）达到极值。具体操作：设切线方程为y=kx+b，联立抛物线方程后令判别式Δ=0，解得切点坐标。 三角函数法：在斜三角形面积计算中，通过构造直角三角形引入三角函数关系。 例2．如图，正方形的边长为2，E为边上一动点，连接，以为边向右侧作正方形，连接，则面积的最小值为（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．3 变式2-1．如图，已知抛物线，与轴交于A，B两点，对称轴与轴交于点，以抛物线顶点为圆心，半径为2作，点为上一点，连接并取的中点，连接，则最小值为（   ） A． B． C．5 D． 变式2-2.如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线与轴交于点，若点在抛物线的对称轴上移动，点在直线上移动，则的最小值为 ． 变式2-3.如图，已知抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于两点（点A在点的左侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是对称轴上的一个动点，当取得最小值时，点坐标为______，此时的最小值为______． 类型三、二次函数的代数最值 一、核心知识点 （一）函数性质基础 二次函数标准形式为f(x)=ax²+bx+c（a≠0），其图像为抛物线。开口方向由系数a决定：当a>0时抛物线开口向上，函数存在最小值；当a<0时开口向下，函数存在最大值。顶点坐标公式为（−b/(2a), (4ac−b²)/(4a)），其中纵坐标值即为函数最值。 （二）自变量取值分类 1、全体实数范围：当自变量x取任意实数时，函数在顶点处取得唯一最值。开口向上时最小值为(4ac−b²)/(4a)，开口向下时最大值为相同值。 2、有限区间范围：当x在[m,n]区间取值时，需分三种情况讨论： （1）对称轴x=−b/(2a)在区间内：开口向上时顶点为最小值，距离对称轴较远的端点为最大值；开口向下时顶点为最大值，较远端点为最小值。 （2）对称轴在区间左侧（x=−b/(2a)<m）：开口向上时函数单调递增，最小值在x=m，最大值在x=n；开口向下时函数单调递减，最大值在x=m，最小值在x=n。 （3）对称轴在区间右侧（x=−b/(2a)>n）：开口向上时函数单调递减，最小值在x=n，最大值在x=m；开口向下时函数单调递增，最大值在x=n，最小值在x=m。 二、主要求解方法 （一）配方法 通过代数变形将一般式转化为顶点式f(x)=a(x−h)²+k。步骤如下： 1、提取二次项系数：f(x)=a+c 2、配方处理：f(x)=a[(x+b/(2a))²−(b²)/(4a²)]+c 3、化简为顶点式：f(x)=a(x+b/(2a))²+(4ac−b²)/(4a) 示例：将f(x)=2x²−4x+1配方得f(x)=2(x−1)²−1，顶点坐标为(1,−1)，因a=2>0故最小值为−1。 （二）公式法 直接应用顶点坐标公式计算： 1、横坐标x=−b/(2a) 2、纵坐标y=(4ac−b²)/(4a) 示例：函数f(x)=−3x²+6x+2中，a=−3,b=6,c=2，代入得顶点(1,5)，因a<0故最大值为5。 （三）区间端点分析法 当对称轴不在定义域内时，通过比较端点函数值确定最值： 1、计算区间端点m、n的函数值f(m)、f(n) 2、比较大小确定最值：开口向上时，距离对称轴较远的端点对应较大值；开口向下时，较近端点对应较大值。 示例：函数f(x)=2x²−8x+9在区间[4,8]上，顶点x=2不在区间内且a>0，因函数在区间内单调递增，故最小值在x=4时为9，最大值在x=8时为73。 例3．二次函数有最小值，则m等于（　） A．1 B． C． D． 变式3-1．二次函数的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D．3 变式3-2.已知二次函数，当时函数的最小值为，则的值为 ． 变式3-3.已知二次函数． (1)若，且二次函数象经过点，求函数顶点坐标； (2)若， ①求证：二次函数的图象和轴有两个交点； ②若，点在该二次函数图象上，当时，的最小值是，求的值． 类型四、二次函数的应用 一、核心知识点 1、几何问题： （1）面积优化：利用篱笆围成矩形时，通过设宽为x建立面积函数S=x(总长-2x)，求最大面积。 （2）抛物线建模：如跨河拱桥问题，设拱顶为原点建立y=ax²，代入已知点坐标确定a值。 2、经济问题： （1）利润最大化：建立利润函数W=(售价-成本)×销量，通过配方或顶点式求最大利润。 （2）定价策略：根据销量与价格的反比关系，建立二次函数模型确定最优售价。 3、运动问题： （1）抛体运动：以抛出点为原点建立y=ax²+bx+c，通过最高点和落地点坐标确定函数。 （2）轨迹分析：解方程y=0求水平距离，分析运动轨迹特征。 二、关键方法 （一）解析式确定方法 1、三点坐标法：将三点坐标代入一般式，解三元一次方程组。例如已知(0,4)、(8,0)、三点，可建立方程组： c=4 64a+8b=0 4a-2b=0 解得a=-1/4，b=1，c=4，函数为y=-1/4x²+x+4。 2、顶点坐标法：已知顶点(h,k)和另一点(x₀,y₀)，代入顶点式y=a(x-h)²+k求a值。例如顶点(2,0.8)和点(4,0)，得0=a(4-2)²+0.8，解得a=-0.2。 3、交点坐标法：已知与x轴交点(x₁,0)、(x₂,0)和另一点(x₀,y₀)，代入交点式求a值。例如交点(0,0)、(4,0)和点(2,0.8)，得0.8=a(2-0)(2-4)，解得a=-0.2。 （二）实际问题解决策略 1、建立坐标系：根据问题特征选择原点位置，如拱桥问题以拱顶为原点，运动问题以抛出点为原点。 2、变量关系分析：明确自变量与因变量的关系，如经济问题中售价与销量的反比关系。 3、模型验证：通过代入已知条件检验函数正确性，确保模型符合实际情境。 4、最值求解：对利润函数等二次函数进行配方，转化为顶点式y=a(x-h)²+k，直接读取最值点。 （三）典型问题处理技巧 1、面积问题： （1）围栏问题：设宽为x，则长为(总长-2x)，建立面积函数S=x(总长-2x)。 （2）动点问题：分类讨论点动、线动、面动情形，建立动态面积函数。 2、经济问题： （1）分段函数处理：当价格变化导致销量突变时，分段建立函数模型。 （2）定义域约束：考虑实际限制条件，如销量非负、价格合理区间等。 3、运动问题： （1）单位统一：确保速度、时间、距离单位一致。 （2）重力近似：取g=10m/s²简化计算。 例4．某商场以每件元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足关系：． (1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式； (2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？ 变式4-1．某隧道的截面由抛物线和长方形构成，若隧道宽度为12米，最高处离地面10米，长方形宽为4米．如图，现以O点为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求出抛物线的表达式（并写出自变量的取值范围）． (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向车道，那么这辆货运汽车能否安全通过？ (3)在抛物线的拱壁上需要安装两排路灯，使路灯离地面的高度相同，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少？ 变式4-2.某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园（如图），其中一边靠墙，可利用的墙长不超过．另外三边由长的栅栏围成．设在矩形中，垂直于墙的边，矩形的面积为． (1)直接写出与之间的函数解析式___________； (2)若植物园的面积为，求的值． 变式4-3.小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点正上方1.8米处的点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的运动路线可以看作是二次函数（，为常数，）图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离，图象经过点，． 信息二：球和原点的水平距离（米）与时间（秒）（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： （秒） 0 0.4 0.6 … （米） 0 4 6 … (1)求与的函数关系式； (2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ (3)当为1.6秒时，小明将球击回，此时球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数图象的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标为2，纵坐标大于或等于1.8时，求的取值范围． 类型五、二次函数的铅垂高 一、铅垂高的定义 水平宽：在平面直角坐标系中，若三角形三个顶点为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，取其中两个定点（如A、B）间的水平距离作为水平宽，即|x2 - x1|。 铅垂高：过第三个顶点C作x轴的垂线，与AB边所在直线交于点D，线段CD的长度即为AB边的铅垂高。 二、铅垂高法的核心原理 等积法推导：以铅垂高AD为公共底边，将三角形ABC分割为△ABD和△ADC。设ME、EN分别为△ABD、△ADC以AD为底时的高，则： S△ABC = S△ABD + S△ADC = 1/2 × ME × AD + 1/2 × EN × AD = 1/2 × (ME + EN) × AD = 1/2 × MN × AD 其中MN为A、B两点在x轴上的投影距离（水平宽），AD为铅垂高。 三、铅垂高法的变形与应用 变形1：图形翻转 将原三角形旋转180度后，水平宽与铅垂高的定义保持不变，证明过程与原始方法一致。 变形2：动点处理 当动点C的位置导致直线BC难以确定时，可采用以下方法： 过B点作BM⊥x轴于M，过A点作AE⊥x轴于E，过C点作CN⊥x轴于N并交BA延长线于D。 此时S△ABC = S△BDC - S△ADC = 1/2 × CD × (MN - EN) = 1/2 × CD × ME。 四、铅垂高法在二次函数中的应用步骤 步骤1：确定水平宽 计算抛物线与x轴交点A、B的横坐标差值，即水平宽 = |x2 - x1|。 步骤2：构造铅垂高 过动点P作PQ⊥x轴交直线AB于Q，PQ的长度即为铅垂高。 步骤3：建立坐标关系 设P点坐标为(m, y(m))，代入直线AB方程求得Q点纵坐标，PQ = |y(m) - y(Q)|。 步骤4：面积公式应用 S△PAB = 1/2 × 水平宽 × PQ。 例5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，已知点的坐标为，点的坐标为． (1)求该二次函数的表达式； (2)点是直线下方的抛物线上一动点，当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求此时点的坐标及四边形ABCP面积的最大值． 变式5-1．如图1，抛物线的图象是一条抛物线，图象与x轴交于点A和点，与轴交于点．点为该抛物线上一点，其横坐标为，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线下方抛物线上的点，过点P作轴交于M，求的最大值及此时点P的坐标． (3)当该抛物线在点C与点P之间（包含点C和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为定值时，写出的取值范围及这个定值． 变式5-2.如图．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线和直线的函数表达式； (2)如图1，点是线段上一动点（不与点，重合），连接，将沿翻折，得到四边形，若四边形为菱形，求点的坐标； (3)如图2，点是位于第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点，求线段的最大值，以及此时点的坐标． 变式5-3.如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点C，连接．D是第二象限内抛物线上的动点，过点D作的平行线． (1)求抛物线的函数解析式． (2)求面积的最大值，及此时点D的坐标． (3)若点D的横坐标为，则在直线上是否存在点P，使是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 类型六、二次函数与特殊三角形 特殊三角形分类及性质 等边三角形：三边相等，内角均为60度。在二次函数中，开口向上的抛物线可与等边三角形相切，开口向下的抛物线可包含等边三角形。 等腰三角形：两边相等，两底角相等。顶点坐标可与等腰三角形顶角顶点重合，底边中点位于对称轴上。 直角三角形：包含一个90度角。抛物线可与直角三角形斜边相切，或通过构造垂直坐标轴的直线形成直角。 锐角三角形：三个内角均小于90度。顶点坐标可与锐角三角形顶角顶点重合。 核心解题方法 几何性质法 等边三角形构造：通过平移顶点坐标，利用等边三角形高与边长的比例关系（高=√3/2边长）建立方程。例如，平移后的顶点D1，等边三角形高QG=√3/2m，代入解析式求解m值。 等腰三角形分类：按腰长分类讨论，利用两点间距离公式计算边长，结合垂直平分线性质确定顶点位置。 直角三角形判定： 两线一圆法：通过互相垂直直线的斜率乘积为-1确定直线方程，联立求解交点坐标。 勾股定理法：设动点坐标，计算三边长度，利用a²+b²=c²建立方程。 代数计算法 顶点式应用：将二次函数化为顶点式y=a(x-h)²+k，通过平移变换（左加右减，上加下减）确定新顶点坐标。 联立方程组：将抛物线方程与直线方程联立，通过解方程组确定交点坐标。例如，联立y=1/2(x-1)²-1与y=1/2(x-1-m)²-1，解得x=1+m/2。 面积最值法 铅锤定理：三角形面积=铅锤高度×水平宽度÷2。设动点P(x,y)，通过代数式表达铅锤高度（P点到x轴垂直距离）和水平宽度（P点横坐标与固定点横坐标差），构建二次函数求最值。 割补法：通过构造矩形或大三角形，用整体面积减去部分面积。例如，求△PBC面积时，可构造包含△PBC的矩形，减去周围三个直角三角形面积。 例6．如图，抛物线与轴交于点（在的右侧），与轴交于点． (1)分别求出的坐标； (2)在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在求点的坐标；若不存在，说明理由； (3)在抛物线的对称轴上存在点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 变式6-1．如图1，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点坐标为． (1)求B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式； (2)若点D是该二次函数图象上的一点，且满足（O是坐标原点），求点D的坐标； (3)如图2，P是线段上的一个动点（与B、C不重合），过点P作直线轴，交于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 变式6-2.如图，已知抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，试求面积的最大值； (3)点E是线段上异于B，C的动点，过点E的直线轴于点N，交抛物线于点M．当为直角三角形时，求点M的坐标． 变式6-3.如图，已知抛物线经过点，与轴交于点A、． (1)求抛物线的顶点的坐标； (2)点在抛物线的对称轴上，且位于轴的下方，将沿直线翻折，如果点的对应点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标； (3)点，点在坐标平面内，且为等边三角形（点、、顺时针排列）时，连结，试求直线与抛物线交点的坐标，若能，请求出，若不能请说明理由． 类型七、二次函数与特殊四边形 二次函数与特殊四边形知识点与方法 一、核心知识点 （一）二次函数基础性质 1 表达式：y=ax²+bx+c（a≠0），开口方向由a决定（a>0向上，a<0向下） 2 顶点坐标：，对称轴x=-b/2a 3 图像特征：抛物线，与x轴交点通过判别式Δ=b²-4ac判断 （二）特殊四边形判定 1 平行四边形： （1）对边平行且相等 （2）对角线互相平分 （3）两组对角分别相等 2 矩形： （1）平行四边形+一个直角 （2）对角线相等 （3）三个直角四边形 3 菱形： （1）平行四边形+邻边相等 （2）对角线互相垂直 （3）四条边相等 4 正方形： （1）矩形+菱形特性 （2）对角线垂直且相等 二、典型解题方法 （一）坐标构建法 1 中点公式应用： （1）已知三点坐标A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，求第四点D(x,y)使ABCD为平行四边形时： x1+x3=x2+x y1+y3=y2+y （2）矩形对角线需满足：中点相同且AC=BD 2 距离公式应用： （1）菱形邻边相等：√[(x-x1)²+(y-y1)²]=√[(x-x2)²+(y-y2)²] （2）矩形直角验证：斜率k1·k2=-1 （二）分类讨论策略 1 按边/对角线分类： （1）以AB为边时，平移构造平行四边形 （2）以AB为对角线时，作中垂线构造对称点 2 按图形特性分类： （1）菱形：以A为圆心，AB为半径画圆交y轴于C，平移得D （2）矩形：过A作x轴垂线交y轴于C，平移得D （3）正方形：结合垂直平分线与等长条件 三、综合题型突破 （一）面积最值问题 1 表达式构建： （1）已知底边x，面积A(x)=-2x²+32x-48 （2）顶点公式求最大值：x=-b/2a=8，A(8)=80 2 几何转化： （1）普通四边形拆分为两个三角形 （2）利用"割补法"构造矩形计算 （二）存在性判定 1 平行四边形： （1）设动点P(t,k)，列中点方程 （2）验证是否满足函数关系式 2 矩形/菱形： （1）矩形：增加距离相等条件AC=BD （2）菱形：增加斜率垂直条件k1·k2=-1 3 正方形： （1）联立垂直平分线与等长方程 （2）验证邻边相等与直角条件 例7．如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上的一个动点． ①如图1，若点在第一象限内，连接交直线于点，设的面积为，面积为，若，求点坐标； ②如图2，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作于点，点是对称轴上的一个动点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 变式7-1．如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求面积的最大值， (3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 变式7-2.如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点E在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 变式7-3.如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是轴上方抛物线上的一点，过点D作轴的垂线，交直线于点E，求四边形的面积最大值及此时点D的坐标； (3)点F在直线上，点P在抛物线上，点Q在坐标平面内，以B，F，P，Q为顶点的四边形为正方形，请直接写出点Q的坐标． 类型八、二次函数与圆 一、二次函数核心知识点 （一）图像性质 开口方向由系数a决定：a>0时抛物线开口向上，a<0时向下；|a|越大开口越窄，|a|越小开口越宽。对称轴公式为x=-b/2a，顶点坐标为。例如函数y=2x²+4x+1中，对称轴x=-1，顶点坐标。 （二）解析式确定方法 顶点式y=a(x-h)²+k适用于已知顶点(h,k)及另一点的情况，如顶点(1,3)过点(0,2)，代入得a=-1，解析式为y=-(x-1)²+3。交点式y=a(x-x₁)(x-x₂)适用于已知与x轴交点(x₁,0)、(x₂,0)的情况，如交点(2,0)、过点(1,4)，代入得a=-1/2，解析式为y=-1/2(x-2)(x+3)。 （三）图像平移规律 上下平移遵循"上加下减"原则：y=ax²+k中k>0向上移k单位，k<0向下移|k|单位。左右平移遵循"左加右减"原则：y=a(x-h)²中h>0向右移h单位，h<0向左移|h|单位。例如y=x²向上移2单位得y=x²+2，向右移3单位得y=(x-3)²。 二、圆的核心知识点 （一）基本性质 点与圆的位置关系通过距离d与半径r比较判断：d<r在圆内，d=r在圆上，d>r在圆外。例如点P(2,3)到圆心O(0,0)的距离d=√=√13，若圆半径r=4，则点P在圆内。 （二）重要定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦及所对弧。例如直径AB⊥弦CD于E，若CD=8，半径OC=5，则OE=√=3。切线长定理：从圆外一点引两条切线，切线长相等且该点到圆心连线平分两切线夹角。例如点P到圆O的切线PA、PB长均为5，∠APB=60°，则OP=5/sin30°=10。 （三）计算方法 弧长公式l=nπr/180（n为圆心角度数），扇形面积公式S=nπr²/360或S=1/2lr。例如半径6cm的圆中，60°圆心角对应弧长l=60×π×6/180=2πcm，扇形面积S=60×π×6²/360=6πcm²。 三、关键解题方法 （一）数形结合思想 二次函数与一元二次方程关系：方程根即函数图像与x轴交点。例如方程x²-5x+6=0的根x=2、x=3对应函数y=x²-5x+6与x轴交点(2,0)、(3,0)。二次函数与不等式关系：利用图像解不等式。例如解x²-4x+3<0，画出y=x²-4x+3图像，观察x轴下方部分对应x∈(1,3)。 （二）几何辅助线技巧 圆中弦长问题常用垂径定理构造直角三角形。例如弦AB=8，半径OC=5，作OE⊥AB于E，则AE=4，OE=√=3。切线问题常用"连半径、证垂直"或"作垂直、证半径"方法。例如证明MN为切线，若MN过圆上点A，连接OA，证OA⊥MN；若MN未明确过圆上点，作OH⊥MN于H，证OH=r。 （三）动态问题处理策略 动点问题常设未知数表示坐标，利用距离公式或函数性质求解。例如点P在抛物线y=x²上运动，求△PAB面积最大值时，设P(t,t²)，用面积公式S=1/2×AB×高建立函数关系。存在性问题采用分类讨论法。例如判断是否存在点Q使△QAB为等腰三角形，分QA=QB、QA=AB、QB=AB三种情况讨论。 例8．知二次函数的顶点在轴下方，并且与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴的负半轴交于点，． (1)当，时，求该抛物线顶点的坐标； (2)若，点为线段上一点，当时，求点的坐标； (3)若，过点的直线与以为直径的圆相交于点和点，点在线段上，记的中点为，当的最小值取时，求顶点的坐标． 变式8-1．如图，直角坐标系中，圆与x轴交于、两点，与y正半轴切于C点，抛物线经过A、B、C三点，且与圆还有一个交点为D，由对称性可知． (1)抛物线对称轴为_____，_______； (2)在D点右边的抛物线上是否存在一点Q，连接．使为的等腰三角形，如果存在，求出Q点坐标，如果不存在，说明理由； (3)在D点右边的抛物线上有一点P，连接，使平分，求点P的坐标． 变式8-2.如图，二次函数的图象的顶点坐标为，与轴交于点，与轴分别交于点和点（点在点左侧），，为抛物线上的两点． (1)求该二次函数的解析式和，两点的坐标． (2)以为直径作圆，圆心为，求点与上的点的最短距离． (3)设点的横坐标为，点的横坐标为，的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 变式8-3.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，作直线，点的坐标为且． (1)求抛物线的表达式； (2)若点在抛物线第一象限图象上，线段（点在点的左侧）是直线上一段长度为的动线段，轴上一点，连接，，，，若四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)动直线图象交该抛物线于，两点，以为直径作圆与抛物线始终交于一定点，求出点的坐标． 类型九、二次函数与等角、倍角 一、等角问题的知识点与方法 知识点： 等角定义：在几何图形中，若两个角的度数相等，则称这两个角为等角。 等角性质：等角具有相同的三角函数值，如正弦、余弦、正切等。 等角构造：通过构造平行线、等腰三角形、全等三角形或相似三角形，可以构造出等角。 方法： 利用平行线构造等角：通过作平行线，利用平行线的性质（同位角相等、内错角相等）构造出等角。 利用等腰三角形构造等角：等腰三角形的两底角相等，因此可以通过构造等腰三角形来得到等角。 利用全等三角形构造等角：全等三角形的对应角相等，通过证明三角形全等，可以将所需等角转化为全等三角形的对应角。 利用相似三角形构造等角：相似三角形的对应角相等，通过构造相似三角形，可以找到或构造出等角。 利用三角函数构造等角：对于一些特殊角，可以利用三角函数值的关系来构造等角。例如，在直角三角形中，通过特定的边长比例来构造出等角。 二、倍角问题的知识点与方法 知识点： 倍角定义：若一个角的度数是另一个角的两倍，则称这个角为另一个角的倍角。 倍角性质：倍角与单倍角之间存在特定的三角函数关系，如二倍角的正弦、余弦、正切公式。 倍角构造：通过构造等腰三角形、利用外角定理或作角平分线等方法，可以构造出倍角。 方法： 利用等腰三角形构造倍角：以小角为底角构造等腰三角形，使大角为等腰三角形的外角，从而构造出倍角。 利用外角定理构造倍角：等腰三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和，利用这一性质可以构造出倍角。 作角平分线构造倍角：若已有一个角，可以作出其角平分线，再以角平分线为一边构造新的角，使新角与原角的一半相等，从而构造出二倍角。 利用对称变换构造倍角：将一个角关于某条直线对称，得到与之相等的角，再通过适当的组合构造出二倍角。 利用三角函数关系构造倍角：对于一些特殊角，可以利用三角函数值的关系来构造倍角。例如，已知一个角的正切值，可以通过二倍角的正切公式求出其二倍角的正切值。 例9．如图，抛物线经过点，与轴正半轴交于点，且，抛物线的顶点为，直线经过两点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是直线上方的抛物线上的一动点，是否存在点，使的面积最大．若存在，请求出面积的最大值；若不存在，试说明理由； (3)若是抛物线上一点，且，请直接写出点的坐标． 变式9-1．如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是点关于轴的对称点，经过点的直线与该抛物线交于点，点是直线上的一个动点，连接、、，记的面积为，的面积为，那么的值是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． (3)如图2，设直线与直线交于点，点是直线上一点，若，求点的坐标． 变式9-2.如图，抛物线 与x轴分别交于、两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线上一点，且 ，求点的坐标； (3)点为抛物线第一象限上一点，连、，若 ，求点的坐标． 变式9-3.抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是抛物线上一动点，若，求满足条件的点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点C且与直线另一交点为点K，M 为新抛物线上的一动点，当时，请直接写出符合条件的点M的坐标． 类型十、二次函数的定值与比值 一、定值问题 （一）面积定值 方法：通过设点坐标，利用三角形面积公式（如铅垂法）建立方程求解。 （二）线段长定值 方法：参数计算法或韦达定理（根与系数关系）。 （三）比值定值 二、比值问题 （一）横（纵）坐标比值 方法：利用解析式恒等变换或对称性。 （二）角度比值 方法：三角函数法或斜率关系。 三、关键方法 （一）韦达定理 应用场景：已知两点在抛物线上，求线段和、积或比值。 （二）参数法 应用场景：动点问题或存在性问题。 （三）几何变换 应用场景：构造等积变形或平行线。 四、易错点 （一）符号错误：计算对称轴x=-b/(2a)时，忽略a、b的符号。 （二）范围忽略：求最值时未考虑自变量x的取值范围。 （三）单位遗漏：应用题中未统一单位（如米、厘米混用）。 （四）多解漏解：角度比值或线段比值问题中，未讨论所有可能情况。 五、备考建议 （一）多画图：通过图像直观理解定值与比值关系。 （二）分类讨论：比值问题中注意正负、大小等所有情况。 （三）记忆口诀：“二次函数抛物线，a定开口b移线，c交y轴要牢记，顶点对称解题易。” （四）专项训练：针对定值、比值、最值等题型进行分类练习。 例10．如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于A，B两点，点A在点左侧，点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)已知点D、F在抛物线上，点的横坐标为,点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点．过点作轴的垂线交直线于点． ①如图2，连接，求四边形面积的最大值及此时点D的坐标； ②如图3，连接和，试探究与的面积之和是否为定值吗?若是，请求出来；若不是，请说明理由． 变式10-1．已知，拋物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是拋物线上的任意一点（点不与点重合），设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当点位于第二象限时，过点作直线、分别交轴于、两点，请问的值是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由； (3)过点作轴于点，点为轴上的一点，纵坐标为，以、为邻边构造矩形，当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而增大或随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 变式10-2.如图1，抛物线经过，两点，作轴于点．点是抛物线上一点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，交直线于点，作轴，若，求点的坐标； (3)若点为抛物线上一点，且在第四象限内，已知直线，与轴分别交于、两点，当点运动时，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 变式10-3.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，一次函数与抛物线交于，两点，与直线交于点，分别过点，，作轴的垂线，其垂足依次为点，，，若，求的值； (3)如图2，点为第一象限抛物线上一动点，连接，，将线段绕点逆时针旋转得到，点落在第一象限，连接，点关于的对称点为，连接，，分别交于点，点，请问，是定值吗？如果是，请分别求出定值；如果不是，请说明理由． 类型十一、二次函数的新定义 一、二次函数新定义的认知基础 二次函数新定义本质上是基于学生已有认知结构的辩证发展，并非凭空创造。例如零指数幂概念的生成，是对旧概念矛盾转化的结果，解决原有幂运算体系在指数为0时的局限性；相似图形的定义借鉴全等图形学习模式，将全等看作相似比为1的特例，实现从特殊到一般的逻辑发展。这种“新”体现在对旧知识的继承、否定与超越中，推动认知升级并培养数学思维。 二、二次函数新定义的类型与特征 （一）不动点函数新定义 定义本质：函数上存在横、纵坐标相等的点，即满足f(x)=x的点。 解析式特征：将函数问题转化为方程问题，当方程x=f(x)有解时，该函数为不动点函数。例如一次函数y=kx+b，若存在x使得x=kx+b，即(1-k)x=b有解，当k≠1时x=b/(1-k)，函数为不动点函数。 图象特征：在平面直角坐标系中，不动点位于直线y=x上。函数图象与直线y=x的交点即为不动点。 （二）对称点函数新定义 定义本质：函数图象上存在关于某条直线对称的两个点。例如关于直线y=x对称的点，若点(a,b)在函数图象上，则点(b,a)也在图象上。 解析式特征：通过点的对称关系建立方程。若函数y=f(x)图象上两点(a,b)和(b,a)关于y=x对称，则b=f(a)且a=f(b)，可得到f(f(a))=a。 图象特征：函数图象关于对称轴呈现镜像对称。如关于y=x对称的函数，其图象与反函数图象重合。 三、破解二次函数新定义的方法 （一）符号语言转化 将新定义函数用符号语言精确表达，例如不动点函数可表示为{x|f(x)=x}。通过分析符号关系，将新定义转化为熟悉的函数性质研究。如研究对称点函数时，将点的对称关系转化为坐标的等式关系，进而建立函数方程。 （二）数形结合分析 图形绘制：根据新定义函数的特征绘制函数图象。对于不动点函数，先画出原函数图象，再画出直线y=x，两者的交点即为不动点。例如二次函数y=x²-2x+3，画出其图象和直线y=x，解方程组y=x²-2x+3与y=x，即x²-3x+3=0，判别式Δ=(-3)²-4×3=-3<0，此函数无不动点。 性质分析：通过图象观察函数的对称性、单调性等性质。如对称点函数关于某直线对称，可从图象上直观看出函数在对称轴两侧的变化趋势是否对称。 （三）分类讨论策略 参数分类：当新定义函数中含有参数时，根据参数的不同取值范围进行分类讨论。例如一次函数y=kx+b（k≠0）为不动点函数，当k=1时，方程x=kx+b变为x=x+b，即b=0时有无穷多解（此时函数为y=x），b≠0时无解；当k≠1时，x=b/(1-k)，函数恒为不动点函数。 情况分类：根据新定义函数的不同情况分类讨论。如研究二次函数顶点为不动点时，分顶点在函数图象上和不在函数图象上两种情况（实际上顶点在函数图象上，只需考虑顶点坐标满足函数关系），再进一步分析顶点是唯一不动点还是存在其他不动点。 例11．定义：已知二次函数，则称二次函数是二次函数的伴随二次函数，t是伴随值． 定义理解 （1）下列二次函数中，是二次函数的伴随二次函数的是（    ） A．      B． C．             D． 深入探究 （2）已知二次函数的图象如图所示，其伴随二次函数是． ①伴随值为 ； ②在同一平面直角坐标系中直接画出伴随二次函数的图象； ③当时，记二次函数与的图象为W，若W的最高点的纵坐标为12，求W的最低点的坐标． 变式11-1．【概念认知】： 城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：． 【数学理解】： （1）①已知点，则______； ②函数的图像如图①所示，是图像上一点，，则点的坐标是______． （2）函数的图像如图②所示，求证：该函数的图像上不存在点C，使． （3）函数的图像如图③所示，D是图像上一点，求的最小值及对应的点D的坐标． 【问题解决】： （4）某市要修建一条通往圆形景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，经测量，半径，于点C，请直接写出修建道路的最短路径______． 变式11-2.【定义】在平面直角坐标系中，与x轴有交点的函数称为：“零点函数”，交点的横坐标称为“零点”．例如：函数与x轴的交点坐标是，所以函数是“零点函数”，1是该函数的零点． 【探究】运用上述定义解决下列问题： （1）下列函数是“零点函数”的是______，其零点是：______． ①            ②            ③ （2）已知二次函数是“零点函数”，且两个零点，，，求实数a的取值范围． 【应用】如图：已知二次函数（b，c为常数，）的一个零点为，点是x轴正半轴上的动点，点在抛物线上，当的最小值为时，求二次函数的另一个零点． 变式11-3.定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数． (1)现有以下三个函数：①；②；③，其中 为函数的轴点函数．（填序号） (2)函数（为常数，）的图象与轴交于点，其轴点函数与轴的另一交点为点．若，求的值． (3)如图，函数（为常数，）的图象与轴、轴分别交于，两点，在轴的正半轴上取一点，使得．以线段的长度为长、线段的长度为宽，在轴的上方作矩形．若函数（为常数，）的轴点函数的顶点在矩形的边上，求的值． 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01二次函数 目录 典例详解 类型一、二次函数图象与各项系数符号 类型二、二次函数的几何最值 类型三、二次函数的代数最值 类型四、二次函数的应用 类型五、二次函数的铅垂高 类型六、二次函数与特殊三角形 类型七、二次函数与特殊四边形 类型八、二次函数与圆 类型九、二次函数与等角、倍角 类型十、二次函数与的定值与比值 类型十一、二次函数的新定义 典例详解 类型一、二次函数图象与各项系数符号 二次函数的基本形式与图象特征 二次函数的标准形式为y=ax2+bx+c(a≠0)，其图象为抛物线。抛物线的开口方向由二次项系数a决定： 当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，开口向下。a的大小影响抛物线的开口宽窄，a越大，开口越窄： a越小，开口越宽。 二、系数符号与图象性质的关联 (一)一次项系数b的作用 b与a共同决定抛物线对称轴的位置。对称轴公式为x=b/(2a),其位置规律可简记为"左同右异"：当a、b 同号时，对称轴位于y轴左侧；当a、b异号时，对称轴位于y轴右侧。例如，y=2x2+4x的对称轴x=-1 在y轴左侧(a=2>0,b=4>0),而y=-x2+2x的对称轴x=1在y轴右侧(a=-1<0,b=2>0)。 (二)常数项c的几何意义 c决定抛物线与y轴的交点位置。当c>0时，交点位于y轴正半轴；当c=0时，交点为原点；当c<0时， 交点位于y轴负半轴。例如，yx2+1与y轴交于(0,1)，y=x2.3与y轴交于0，-3。 三、判别式b2.4ac的图象解读 判别式b2-4ac的值反映抛物线与x轴的交点情况：当b24ac>0时，抛物线与x轴有两个交点；当b 4ac=0时，有一个交点（顶点在x轴上）：当b2-4ac<0时，无交点。例如，y=x2-2x+1的判别式=0，图象顶 点在(1,0)；y=x2+1的判别式=-4<0，图象完全位于x轴上方。 1/118 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 四、特殊点代入法的应用 通过代入x=1、x=-1等特殊值，可快速判断系数关系： 当x=1时，y=a+b+c,其符号反映点(1，y)在x轴上方或下方； 当x=-1时，y=a-b+c,其符号反映点-1，y的位置； 当x2时，y=4a+2b+c,结合对称轴位置可验证图象走势。 例如，己知抛物线对称轴x=1且过(0,3)，代入x=2时y值应与x=0时相等，可验证4a+2b+c=3。 五、综合判定方法 (一)系数乘积的符号规律 abc的符号：结合a的开口方向、b的对称轴位置、c的y轴交点综合判断。例如，开口向下(a<0)、对 称轴右侧(b0)、与y轴正交(c>0)时，abc<0。 2a+b的符号：通过对称轴x=-b/(2a)与x=1的关系判断。若对称轴在x=1右侧，则-b/(2a)>l,推导出2a +b<0(a0时)或2a+b>0(a<0时)。 (二)图象平移的系数变化 抛物线平移遵循"左加右减，上加下减”原则。例如，y=2x2向右平移3个单位得y=2(x-3P,向下平移2个 单位得y=2x2-2。平移不改变a的绝对值，仅影响b、c的值。 例1.对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)如图，小明同学得出了以下 结论：①abc<0;②b2>4ac;③4a+2b+c>0;④3a+c>0;⑤a+b≤m(am+b)(m为任意实数)；⑥ 当x<-1时，y随x的增大而增大.其中结论正确的为(). A.①②④ B.②③④ C.②④⑤ D.②④⑥ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=a2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对 称轴和抛物线与y轴的交点确定. 由抛物线的开口方向判断α的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断· 【详解】①由图象可知：a>0,c<0, -=1, .b=-2a<0, ∴.abc>0,故①错误； 2/118 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②：抛物线与x轴有两个交点， ∴.b2-4ac>0, .b2>4ac,故②正确： ③当x=2时，y=4a+2b+c<0,故③错误； ④当x=-1时，y=a-b+c=a-(-2a)+c>0, .3a+c>0,故④正确； ⑤当x=1时，y取到值最小值，此时，y=a+b+c, 而当x=m时，y=am2+bm+c, 所以a+b+c≤am2+bm+c, 故a+b≤am2+bm,即a+b≤m(am+b),故⑤正确， ⑥当x<-1时，y随x的增大而减小，故⑥错误， 所以②④⑤正确. 故选：C. 变式1-l.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，下列给出的结论：① abc<0;②b-2a=0;③a+b+c<0;④8a+c>0;⑤am2+bm≥a-b.其中正确的结论有(） x=-1 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图像特征与性质，根据二次函数图像的性质，分析每个结论的正确性，利用 图像提供的信息和二次函数的性质进行判断， 【详解】解：①由图像可知：a>0,b>0,c<0,abc<0,故①正确； ②对称轴为x=-1, ∴.b=2a, 3/118 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .b-2a=0,故②正确： ③由图像可知：当x=1时，y=a+b+c>0,故③错误； ④，当x>0时，y>0, .x=2时，y=4a+2b+c>0, .b=2a, .8a+c>0,故④正确： ⑤当x=-1时，y的值最小.此时，y=a-b+c, 而当x=m时，y=am2+bm+c, 所以am2+bm+c≥a-b+c,即am2+bm≥a-b,故⑤正确. 故①②④⑤正确，共4个. 故选：A 变式1-2.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，其对称轴是直线x=1.有下列5个 结论：①abc>0;②b-a>c；③4a+2b+c>0;④3a<-c;⑤a+b>m(am+b).其中正确结论有 (填序号) 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查二次函数的图像与系数的关系，二次函数的图像与性质，解答此题的关键是熟练掌 握二次函数的图像与性质.根据抛物线的开口向下，对称轴及与y轴交点位置判断出a<0,b>0,c>0, 可判断①；根据x=-1时的函数值可判断②；由抛物线的对称性以及图像可判断③；由对称轴为直线 s、 b =1及x=-1时的函数值可判断④；由对称轴得出函数的最大值，可判断⑤，进而可得答案， 2a 【详解】解：，抛物线的开口向下， .a<0, ,对称轴为直线x=- b=1>0, 2 .b>0,b=-2a, 4/118 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :抛物线与y轴交于y轴正半轴， .c>0, .abc<0,故①错误， 由图像可知，x=-1时，y=a-b+c<0, .b-a>c,故②正确， ,对称轴为直线x= b21 2 ∴.x=2时与x=0时的函数值相等， .y=4a+2b+c>0,故③正确， ,a-b+c<0, .a-(-2a)+c<0, .3a<-c,故④正确， ,当x=1时，y=a+b+c, ,y的最大值为a+b+c, .当x=m时，am2+bm+c≤a+b+C, ,a+b≥m(am+b),故⑤错误， 综上所述：正确结论有②③④. 故答案为：②③④ 变式13如图，抛物线y=am+br+c口≠0)与x负半轴交于点（号0， 对称轴为直线x=1,则以下结论 中正确的是 .(填序号) ①abc<0;②a-b+c>0;③4a+2b+c<0;④2a-b>0;⑤c<0;⑥b2<4ac;⑦3a+c=0;⑧-元二 次方程ax2+bx+c-3=0有实数根；⑨若-1，y),2,y2),(4,y)都是该抛物线上的点，则y1<y2<;⑩ am2+bm≥a+b(m为任意实数). 5/118 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】②③④⑤⑧⑩ 【分析】本题的解题思路是先确定α、b、c的符号，再利用对称轴、函数值、判别式等信息分析各结论. 【详解】解：结论0：抛物线开口向上，所以a>0:对称轴x=-力=1，可得6：-2a<0,抛物线与y轴 2a 交点在负半轴，所以c<0,则abc>0,结论①错误； 结论②：当x=-1时，y=a-b+c,由图象可知x=-1时y>0,所以a-b+c>0,结论②正确； 结论③：对称轴为x=1,所以当x=2时的函数值与x0时的函数值相等，x=0时y=c<0,所以 4a+2b+c<0,结论③正确； 结论④：b=-2a,所以2a-b=2a-（-2a=4a>0,结论④正确： 结论⑤：抛物线与y轴交点在负半轴，所以c<0，结论⑤正确； 结论⑥：抛物线与x轴有两个交点，所以A=b2-4ac>0,即b2>4ac,结论⑥错误； 箭论0：衡线过点（0所以个》c=0,即0-+=0又因为6-2a,代入 得a+a+c=0,a+c=0,结论⑦错误； 4 结论⑧：一元二次方程ax2+bx+c-3=0的判别式△=b2-4a(c-3)=b2-4ac+12a,由b'-4ac>0,a>0, 所以△>0，有实数根，结论⑧正确： 结论⑨：点(-1，y)关于对称轴x=1的对称点为3，)，因为抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而 增大，2<3<4，所以2<y<,结论⑨错误： 结论⑩：因为抛物线的对称轴为x=1,且开口向上，所以当x=1时，函数取得最小值a+b+c,所以对于任 意实数m,am2+bm+c≥a+b+c,即am2+bm≥a+b,结论⑩正确. 所以正确的是②③④⑤⑧⑩. 故答案为：②③④⑤⑧⑩. 【点晴】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点、判别 式等性质，结合这些性质分析系数符号、函数值符号以及方程的根的情况是解题的关键。 类型二、二次函数的几何最值 、 核心知识点 6/118 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 抛物线基本性质：二次函数图像为抛物线，开口方向由系数a决定：a>0时开口向上，存在最低点（最小 值)；a<0时开口向下，存在最高点（最大值）。 几何转化原理：在几何问题中，二次函数最值常通过面积公式、距离公式等几何量与函数解析式建立联 系。例如三角形面积可表示为水平宽与铅垂高乘积的一半，当动点在抛物线上移动时，该面积表达式可 转化为二次函数形式。 二、典型求解方法 补形割形法：通过分割或补全几何图形，将不规则区域转化为规则图形（如矩形、三角形）进行计算。 例如在抛物线背景下的面积问题中，可将曲边三角形分割为直角三角形与梯形组合，利用几何公式建立 面积与动点坐标的函数关系。 铅垂定理法：适用于求三角形面积最值。设动点Pxy)在抛物线上，过P作水平线与坐标轴交于E点，作 BC的平行线交BC于F点。此时三角形面积S=1/2×水平宽(EF)×铅垂高(PE),通过代数化简可得关 于X的二次函数，进而求出最值。 切线法：利用抛物线切线性质求极值。当过动点P的切线与固定线段（如BC)平行时，该点到线段的距 离最大，对应几何量（如面积）达到极值。具体操作：设切线方程为ykx+b,联立抛物线方程后令判别 式△O,解得切点坐标。 三角函数法：在斜三角形面积计算中，通过构造直角三角形引入三角函数关系。 例2.如图，正方形ABCD的边长为2，E为边AD上一动点，连接CE,以CE为边向右侧作正方形CEFG, 连接DF,DG,则△DFG面积的最小值为() A.1 B.1.5 C.2 D.3 【答案】B 的实际应用，设D龙=，勾股定理求出CE的长，根 将△DFG的面积转化为二次函数求最值即可. 【详解】解：设DE=x, 正方形ABCD的边长为2， ∴.∠ADC=90°，AD=CD=2, CE=CD2+DE2=x2+4, 过点D作PQI川EF交CE于Q,交GF于P, 7/118 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B ,四边形CEFG是正方形， .∠QEF=∠EFP=90°，EF=EC=FG, ∴.∠EQP=90°， .四边形EQPF是矩形， ..EC =EF =PO, .S.m+S.m-CE:DQ+iFG-DP-CE-PO-CB-cm SADFG= Scwo-S.co-CE-CD-DE, 1 2 2 2 即：=2+4到-x2x=-x+2=x-l2+ 3 2 2 2 当x=1时，SDrG的值最小，为)： 3 故选B. 变式2-1.如图，己知抛物线y=-(x-3)+4,与x轴交于A,B两点，对称轴与x轴交于点D,以抛物线 顶点C为圆心，半径为2作OC,点H为⊙C上一点，连接AH并取AH的中点P,连接DP,则DP最小值 为() B A.5 B.5-1 C.5 D.5+1 【答案】B 【分析】P为H中点，D为B中点，所以PD是：4BH的中位线，则DP=BH,当8H最小时，则DP 最小.由圆的性质可知，当H、C、B三点共线，且点H在线段BC上时，BH最小，进而即可求解 8/118 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：因为P为AH中点，D为AB中点， 所以PD是aABH的中位线，则DP=BH,当BH最小时，则DP最小 由圆的性质可知，连接BC交OC于H,此时，BH最小 YA OVA B ,抛物线y=-(x-3)2+4, .顶点C(3,4, 令y=0,则-(x-3)2+4=0, 解得x=1,x2=5, .B(5,0, BC=V5-3)2+42=25, .BH=BC-CH=25-2, DP最小值=BH=V5-1, 故选：B. 【点晴】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、三角形的中位线定理、二次函数的性质以及点与圆的位置关 系等知识点，有一定难度，学会用转化的思想思考问题是解题的关键. 变式2-2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+3交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=-x2+2x+1与 y轴交于C点，若点E在抛物线的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，则CE+EF的最小值 为 9/118 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B A 【答案】2√2 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求一次函数关系式，勾股定理， 先作点C的对称点C,当点C,E,F三点共线，且CF⊥AB时，CE+EF=CF值最小，再求出点C,(2,I), 即可求出直线ycF=-x+3,然后求出两直线的交点坐标，最后根据勾股定理得出答案 【详解】解：如图所示，作点C的对称点C,可知CE=C,E, 当点C,E,F三点共线，且CF⊥AB时，CE+EF=C,E+EF=CF值最小， 当x=0时，y=1, .点C(0,) 2 :抛物线y=-×2+2x+1的对称轴是=2x- =1， .点C(2,1) 直线y=x+3,且CF⊥AB, .直线yCF=-x+b :直线ycr=-x+b经过点C,(2,1), .b=3, .直线ycr=-x+3 将两个函数关系式联立，得 y=-x+3 y=x+3, 解得x=0,y=3, .点F(0,3), 则CF=V(0-2)2+(3-1)2=2√2 故答案为：2√2 10/118