专题04 相似图形重难点题型汇编（高效培优期中专项训练）数学浙教版九年级上册

专题04 相似图形 考点01 ：比例的性质 考点02：比例线段 考点03：黄金分割比 考点04：平行线分线段成比例定理及其推论基本应用 考点05：相似多边形的性质 考点06：相似三角形的判定 考点07：相似三角形的性质 考点08：相似三角形的判定和性质综合 考点09 ：相似三角形的应用综合 考点10 ：图形的位似 考点11：作图-位似 考点01 ：比例的性质 1．若，则的值是（   ） A． B． C． D．2 2．已知，那么下列比例式中成立的是（　　） A． B． C． D． 3．若一张地图的比例尺是，在地图上量得甲、乙两地的距离是，则甲、乙两地的实际距离是（   ） A． B． C． D． 4．若，则的值为 ． 5．若，则的值为 ． 考点02：比例线段 1．已知线段是线段，的比例中项线段，若，，则 2．点在线段上，若，则 ． 3．（1）已知，且，则_________． （2）已知线段a、b、c满足，且． ①求a、b、c的值； ②若线段是线段a、b的比例中项，求线段的长； ③若四条线即a，b，c，d为成比例线段，则线段的长为__________． 考点03：黄金分割比 1．我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”．如图．在设计人体雕像时，为了增加视觉美感利用黄金分割法，将雕像分为上下两部分，其中为的黄金分割点，已知长为2米，则的长是 米． 2．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即：，已知为2米，则线段的长为 米． 3．鹦鹉螺曲线在人体绘画中不仅是比例工具，更是一种“生长的隐喻”．该曲线的每个半径和前一个半径的比都是黄金比例，即．如图，点是的黄金分割点，点是的黄金分割点，若，则 ． 4.【探究与证明】 【问题情境】宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 【操作发现】 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】 (1)图③中______（保留根号）； (2)如图③，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图④，请证明矩形和矩形是黄金矩形． 考点04：平行线分线段成比例定理及其推论基本应用 1.如图，直线，直线和被，，，，则的长为（   ） A．4 B． C．5 D．6 2．如图所示，已知，下列比例式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（    ） A．6 B．3 C．5 D．9 4．如图，已知，直线与，，分别相交于点A，B，C，直线与，，分别相交于点D，E，F，其中，，则的值是 ． 5．如图，，若，．则 6．矩形中，（为常数，），点为边上一动点（点与不重合），连接，以为直角边作等腰直角，． (1)如图1，过点作交的延长线于点，求证：； (2)当时： ①判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，若，，求的长； (3)当，为的中点时，交于点，取线段的中点，连接．若，求的长． 考点05：相似多边形的性质 1．下列各组图形中，不一定相似的是（    ） A．两个正方形 B．两个等边三角形 C．各有一个角是的两个等腰三角形 D．各有一个角是的两个等腰三角形 2．已知四边形四边形，且，若四边形的周长为15，则四边形的周长为 ． 3．如图所示的两个四边形相似，则的度数是 ． 4．如图，将矩形对折后展开，得到矩形和矩形，记．若矩形与矩形相似，则 ． 5．如图，把一个长方形划分成三个全等的小长方形，若要使每一个小长方形与原长方形相似，则原长方形应满足 ． 6．装裱一幅宽 长的矩形画， 要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似， 装裱上去的部分的上下的宽都为， 若装裱上去的左右部分的宽都为， 则 ． 考点06：相似三角形的判定 1．如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，，，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（   ） A． B． C． D． 3．已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（   ） A．，，；    ，， B．，，；    ，， C．，，；    ，， D．，，；    ，， 4．已知的三边长分别为的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（    ） A． B． C． D． 5．如图，四边形是平行四边形，是的延长线上一点，分别与交于点，，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，D，E分别为边，上的点，试添加一个条件： ，使得与相似． 7．如图，，，，求证：． 8．如图，在中，D为上一点，，求证：． 考点07：相似三角形的性质 1．两个相似三角形的相似比是，则这两三角形的周长的比是（  ） A． B． C． D． 2．圆圆同学把一个三角形的三条边长都扩大为原来的5倍，得到的新三角形的面积（    ） A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的15倍 C．扩大为原来的20倍 D．扩大为原来的25倍 3．如图，在由小正方形组成的网格中，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 5．如图，点分别是的边的中点，若的面积为，则的面积是 ． 6．如图，在中，，，．将折叠，使点B的对应点落在边上，折痕分别与交于点D，E．若与相似，则的长为 7．如图，在中，，已知点D为的中点，点E在线段上，连结，若与相似，则的值为 ． 考点08：相似三角形的判定和性质综合 1．如图，在和中，，．    (1)求证：． (2)若，，求的长． 2．如图，在中，，是斜边上的高． (1)求证：； (2)若，求的长． 3．如图，在中，是边上的一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 4．如图，已知在中，点D，E，F分别在上，． (1)求证：． (2)若，求的长． 5．如图，在正方形中，点G是对角线上一点，的延长线交于点E，交的延长线于点F，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 6．（1）如图1，在矩形中，E为边上一点，连接，过点E作交于点F． ①求证：． ②若，，E为的中点，求的长． （2）如图2，在中，，，，E为边上一点(点E不与点A、B重合)，连接，过点E作交于点F，当为等腰三角形时，的长为多少？ 考点09 ：相似三角形的应用综合 1．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 2．如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔O的距离为 ． 3．小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长为米，又测得墙上影高为米，旗杆的高度为 米． 4．如图，地面上的点处放置平面镜，光线从点射出经平面镜（点处）反射后照射到点．已知，，垂足分别为、，米，米，米，则长为 米． 5．请根据以下素材，完成探究任务： 【汽车盲区与行车安全实践】 素材一 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故．如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域． 素材二 如图2，若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离，点在上，． 素材三 如图3，这辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，正后方跟随一辆速度为90km/h的摩托车．若此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个1.2秒的反应时间．已知小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32米，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的矩形区域． 问题解决 任务一 （1）①如图2，求车头盲区的长度； ②在处有一个高度为0.5的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由； 任务二 （2）如图3，在摩托车刹车前，摩托车应与小汽车至少保持______米的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区． 6．综合与实践：利用相似三角形测量距离    (1)【学科融合】如图1，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（蜡烛火焰到小孔的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．则关于的函数关系式是__________（不用写自变量的取值范围）． (2)【数学思考】如图2，嘉嘉正在使用手电筒进行物理光学实验，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离．已知光在镜面反射中的反射角等于入射角，点A，B，C，D在同一水平面上．则灯泡到地面的高度__________． (3)【实际应用】如图3，小明家窗外有一步路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进客厅里．路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小明测得窗户距离地面高度，窗高，某一时刻，，，其中O，F，D，E四点在同一条直线上，C，B，F三点在同一条直线上，且，，请求出路灯的高度． 考点10 ：图形的位似 1．如图，四边形和四边形是位似图形，位似比为，且四边形的周长为36，则四边形的周长为（   ） A．16 B．24 C．54 D．81 2．如图，已知点，以点为位似中心，按的比例把缩小，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 3．如图，和是以点为位似中心的位似图形，，若的面积为4，则的面积是（   ） A．8 B．12 C．16 D．18 4．如图，已知与位似，位似中心为O，且的面积与的面积之比为，则等于（    ） A． B． C． D． 考点11：作图-位似 1．如图，网格的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，点A、B、C的坐标分别为，，． (1)以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与位似，且相似比为，并写出点的坐标； (2)画出与关于y轴对称的，并写出点的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，． (1)画出将绕点顺时针旋转得到的； (2)以原点为位似中心，在轴下方画出，使它与的相似比为，并写出点，的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的2倍得到的． ②画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，请按如下要求画图： (1)以坐标原点O为旋转中心，将顺时针旋转，得到，请画出； (2)以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出的位似图形，使它与的相似比为，并直接写出此时点的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标分别为，． (1)以原点为位似中心，画出（点的对应点分别为点、），与在位似中心的异侧，且与的相似比为； (2)在（1）的条件下，写出点的坐标． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 相似图形 考点01 ：比例的性质 考点02：比例线段 考点03：黄金分割比 考点04：平行线分线段成比例定理及其推论基本应用 考点05：相似多边形的性质 考点06：相似三角形的判定 考点07：相似三角形的性质 考点08：相似三角形的判定和性质综合 考点09 ：相似三角形的应用综合 考点10 ：图形的位似 考点11：作图-位似 考点01 ：比例的性质 1．若，则的值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查比例的性质，根据已知条件设，，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴． 故选：C． 2．已知，那么下列比例式中成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．直接利用比例的性质变形得出答案． 【详解】解：， ， 则， 故选：B． 3．若一张地图的比例尺是，在地图上量得甲、乙两地的距离是，则甲、乙两地的实际距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例尺，用到的知识点是比例的性质，解题的关键是根据性质列出方程，注意单位的换算．设甲、乙两地的实际距离是，根据题意得，求出的值，再把单位换算为即可． 【详解】解：设甲、乙两地的实际距离是，根据题意得： ，解得， ． 故选：D． 4．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，根据题意设，代入根据比例的性质化简即可． 【详解】解：设， 故答案为：． 5．若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查比例的性质. 当时，根据题意可得，，，当时，根据题意可得，分别代入，即可求解． 【详解】解：当时， ∵， ∴，，， ∴， 即 ∴； 当时，，则； 综上所述，或， 故答案为：或． 考点02：比例线段 1．已知线段是线段，的比例中项线段，若，，则 【答案】 【分析】本题考查了线段比例中项的定义，如果线段是线段，的比例中项，则，据此即可求解． 【详解】解：∵线段是线段，的比例中项线段， ∴， ∴． 故答案为： 2．点在线段上，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的比，解题关键是根据题意作出图形，结合比例的性质求解．根据题意，可设，则，进而即可求解． 【详解】解：如下图， ∵， 设， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（1）已知，且，则_________． （2）已知线段a、b、c满足，且． ①求a、b、c的值； ②若线段是线段a、b的比例中项，求线段的长； ③若四条线即a，b，c，d为成比例线段，则线段的长为__________． 【答案】（1）8；（2）①；②；③ 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便． （1）由题意可知，，，由即可得到答案； （2）①设，则，，，代入，求得k的值，即可求出a、b、c的值； ②由线段x是线段a、b的比例中项，可得，计算即可； ③根据题意得到，将代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①设，则，，， ∵，所以，解得， ∴，，； ②∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴，所以（舍负）； ③∵a，b，c，d为成比例线段， ∴， 即 ∴， 故答案为：． 考点03：黄金分割比 1．我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”．如图．在设计人体雕像时，为了增加视觉美感利用黄金分割法，将雕像分为上下两部分，其中为的黄金分割点，已知长为2米，则的长是 米． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义并结合图象计算即可得解，熟练掌握黄金分割的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：米， 故米， 故答案为：． 2．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即：，已知为2米，则线段的长为 米． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键．根据点E是的黄金分割点，可得，代入数值得出答案． 【详解】解：∵点E是的黄金分割点，， ∴． ∵米， ∴米． 故答案为：． 3．鹦鹉螺曲线在人体绘画中不仅是比例工具，更是一种“生长的隐喻”．该曲线的每个半径和前一个半径的比都是黄金比例，即．如图，点是的黄金分割点，点是的黄金分割点，若，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了黄金分割点的定义，二次根式的混合运算，先根据黄金分割点的定义可求出，进而可求出，再根据黄金分割点的定义即可求出． 【详解】解：∵点是的黄金分割点， ∴， ∴， ∴， ∵是的黄金分割点， ∴， ∴， 故答案为：2． 4.【探究与证明】 【问题情境】宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：） 【操作发现】 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处． 第四步，展平纸片，按照所得的点折出，使，则图④中就会出现黄金矩形． 【问题解决】 (1)图③中______（保留根号）； (2)如图③，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图④，请证明矩形和矩形是黄金矩形． 【答案】(1) (2)四边形是菱形，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了黄金分割，黄金矩形，折叠与矩形的性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握黄金分割的定义． （1）根据四边形是正方形得，由折叠的性质得，，在中，根据勾股定理得即可得； （2）四边形是菱形，由折叠的性质可知，，，证明四边形为平行四边形，由，即可证明； （3）根据黄金矩形的定义证明即可得． 【详解】（1）解：由题知四边形为正方形，且， ∴，， 又∵矩形与矩形相等， ∴， ∴； （2）解：四边形是菱形，理由如下： 由折叠的性质可知，，， 又∵四边形为矩形， ∴，则， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形； （3）证明：∵，，， ∴， 则， 故四边形为黄金矩形， ∵，，， ∴， ∴， 故四边形为黄金矩形． 考点04：平行线分线段成比例定理及其推论基本应用 1.如图，直线，直线和被，，，，则的长为（   ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活应用定理，找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：， ，即， 解得：． 故选：A． 2．如图所示，已知，下列比例式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例， 根据平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【详解】解：， ， 故选：B. 3．如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（    ） A．6 B．3 C．5 D．9 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例即可解答． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴， ∴， 即， 解得， 故选：A． 4．如图，已知，直线与，，分别相交于点A，B，C，直线与，，分别相交于点D，E，F，其中，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由平行截线求相关线段的长或比值，解题关键是掌握由平行截线求相关线段的长或比值． 先求出，再利用由平行截线段成比例求解． 【详解】解：∵直线与，，分别相交于点D，E，F，其中，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．如图，，若，．则 【答案】/ 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，正确运用定理找准对应关系是解题的关键． 由已知线段得出，根据平行线分线段成比例定理即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 6．矩形中，（为常数，），点为边上一动点（点与不重合），连接，以为直角边作等腰直角，． (1)如图1，过点作交的延长线于点，求证：； (2)当时： ①判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，若，，求的长； (3)当，为的中点时，交于点，取线段的中点，连接．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①四边形是正方形，理由见解析 (3) 【分析】（1）首先得到，等量代换得到，然后证明出，即可得到； （2）①由得到，即可证明四边形是正方形； ②同（1）可得，，得到，，然后求出，利用勾股定理求解即可； （3）如图所示，过点F作交延长线于点G，设，则，表示出，，，，然后证明出是的中位线，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）∵矩形中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵以为直角边作等腰直角 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）①四边形是正方形，理由如下： ∵ ∴ ∵四边形是矩形 ∴四边形是正方形； ②如图所示，过点F作交延长线于点G 同（1）可得， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴； （3）如图所示，过点F作交延长线于点G ∵为的中点 ∴设，则 ∵ ∴ 同（1）可得， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵线段的中点 ∴是的中位线 ∴ ∵，， ∴，即 ∴ ∴， ∵ ∴． 【点睛】此题考查了矩形和正方形的性质和判定，勾股定理，平行线分线段成比例，全等三角形的性质和判定，三角形中位线的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 考点05：相似多边形的性质 1．下列各组图形中，不一定相似的是（    ） A．两个正方形 B．两个等边三角形 C．各有一个角是的两个等腰三角形 D．各有一个角是的两个等腰三角形 【答案】C 【分析】 本题主要考查了相似图形的定义，熟练掌握相似图形的对应边成比例，对应角相等和等腰三角形，等边三角形，正方形的性质是解决此题的关键．根据相似图形的定义，以及等边三角形，等腰三角形，正方形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解即可． 【详解】解：A、两个正方形，对应边的比相等，角都是，相等，所以一定相似，不符合题意； B、两个等边三角形，对应边的比相等，角都是，相等，所以一定相似，不符合题意； C、各有一个角是的两个等腰三角形，若一个等腰三角形的底角是，而另一个等腰三角形的顶角是，则两个三角形就不相似，所以不一定相似，符合题意； D、各有一个角是的两个等腰三角形，的角只能是顶角，夹顶角的两边成比例，所以一定相似，不符合题意； 故选：C． 2．已知四边形四边形，且，若四边形的周长为15，则四边形的周长为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查相似多边的性质，根据周长比等于相似比可得答案． 【详解】解：∵四边形四边形，且， ∴， ∵四边形的周长为15， ∴四边形的周长， 故答案为：9． 3．如图所示的两个四边形相似，则的度数是 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查相似性质，多边形内角和．根据题意利用相似性质可得对应角相等，再利用四边形内角和继而求出答案． 【详解】解：∵两个四边形相似，四边形内角和为， ∴的度数是：， 故答案为：． 4．如图，将矩形对折后展开，得到矩形和矩形，记．若矩形与矩形相似，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相似多边形，根据相似多边形的对应边成比例，列式计算即可． 【详解】解：∵对折， ∴， ∵矩形与矩形相似， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍掉）； 故答案为：． 5．如图，把一个长方形划分成三个全等的小长方形，若要使每一个小长方形与原长方形相似，则原长方形应满足 ． 【答案】 【分析】根据题意可得，矩形矩形，然后利用相似多边形的性质可得，从而可得，进行计算即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得： ，矩形矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 6．装裱一幅宽 长的矩形画， 要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似， 装裱上去的部分的上下的宽都为， 若装裱上去的左右部分的宽都为， 则 ． 【答案】10 【分析】根据相似图形对应边成比例即可进行解答． 【详解】解：∵装裱完成后的大矩形与原矩形画相似， ∴，解得：． 故答案为：10 ． 【点睛】本题主要考查了相似的性质，解题的关键是熟练掌握形似的图形对应边成比例． 考点06：相似三角形的判定 1．如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：在和中， ， ∴当时，；故选项 A 不符合题意； 当时，；故选项 B 不符合题意； 当时，；故选项 C 不符合题意； 当时，无法得到；故选项 D 符合题意； 故选：D． 2．如图，已知，，，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定逐一判断即可．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、，， ，故A不符合题意； B、，， ，故不符合题意； C、由图形可知，，， ，， ， ， ，故C不符合题意； D、由已知条件无法证明与相似，故D符合题意， 故选：D． 3．已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（   ） A．，，；    ，， B．，，；    ，， C．，，；    ，， D．，，；    ，， 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、， 两个三角形的三边成比例，故两个三角形相似； B、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； C、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； D、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； 故选：A． 4．已知的三边长分别为的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形对应边成比例逐项验证即可． 【详解】解：A.∵，∴选项不符合题意； B.∵，∴选项不符合题意； C.∵，∴选项符合题意； D.∵，∴选项不符合题意； 故选：C． 5．如图，四边形是平行四边形，是的延长线上一点，分别与交于点，，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．根据平行四边形性质得到平行是关键．根据平行四边形性质得，，可得，，． 【详解】解：A、四边形是平行四边形， ， ，不符合题意； B、四边形是平行四边形， ， ，不符合题意； C、四边形是平行四边形， ， ，不符合题意； D、无法证明，符合题意； 故选：D． 6．如图，在中，D，E分别为边，上的点，试添加一个条件： ，使得与相似． 【答案】或或 【分析】本题的主要考查点是三角形相似的判定．和中，是公共角，再找一组对应角相等，或者夹的两边对应成比例都可得到两三角形相似．熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：， ∴当或或时，． 故答案为：或或． 7．如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据余角的性质得出．根据，即可证明结论． 【详解】证明：，， ，， ． ，， ． ． 8．如图，在中，D为上一点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理解题关键． 由题意得到两边对应成比例，且夹角相等，利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似即可得证． 【详解】解：， ，， ， 又∵， ． 考点07：相似三角形的性质 1．两个相似三角形的相似比是，则这两三角形的周长的比是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质．相似三角形的周长比等于相似比，据此进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是，相似三角形的周长比等于相似比， ∴这两三角形周长的比是， 故选：A． 2．圆圆同学把一个三角形的三条边长都扩大为原来的5倍，得到的新三角形的面积（    ） A．扩大为原来的5倍 B．扩大为原来的15倍 C．扩大为原来的20倍 D．扩大为原来的25倍 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．将一个三角形的三边扩大为原来的5倍，新的三角形与原三角形相似，相似比为：，利用面积比是相似比的平方，即可得解． 【详解】解：由题意，知，新的三角形与原三角形相似，相似比为：， ∴两个三角形的面积比为：， 即：这个三角形的面积扩大为原来的25倍； 故选：D． 15．如图，在由小正方形组成的网格中，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了网格的特点，相似三角形的性质，理解网格特点，掌握相似三角形的性质是关键．根据网格特点得到，再根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示， 是小正方形的对角线，是小正方形的边， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故选：A ． 4．如图，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握：相似三角形的对应角相等．据此解答即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 5．如图，点分别是的边的中点，若的面积为，则的面积是 ． 【答案】20 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质．根据三角形中位线定理得到，，证明，根据相似三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵D，E分别是的边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为， 故答案为：20． 6．如图，在中，，，．将折叠，使点B的对应点落在边上，折痕分别与交于点D，E．若与相似，则的长为 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质，折叠的性质．设，则，由折叠的性质得，分和两种情况讨论，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：设，则，由折叠的性质得， 分两种情况讨论， 当时，，即， 解得， 当时，，即， 解得， 综上，的长为或． 故答案为：或． 7．如图，在中，，已知点D为的中点，点E在线段上，连结，若与相似，则的值为 ． 【答案】或3 【分析】本题考查相似三角形的性质，关键是要分两种情况讨论． 分两种情况，当时推出，代入有关数据得到，当时，推出，代入有关数据求出，即可得到的值为或3． 【详解】解：∵为的中点，， 当时， 当时， ∴的值为或3． 故答案为：或3． 考点08：相似三角形的判定和性质综合 1．如图，在和中，，．    (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定证明相似，再利用相似三角形的性质求解即可； （1）根据两边成比例夹角相等证明三角形相似，再利用相似三角形的性质得出即可； （2）根据相似三角形的面积比得出相似比，再利用比例求出的长． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， 即， ， （2）解：：， ， ， 2．如图，在中，，是斜边上的高． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查射影定理，相似三角形的判定和性质等知识． （1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）利用相似三角形的性质证明，可得结论． 【详解】（1）证明：， ， ，即， ∴， ， 又∵， ； （2）解：由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，在中，是边上的一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理和性质是解题关键． （1）根据“两个角分别相等的两个三角形相似”即可证明； （2）根据相似三角形的性质得到，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ． （2）解：， ，即， ， ． 4．如图，已知在中，点D，E，F分别在上，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行线的性质可得，再根据两组角对应相等的两个三角形相似可证明结论； （2）可证明，利用相似三角形的性质可得的长，再证明四边形是平行四边形，即可得到的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 5．如图，在正方形中，点G是对角线上一点，的延长线交于点E，交的延长线于点F，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明、及是解题的关键． （1）由正方形的性质得，，，则，所以，根据相似三角形的性质即可得证； （2）由，证明，得，由，证明，得，则，代入数据求出，进而可求的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 6．（1）如图1，在矩形中，E为边上一点，连接，过点E作交于点F． ①求证：． ②若，，E为的中点，求的长． （2）如图2，在中，，，，E为边上一点(点E不与点A、B重合)，连接，过点E作交于点F，当为等腰三角形时，的长为多少？ 【答案】（1）①见解析；②；（2）或2． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质是解题关键． （1）①根据两角分别相等的两个三角形相似证明即可；②利用相似三角形对应边成比例求解即可； （2）由等腰直角三角形的性质，得到，证明，得到，由为等腰三角形且，可分别两种情况讨论：和，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）①证明：由题意得， ∴， ∴， ∴． ②解：∵， ∴， ∵，E为的中点， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰三角形且， 若，则 ∴； 若，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，或2． 考点09 ：相似三角形的应用综合 1．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 【详解】解：，， ， ， ， ∵动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：B． 2．如图是小孔成像原理的示意图，蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔O的距离为 ． 【答案】3 【分析】根据，利用相似三角形的性质解答即可． 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设到小孔O的距离为， 根据题意，得， ∴， ∴， ∴， ∴， 故到小孔O的距离为， 故答案为：3． 3．小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长为米，又测得墙上影高为米，旗杆的高度为 米． 【答案】 【分析】过点D作于点E，连接，则，再根据同一时刻物高与影长成正比求出的长，进而可得出结论． 本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 【详解】解：过点D作于点E，连接， 则， ∵他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长米， ∴，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 4．如图，地面上的点处放置平面镜，光线从点射出经平面镜（点处）反射后照射到点．已知，，垂足分别为、，米，米，米，则长为 米． 【答案】/ 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据物理性质找到求得的长度．设米，则米，由物理性质可得入射角等于反射角、，证明，得出，代入数据求得，即可求解． 【详解】解：设米， 米， 米， 由物理性质可得入射角等于反射角，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴ ∴， ∴， 即， 解得，即米． 故答案为：． 5．请根据以下素材，完成探究任务： 【汽车盲区与行车安全实践】 素材一 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故．如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域． 素材二 如图2，若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离，点在上，． 素材三 如图3，这辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，正后方跟随一辆速度为90km/h的摩托车．若此时小汽车司机紧急刹车，那么摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个1.2秒的反应时间．已知小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32米，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的矩形区域． 问题解决 任务一 （1）①如图2，求车头盲区的长度； ②在处有一个高度为0.5的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由； 任务二 （2）如图3，在摩托车刹车前，摩托车应与小汽车至少保持______米的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区． 【答案】（1）①，②不能，理由见解析；（2）45 【分析】本题主要考查几何中角度的计算，尺规作角等于已知角，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）①根据题意得到，，且，由此列式得到，即可求解； ②过点作交于点，可证，，得，由此即可求解； （2）根据题意得到摩托车反应时的路程，结合汽车、摩托车刹车距离即可求解． 【详解】（1）①根据题意，，，，， ， ， ，且， ， ， 检验，当时，原方程的分母不为零， ， ②过点作交于点， ，，， ， ， ， ， 不能观察到物体 （2）摩托车的速度为， ∴摩托车在秒的反应时间里的路程为， ∵小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22米，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32米，小汽车车尾盲区为正后方长为5米的矩形区域， ∴， ∴摩托车应与小汽车至少保持米的距离，才不会闯入小汽车的车尾盲区． 故答案为：45 6．综合与实践：利用相似三角形测量距离    (1)【学科融合】如图1，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（蜡烛火焰到小孔的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．则关于的函数关系式是__________（不用写自变量的取值范围）． (2)【数学思考】如图2，嘉嘉正在使用手电筒进行物理光学实验，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离．已知光在镜面反射中的反射角等于入射角，点A，B，C，D在同一水平面上．则灯泡到地面的高度__________． (3)【实际应用】如图3，小明家窗外有一步路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进客厅里．路灯顶部处发光，光线透过窗子照亮地面的长度为，小明测得窗户距离地面高度，窗高，某一时刻，，，其中O，F，D，E四点在同一条直线上，C，B，F三点在同一条直线上，且，，请求出路灯的高度． 【答案】(1) (2) (3)路灯的高度为 【分析】本题考查了反比例函数解析式，相似三角形的应用，相似三角形的判定与性质，熟练掌握反比例函数解析式，相似三角形的应用，相似三角形的判定与性质是解题的关键 （1）设关于的函数关系式为，将时，代入，解得，，进而可得关于的函数关系式； （2）由题意知，，证明，则，即，解得，，证明，则，即，计算求解即可； （3）由题意知，，，设，．证明，则，即，解得，，，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：设关于的函数关系式为， 将时，代入得，， 解得，， ∴关于的函数关系式为， 故答案为：； （2）解：由题意知，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：； （3）解：由题意知，，， 设，． ∵，， ∴． ∴， ∴，即，解得，， ∴， ∴，即，解得， ∴路灯的高度为． 考点10 ：图形的位似 1．如图，四边形和四边形是位似图形，位似比为，且四边形的周长为36，则四边形的周长为（   ） A．16 B．24 C．54 D．81 【答案】C 【分析】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的周长比等于相似比． 根据位似图形的性质可得四边形和四边形的周长比为，即可求解． 【详解】解：∵四边形和四边形是位似图形，位似比为， ∴四边形和四边形的周长比为， ∵四边形的周长为36， ∴四边形的周长为． 故选：C 2．如图，已知点，以点为位似中心，按的比例把缩小，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查位似图形的性质，掌握位似的性质内容是解题的关键． 根据位似图形的性质“关于原点成位似的两个图形，若位似比是，则原图形上的点，经过位似变化得到的对应点的坐标是或”，即可求得点的对应点的坐标． 【详解】解：∵点，以点为位似中心，按的比例把缩小， ∴点的对应点的坐标为或， 故选：D． 3．如图，和是以点为位似中心的位似图形，，若的面积为4，则的面积是（   ） A．8 B．12 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似变换； 由和是以点为位似中心的位似图形，得，则，然后根据位似图形的面积之比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴的面积 的面积， ∵的面积为4， ∴的面积为16， 故选：C． 4．如图，已知与位似，位似中心为O，且的面积与的面积之比为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，由题意可得，，，再证明，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵与位似，位似中心为O，且的面积与的面积之比为， ∴，，， ∴， ∴， 故选：D． 考点11：作图-位似 1．如图，网格的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，点A、B、C的坐标分别为，，． (1)以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与位似，且相似比为，并写出点的坐标； (2)画出与关于y轴对称的，并写出点的坐标． 【答案】(1)，图见解析 (2)，图见解析 【分析】本题考查作图位似变换，轴对称变换，熟练掌握相似三角形的性质及轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图，即可得出答案． （2）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示,的坐标为； （2）解：如图所示,的坐标为 2．如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，． (1)画出将绕点顺时针旋转得到的； (2)以原点为位似中心，在轴下方画出，使它与的相似比为，并写出点，的坐标． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解， 【分析】本题主要考查旋转的性质，坐标与图形，位数图形的作图及性质，掌握坐标与图形的特点，位数图形的性质是解题的关键． （1）根据图形旋转的性质作图即可； （2）根据位似比得到点的坐标，连接即可求解． 【详解】（1）解：作图如下， ∴即为所求图形； （2）解：∵，在轴下方画出，使它与的相似比为， ∴， 作图如下， ∵， ∴， ∴即为所求图形． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的2倍得到的． ②画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)与是位似图形，作图见解析， 【分析】本题考查的是画位似图形，平移图形，判断两个图形位似，熟记位似的性质是解本题的关键． （1）①分别确定O，A，B关于位似中心的对应点O，，，再顺次连接即可；②分别确定，，平移后的对应点，，，再顺次连接即可； （2）根据位似图形的定义进行判断，连接，并延长交于点M，由交点可得位似中心，从而可得答案． 【详解】（1）解：①根据题意：， 如图，为所作； ②根据题意：， 如图，为所作； （2）解：由平移的性质得与全等，由（1）知与时位似图形， 则与是位似图形； 如图，点为所求，坐标为． 4．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，请按如下要求画图： (1)以坐标原点O为旋转中心，将顺时针旋转，得到，请画出； (2)以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出的位似图形，使它与的相似比为，并直接写出此时点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)画图见解析，点的坐标为 【分析】本题考查了位似变换与旋转变换，正确得出对应点的位置是解题的关键． （1）直接利用旋转的性质得出对应点的位置，画出图形即可； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点的位置，画出图形即可，再进一步确定点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求， ∴点的坐标为． 5．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点的坐标分别为，． (1)以原点为位似中心，画出（点的对应点分别为点、），与在位似中心的异侧，且与的相似比为； (2)在（1）的条件下，写出点的坐标． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了作图——位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． （1）根据位似变换的性质，延长到，使，延长到，使，连接，即为所求； （2）根据位似性质结合图象可得答案． 【详解】（1）解：即为所求，如图所示 （2）点的坐标为． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $