专题01 二次函数重难点题型汇编（高效培优期中专项训练）数学浙教版九年级上册

专题01 二次函数重难点题型汇编 考点01 ：二次函数的概念 考点02 ：根据二次函数的定义求参数 考点03：列出二次函数关系式 考点04：特殊二次函数的图像和性质 考点05：与特殊二次函数有关的几何知识 考点06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 考点07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题 考点08：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息 考点09：二次函数的平移变换题型10：已知抛物线上对称的两点求对称轴 考点11：二次函数的交点个数问题 考点12：抛物线与x轴的交点问 考点13：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 考点14：根据交点确定不等式的解集 考点15：二次函数的实际应用 考点16：二次函数与几何综合 考点01 ：二次函数的概念 1．下列关于x的函数一定为二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．函数的二次项系数是（　） A．4 B． C．3 D．1 考点02 ：根据二次函数的定义求参数 1．若函数是关于x的二次函数，则（　　） A． B．1 C．1或 D．2 2．已知是二次函数，则（   ） A．0 B．1 C． D．1或 3．若函数是二次函数，则的值是 ． 4．若函数是二次函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 考点03：列出二次函数关系式 1．某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 2．两个正方形的周长之和是，其中一个正方形的边长为．若以两个正方形面积之和为函数，其中一个正方形的边长为自变量，它们的关系式是（   ） A． B． C． D． 3．正方形的边长为3，若边长增加，则面积增加，与的关系式为（　　） A． B． C． D． 4．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（个）与销售单价（元个）有如下关系：（，且为整数）．设这种双肩包每天的销售利润为元．则与之间的函数关系式为 ． 5．如图，，，，四边形是的内接矩形，如果的长为，矩形的面积为，则与的函数关系式为 ． 考点04：特殊二次函数的图像和性质 1．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．轴 D．轴 2．已知点均在抛物线上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．如果抛物线在对称轴的左侧y的值随x的增大而增大，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．关于函数的图象与性质说法正确的是（   ） A．顶点坐标在第二象限 B．图象关于轴对称 C．当时，随的增大而增大 D．函数值的最小值为2 6．抛物线的开口方向和顶点坐标是（    ） A．开口向上， B．开口向下， C．开口向上， D．开口向下， 7．二次函数的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 8．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 9．已知函数，当函数值随的增大而减小时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．下列关于二次函数的图象说法中，错误的是（   ） A．它的对称轴是直线 B．它的图象有最低点 C．它的顶点坐标是 D．在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大 11．二次函数，当时，y的取值范围为 ． 考点05：与特殊二次函数有关的几何知识 1．已知表示不超过实数的最大整数，函数的部分图象如图所示，若方程在有2个解，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，此时，，把直线向上平移个单位，则与之间的关系是（    ） A． B．随着直线向上平移， C．随着直线向上平移， D．无法判断 3．如图，在平面直角坐标系中、抛物线上已知A的坐标为．过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点．过点作交抛物线于点，……依此规律进行下去，例点的坐标为 ． 4．如图，将二次函数位于x轴的下方的图象沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（实线部分）．当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的最值范围是 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标分别为，，．若抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围为 ． 考点06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 1．关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A．开口向上 B．与x轴有一个交点 C．对称轴是直线 D．当时，y随x的增大而减小 2．二次函数图象的对称轴方程为（   ） A．2 B． C． D． 3．抛物线如图所示，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 5．已知点，，均在抛物线上，则 A． B． C． D． 6．已知二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．二次函数，自变量x与函数y的对应值如下表： x … 0 … y … 4 0 0 4 … 下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时， D．二次函数的最小值是 8．已知二次函数的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（   ） A．有最小值0，有最大值2 B．有最小值0，有最大值3 C．有最小值，有最大值2 D．有最小值，有最大值3 考点07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题 1．已知二次函数在时最小值为，则b的值为（    ） A．4 B．4或 C． D．或 2．已知二次函数（m为常数，且），当时，该二次函数有最小值2，则m的值是（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 3．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（   ） A． B． C．或 D．或 4．已知抛物线（m为常数），当时，其对应的函数值最小为7，则m的值为（   ） A．4 B． C．或4 D．或6 考点08：二次函数与一次函数的图像综合 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为　　 A．B．C．D． 2．在同一平面直角坐标系中，函数与的图像可能是（   ） A．B．C． D． 3．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（　　） A． B． C． D． 考点09：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像与系数的关系 1．抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示．下列判断中：①；②；③；④若点均在抛物线上，则；⑤．其中正确的个数有（        ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．丽从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤．你认为其中正确信息的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．二次函数的图象如图所示，则下列结论中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．4 B．3 C．2 D．1 考点10：二次函数的平移变换 1．将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得的抛物线为（  ） A． B． C． D． 2．抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（　　） A．先向左平移3个单位，再向上平移1个单位 B．先向右平移3个单位，再向上平移1个单位 C．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位 3．若将抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 4．将函数的图象向左平移5个单位后得到的新抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 考点11：已知抛物线上对称的两点求对称轴 1．如图，二次函数图象的对称轴是直线，与x轴一个交点，则与x轴的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．已知抛物线与x轴的交点分别为，，则该抛物线的对称轴是（   ） A． B． C． D． 3．抛物线的部分图象如图所示，已知此抛物线与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线，则抛物线与轴的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 4若抛物线与x轴的两个交点为，，则该抛物线的对称轴为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 考点12：二次函数的交点个数问题 1．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B，D．若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围是（　　） A．B． C． D． 3．已知二次函数，将该二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象如图所示，当直线与新图象有个交点时，的值为(　　)    A． B． C．或 D．或 考点13：抛物线与x轴的交点问题 1．抛物线与坐标轴交点个数为（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．无交点 2．二次函数的图象与坐标轴有两个交点，则a的值是（   ） A．或1 B．2或0 C．或0 D．1或2 3．抛物线的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 ． 考点14：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 1．如图，抛物线与直线交于，两点，则一元二次方程的根为 ． 2．抛物线的部分图像如图所示，则一元二次方程的根为 ． 3．若二次函数部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，则关于的一元二次方程的根为： ．    考点15：根据交点确定不等式的解集 1．如图，二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为，则不等式的解集为 ． 2．抛物线的部分图象如图所示，且抛物线经过点，对称轴是直线，则当时，x的取值范围是 ． 3．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是 ． 4．二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的的取值范围为 ． 考点15：二次函数的实际应用 1．如图，铅球运动员掷铅球的高度与水平距离之间的函数关系是，则该运动员此次掷铅球的成绩是（   ）m． A．12 B．10 C．8 D．2 2．如图，是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再上升，则水面的宽度是多少？（    ） A． B． C． D． 3．一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A处射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以O为原点，建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的表达式； (2)通过计算判断球能否射进球门； (3)为了进球，运动员带球向点A的正后方移动了米射门，若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，结果恰好在点O正上方处进球，求n的值． 4．发石车是古代远程攻击的武器．现有一发石车，发射出去的石块沿抛物线轨迹运动，距离发射点20米时达到最大高度10米．如图，现将发石车放置在山坡底部处，山坡上有一点，距离点的水平距离为30米，垂直高度3米，是高度为4米的防御墙． (1)求石块运动轨迹的函数解析式，并写出的取值范围； (2)计算说明石块能否飞越防御墙． 5．某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． (1)求喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 6．项目式学习：《洒水车浇灌绿化带》 项目背景 洒水车是城市绿化的主力军，如图1，一辆洒水车平行于绿化带行驶，给绿化带浇水，如何把控行驶中的洒水车与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？ 查阅资料 可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为两条抛物线的一部分（如图2），分别记为，．其中的最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口可以看作由向左平移得到． 数据收集 由实际测量可知（如图2），喷水口离地面的高度．洒水车与绿化带之间的水平距离用的长来表示，把绿化带横截面抽象为矩形，测得其水平宽度，竖直高度． 建立模型 分别以和所在的直线为轴，轴建立如图3所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； 问题解决 （2）若，则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由； （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围． 7．如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为，跨度为，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)夏天雨水增多，水位暴涨，当桥洞的最高点到水面的距离小于时，船只过桥洞会发生危险，需要发出警报，求此时水面的宽度． 8．如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形试验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形试验田与墙垂直的一边长为（单位：），面积为S（单位：）． (1)求S与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)当 时，矩形试验田的面积最大，最大面积是 ． 9．某商场将进货价为元的台灯以元售出．每月能售出个．按商场管理规定，售价在元至元范围内．调查发现，在该范围内，这种台灯的售价每上涨元，其销售量就减少个． (1)为了实现每月元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ 解：假设售价为元，则每月台灯的销售量为______个，每个台灯的利润为______元．(用含的代数式表示，并完成解答) (2)要使每月的销售利润最大，售价应定为多少？请说明原因． 10．某社区利用一块长方形空地建了一个小型电动汽车停车场，并且可以免费充电，其布局如图所示．已知停车场的长为26米，宽为14米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道，已知铺花砖的面积为108平方米．    (1)求通道的宽是多少米． (2)该停车场共有车位20个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为3960元？ 11．某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价（元/件）与每天销售量（件）之间满足如图所示的关系． (1)求出与之间的函数关系式； (2)如果商场销售这种商品，每天要获得1500元利润，那么每件商品的销售价应定为多少元？ (3)写出每天的利润与销售单价之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将销售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 12.某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”．汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试，数学小组收集、整理数据，并绘制函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶时间t（单位：s）之间成二次函数关系，函数图象如图所示． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若在汽车前处，有一测速仪，当汽车刹车过程中，经过多少时间，汽车超过测速仪； (3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 13．图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度． (1)当面汤的深度为时，求此时汤面的直径的长； (2)如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，求此时碗中液面宽度的长． 14．如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动．过点作与的直角边相交于点，延长至点，使得，以为边作矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求与之间的函数关系式． 考题16：二次函数与几何综合 1．抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于，顶点为D，点M是抛物线上任意一点． (1)求抛物线解析式； (2)在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点N为抛物线对称轴上一动点，若以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形，求出所有相应的点N的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．若点为该二次函数的顶点， (1)求二次函数的表达式； (2)求线段长度的最大值． 3．如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为，点B坐标为． (1)求此抛物线的函数表达式． (2)点P是直线上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为E，请探究是否有最大值?若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由． 4．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，． (1)求抛物线的解析式； (2)第二象限内的点在该抛物线上，求面积的最大值． 5．如图1，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且过点． (1)求抛物线表达式； (2)如图，点为抛物线在轴左侧的一个动点，过点作轴，交直线于点，交轴于点，连接，，，若时，求点的坐标． 6．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上一动点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 7．如图，已知二次函数的图象经过点，与x轴分别交于点A，点．点P是直线上方的抛物线上一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，，并把沿y轴翻折，得到四边形，若四边形为菱形，请求出此时点P的坐标； (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时P点的坐标 8．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点和的坐标． 9．如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)点E为直线上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F． ①若点E在第一象限，连接，求面积的最大值； ②此抛物线对称轴与直线交于点D，连接，若为直角三角形，请直接写出E点坐标． 10．如图1，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接，，． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)如图1，当点F的坐标为，过点P作x轴的垂线，交线段于点D，求线段长度的最大值； (3)如图2，是否存在点F，使得是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数重难点题型汇编 考点01 ：二次函数的概念 考点02 ：根据二次函数的定义求参数 考点03：列出二次函数关系式 考点04：特殊二次函数的图像和性质 考点05：与特殊二次函数有关的几何知识 考点06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 考点07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题 考点08：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息 考点09：二次函数的平移变换题型10：已知抛物线上对称的两点求对称轴 考点11：二次函数的交点个数问题 考点12：抛物线与x轴的交点问 考点13：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 考点14：根据交点确定不等式的解集 考点15：二次函数的实际应用 考点16：二次函数与几何综合 考点01 ：二次函数的概念 1．下列关于x的函数一定为二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的判断，根据形如，这样的函数叫做二次函数，进行判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，不符合题意； B、是反比例函数，不符合题意； C、是的反比例函数，不符合题意； D、是二次函数，符合题意； 故选D． 2．下列函数表达式中，一定属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义，判断各选项是否为二次函数，需满足形如且为整式函数的条件． 【详解】解：选项A：此为一次函数（最高次数为1），不符合二次函数定义，排除； 选项B：二次函数需满足，但题目未限定的取值（如时为一次函数），因此不一定是二次函数，排除； 选项C：，展开得：， 符合，且为整式函数，因此一定是二次函数； 选项D：，含分式项（即），非整式函数，不符合二次函数定义，排除． 故选：C． 3．函数的二次项系数是（　） A．4 B． C．3 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，二次函数的标准形式为（其中a、b、c是常数，且），其中为二次项的系数，据此可得答案． 【详解】解：函数的二次项系数是4， 故选：A． 考点02 ：根据二次函数的定义求参数 1．若函数是关于x的二次函数，则（　　） A． B．1 C．1或 D．2 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题关键．二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数． 根据“形如的函数关系，称为y关于x的二次函数”，即可求解． 【详解】解： 是关于x的二次函数， |且， 解得：． 故选：A． 2．已知是二次函数，则（   ） A．0 B．1 C． D．1或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义可得且，从而可得答案． 【详解】解：∵是二次函数， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 3．若函数是二次函数，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；因此此题可根据“形如的函数称为二次函数”进行求解即可． 【详解】解：由题意得： ， 解得：； 故答案为4． 4．若函数是二次函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次函数的定义，函数值的计算，理解二次函数定义，函数值的计算方法是解题的关键． （1）根据二次函数的定义可得，即可求解； （2）由（1）可得二次函数解析式，把代入计算即可． 【详解】（1）解：函数是二次函数， ∴， 解得，， ∴； （2）解：当时，二次函数解析式为， ∴当时，． 考点03：列出二次函数关系式 1．某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据第三季度共生产零件y万个，即可列出与之间的函数关系式． 【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据题意得： 与满足的函数关系式是 ． 故选：D 2．两个正方形的周长之和是，其中一个正方形的边长为．若以两个正方形面积之和为函数，其中一个正方形的边长为自变量，它们的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求二次函数关系式，求出另一个正方形的边长为，再由正方形面积公式计算即可得解，求出另一个正方形的边长为是解此题的关键． 【详解】解：∵其中一个正方形的边长为， ∴其中一个正方形的周长为， ∴另一个正方形的周长为， ∴另一个正方形的边长为， ∵第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为， ∴面积之和为， 故选：C． 3．正方形的边长为3，若边长增加，则面积增加，与的关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先表示出原边长为3的正方形面积，再表示出边长增加x后正方形的面积，再根据面积随之增加y列出方程即可． 【详解】解：原边长为3的正方形面积为：， 边长增加后边长变为：， 则面积为：， ． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是正确表示出正方形的面积． 4．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（个）与销售单价（元个）有如下关系：（，且为整数）．设这种双肩包每天的销售利润为元．则与之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】此题考查求二次函数解析式，根据销售总利润等于单件利润乘销售量计算解答． 【详解】解：， 故答案为：． 5．如图，，，，四边形是的内接矩形，如果的长为，矩形的面积为，则与的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得是等腰直角三角形，得出，进而根据矩形的面积即可求解． 【详解】，， ． 四边形 是 的内接矩形， ，，， ， ． ，， ∴， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了列二次函数关系式，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 考点04：特殊二次函数的图像和性质 1．抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．轴 D．轴 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数对称轴为：直线是解题的关键．直接根据二次函数对称轴的计算方法求解即可． 【详解】解：∵， 抛物线的对称轴为：，即y轴； 故选：D． 2．已知点均在抛物线上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数值的比较，属于基础题型．根据二次函数的性质解答，即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴为y轴， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵点均在抛物线上，且， ∴． 故选：B 3．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握形如的顶点坐标为是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 4．如果抛物线在对称轴的左侧y的值随x的增大而增大，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的增减性与开口方向的关系是解题的关键；根据在对称轴的左侧y的值随x的增大而增大即可确定开口向下，可得，即可得解． 【详解】解：抛物线在对称轴的左侧y的值随x的增大而增大， ， ， 故选：． 5．关于函数的图象与性质说法正确的是（   ） A．顶点坐标在第二象限 B．图象关于轴对称 C．当时，随的增大而增大 D．函数值的最小值为2 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．利用抛物线的顶点式的性质直接判断每个选项即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，在第一象限，对称轴直线为，故选项A、B错误； ∵， ∴抛物线的开口向下，有最大值为，且当时，y随x增大而增大，故选项C正确，选项D错误． 故选：C． 6．抛物线的开口方向和顶点坐标是（    ） A．开口向上， B．开口向下， C．开口向上， D．开口向下， 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据顶点式的顶点坐标公式，以及的符号，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为； 故选C． 7．二次函数的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求抛物线的顶点坐标，根据的顶点坐标为，进行求解即可． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是． 故选：D． 8．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，分别把，，代入计算，再比较，，的大小，即可作答． 【详解】解：∵，，为二次函数的图象上的三点， ∴点在顶点处，； 把代入，得； 把点代入，得， ∵ ∴， 故选C 9．已知函数，当函数值随的增大而减小时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的增减性，是解题的关键．根据二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵，，对称轴为y轴， ∴在对称轴的左侧，y随着的增大而减小； ∴当函数的函数值y随着的增大而减小时，的取值范围是：； 故选：D． 10．下列关于二次函数的图象说法中，错误的是（   ） A．它的对称轴是直线 B．它的图象有最低点 C．它的顶点坐标是 D．在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式可知，函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，则函数有最小值，在对称轴左侧y随着x的增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：A、它的对称轴是直线，原说法正确，不符合题意； B、由二次项系数大于0可知，函数开口向上，则它的图象有最低点，原说法正确，不符合题意； C、它的顶点坐标是，原说法正确，不符合题意； D、函数开口向上，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小，原说法错误，符合题意； 故选：D． 11．二次函数，当时，y的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，先求出对称轴，然后确定和2哪个离对称轴较远，从而代入确定y的范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴是直线，抛物线开口向上， ∴当时有最小值是7， ∵， 当时有最大值是， ∴当时，y的取值范围是， 故答案为：． 考点05：与特殊二次函数有关的几何知识 1．已知表示不超过实数的最大整数，函数的部分图象如图所示，若方程在有2个解，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象，弄清函数图象与方程的关系是解题的关键．分别作出当经过、、、时的图象，再由图象判断出函数与函数的图象在有两个交点时在有两个解，即可解答此题． 【详解】解：当函数与函数的图象在有两个交点时在有两个解， 令经过，得， ， 令经过，得， ， 令经过，得， ， 令经过，得， ， 如图， 可以看出经过的和经过的，与函数的图象在有两个交点， ， 故选：． 2．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，此时，，把直线向上平移个单位，则与之间的关系是（    ） A． B．随着直线向上平移， C．随着直线向上平移， D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，表示出A、B、C、D的横坐标是解题的关键． 将分别代入和，即可得出求出，长度，根据得出，从而得出a的值，然后得到表达式为，然后求出与的值进而求解即可． 【详解】解：把代入中得，， ∴ ∴A的横坐标为，B横坐标为 ∴ 把代入得，， ∴ ∴C的横坐标为，D横坐标为 ∴ ∵， ∴ ∴（负值舍去） ∴表达式为， ∵把直线向上平移个单位，得到直线 ∴把代入中得，， ∴ ∴ 把代入得，， ∴ ∴ ∴． 故选：A． 3．如图，在平面直角坐标系中、抛物线上已知A的坐标为．过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点．过点作交抛物线于点，……依此规律进行下去，例点的坐标为 ． 【答案】 【分析】待定系数法求直线的解析式为；如图，记与轴的交点分别为，由，可得物线关于轴对称，则，，，轴，轴，证明，则，即，直线的解析式为，联立，可求，，同理，直线的解析式为，，，可推导一般性规律为，当为奇数时，，然后计算求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 将代入得，， ∴直线的解析式为； 如图，记与轴的交点分别为， ∵， ∴抛物线关于轴对称， ∴，，，轴，轴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， ∴直线的解析式为， 联立， 解得， 或 ， ∴，，， 同理，直线的解析式为， 联立， 解得， 或 ， ∴，， ∴可推导一般性规律为，当为奇数时，， ∴当时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，点坐标的规律探究等知识．熟练掌握二次函数的性质，一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，点坐标的规律探究是解题的关键． 4．如图，将二次函数位于x轴的下方的图象沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（实线部分）．当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的最值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征；先求得与轴的交点坐标，根据图象求得答案即可． 【详解】解：由题意，将二次函数位于轴的下方的图象沿轴翻折，得到一个新函数， 新函数的解析式为． 当时，， 解得或， 如图， 当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的范围是或． 故答案为：或． 5．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标分别为，，．若抛物线的图象与正方形有公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【详解】解：∵正方形的顶点A、B、C的坐标分别为，，， ∴， 当抛物线经过点时，则， 当抛物线经过时，， 观察图象可知， 故答案为：． 考点06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质 1．关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A．开口向上 B．与x轴有一个交点 C．对称轴是直线 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握相关知识是解题的关键． 由得到抛物线开口向上，配方成，得到对称轴，顶点坐标为，进而逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，故A正确； ∵， ∴对称轴，顶点坐标为，故C正确； ∴抛物线的顶点在x轴上， ∴抛物线与x轴有一个交点，故B正确； ∴当时，y随x的增大而增大，故D错误． 故选：D． 2．二次函数图象的对称轴方程为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．掌握二次函数的对称轴公式是解题关键．根据二次函数的对称轴为直线求解即可． 【详解】解：对称轴为直线， 故答案为：D． 3．抛物线如图所示，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据函数图象，写出x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴的交点坐标为，， ∴关于x的不等式的解集是． 故选：B． 4．抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质；将解析式化为顶点式即可求解． 【详解】解：， ∴抛物线的顶点坐标为， 故选：C． 5．已知点，，均在抛物线上，则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质．结合题意，得抛物线的开口向下，且抛物线的对称轴为，根据二次函数的性质分析，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为， ∴当时，y随着x的增大而减少，且当和时，函数值均为， ∵， ∴ ， 故选：B． 6．已知二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的性质，先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由当时，函数值y随x的增大而减小可知二次函数的对称轴解答即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，开口向上， ∵时，随的增大而减小， ∴， 故选：A． 7．二次函数，自变量x与函数y的对应值如下表： x … 0 … y … 4 0 0 4 … 下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时， D．二次函数的最小值是 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数求函数解析式以及二次函数的性质，选出3点的坐标，利用待定系数法求出函数的解析式，再根据二次函数的性质逐项分析四个选项即可得出结论． 【详解】解：将点，，代入到二次函数中，得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为． A、，抛物线开口向上，A不正确； B、， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，B不正确； C、∵抛物线线与轴交于点，，且抛物线开口向上， ∴当时，，故C正确； D、，二次函数的最小值是，D不正确； 故选：C． 8．已知二次函数的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（   ） A．有最小值0，有最大值2 B．有最小值0，有最大值3 C．有最小值，有最大值2 D．有最小值，有最大值3 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的最值，正确识别函数图象，理解最值的意义是解题的关键． 依据题意，由函数图象可看出其最大值和最小值，逐个判断可以得解． 【详解】解：由图象可知当时，有最小值 ，当时，有最大值 3 ， ∴函数有最小值，有最大值3， 故选：D． 考点07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题 1．已知二次函数在时最小值为，则b的值为（    ） A．4 B．4或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据题意易得二次函数开口向上，其最小值可能在顶点或区间端点处，需分顶点在区间内、左侧、右侧三种情况讨论，结合最小值条件求解． 【详解】解：由二次函数， ∴二次函数图象的对称轴为直线，开口向上，且顶点坐标为， 当 即 时，顶点处取最小值，代入顶点坐标得： 则， 解得 ，即 ； ∴； 当 即 时，最小值在 处， 则 解得 ，满足 ； 当 即 时，最小值在 处， 则， 解得 ，但 不成立，舍去， 综上，或． 故选：B． 2．已知二次函数（m为常数，且），当时，该二次函数有最小值2，则m的值是（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，由题意可得二次函数的对称轴为直线，再分两种情况：当时，当时，分别利用二次函数的性质求解即可，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵当时，该二次函数有最小值2， ∴当时，当时，， ∴， 解得：； 当时，对称轴为直线， 故当时，取得最小值为， ∴， 解得：； 综上所述，的值为1或， 故选：C． 3．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据解析式，确定对称轴，分开口方向向上和向下两种情况解答，确定时，二次函数的最大值与最小值，解答即可． 本题考查了顶点式，抛物线的增减性，最值，熟练掌握增减性和最值确定方法，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 当抛物线开口向上时，，得抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越大， ∵， ∴在这个范围内， ∵y的最小值为， ∴，与矛盾， 当抛物线开口向下时，，故抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越小， ∵， ∴当时，取得最小值，且最小值为， 由y的最小值为， 得， 解得． 故选：B． 4．已知抛物线（m为常数），当时，其对应的函数值最小为7，则m的值为（   ） A．4 B． C．或4 D．或6 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键． 根据题意得到当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，然后分，和三种情况讨论，然后分别根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴①若，时，取得最小值7， 可得：， 解得：或（舍）； ②若，当时，取得最小值7， 可得：， 解得：或（舍）； ③若时，当时，取得最小值为，不是7， ∴此种情况不符合题意，舍去． 综上，的值为或6， 故选：D． 考点08：二次函数与一次函数的图像综合 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象，利用一次函数，二次函数系数及常数项与图象位置之间关系是解题关键． 一次函数，可判断、的符号；根据二次函数的图象位置，可得，． 【详解】解：A、函数中，，，中，，，故A错误； B、函数中，，，中，，，故B正确； C、函数中，，，中，，，故C错误； D、函数中，，，中，，，故D错误． 故选：B． 2．在同一平面直角坐标系中，函数与的图像可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数图像的综合，解题关键是结合二次函数图像和一次函数图像的性质求解．假设其中一个图像正确，然后根据图像得到系数的取值范围，再根据另一函数图像确定系数的取值范围，是否一致，即可获得答案． 【详解】解：A．根据图像可知两个函数图像与y轴的交点坐标为，同时也可得，故选项正确，符合题意； B．根据一次函数图像可知，而根据二次函数的图像可得，故选项错误，不符合题意； C．根据二次函数的图像可知，根据一次函数的图像可得，故选项错误，不符合题意； D．二次函数图像与y轴的交点不是，故本选项错误，不符合题意． 故选：A． 3．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法． 本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解∶A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项符合题意； B、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不合题意； C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不合题意； D、由抛物线可知，，由直线可知，，故本选项不合题意． 故选∶A． 考点09：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像与系数的关系 1．抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示．下列判断中：①；②；③；④若点均在抛物线上，则；⑤．其中正确的个数有（        ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，先根据开口方向判断出，结合对称轴位置判断出，再根据与y轴的交点位置，判断，进而得出结论①错误；根据抛物线与x轴的交点个数，判断出②正确；利用抛物线的对称轴确定出抛物线与x轴的另一个交点坐标，判断出③正确，根据两点与对称轴的距离判断出④错误；根据对称轴得出，进而得出，即可判断⑤错误；综上即可得答案． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ， 故①错误； 抛物线与轴有2个交点， ， ②正确； 抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， ， ③正确； 点到直线的距离比点到直线的距离小，且抛物线开口向上， ， 故④错误； ， ， 故⑤错误． 综上所述，正确的有②③，一共2个． 故选：A． 2．二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由图象可知，，， ∴， ∴，故①正确； 根据抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②正确； 根据图象知对称轴为直线，则 ∴ ∴故③正确； ∵对称轴为直线 ∴当和时，函数值相等 根据函数图象可得当时，， ∴当时， ∴即，故④错误； ∴当时，故⑤不正确． 故选：B． 3．丽从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤．你认为其中正确信息的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置，当a与b同号时，对称轴在x轴左侧，当a与b异号时，对称轴在x轴右侧，常数项决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于，掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键． 【详解】解：∵函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴可知， ∴． ∴①正确． ∵函数图象开口向上， ∴， 由函数的对称轴在x的正半轴上可知，x，， 又由①知，, ∴， ∴②正确． ∵把代入函数解析式，由函数的图象可知，时，即， ∴③正确． ∵，， ∴． ∴． ∴④错误； ∵把代入函数解析式，由函数的图象可知，时， 即， ∴⑤正确． 其中正确的有①②③⑤． 故选：A． 4．二次函数的图象如图所示，则下列结论中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④ A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：，，然后根据图象判断其值． 根据和时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断①和②，由抛物线的开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点可以判断③、④、从而可得答案． 【详解】解：当时，， ∴，故①正确； 当时，， 由图象可知，当时，，故②正确； ∵图象开口向下， ∴， ∵， ∴， ∵图象与y轴的交点在y轴的上半轴， ∴， ∴，故③错误； ∵，，， 当， 则，产生矛盾，故④错误； ∴正确的有2个． 故选：C． 考点10：二次函数的平移变换 1．将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得的抛物线为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移原则，计算即可． 本题考查了二次函数的平移计算，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得的抛物线为． 故选：B． 2．抛物线可以由抛物线平移得到，则下列平移过程正确的是（　　） A．先向左平移3个单位，再向上平移1个单位 B．先向右平移3个单位，再向上平移1个单位 C．先向左平移1个单位，再向下平移3个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移3个单位 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的平移， 根据平移的规律“左加右减，上加下减”，解答即可. 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位，再向上平移1个单位得抛物线. 故选：A. 3．若将抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，掌握“上加下减，左加右减”的平移规律是解题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：若将抛物线向左平移4个单位，再向上平移2个单位，则所得抛物线的解析式为． 故选：A． 4．将函数的图象向左平移5个单位后得到的新抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的平移，二次函数的图象与性质是解题的关键．先把原二次函数解析式转化为顶点式，然后根据平移规律求出新二次函数解析式，即可求解． 【详解】解：由题意知，， ∴平移后的抛物线的解析式为， ∴平移后抛物线的顶点坐标为， 故选：D． 考点11：已知抛物线上对称的两点求对称轴 1．如图，二次函数图象的对称轴是直线，与x轴一个交点，则与x轴的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性求得点A的对称点的坐标是解题的关键．找出点A关于的对称点的坐标即可． 【详解】解：∵次函数图象的对称轴是直线，与x轴一个交点， ∴另一个交点为：，即， 故选：D． 2．已知抛物线与x轴的交点分别为，，则该抛物线的对称轴是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线的对称性求解是解题的关键． 根据抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴的交点坐标分别为和， ∴和关于抛物线的对称轴对称， 抛物线的对称轴为直线． 故选：B． 3．抛物线的部分图象如图所示，已知此抛物线与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线，则抛物线与轴的另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了抛物线的对称性，解题的关键在于能够熟练掌握抛物与x轴的两个交点关于抛物线对称轴对称．利用抛物线的对称性求解即可得到答案． 【详解】解∶∵物线与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标是， 故选∶D． 4若抛物线与x轴的两个交点为，，则该抛物线的对称轴为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】直接根据两个交点坐标可得对称轴． 【详解】解：∵抛物线与x轴的两个交点为，， ∴该抛物线的对称轴为， 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题．对于求抛物线的对称轴的题目，可以用公式法，也可以将函数解析式化为顶点式求得，或直接利用公式求解． 考点12：二次函数的交点个数问题 1．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B，D．若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案． 【详解】解：如图， 令，即，解得或，则点，， ∴， ∴向右平移两个长度单位得， ∵， ∴解析式为， 当与相切时，令，即， ∵， ∴； 当过点B时，即， ∴， ∴当时直线与、共有3个不同交点． 故选：D． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何交换的知识，解答本题的关键是正确画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度． 2．已知二次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围是（　　） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的翻折、二次函数与一次函数的交点问题、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握以上知识点，学会二次函数的翻折规律，善于转化二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题意容易求解抛物线与轴的交点分别为，，再利用函数翻折性质求得翻折部分解析式为，再求出直线经过点时m的值，以及与抛物线有唯一公共点时m的值，最后根据图象即可求解m的取值范围． 【详解】解：当时，，解得，，则，， 将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方， 翻折部分的解析式为， 当直线经过点时，，解得； 当直线与抛物线有唯一公共点时，方程有相等的实数根，即方程有相等的实数根， ， 解得：； 结合图象可知，当直线与新图象有3个或4个交点时，m的取值范围为． 故选：D． 3．已知二次函数，将该二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象如图所示，当直线与新图象有个交点时，的值为(　　)    A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】，令，则或，则点，二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，对应的函数表达式为：，联立，消去整理得：，令，求得，结合图象即可求解． 【详解】如图所示，直线在图示位置时，直线与新图象有个交点，   ，令，则或，则点， 将点的坐标代入并解得：， 二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，对应的函数表达式为：， 联立，消去整理得：， ， 解得： ， 当或时，直线与这个新图象有三个交点， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据函数图象判断根的情况，数形结合是解题的关键． 考点13：抛物线与x轴的交点问题 1．抛物线与坐标轴交点个数为（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．无交点 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 先求出时，的值，再求出当时，判别式的值，由此即可得出交点个数． 【详解】解：∵， 当时，，即与轴的交点为，有1个， 当时，， 此时 即抛物线与轴无交点， 综上，此抛物线与坐标轴的交点个数为1个， 故选：C． 2．二次函数的图象与坐标轴有两个交点，则a的值是（   ） A．或1 B．2或0 C．或0 D．1或2 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与x轴，轴的交点的个数与其所对应一元二次方程根的判别式之间的关系是解题的关键．由二次函数的图象坐标轴有两个交点，则与x轴有一个交点，或两个交点中一个交点在原点，再进一步求解即可． 【详解】解：由题知，∵二次函数的图象与坐标轴有两个交点， 则二次函数的图象与轴只有一个交点，或有两个交点，两个交点中一个交点在原点， 则，或， 解得或． ∴C符合题意； 显然四个选项中只有C选项符合要求． 故选：C． 3．抛物线的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的图象和一元二次方程的根的关系．观察图象可知，抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线，再求出抛物线与x轴的另一交点坐标为，即可得到答案． 【详解】解：观察图象可知，抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标为， ∴一元二次方程的解为． 故本题答案为： 考点14：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 1．如图，抛物线与直线交于，两点，则一元二次方程的根为 ． 【答案】， 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，一次函数的性质，一次函数图象上点的特征，二次函数的性质，二次函数图象上点的特征，解题关键是通过图象求解．将一元二次方程变形为，由交点坐标即可得出答案． 【详解】解：把一元二次方程变形为， 抛物线与直线交于，两点，点，横坐标分别为，3， 关于的一元二次方程的解是，． 故答案为：，． 2．抛物线的部分图像如图所示，则一元二次方程的根为 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识点，掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标，就是对应的一元二次方程的解成为解题的关键． 先根据二次函数图象的性质确定抛物线与与x轴的交点横坐标，然后根据二次函数与一元二次方程的关系即可解答． 【详解】解：由图象得：抛物线与x轴的一个交点为，且对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴一元二次方程的根为：，． 故答案为：，． 3．若二次函数部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，则关于的一元二次方程的根为： ．    【答案】， 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与方程的关系，根据二次函数的对称性求得抛物线与x轴的另一个交点，然后根据图象即可求得时x的取值范围． 【详解】解：由图象可知：抛物线与x轴交于，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一交点为：， ∴的解为，， 故答案为：，． 考点15：根据交点确定不等式的解集 1．如图，二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为，则不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题考查图象法求不等式的解集，对称性，求出抛物线与轴的另一个交点的坐标，图象法求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴是直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， 由图象可知：不等式的解集为或； 故答案为：或． 2．抛物线的部分图象如图所示，且抛物线经过点，对称轴是直线，则当时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图象法解一元二次不等式，轴对称的性质等知识点，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 利用轴对称的性质求出关于对称轴的对称点，然后结合图象即可得出时的取值范围． 【详解】解：∵对称轴是直线，且抛物线与轴交于点， ∴利用轴对称的性质可得，抛物线与轴的另一个交点为，即， 根据图象可知，当时，， 故答案为：． 3．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查利用图象的交点解决不等式的解集问题．解题的关键是：利用数形结合的思想确定图象的位置关系． 利用图象找到抛物线在直线上方时的的取值范围，即可得解． 【详解】解：∵， ∴化为抛物线在直线上方， 由图可知： 当或时，抛物线在直线上方，即：； ∴不等式的解集是：或； 故答案为：或． 4．二次函数与一次函数的图象如图所示，则满足的的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当，二次函数的图象在一次函数的图象上方，进而得到的的取值范围，即可得到答案． 【详解】解：， ， 由函数图象可知，当，二次函数的图象在一次函数的图象上方， 的的取值范围为， 故答案为：． 考题15：二次函数的实际应用 1．如图，铅球运动员掷铅球的高度与水平距离之间的函数关系是，则该运动员此次掷铅球的成绩是（   ）m． A．12 B．10 C．8 D．2 【答案】B 【分析】依题意，该二次函数与x轴的交点的x值为所求．即在抛物线解析式中．令，求x的正数值．本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 【详解】解：把代入得： ， 解之得：． 又，解得． 故选：B． 2．如图，是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再上升，则水面的宽度是多少？（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过，纵轴y通过中点O且通过C点， 则：O为原点，，， 设函数解析式为，把A点坐标代入得， ∴抛物线解析式为， 当水面上升，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当时，对应的抛物线上两点之间的距离， 把代入抛物线解析式得出：， 解得：， ∴此时的水面宽度为， 故选：C． 3．一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A处射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以O为原点，建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的表达式； (2)通过计算判断球能否射进球门； (3)为了进球，运动员带球向点A的正后方移动了米射门，若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，结果恰好在点O正上方处进球，求n的值． 【答案】(1) (2)球不能射进球门 (3)1 【分析】本题考查的是二次函数的应用， （1）用待定系数法求出表达式即可； （2）计算当时，y的值与比较即可得出答案； （3）由题意得出移动后的抛物线为，把点代入求出结论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，        设抛物线表示的二次函数的表达式为， 把点代入，得， 解得，         ∴抛物线的表达式为； （2）当时，，   ∴球不能射进球门； （3）由题意，移动后的抛物线为， 把点代入，得， 解得（舍去），， ∴n的值为1． 4．发石车是古代远程攻击的武器．现有一发石车，发射出去的石块沿抛物线轨迹运动，距离发射点20米时达到最大高度10米．如图，现将发石车放置在山坡底部处，山坡上有一点，距离点的水平距离为30米，垂直高度3米，是高度为4米的防御墙． (1)求石块运动轨迹的函数解析式，并写出的取值范围； (2)计算说明石块能否飞越防御墙． 【答案】(1)（） (2)石块能飞越防御墙．理由见解析 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）设石块运动轨迹的函数解析式为，把点代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解； （2）把代入，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：设石块运动轨迹的函数解析式为． 把点代入解析式，得，解得， ∴石块运动轨迹的函数解析式为， 即（）． （2）石块能飞越防御墙． 理由：把代入， 得． ∵， ∴石块能飞越防御墙． 5．某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． (1)求喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 【答案】(1) (2)不会 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，构造二次函数模型并计算是解题的关键． （1）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，求出的最大值即可； （2）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令，通过计算的值即可判断． 【详解】（1）解：∵，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． ∴， 令，易得， 令，得， 可求得， 因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； 函数的对称轴为直线， 把代入，得 因此A喷头喷出的水流的最大高度是； （2）解：依题意，函数， 令，得， 因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处． 6．项目式学习：《洒水车浇灌绿化带》 项目背景 洒水车是城市绿化的主力军，如图1，一辆洒水车平行于绿化带行驶，给绿化带浇水，如何把控行驶中的洒水车与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？ 查阅资料 可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为两条抛物线的一部分（如图2），分别记为，．其中的最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口可以看作由向左平移得到． 数据收集 由实际测量可知（如图2），喷水口离地面的高度．洒水车与绿化带之间的水平距离用的长来表示，把绿化带横截面抽象为矩形，测得其水平宽度，竖直高度． 建立模型 分别以和所在的直线为轴，轴建立如图3所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； 问题解决 （2）若，则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由； （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）能，理由见解析；（3） 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数与轴的交点，二次函数的平移等知识，解题的关键是： （1）设上边缘抛物线为，根据题意求出该抛物线即可； （2）计算当时，的值，与比较；根据平移的规律求出，计算时，x的值，与比较，即可得出结论； （3）计算时，x的值，即可求出的最大值；计算时，x的值，即可求出的最小值，即可求解． 【详解】解：（1）设上边缘抛物线为， 根据题意，得，， ∴， 把代入，得， 解得， ∴； （2）∵，， ∴， 当时，， ∵可以看作由向左平移得到， ∴， 当时，， 解得，（舍去）， ∴能浇灌到整个绿化带； （3）先看上边缘抛物线， 当时，， 解得， 又， ∴， ∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则的最大值为， 再看下边缘抛物线， 由（2）知：洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则的最小值为2， 综上，的取值范围为． 7．如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为，跨度为，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)夏天雨水增多，水位暴涨，当桥洞的最高点到水面的距离小于时，船只过桥洞会发生危险，需要发出警报，求此时水面的宽度． 【答案】(1)； (2)此时水面的宽度为． 【分析】本题主要考查二次函数的应用． （1）利用顶点式计算即可． （2）根据题意将代入求得，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：由图可知顶点为：，且经过原点， 设函数关系式为：， 代入原点得：， 解得：； ∴该抛物线的函数表达式为：； （2）解：将代入得， 解得， ∴ 答：此时水面的宽度为． 8．如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形试验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形试验田与墙垂直的一边长为（单位：），面积为S（单位：）． (1)求S与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)当 时，矩形试验田的面积最大，最大面积是 ． 【答案】(1)； (2)20；800 【分析】（1）根据题意，得矩形的长为，根据面积公式列出方程即可． （2）构造二次函数，求最值即可． 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值应用，转化思想，熟练掌握求二次函数最值是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得矩形的长为， 故， 根据题意，得，且， 解得， 故，且． （2）解：∵， ∴， 由， ∴当时，S有最大值，最大值为． 故答案为：20,800． 9．某商场将进货价为元的台灯以元售出．每月能售出个．按商场管理规定，售价在元至元范围内．调查发现，在该范围内，这种台灯的售价每上涨元，其销售量就减少个． (1)为了实现每月元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？ 解：假设售价为元，则每月台灯的销售量为______个，每个台灯的利润为______元．(用含的代数式表示，并完成解答) (2)要使每月的销售利润最大，售价应定为多少？请说明原因． 【答案】(1)， ；这种台灯的售价应定为元，即每个台灯应涨价元； (2)要使每月的销售利润最大，售价应定为元，理由见解析． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数表达式． （1）依据题意，由这种台灯的售价应定为元，那么就少卖出个，根据利润售价进价，可列方程求解； （2）依据题意，设每月销售利润为，该商场决定把售价上涨元，根据总利润单件利润数量，列出函数表达式，化为顶点式，根据二次函数的增减性，即可解答． 【详解】（1）解：由题意，这种台灯的售价应定为元， 每月台灯的销售量为：． 又每个台灯的利润为：， ， ， ， 舍去． 答：这种台灯的售价应定为元，即每个台灯应涨价元． 故答案为：；． （2）要使每月的销售利润最大，售价应定为元．理由如下： 由题意，设每月销售利润为，该商场决定把售价上涨元， ， ， 当时，随的增大而增大， ， 当时，售价为元，取最大值，此时， 答：要使每月的销售利润最大，售价应定为元． 10．某社区利用一块长方形空地建了一个小型电动汽车停车场，并且可以免费充电，其布局如图所示．已知停车场的长为26米，宽为14米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道，已知铺花砖的面积为108平方米．    (1)求通道的宽是多少米． (2)该停车场共有车位20个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为3960元？ 【答案】(1)4米 (2)20元 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意找出等量关系列出方程是解答此题的关键． （1）设通道的宽为x米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可； （2）设每个车位的月租金上涨a元，则租出的车位数量为个，再根据“月租金每个车位的月租金租出的车位数”列方程并求解，根据实际取值即可． 【详解】（1）解：设通道的宽为x米， 根据题意，得， ， ， 或（不符合实际，舍去）， 答：通道的宽是4米； （2）解：设每个车位的月租金上涨a元，停车场的月租金收入为14400元， 根据题意，得， 整理，得， 解得，或（不合题意，舍去）， 答：每个车位的月租金上涨20元时，停车场的月租金收入为3960元． 11．某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价（元/件）与每天销售量（件）之间满足如图所示的关系． (1)求出与之间的函数关系式； (2)如果商场销售这种商品，每天要获得1500元利润，那么每件商品的销售价应定为多少元？ (3)写出每天的利润与销售单价之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将销售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)每件商品的销售价应定为130元或150元 (3)销售价定为140元，最大利润为1600元 【分析】本题考查了求一次函数解析式、一元二次方程的应用、二次函数的应用，理解题意正确列出函数关系式和方程是解题的关键． （1）由图象可知，与之间满足一次函数关系，再利用待定系数法即可求解； （2）设每件商品的销售价应定为元，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （3）根据题意列出，再根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：由图象可知，与之间满足一次函数关系， 设与之间的函数关系式为， 代入和，得， 解得：， ∴与之间的函数关系式； （2）解：设每件商品的销售价应定为元， 由题意得，， 整理得：， 解得：，， 答：每件商品的销售价应定为130元或150元； （3）解：由题意得， ， ， 当时，有最大值，最大值为1600， 答：将销售价定为140元，来保证每天获得的利润最大，最大利润是1600元． 12.某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”．汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试，数学小组收集、整理数据，并绘制函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶时间t（单位：s）之间成二次函数关系，函数图象如图所示． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若在汽车前处，有一测速仪，当汽车刹车过程中，经过多少时间，汽车超过测速仪； (3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【答案】(1) (2)汽车刹车后，汽车与测速仪相距； (3)不会，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解二次函数解析式的方法和步骤是解题的关键． （1）设，将，，代入，求出a、b、c的值，即可得出函数解析式； （2）求出当时的t的值，即可解答； （3）将二次函数解析式化为顶点式，求出最大值，再与80进行比较即可． 【详解】（1）解：设， 将，，代入，得： ，解得：， ∴y关于t的函数解析式为； （2）解：根据题意得： 解得或（不符题意，舍去）， 答：汽车刹车后，汽车超过测速仪； （3）解：不会．理由如下： ∵， ∴当时，汽车停下，行驶了， ∵， ∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车． 13．图是一个瓷碗，图是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度． (1)当面汤的深度为时，求此时汤面的直径的长； (2)如图，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，求此时碗中液面宽度的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（）设点的坐标为，则抛物线的表达式为则点的坐标为： ，点再用待定系数法即可求解； （）确定直线的表达式为，求出，进而求解； 本题考查了二次函数 ，一次函数 以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键． 【详解】（1）以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，如图： 设点的坐标为：，则抛物线的表达式为， 则点的坐标为，点， 将点的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得：， 即抛物线的表达式为：， ∴， 故答案为：； （2）将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止， ∴所以旋转前与水平方向的夹角为， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入上式的：直线的表达式为：， 联立并整理得：， 则，， 则， 则， 由的表达式知，其和轴的夹角为，则， 故答案为：． 14．如图，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动．过点作与的直角边相交于点，延长至点，使得，以为边作矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求与之间的函数关系式． 【答案】(1) (2)或6 (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质与判定，掌握知识点是解题的关键． （1）过点C作于点E，有，求出，可得，即此时P运动到点E，即可解答． （2）分类讨论：当与当时，作出正确的图形，逐项分析，即可解答； （3）分类讨论：当时，；当时，；当时，，作出正确的图形，逐项分析，即可解答． 【详解】（1）解：过点C作于点E，如图， ， ∵，，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即此时P运动到点E， ∴， 即． （2）①当时，如图 由（1）可得 ， 在矩形中，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， 解得． ②当时，如图 ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴ 解得． 综上所述，t的值为2或6． （3）①当时，矩形与重叠部分图形为，如图 ； ②当时，矩形与重叠部分图形为四边形，如图 ； ③当时，矩形与重叠部分图形为五边形，如图 有，， ， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴ ∴， ∴， ∴ ． 综上所述，当时，；当时，；当时，． 考点16：二次函数与几何综合 1．抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于，顶点为D，点M是抛物线上任意一点． (1)求抛物线解析式； (2)在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点N为抛物线对称轴上一动点，若以B、N、C为顶点的三角形为直角三角形，求出所有相应的点N的坐标． 【答案】(1) (2)存在，； (3)点N的坐标为或或或． 【分析】此题主要考查了二次函数综合以及勾股定理的应用和待定系数法求函数解析式等知识，利用分类讨论得出N点坐标是解题关键． （1）直接利用待定系数法求出抛物线解析式进而得出答案即可； （2）首先求出：，：，令，即可求出M点坐标即可； （3）①若，则，②若，则，③若，则，分别求出N点坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线过，， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：存在． 如图1，当时， ， 由（1）可得抛物线， ∴， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴：， ∵，∴：， ∴， ∴（舍）， ， ∴， ∴； （3）解：设，则，，， ①如图2，若，则，即， ∴， ∴解得：， ∴点N的坐标为或； ②若，则，即， ∴， ∴， ∴点N的坐标为； ③若，则，即， ∴， ∴， ∴点N的坐标为， 综上，点N的坐标为或或或． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．若点为该二次函数的顶点， (1)求二次函数的表达式； (2)求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)当时，线段的长度取得最大值 【分析】本题考查了二次函数的线段问题，二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用待定系数法进行求解，即可作答； （2）正比例函数表达式为，设，则，，则，然后通过二次函数的性质即可求解； 【详解】（1）解：为二次函数的顶点， ， 解得， 二次函数表达式为； （2）解：∵正比例函数经过点， ， ， 正比例函数表达式为， 设，则， ∴， ， ∵． 当时，线段的长度取得最大值； 3．如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为，点B坐标为． (1)求此抛物线的函数表达式． (2)点P是直线上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为E，请探究是否有最大值?若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由． 【答案】(1) (2)有最大值，， 【分析】本题考查二次函数的综合应用，主要考查利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式； （2）先求解，及直线为，设，可得，再建立二次函数求解即可． 【详解】（1）解：（1）∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为，点B坐标为， ∴． （2）（2）是有最大值，理由如下： ∵当时，， ∴． 设直线的函数表达式为， ∴， 解得． ∴直线的函数表达式为， 设， 则． ∴ ． 当时，有最大值， 此时， ∴有最大值，为．此时． 4．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知，． (1)求抛物线的解析式； (2)第二象限内的点在该抛物线上，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查了二次函数图象与性质，一次函数的图象与性质，解题的关键是灵活运用这些知识． （1）把、两点的坐标代入抛物线的解析式可得和的值，即可求得抛物线的解析式； （2）当时，解方程得到点的坐标，根据待定系数法求出直线的解析式，过点作垂直于轴交于点，设点坐标为，则，，得到关于的二次函数解析式，进而根据二次函数的性质可得面积的最大值． 【详解】（1）解：将点，代入中， 得到，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，即，解得，， ， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， 直线的解析式为， 如图所示，过点作垂直于轴交于点， 设点的坐标为，则， ， ， ， 抛物线的开口向下， 当时，， 即面积的最大值为． 5．如图1，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且过点． (1)求抛物线表达式； (2)如图，点为抛物线在轴左侧的一个动点，过点作轴，交直线于点，交轴于点，连接，，，若时，求点的坐标． 【答案】(1)二次函数的表达式为； (2)点的坐标为或． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解解析式，解分式方程，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （）待定系数法求出函数解析式即可； （）先求出，，通过待定系数法求出直线表达式为，设点的坐标为，，，然后分当点在直线上方时，当点在直线下方时两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴， ∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为； （2）解：当， 解得：，， ∴，， ∵， 设直线的解析式为， 把代入，得， ∴直线表达式为， 设点的坐标为，，， 如图，当点在直线上方时， ∴，， ∴， ， ∵， ∴，解得：， 经检验：是原方程的解， ∴； 如图，当点在直线下方时， ∴，， ∴， ， ∵， ∴，解得：， 经检验：是原方程的解， ∵， ∴， ∴； 综上可知：点的坐标为或． 6．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上一动点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值：， (3)点的坐标为：或或 【分析】（1）把点，点的坐标代入，求出，，即可； （2）过点作轴交于点，设的解析式为，求出的解析式，设点且，则点，求出，再根据二次函数的性质求解即可； （3）根据平行四边形的性质分类讨论：①当为平行四边形的对角线时；②当为平行四边形的对角线时；③当为平行四边形的对角线时，分别求解，即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：过点作轴交于点，垂足为F，如图： ∵，，设直线解析式为， 将、代入， 得：， ∴， ∴直线解析式为， 设，，则， ∴， ∵， ∴当时，最大为， ∴面积为， ∴ 面积的最大值：， 此时. （3）解：存在． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点N的坐标为，点M的坐标为 分三种情况：①当为平行四边形的对角线时，如图， ∵、， ∴，即， 解得，. ∴， ∴点M的坐标为 ②当为平行四边形的对角线时，如图， ∵、， ∴，即， 解得，. ∴， ∴点M的坐标为； ③当AC为平行四边形的对角线时，如图， ∵、， ∴线段的中点H的坐标为，即H， ∴， 解得，， ∴， ∴点M的坐标为， 综上，点的坐标为：或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键． 7．如图，已知二次函数的图象经过点，与x轴分别交于点A，点．点P是直线上方的抛物线上一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，，并把沿y轴翻折，得到四边形，若四边形为菱形，请求出此时点P的坐标； (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时P点的坐标 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由题意可得，连接，由菱形的性质可得垂直平分，从而可得点的纵坐标为，令，则，计算即可得解； （3）连接、、，求出，则，计算可得，直线的解析式为，作轴交直线于，设，则，，表示出，再由二次函数的性质计算即可得解． 【详解】（1）解：将，代入二次函数的解析式， 得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴， 如图，连接， ， ∵四边形为菱形， ∴垂直平分， ∴点的纵坐标为， ∵点P是直线上方的抛物线上一动点， ∴令，则， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：如图，连接、、， ， 在中，当时，，解得：，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 作轴交直线于， ∵点P是直线上方的抛物线上一动点， ∴设，则， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，最大，最大为， 当时，，即． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，菱形的性质，二次函数综合—面积问题，求一次函数的解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 8．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点和的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或，或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）记于y轴的交点为，证明为等腰直角三角形， 过作轴交于，为等腰直角三角形， 则，设，则， 再建立二次函数，利用二次函数的性质解题即可； （3）如图，当在的右边，记直线交y轴于R，，则，求解直线的解析式为， 可得， 设，而四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求解，结合平移的性质可得：；如图，当在的左边，同理可得：，结合平移的性质可得：． 【详解】（1）解： 把，，分别代入得： ， 解得 ， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知， 抛物线对称轴为直线， 点和点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为 记于轴的交点为， 当时，，则， ， 为等腰直角三角形， ， 过作轴交于， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，有最大值， 的最大值为：； （3）解：如图，当在的右边， 记直线交轴于，，则， 设直线的解析式为， 把、分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为， 当时，，则， 设，而四边形为矩形， ， ， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 如图，当在的左边， 同理可得：， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 综上：或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键． 9．如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)点E为直线上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F． ①若点E在第一象限，连接，求面积的最大值； ②此抛物线对称轴与直线交于点D，连接，若为直角三角形，请直接写出E点坐标． 【答案】(1) (2)①；②或或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①先求出的解析式，设，将三角形的面积转化为二次函数求最值，即可； ②分点为直角顶点，点为直角顶点，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点、代入解析式，得： ，解得：； ∴； （2）①∵， ∴当时，， ∴， 设的解析式为，把代入，得：， ∴， 设点，则：， ∴， ∴， ∴当时，面积的最大值为； ②∵， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴ 设点，则：， ∴， 当点为直角顶点时，则：， ∴， 解得：（舍去），或； ∴或 当点为直角顶点时：， ∴， 解得：（舍），（舍），或； ∴或； 综上：或或或． 10．如图1，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接，，． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； (2)如图1，当点F的坐标为，过点P作x轴的垂线，交线段于点D，求线段长度的最大值； (3)如图2，是否存在点F，使得是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题考查待定系数法，三角形的面积求法，等腰直角三角形的讨论，二次函数的图象与性质，难度比较大，根据题意正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作x轴的垂线，交线段于点D，用待定系数法求出直线的解析式，利用抛物线解析式设出点P坐标，从而得出点D的坐标，利用求面积，再配成顶点式从而可求面积的最大值； （3）通过作垂线构造，从而得出边相等，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点、， ∴， 解得：， ∴该抛物线所对应的函数解析式为； （2）解：如图1，过点P作x轴的垂线，交线段于点D， 设直线的解析式为， 由，的坐标得， ， 解得 ∴直线的表达式为：， 设，则， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，面积的最大值为； （3）解：存在，理由： 设，F（0，n）， ∵， ∴，， 如图2，过点P作轴于点Q， 则， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：或2， 当时，，， ∴，即， ∵点F在y的负半轴上， ∴， ∴； 当时，，， ∴，即， ∵点F在y的负半轴上， ∴， ∴． 综上，点F的坐标为或． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $