专题17相似三角形综合题八类题型（压轴题专项训练）数学浙教版九年级上册

专题17 相似三角形综合题八类题型 典例详解 类型一、相似三角形的应用 类型二、相似三角形与全等三角形综合 类型三、相似三角形与四边形综合 类型四、相似三角形与圆形综合 类型五、相似三角形与坐标系综合 类型六、相似三角形与一次函数综合 类型七、相似三角形与二次函数综合 类型八、相似三角形与反比例函数综合 压轴专练 类型一、相似三角形的应用 例1．（25-26九年级上·四川达州·期中）利用相似三角形可以计算某些不能直接测量的物体的高度，某校“综合与实践”小组的同学把“测量学校旗杆的高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告． 活动课题 测量学校旗杆的高度 活动目的 利用相似三角形知识解决实际问题 活动工具 皮尺、镜子、标杆等 测量方案 方案：利用影子 方案：利用镜子 方案：利用标杆 测量示意图 测量过程 在同一时刻，小组同学测得身高为米的小乐的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 小慧在她脚下放置镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆顶部．小组同学测得小慧的眼睛距离地面的高度为米，小慧到镜子的距离为米，旗杆到镜子的距离为米． 小智在他前面立一根标杆，当小智的眼睛、标杆顶部、旗杆顶部在同一直线上时，小组同学测得标杆高为米，小智的眼睛距离地面的高度为米，小智与旗杆之间的距离为米，小智与标杆之间的距离为米． 计算结果 … … … 反思 … … … 根据上面活动报告，解答下列问题： (1)利用方案测得旗杆的高度为 米； (2)请将方案的测量示意图补充完整，并求出旗杆的高度； (3)请利用方案帮小智计算旗杆的高度． 变式1-1．（25-26九年级上·福建三明·期中）综合实践 活动课题：利用相似三角形的有关知识测量铁塔高度 活动工具：皮尺、小镜子（有标记） 测量方法： 如图，为需要测量的铁塔，在距离铁塔正下方点27米的点放一面小镜子，观测者小智看着镜子来回移动，直至看到铁塔点在镜子中的像与镜子上的标记重合，此时用皮尺测量为2.4米，小智眼睛距离地面的高度为1.6米． 计算塔高： （1）根据以上测量数据计算铁塔的高度． 活动反思：现实中建筑物下方经常不容易到达或无法进行测量，因此上述测高方法需要改进． 方法改进：如图，在点放一面小镜子，小智站在点看到镜子里的标记和点重合，测得为1.4米，然后将小镜子沿着所在直线后退5米到点，小智调整位置站在点看到了镜子中的标记和点重合，测得为1.8米，、始终等于小智眼睛到地面的高度1.6米． 计算塔高： （2）运用改进的方法及测量数据，计算铁塔的高度． 变式1-2．（25-26九年级上·广东深圳·期中）综合与实践：利用相似三角形测量距离． 【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧：反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律． 【探索活动】淇淇和嘉嘉分别测量两个旗杆高度． 【活动1】如图2所示，淇淇将镜子放在地面上，然后后退直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为，已知淇淇的身高是，眼睛位置A距离淇淇头顶的距离是，求旗杆的高度． 【活动2】如图3所示，嘉嘉在某一时刻测得长的竹竿竖直放置时影长，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上（），另一部分落在斜坡上（），他测得落在地面上的影长为，落在斜坡上的影长为，，求旗杆的高度？ 【深度思考】在实际测量的过程中，你有哪些措施可以帮助他（她）们减小测量过程中的误差？（写出一条即可） 变式1-3．（25-26九年级上·江西九江·期中）星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 （1）问题一：现测量得到．海关大楼高高为 （用a，b，c表示） 【数学思维】但在进一步观察海关大楼周围的环境后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． （2）问题二：小星测量得到，请你求出海关大楼的高度． 类型二、相似三角形与全等三角形综合 例2．（2021·四川乐山·中考真题）在等腰中，，点是边上一点（不与点、重合），连结． （1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，结，，则________； （2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结． ①在图2中补全图形； ②探究与的数量关系，并证明； （3）如图3，若，且，试探究、、之间满足的数量关系，并证明． 变式2-1．（2021·安徽·中考真题）如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF． （1）求证：； （2）如图2，若，，，求BE的长； （3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值． 变式2-2．（2024·河北廊坊·二模）如图所示，在平行四边形中，，，点E是的中点，将绕点E顺时针旋转得到，过点E作的角平分线，角平分线交平行四边形的边于点P． (1)连接，求证：≌； (2)在旋转过程中，求点与点D之间的最小距离； (3)在旋转过程中，若点落在的内部（不包含边界），求的取值范围． 变式2-3．（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）某数学学习小组在学习旋转相关知识后，对特殊的四边形进行探究，有如下探究过程： 【问题解决】 （1）如图①，在矩形中，点E为边上一点，将绕点E顺时针旋转后得，若点F恰好落在边上，求证：； 【问题探究】 （2）如图②，在正方形中，点E为的中点，将绕点E顺时针旋转后得，连接．若，求点F到的距离； 【拓展延伸】 （3）如图③，在菱形中，点E为边上任意一点，点F在上，，交于点O．若，，当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 类型三、相似三角形与四边形综合 例3．（2023·山东德州·一模）在边长为4的正方形中，E是边上一动点(不与端点重合)，将沿翻折，点A落在点H处，直线交于点F，连接，，分别与AC交于点P、Q，连接，．则以下结论中正确的有________  (写出所有正确结论的序号)． ①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤若连接，则的最小值为． 变式3-1．（19-20九年级上·山东济南·期末）如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，，交BD于点F． (1)如图1，直按写出的值_______； (2)将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，当BE=BA时，其他条件不变，△EBF绕点B顺时针旋转，设旋转角为，当为何值时EA=ED?请在图3或备用图中画出图形并求出的值． 变式3-2．（2021·江苏无锡·二模）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将沿BE翻折至的位置． （1）如图1，当点F落在矩形ABCD内部时，连接CF并延长，交AD于点G，若，，，则GF的长度为________________； （2）如图2，当点C恰好落在AD边上点F处时，若，且，求BC的长； （3）如图3，当点C恰好落在AD边上点F处时，延长EF，与的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当时，求的值． 变式3-3．（20-21八年级下·江苏苏州·期末）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形． （1）矩形 垂等四边形（填 “是”或“不是”）； （2）如图1，在正方形中，点、、分别在、、上，四边形是垂等四边形，且，． ①求证：； ②若，求的值； （3）如图2，在中， ， 以为对角线，作垂等四边形．过点作的延长线的垂线，垂足为，且与相似，则四边形的面积是 ． 类型四、相似三角形与圆形综合 例4．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，直径弦于点E，连结，，连结并延长交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)若是等腰三角形，求的度数； (3)若，，求的长． 变式4-1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，为的直径，P是线段上一点，过点P作（点A在直径上方），连结，并延长交于点，过点作于点，交直径于点． (1)求证：． (2)当，且时，求的半径． (3)当时，_______________． 变式4-2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，垂足为，连接并延长交于点．    (1)求证：； (2)若，，，则四边形的面积为__________． 变式4-3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，直径垂直于弦，垂足为点E，连接、，延长交于点F． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 类型五、相似三角形与坐标系综合 例5．（2025·江苏苏州·三模）如图，在平面直角坐标系中，的直角边在轴的正半轴上，且，斜边，点为线段上一动点．若点为线段的中点，连接，以为折痕，在平面内将折叠，点的对应点为，若与的边垂直，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 变式5-1．（2025九年级上·浙江·专题练习）已知：如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，边与轴交于点，点的坐标分别为，，． (1)求的面积； (2)在轴上找一点，连接，使得（不包括全等），并求点的坐标； (3)在（2）的条件下，如分别是边和边上的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似？如存在，请求出的值；如不存在，请说明理由． 变式5-2．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，过点C作，垂足为点D，连接． (1)当时，求的长； (2)的大小是否为定值，如果是，求；如果不是，请说明理由； (3)坐标平面内有一点，且满足，求E点的坐标（用m的代数式表示）． 类型六、相似三角形与一次函数综合 例6．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，直线l交x轴于点，交y轴于点，且，和是关于x的一元二次方程的两个实数根，点P在线段上（不与点A、B重合），过点P分别作的垂线，垂足为C、D. (1)求直线l的函数表达式； (2)当时，求点P的坐标； (3)求点P在何处时，矩形的面积为1？ 变式6-1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，一次函数的图象经过点，且与轴的交点为，点的横坐标为，点的坐标是，连接． (1)如图1，求点的坐标及的函数表达式； (2)如图2，点是线段上一点，连接并延长，交于点，过点作轴，交于点，设点的横坐标为． ①求的长（用含有的代数式表示）； ②和的面积分别记为，若，求点的坐标； (3)一次函数与一次函数组成新函数，当直线（为常数）与有两个交点时，这两个交点从左到右依次为，点是轴上一点，点在一次函数上，当四边形是菱形时，请直接写出的值． 变式6-2．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图，直线与轴交于点，与轴交于点B，点C在轴上点A的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D，点P为直线上一动点． (1)求点D坐标； (2)若，请求出P点的坐标； (3)若在平面内存在一点Q，使得四点C、D、P、Q构成菱形，若存在，请直接写出点P横坐标的值，若不存在，请说明理由． 类型七、相似三角形与二次函数综合 例7．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，对称轴为直线的抛物线的顶点为，与轴相交于点，过点作的垂线交轴于点，交抛物线的对称轴于点，且与抛物线的另一个交点为． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)分别求点，的坐标； (3)在对称轴上找一点，使得以，，为顶点的三角形与相似，直接写出点的坐标． 变式7-1．（2024·甘肃嘉峪关·模拟预测）直线分别交x轴、y轴于A、B两点，绕点O按逆时针方向旋转后得到，抛物线经过A、C、D三点． (1)写出点A、B、C、D的坐标； (2)求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标； (3)在直线上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 变式7-2．（25-26九年级上·上海·期中）已知：如图，抛物线的图像开口向上，与轴交于点、（在的左边），与轴交于点，顶点为，，且. (1)求抛物线的对称轴和函数解析式； (2)把抛物线的图像先向左平移3个单位，再向下平移个单位得到抛物线，记顶点为，并与轴的交于点，求抛物线的函数解析式； (3)在（2）的基础上，点是轴上一点，当与相似时，求点的坐标. 变式7-3．（23-24九年级上·全国·期末）如图，已知抛物线与轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为上方抛物线上的动点，过点P作，垂足为点D，连接，当与相似时，求点P的坐标． 类型八、相似三角形与反比例函数综合 例8．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，点为反比例函数为正数且图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数为正数且的图象交于点． （1）如果，且点，点的纵坐标相等，那么点，点的横坐标的比值为 ； （2）的值为 （用含a，b的代数式表示）． 变式8-1．（25-26九年级上·湖南娄底·期中）在矩形中，，分别以，所在直线为轴、轴，建立如图①所示的平面直角坐标系．是边上一个动点（不与点B，C重合），过点的反比例函数的图象与边交于点． (1)当点运动到边的中点时，点的坐标为________； (2)连接，求的值； (3)如图②，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，求的长度． 变式8-2．（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知在直角坐标系内的位置如图所示，，双曲线与边交于点，与边交于点的正切值为． (1)求的值； (2)连接，求直线的表达式与的面积； (3)设直线与轴交于点，点在射线上，连接，如果与相似，试求点的坐标． 1．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为厘米．贾明同学观察到高度厘米的矮圆柱的影子落在地面上，其影长为厘米；而高圆柱的部分影子落在墙上（如图所示）． 已知落在地面上的影子皆与墙面互相垂直（将太阳光线视为平行光线），在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题： (1)如果贾明的身高为厘米，且此刻他的影子完全落在地面上，那么影长为多少厘米？ (2)如果同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为厘米，那么高圆柱的高度为多少厘米？ (3)如果身高为厘米的贾明同学从与两根圆柱成同一直线上的某个点出发，沿着与圆柱的影子平行的方向，面向墙壁的方向行走．设贾明同学行走的长度为厘米，他落在墙上的影长为厘米，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 2．（2021·安徽合肥·三模）在菱形中，，点、分别是边、上两点，满足，与相交于点． （1）如图1，连接．求证：； （2）如图2，连接． ①求证：； ②若，，求线段的长（用含、的代数式表示）． 3．（2021·湖北襄阳·一模）在矩形中，点是对角线、的交点，直角的顶点与重合，、分别与、边相交于、，连接，（为常数）． （1）发现问题：如图1，若，猜想：________； （2）类比探究：如图2，，探究线段，之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长． 4．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，已知等腰中，，，与轴交于点，， (1)求点B的坐标 (2)求的长 (3)探究：在x轴上是否存在点P，使以A，D，P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标是，连接． (1)求的面积； (2)如果点D在线段上，且，求点D的坐标； (3)如果点P在直线上，且与相似，求线段长度． 6．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）在平面直角坐标系中（如图），已知直线l：交x轴于点A，交y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且．点D在线段上，且，过点C作的垂线，交的延长线于点E，连接． 在平面直角坐标系中（如图），已知直线l：交x轴于点A，交y轴于点B，点C在 (1)求点D的坐标； (2)求证：； (3)如果点P是直线上的动点，连接，当与相似时，求点P坐标． 7．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点． (1)直接写出反比例函数的表达式； (2)如图1，点在反比例函数的图象上且在点的右侧，过点作轴于点，连接、，交于点，若点是的中点，求的面积； (3)如图2，连接，在轴上取一点，使为等腰三角形，直接写出点的坐标． 8．（25-26九年级上·上海·期中）如图，抛物线经过点，点． (1)求这条抛物线的表达式； (2)P是抛物线对称轴上的点，连接，如果，求点P的坐标，并求三角形的面积； (3)将抛物线沿y轴向下平移m个单位，所得新抛物线与y轴交于点D，过点D作轴交新抛物线于点E，射线交新抛物线于点F，如果，求m的值． 9．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图1，在等腰中，，点O是的外心，作外接圆，延长，交于点D． (1)连接，求证：； (2)若，求度数； (3)如图2，在的延长线上取点E，连接，若，，，求的长． 10．（25-26九年级上·广东深圳·期中）数学课上，张老师在引导学生探究菱形与正方形性质的共同点时，根据菱形和正方形邻边都相等的性质，设计了以下问题． 【观察发现】 在菱形中，是菱形内一点，且，连接，延长交于点． （1）如图1，当时，的度数为 ． 【迁移探究】 （2）如图2，当时． ①判断与α的数量关系，并说明理由； ②当时，判断与的关系，并说明理由． 【结论应用】 （3）如图3，在边长为的正方形中，是正方形内一点，且，连接，延长交于点，过点作的平行线，交的延长线于点，连接．当是等腰直角三角形时，直接写出的长． 11．（2024·吉林长春·一模）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点、，交轴于点，连结、．点在该抛物线上，过点作，交直线于点，连结、、．设点横坐标为，的面积为，的面积为． (1)求a，b的值； (2)设抛物线上D、B两个点和它们之间的部分为图象G，当图象G的最高点的纵坐标与m无关时，求m的取值范围； (3)当点D在第一象限时，求＋的最大值； (4)当时，直接写出m的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 相似三角形综合题八类题型 典例详解 类型一、相似三角形的应用 类型二、相似三角形与全等三角形综合 类型三、相似三角形与四边形综合 类型四、相似三角形与圆形综合 类型五、相似三角形与坐标系综合 类型六、相似三角形与一次函数综合 类型七、相似三角形与二次函数综合 类型八、相似三角形与反比例函数综合 压轴专练 类型一、相似三角形的应用 例1．（25-26九年级上·四川达州·期中）利用相似三角形可以计算某些不能直接测量的物体的高度，某校“综合与实践”小组的同学把“测量学校旗杆的高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告． 活动课题 测量学校旗杆的高度 活动目的 利用相似三角形知识解决实际问题 活动工具 皮尺、镜子、标杆等 测量方案 方案：利用影子 方案：利用镜子 方案：利用标杆 测量示意图 测量过程 在同一时刻，小组同学测得身高为米的小乐的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 小慧在她脚下放置镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆顶部．小组同学测得小慧的眼睛距离地面的高度为米，小慧到镜子的距离为米，旗杆到镜子的距离为米． 小智在他前面立一根标杆，当小智的眼睛、标杆顶部、旗杆顶部在同一直线上时，小组同学测得标杆高为米，小智的眼睛距离地面的高度为米，小智与旗杆之间的距离为米，小智与标杆之间的距离为米． 计算结果 … … … 反思 … … … 根据上面活动报告，解答下列问题： (1)利用方案测得旗杆的高度为 米； (2)请将方案的测量示意图补充完整，并求出旗杆的高度； (3)请利用方案帮小智计算旗杆的高度． 【答案】(1) (2)米，图见解析 (3)米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例． （1）同一时刻下，物长与影子的长对应成比例，即，据此列出比例式求解即可； （2）先根据题意补全示意图，再证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可； （3）根据题意可知四边形和四边形均为矩形，从而得到、、、以及的长，再证明，得到，求出的长即可解答． 【详解】（1）解：由题意得， ，即， 米， 利用方案测得旗杆的高度为米； （2）补全测量示意图如下所示，过点作， ， 又， ， ， ，， ， ， ，即， 米， 旗杆的高度为米； （3）如下图所示，过点作于点，与交于点， ，，，， 四边形和四边形均为矩形， 米，米，米， （米）， ，， ， ， ，即， 米， （米）， 旗杆的高度为米． 变式1-1．（25-26九年级上·福建三明·期中）综合实践 活动课题：利用相似三角形的有关知识测量铁塔高度 活动工具：皮尺、小镜子（有标记） 测量方法： 如图，为需要测量的铁塔，在距离铁塔正下方点27米的点放一面小镜子，观测者小智看着镜子来回移动，直至看到铁塔点在镜子中的像与镜子上的标记重合，此时用皮尺测量为2.4米，小智眼睛距离地面的高度为1.6米． 计算塔高： （1）根据以上测量数据计算铁塔的高度． 活动反思：现实中建筑物下方经常不容易到达或无法进行测量，因此上述测高方法需要改进． 方法改进：如图，在点放一面小镜子，小智站在点看到镜子里的标记和点重合，测得为1.4米，然后将小镜子沿着所在直线后退5米到点，小智调整位置站在点看到了镜子中的标记和点重合，测得为1.8米，、始终等于小智眼睛到地面的高度1.6米． 计算塔高： （2）运用改进的方法及测量数据，计算铁塔的高度． 【答案】（1）18米；（2）20米 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关三角形的判定方法是解题的关键： （1）证明，列出比例式进行求解即可； （2）设米，证明，，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意，可知：， ∴， ∴，即， 解得； 答：铁塔的高度为18米； （2）同（1）法可得：，， ∴，， ∵， ∴； 由题意，， 设，则：， ∴，解得，     ∵，即：， ∴； 答：铁塔的高度为20米． 变式1-2．（25-26九年级上·广东深圳·期中）综合与实践：利用相似三角形测量距离． 【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧：反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律． 【探索活动】淇淇和嘉嘉分别测量两个旗杆高度． 【活动1】如图2所示，淇淇将镜子放在地面上，然后后退直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为，已知淇淇的身高是，眼睛位置A距离淇淇头顶的距离是，求旗杆的高度． 【活动2】如图3所示，嘉嘉在某一时刻测得长的竹竿竖直放置时影长，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上（），另一部分落在斜坡上（），他测得落在地面上的影长为，落在斜坡上的影长为，，求旗杆的高度？ 【深度思考】在实际测量的过程中，你有哪些措施可以帮助他（她）们减小测量过程中的误差？（写出一条即可） 【答案】活动1：的长为；活动2：旗杆的高度约为；深度思考：在实际测量的过程中，多次测量求平均值，可以减小测量数据产生的误差（答案不唯一） 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键． 活动1：根据题意得出，进而利用相似三角形的性质得出答案． 活动2：延长交的延长线于点F，过点D作于点E，根据勾股定理求出的长，再由同一时刻物高与影长关系得出的长，进而求得的长，仍由同一时刻物高与影长关系即可得出的长． 深度思考：在实际测量的过程中，多次测量求平均值，可以减小测量数据产生的误差（答案不唯一）． 【详解】解：活动1：由题意可知：；， ∵， ， ， ∴， ∴即， ∴， 答：的长为． 活动2：延长交的延长线于点F，过点D作于点E， ∵， ， ， ， ∴， ∵同一时刻物高与影长成正比， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴， ∴即， ∴， 答：旗杆的高度约为． 深度思考：在实际测量的过程中，多次测量求平均值，可以减小测量数据产生的误差（答案不唯一）． 变式1-3．（25-26九年级上·江西九江·期中）星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 （1）问题一：现测量得到．海关大楼高高为 （用a，b，c表示） 【数学思维】但在进一步观察海关大楼周围的环境后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． （2）问题二：小星测量得到，请你求出海关大楼的高度． 【答案】（1）（2） 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，掌握相似三角形的性质定理． （1）根据条件证明，得出对应边成比例即可； （2）同（1）证明，得出对应边成比例，然后利用线段的和差进行表示，列出方程求解即可． 【详解】解：（1）根据光的反射可得，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； （2）同（1）得， ∴， 即， ∴， 借助（1）得， ∴， 解得． 类型二、相似三角形与全等三角形综合 例2．（2021·四川乐山·中考真题）在等腰中，，点是边上一点（不与点、重合），连结． （1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，结，，则________； （2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结． ①在图2中补全图形； ②探究与的数量关系，并证明； （3）如图3，若，且，试探究、、之间满足的数量关系，并证明． 【答案】（1）30°；（2）①见解析；②；见解析；（3），见解析 【分析】（1）先根据题意得出△ABC是等边三角形，再利用三角形的外角计算即可 （2）①按要求补全图即可 ②先根据已知条件证明△ABC是等边三角形，再证明，即可得出 （3）先证明，再证明，得出，从而证明，得出，从而证明 【详解】解：（1）∵， ∴△ABC是等边三角形 ∴∠B=60° ∵点关于直线的对称点为点 ∴AB⊥DE， ∴ 故答案为：； （2）①补全图如图2所示； ②与的数量关系为：； 证明：∵，． ∴为正三角形， 又∵绕点顺时针旋转， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）连接． ∵，，∴． ∴． 又∵， ∴， ∴．∵，∴， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的证明及性质、全等三角形的证明及性质、三角形的外角、轴对称，熟练进行角的转换是解题的关键，相似三角形的证明是重点 变式2-1．（2021·安徽·中考真题）如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF． （1）求证：； （2）如图2，若，，，求BE的长； （3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）6；（3） 【分析】（1）根据平行线的性质及已知条件易证，，即可得，；再证四边形AFCD是平行四边形即可得，所以，根据SAS即可证得； （2）证明，利用相似三角形的性质即可求解； （3）延长BM、ED交于点G．易证，可得；设，，，由此可得，；再证明，根据全等三角形的性质可得．证明，根据相似三角形的性质可得，即，解方程求得x的值，继而求得的值． 【详解】（1）证明：， ； ， ，， ， ，， ，， ，， 四边形AFCD是平行四边形 在与中． ， （2）， ， 在中，， ， ， 又，， ， 在与中． ， ； ； ， ； ， ； ， ， 或（舍）； （3）延长BM、ED交于点G． 与均为等腰三角形，， ， ， 设，，， 则，， ， ， ； 在与中， ， ； ． ； ， ， ， ， ， ， ， ， （舍），， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质及判定、相似三角形的性质及判定，熟练判定三角形全等及相似是解决问题的关键． 变式2-2．（2024·河北廊坊·二模）如图所示，在平行四边形中，，，点E是的中点，将绕点E顺时针旋转得到，过点E作的角平分线，角平分线交平行四边形的边于点P． (1)连接，求证：≌； (2)在旋转过程中，求点与点D之间的最小距离； (3)在旋转过程中，若点落在的内部（不包含边界），求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理求解三角形，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及动点问题中距离与取值范围的探究．熟练掌握全等三角形的判定与相似三角形的判定与性质是解决本题的关键． （1）由边边边的判定方法证明和全等即可； （2）根据“两点之间线段最短”，即当点落在上时，点与点D之间的距离最小，结合勾股定理求解即可； （3）分别考虑点落在和上这两种边界情况，点落在上时，利用相似三角形的性质求出，进而得到；点落在上时，利用等腰三角形和角的关系得到平行，从而可求解到，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴≌； （2）解：如图， 当点落在上时，点与点D之间的距离最小， ∵，， ∴， 根据勾股定理得， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴点与点D之间最小距离为； （3）解：当点落在上时， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴∽， ∴，即， 解得， ∴， 当点落在上时，连接交于点F，如图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点落在内部（不含边界）， ∴的取值范围是． 变式2-3．（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）某数学学习小组在学习旋转相关知识后，对特殊的四边形进行探究，有如下探究过程： 【问题解决】 （1）如图①，在矩形中，点E为边上一点，将绕点E顺时针旋转后得，若点F恰好落在边上，求证：； 【问题探究】 （2）如图②，在正方形中，点E为的中点，将绕点E顺时针旋转后得，连接．若，求点F到的距离； 【拓展延伸】 （3）如图③，在菱形中，点E为边上任意一点，点F在上，，交于点O．若，，当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）见解析（2）（3）或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，熟记相关定理内容是解题关键． （1）由旋转可知：，推出，即可； （2）作，证，得；根据四边形是矩形，得，即可求解； （3）若，则点与点重合，点与点重合，此时；若，证，得，即可求解 【详解】（1）证明：由旋转可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：作，如图所示： 由旋转可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∴； ∵点E为的中点，， ∴； ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 即点F到的距离为； （3）解：若，则点与点重合，点与点重合，此时； 若， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴ 类型三、相似三角形与四边形综合 例3．（2023·山东德州·一模）在边长为4的正方形中，E是边上一动点(不与端点重合)，将沿翻折，点A落在点H处，直线交于点F，连接，，分别与AC交于点P、Q，连接，．则以下结论中正确的有________  (写出所有正确结论的序号)． ①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤若连接，则的最小值为． 【答案】①②④⑤ 【分析】①正确．由正方形的性质可证明，可得结论；②正确．证明，推出，推出，由，可得结论；③错误．可以证明；④正确．利用相似三角形的性质证明，可得结论；⑤正确．求出，，根据，可得结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中 ∴， ∴，故①正确； ∵沿翻折，点A落在点H处，直线交于点F， ∴，则，， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∵，， ∴，则，， ∴， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴，则为等腰直角三角形，故④正确； ∵， ∴， ∵， ∴P，E，D，F四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确， 将绕点B顺时针旋转得到，连接， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误， 连接，， ∵，， ∴， ∴的最小值为，故⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会添加常用辅助线吗，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 变式3-1．（19-20九年级上·山东济南·期末）如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，，交BD于点F． (1)如图1，直按写出的值_______； (2)将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，当BE=BA时，其他条件不变，△EBF绕点B顺时针旋转，设旋转角为，当为何值时EA=ED?请在图3或备用图中画出图形并求出的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)画图见解析，α的值为30°或150°， 【分析】由是正方形ABCD的对角线，可知∠ABD=45°，由垂直可知，，则可求出边相等，进而可知，根据边之间的等量关系可知，故可知； 由（1）知，，，，进而可知边之间的比例关系，由旋转知，，故可证明，根据相似比可证明边之间的等量关系； （3）连接DE，CE根据边相等的条件，以及角相等的条件可知AE=DE，BE=CE，由四边形ABCD是正方形，可知，AB=BC，进而可得△BCE是等边三角形，，进而可证，即：，同理，也可证明△BCE是等边三角形，，即：． 【详解】（1）是正方形ABCD的对角线， ∴∠ABD=45°，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）， 理由：由（1）知，，，， ， 由旋转知，， ， ， ； （3）如图3，连接DE，CE ∵EA=ED， ∴点E在AD的中垂线上， ∴AE=DE，BE=CE， ∵四边形ABCD是正方形， ，AB=BC， ， ∴△BCE是等边三角形， ， ，即：， 如图4，同理，△BCE是等边三角形， ，即：， 故答案为：30°或150°． 【点睛】本题考查图形的旋转变换，相似三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，等边三角形的性质，能够根据题意将变换后的图像画出来并构造适合的辅助线是解决本题的关键． 变式3-2．（2021·江苏无锡·二模）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将沿BE翻折至的位置． （1）如图1，当点F落在矩形ABCD内部时，连接CF并延长，交AD于点G，若，，，则GF的长度为________________； （2）如图2，当点C恰好落在AD边上点F处时，若，且，求BC的长； （3）如图3，当点C恰好落在AD边上点F处时，延长EF，与的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当时，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）设CF交BE于点H，利用勾股定理求得，证，利用相似三角形的性质求出的长，由翻折得，求得，最后； （2）由翻折和矩形的性质证出，利用相似三角形的性质运算求出的长，由线段的数量关系得到，利用勾股定理求得的长，再由计算即可； （3）过点作于点，证出，，利用相似三角形的比值关系和角平分线的性质分别用含和的式子表示出，，的长，利用勾股定理可得到，代入后可得到与的数量关系，即可用含的式子表示出，再利用比值关系进行比较即可． 【详解】（1）设CF交BE于点H， ∵四边形为矩形 ∴， ∴ 由翻折可得：， ∴为的中垂线 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 由翻折得 ∴ ∴ 故答案为： （2）∵将沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处 ∴， 又∵矩形ABCD中， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）过点作于点 ∵ ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴，设 ∵平分，， ∴，，设，则 ∵ ∴ 解得 ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了矩形的翻折综合，其中涉及到了相似三角形的性质及判定，勾股定理，角平分线的性质，熟悉利用相似三角形的比值关系进行列式运算是解题的关键． 变式3-3．（20-21八年级下·江苏苏州·期末）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形． （1）矩形 垂等四边形（填 “是”或“不是”）； （2）如图1，在正方形中，点、、分别在、、上，四边形是垂等四边形，且，． ①求证：； ②若，求的值； （3）如图2，在中， ， 以为对角线，作垂等四边形．过点作的延长线的垂线，垂足为，且与相似，则四边形的面积是 ． 【答案】（1）是；（2）①见解析；②；（3）或 【分析】（1）根据“垂等四边形”的定义进行分析； （2）①通过的性质推知；然后根据四边形是垂等四边形的性质知；最后由等量代换证得结论； ②如图1，过点作，垂足为，首先证明为等腰直角三角形，则；然后证得为等腰直角三角形；再次，根据等腰直角三角形的性质和已知条件得到：，．代入求值即可； （3）如图2，过点作，垂足为，构造矩形．在中，利用勾股定理求得，．再由垂等四边形四边形的性质知． 分两种情况：当时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由求得结果； 当时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由求得结果． 【详解】解：（1）矩形有一组邻边垂直且对角线相等，故矩形是垂等四边形． 故答案为：是； （2）①证明：四边形为正方形， ，． 又， ， ． 四边形是垂等四边形， ， ； ②如图1，过点作，垂足为， 四边形为矩形， ． 由①知， ． 由题意知，，， ， 即， 为等腰直角三角形， ． 又， ， 为等腰直角三角形， ， ， ，． ， ； （3）如图2，过点作，垂足为， 四边形为矩形． ， ． 在中，， 根据勾股定理得，，即， ，． 四边形为垂等四边形， ． 第一种情况： 当时， ， 设，则， ． 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得，（舍去）， ，， ； 第二种情况： 当时， ， 设，则， ． 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得，（舍去）， ，， ． 综上所述，四边形的面积为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了相似综合题，综合运用相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识点解题，解题的关键是掌握“垂等四边形”的定义，另外解题过程中，注意方程思想的应用．难度较大． 类型四、相似三角形与圆形综合 例4．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，直径弦于点E，连结，，连结并延长交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)若是等腰三角形，求的度数； (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2)或 (3) 【分析】（1）利用直角三角形的性质和圆周角定理得到，，则，再利用相似三角形的判定定理解答即可； （2）设，则，利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当时，利用圆周角定理和三角形的内角和定理列方程解答即可；当时，则，利用圆周角定理和三角形的内角和定理列方程解答即可； （3）连接，利用垂径定理和勾股定理得到，，设的半径为r，则，，利用勾股定理求得圆的半径，再利用圆周角定理和相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴若是等腰三角形，则或， ①当时， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴，即， ②当时，则， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴，即， 综上所述，若是等腰三角形，的度数为或． （3）解：如图，连接， ∵， ∴，， ∴，， 设的半径为r，则，， ∵， ∴，解得， ∴，，， ∵为圆的直径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，分类讨论的思想方法，连接直径所对的圆周角是解决此类问题的关键． 变式4-1．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，为的直径，P是线段上一点，过点P作（点A在直径上方），连结，并延长交于点，过点作于点，交直径于点． (1)求证：． (2)当，且时，求的半径． (3)当时，_______________． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）证明，得到，即可证明结论； （2）连接，分点在线段上和点在线段上两种情况，设，用分别表示出、长，利用勾股定理及求出，即可解答本题； （3）设，利用、求出，得到是等边三角形，设， ，通过证明，得，利用垂径定理，得，继而得到，，即可解答本题． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）连接，分点在线段上和点在线段上两种情况， 第一种情况，如图所示，当点在线段上时， 设， ， ， 由（1）得，， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， 在中， ， ， 解得：， ； 第二种情况，如图所示，当点在线段上时， 设， ， ， 由（1）得，， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， 在中， ， ， 解得：， ； 综上所述，的半径为或； （3）如图所示， 设， 由（1）得，， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的直径，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是一道几何综合题，考查了等腰三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、圆周角的性质、垂径定理、相似三角形的判定及性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点、能发现原题图中没有的另一种情况是解题的关键． 变式4-2．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，垂足为，连接并延长交于点．    (1)求证：； (2)若，，，则四边形的面积为__________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长交于H，连接，可证，则，则，又因为，则题目可解． （2）可证，则利用勾股定理可求，又因为可得，则，进而可证，则利用垂径定理和相似三角形的性质可求线段的长度，因为，可证明四边形的面积等于可求． 【详解】（1）解：延长交于H，连接， ∵为直径， ∴， 又∵， ∴， ， ∴， ， ∴    （2）解：由（1）得， ∴ ∴， 且， ∴，， ， ， ， 由（1）得， ， 连接并延长交于，连接    则， ， 则， ， ∵，， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，垂径定理，勾股定理，相似三角形判定和性质，等腰三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键． 变式4-3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，直径垂直于弦，垂足为点E，连接、，延长交于点F． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）连接，由垂径定理得，则，由，得，所以，即可证明，得，即可得出结论； （2）先由勾股求得，，所以，则，根据相似三角形的性质得，则，由，得，解方程求得． 【详解】（1）证明：连接， ∵直径垂直于弦，垂足为点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴的长是． 【点睛】此题重点考查垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 类型五、相似三角形与坐标系综合 例5．（2025·江苏苏州·三模）如图，在平面直角坐标系中，的直角边在轴的正半轴上，且，斜边，点为线段上一动点．若点为线段的中点，连接，以为折痕，在平面内将折叠，点的对应点为，若与的边垂直，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，折叠性质，坐标与图形，直角三角形斜边上的中线性质等知识，解题的关键是学会利用相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 如图2中，设交于点．先利用勾股定理求出，利用相似三角形的性质求出，再求出、，可得结论． 【详解】解： 如图中，设交于点． 在中，，，， ∴， ∴； ∵，， ∴，， ∴， 由翻折的性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为 故选A． 变式5-1．（2025九年级上·浙江·专题练习）已知：如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，边与轴交于点，点的坐标分别为，，． (1)求的面积； (2)在轴上找一点，连接，使得（不包括全等），并求点的坐标； (3)在（2）的条件下，如分别是边和边上的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似？如存在，请求出的值；如不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析， (3)存在，或 【分析】（1）根据，即可求解； （2）如图1，过点B作，交x轴于点D，可证，，可得，可证，可得，可求的长，即可求点D坐标； （3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，点B的横坐标为1，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴的面积为； （2）解：如图1，过点B作，交x轴于点D， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为：； （3）解：如图2，当时， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：； 如图3，当时， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：； 综上所述：当或时，与相似． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 变式5-2．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，过点C作，垂足为点D，连接． (1)当时，求的长； (2)的大小是否为定值，如果是，求；如果不是，请说明理由； (3)坐标平面内有一点，且满足，求E点的坐标（用m的代数式表示）． 【答案】(1) (2)是定值， (3) 【分析】（1）连接，证明，得到，进而可求出． （2）根据，得到，得到的角度不变，求出的正弦值即可； （3）易得轴，过点作于点，利用等角转换，结合锐角三角函数，分别表示出的长，利用，列出方程求出，即可． 【详解】（1）解：连接，如图： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴ （2）解：的大小是定值，理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的大小为定值， ∴的大小是定值， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴轴， ∵，， ∴， ∴点在第二象限， 过点作于点，如图，则：， ∵轴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查坐标与图形，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键． 类型六、相似三角形与一次函数综合 例6．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，直线l交x轴于点，交y轴于点，且，和是关于x的一元二次方程的两个实数根，点P在线段上（不与点A、B重合），过点P分别作的垂线，垂足为C、D. (1)求直线l的函数表达式； (2)当时，求点P的坐标； (3)求点P在何处时，矩形的面积为1？ 【答案】(1) (2)点P的坐标是 (3)或 【分析】（1）先理解题意，运用因式分解法进行解方程，整理得，故，；再设直线l的函数表达式为，把，分别代入进行计算，即可作答． （2）先理解题意，得，证明，根据，则，即，由（1）得，直线l的函数表达式为，则，故，所以，，把代入进行计算，即可作答． （3）设点P的坐标为，理解题意得，证明四边形是矩形，则矩形的面积，因为矩形的面积为1，得，即，解得，，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵直线l交x轴于点，交y轴于点，且，和是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴ 即，； 设直线l的函数表达式为， 把，分别代入， 得， 解得， ∴直线l的函数表达式为； （2）解：∵过点P分别作的垂线，垂足为C、D. ∴， 则， ∴， 则， ∵， ∴， 则， 即， 由（1）得，直线l的函数表达式为， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入， ∴， ∴点P的坐标为； （3）解：依题意，设点P的坐标为， ∵点P在线段上（不与点A、B重合），过点P分别作的垂线，垂足为C、D. ∴， 则， ∴四边形是矩形， ∴， 则矩形的面积 ∵矩形的面积为1 ∴， 即， ∴， ∴或， 解得，． ∴或， 即点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了因式分解法求一元二次方程，矩形的判定与性质，一次函数与几何综合，相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 变式6-1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，一次函数的图象经过点，且与轴的交点为，点的横坐标为，点的坐标是，连接． (1)如图1，求点的坐标及的函数表达式； (2)如图2，点是线段上一点，连接并延长，交于点，过点作轴，交于点，设点的横坐标为． ①求的长（用含有的代数式表示）； ②和的面积分别记为，若，求点的坐标； (3)一次函数与一次函数组成新函数，当直线（为常数）与有两个交点时，这两个交点从左到右依次为，点是轴上一点，点在一次函数上，当四边形是菱形时，请直接写出的值． 【答案】(1)，， (2)①，② (3)1或 【分析】（1）对于，分别令，，可求出点A，B的坐标，再利用待定系数法求出的函数表达式； （2）①求出直线的解析式，可用m表示出点F，G的坐标，即可；②延长交x轴于点L，过点E作轴交x轴于点K，则，可得，再由，可得，，从而得到点E的纵坐标为，进而得到点E的横坐标为，再由，得到关于m的方程，即可求解； （3）根据题意可得，再结合四边形是菱形，可得，，设点，则点，根据点在一次函数上，可得，再由，可得到关于t的方程，即可求解． 【详解】（1）解：对于， 当时，，当时，， ∴，， 根据题意得：点， 把点，代入得： ，解得：， ∴的函数表达式为； （2）解：①设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标为，轴， ∴点，， ∴； ②如图，延长交x轴于点L，过点E作轴交x轴于点K，则， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 即点E的纵坐标为， ∵点E在直线上， ∴点E的横坐标为， ∵， ∴， ∴， 解得：或0（舍去）， ∴点G的坐标为； （3）解：根据题意得：点，轴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， 设点，则点， ∵点在一次函数上， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或1． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 变式6-2．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）如图，直线与轴交于点，与轴交于点B，点C在轴上点A的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D，点P为直线上一动点． (1)求点D坐标； (2)若，请求出P点的坐标； (3)若在平面内存在一点Q，使得四点C、D、P、Q构成菱形，若存在，请直接写出点P横坐标的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)点的横坐标为或或 【分析】本题考查了菱形的判定和性质、待定系数法求解析式、平行线的性质、三角形相似的判定和性质、解方程组，熟练掌握待定系数法、三角形相似的应用是解题的关键． （1）将点的坐标代入直线得出其解析式，点的坐标代入直线的解析式，然后联立两条直线的解析式即可求解； （2）分类讨论，当点在点的上方和当点在点的下方时，过点作于点，过点作于点，证明∽，进而得到，即可解题； （3）分类讨论，当为对角线和当为边时，根据菱形的性质进行计算． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，将点的坐标代入得： ， 解得：， ∴， ∵点在轴上点的右边，， ∴，即， ∵经过点的直线与正比例函数的图象平行， 设直线的解析式为：， 代入，有： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 由直线与直线相交于点， 联立得：， 解得：， ∴； （2）解：当点在点的上方时，如图1， ∵， ∴， ∴， 过点作于点，过点作于点， ∴， ∴∽， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴； 当点在点的下方时，如图2， ∵， ∴， ∴， 过点作于点，过点作于点， ∴， ∴∽， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：存在，证明如下： 设，，由，， 当为对角线时，根据菱形的性质，得， ∴， 解得：； 当为边时，根据菱形的性质，得， ∴， 解得：； 综上所述，点的横坐标为或或． 类型七、相似三角形与二次函数综合 例7．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，对称轴为直线的抛物线的顶点为，与轴相交于点，过点作的垂线交轴于点，交抛物线的对称轴于点，且与抛物线的另一个交点为． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)分别求点，的坐标； (3)在对称轴上找一点，使得以，，为顶点的三角形与相似，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)当点的坐标为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 【分析】本题考查了求函数的解析式，求函数图象上点的坐标，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据对称轴方程即可求解； （2）由，得到顶点的坐标，与轴交点的坐标，通过三角形相似，列比例式求得的长度，得到点的坐标，求出直线的解析式，进一步求出点的坐标，联立方程组求出点的坐标； （3）当时，，得到点的坐标，由勾股定理解出的长度，如图，当时，，得到比例式，由知，求出，解出，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得；， 解得， 抛物线对应的函数解析式为：； （2）解：由，得：，， 如图，过点作轴于， 则，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 设直线对应的函数解析式为，则， ， 直线对应的函数解析式为， 当时，， 点的坐标为， 解方程组， 得，， ∴； （3）解：①如图，当时，， 此时点的坐标， ∴，， ∴， 如图，当时，， ∴，由知， ∵， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴． 综上所述：当点的坐标为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 变式7-1．（2024·甘肃嘉峪关·模拟预测）直线分别交x轴、y轴于A、B两点，绕点O按逆时针方向旋转后得到，抛物线经过A、C、D三点． (1)写出点A、B、C、D的坐标； (2)求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标； (3)在直线上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，， (2)抛物线的解析式为，顶点 (3)符合要求的点的坐标分别为，，， 【分析】（1）在中，当时，，即，当时，，解得，即，由旋转的性质可得，，即可得解； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再将解析式化为顶点式即可得解； （3）过点作轴于，由勾股定理逆定理得出，从而可得，求出直线的解析式为，设点，再分两种情况：当时，；当时，，分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，， 由旋转的性质可得：，， ∴，； （2）解：设抛物线的解析式为， 将，，代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点； （3）解：如图，过点作轴于， ， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点Q在直线上， ∴设点， ∵以点A、B、Q为顶点的三角形与相似， ∴当时，， ∴， 即， 解得：， ∴，； 当时，， ∴， 即， 解得：， ∴，， 综上所述，符合要求的点的坐标分别为，，，． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，二次函数综合—相似三角形的判定与性质，求二次函数的解析式，勾股定理与勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 变式7-2．（25-26九年级上·上海·期中）已知：如图，抛物线的图像开口向上，与轴交于点、（在的左边），与轴交于点，顶点为，，且. (1)求抛物线的对称轴和函数解析式； (2)把抛物线的图像先向左平移3个单位，再向下平移个单位得到抛物线，记顶点为，并与轴的交于点，求抛物线的函数解析式； (3)在（2）的基础上，点是轴上一点，当与相似时，求点的坐标. 【答案】(1)对称轴为直线， (2) (3)点的坐标为或． 【分析】（1）先根据坐标轴公式代数进行计算，得对称轴为直线，结合，得，又因为，所以，再运用待定系数法进行求解抛物线的函数解析式，即可作答． （2）先把化为顶点式，得顶点为，结合平移的性质得，把代入，故，即可作答． （3）先分别得出，，，，，，结合与相似进行分类讨论，当时，把数值带入进行计算，或当时，把数值带入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴对称轴为直线， ∵与轴交于点、（在的左边）， ∴ ∴， ∵， ∴， 即， 把，分别代入， 得， 解得， ∴， （2）解：由（1）得， ∴，即顶点为， ∵把抛物线的图像先向左平移3个单位，再向下平移个单位得到抛物线，记顶点为， ∴， 即， 依题意把代入， 得 解得， ∴，． （3）解：由（1）得， 由（2）得，，， ∵点是轴上一点， ∴设， 则， 记对称轴与的交点为T，连接 ∴ ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 过点M作轴， ∴ ∵，， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴， 即， ∵与相似， ∴当时， ∴， ∴， ∴ 解得，或， 当时，如图所示的点， 此时，不符合题意，故舍去； ∴， 即点的坐标； 当时， ∴， ∴， ∴ 解得，或， 当时，如图所示的点， 此时，不符合题意，故舍去； ∴， ∴即点的坐标； 综上：点的坐标为或． 【点睛】本题考查了勾股定理，二次函数的几何综合，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象性质，平移的规律，把一般式化为顶点式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 变式7-3．（23-24九年级上·全国·期末）如图，已知抛物线与轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为上方抛物线上的动点，过点P作，垂足为点D，连接，当与相似时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）当与相似时，则或，故分类讨论即可. 【详解】（1）解：∵抛物线 与轴交于点，， ∴ 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）∵点，， ∴， 在抛物线中，当时，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 当与相似时，则或， ①若，则 ∴ ∵ ∴点 的纵坐标为2， ∴点为上方抛物线上的动点， ∴， 解得：（ 不合题意，舍去），， ∴此时点的坐标为； ②若，则， ∴ 过点作的垂线，交的延长线于点，过点作轴于点，如图： ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，轴 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 即 ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为过点，， ∴ ∴直线的解析式为：； 令， 解得：（不合题意，舍去），， 把代入得：， ∴此时点的坐标为， 综上所述，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数的解析式、一线三直角模型及相似三角形的判定与性质等知识点是解题的关键． 类型八、相似三角形与反比例函数综合 例8．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，点为反比例函数为正数且图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数为正数且的图象交于点． （1）如果，且点，点的纵坐标相等，那么点，点的横坐标的比值为 ； （2）的值为 （用含a，b的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质： （1）设点，点的纵坐标为m，可得点，即可求解； （2）分别过点A，B作轴，轴，垂足分别为点C，D，证明，可得，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得：，即可求解． 【详解】解：（1）设点，点的纵坐标为m， 当时，两函数解析式分别为， ∴点， ∴，的横坐标的比值为； 故答案为： （2）如图，分别过点A，B作轴，轴，垂足分别为点C，D， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据反比例函数的比例系数的几何意义得：， ∴． 故答案为： 变式8-1．（25-26九年级上·湖南娄底·期中）在矩形中，，分别以，所在直线为轴、轴，建立如图①所示的平面直角坐标系．是边上一个动点（不与点B，C重合），过点的反比例函数的图象与边交于点． (1)当点运动到边的中点时，点的坐标为________； (2)连接，求的值； (3)如图②，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，求的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，相似三角形的性质与判定，折叠的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）先确定出点，坐标，进而求出点坐标，再用点是中点，求出点坐标，利用待定系数法求出，最后将点的纵坐标为代入反比例函数解析式中即可求出点坐标； （2）设出点，，代入反比例函数中得出和，进而可得和的值，进而即可求解； （3）过点作于，证明，得到，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 四边形是矩形， ， ， 点是的中点， ， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 点在反比例函数的图象上，且纵坐标为， 点的横坐标为， ， 故答案为：； （2）解：点的横坐标为4，点在反比例函数上， ， ， 点的纵坐标为， ， ， ； （3）解：由（2）知，． 如图，过点作于点， 则， ， 由折叠知，， ， ， ， ， ， 即， 解得． 变式8-2．（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知在直角坐标系内的位置如图所示，，双曲线与边交于点，与边交于点的正切值为． (1)求的值； (2)连接，求直线的表达式与的面积； (3)设直线与轴交于点，点在射线上，连接，如果与相似，试求点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）先利用点在双曲线上求出的值，再将点代入双曲线解析式求出． （2）先设出点、的坐标，根据的值和点、在直线上，求出直线的解析式，进而得到点坐标，最后计算的面积． （3）先求出点坐标，得到直线的解析式，得出轴，有，只需这对角的夹边对应成比例，则与相似，据此求解即可． 【详解】（1）解： 双曲线过点， ， 双曲线解析式为， 点在双曲线上， ； （2）解：设， ∵， ∴，则， ，，， ，即， 设直线的解析式为， 直线过，，， ， 由和，可得，， 代入，解得， ，，， 直线的解析式为， 当时，， ， ，， ，点到（）的距离为， ； （3）解：在中，令，则， ， ， ∴轴， ∴， 当时，， 当时，， ，，，， ，， ∴或， 解得：或， ∴点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数、一次函数的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的性质是解题的关键． 1．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为厘米．贾明同学观察到高度厘米的矮圆柱的影子落在地面上，其影长为厘米；而高圆柱的部分影子落在墙上（如图所示）． 已知落在地面上的影子皆与墙面互相垂直（将太阳光线视为平行光线），在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题： (1)如果贾明的身高为厘米，且此刻他的影子完全落在地面上，那么影长为多少厘米？ (2)如果同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为厘米，那么高圆柱的高度为多少厘米？ (3)如果身高为厘米的贾明同学从与两根圆柱成同一直线上的某个点出发，沿着与圆柱的影子平行的方向，面向墙壁的方向行走．设贾明同学行走的长度为厘米，他落在墙上的影长为厘米，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)贾明的影长为厘米 (2)高圆柱高度为厘米 (3) 【分析】本题主要考查相似三角形的实际应用，掌握相似三角形对应边成比例是解题的关键． （1）设贾明的影长为厘米，由，即可求解； （2）根据题意画出平面图形，为高圆柱，为高圆柱落在墙上的影子，延长交延长线于点，由，得的长，从而得的长，由，即可求解； （3）分两种情况：当 时（即人离墙距离大于厘米），影子未到达墙面，墙上影长 ，当时，由题意得，即可求解． 【详解】（1）解：设贾明的影长为厘米， 由题意得， 解得， 答：贾明的影长为厘米； （2）解：如图所示，为高圆柱，为高圆柱落在墙上的影子， 由题可知，， 延长交延长线于点， 则，即， ， 的影长为， ， ， ， 即高圆柱高度为厘米； （3）解：当 时（即人离墙距离大于厘米），影子未到达墙面，墙上影长 ； 当时，由题意得， 整理得； ． 2．（2021·安徽合肥·三模）在菱形中，，点、分别是边、上两点，满足，与相交于点． （1）如图1，连接．求证：； （2）如图2，连接． ①求证：； ②若，，求线段的长（用含、的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② 【分析】（1）四边形是菱形，，则是等边三角形，根据，，，即可得到三角形全等； （2）①连接，延长到点，使，连接，求证出，是等边三角形，即可以证明； ②由①中的条件可证，所以，即可以求出DG． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，， ∴ ，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵ ∴． （2）①证明：连接，延长到点，使，连接． 由（1）知， ∴， ，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴是等边三角形， ∴． ②由①可知， ∵，∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等有关知识，需要综合利用初中所学知识，结合题目条件，灵活运用才能解决问题；正确作出辅助线是解决这题的关键． 3．（2021·湖北襄阳·一模）在矩形中，点是对角线、的交点，直角的顶点与重合，、分别与、边相交于、，连接，（为常数）． （1）发现问题：如图1，若，猜想：________； （2）类比探究：如图2，，探究线段，之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长． 【答案】（1）1；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）根据题意可知，此时四边形ABCD为正方形，然后证明△OEB≌△OFC即可得到OE=OF，从而得出结论即可； （2）过作于，作于，利用相似三角形的判定与性质证明即可； （3）根据题意判定，从而得到，令，则，可在Rt△ABC中求出未知数，从而得到BC的长度，最终求得OF和OE的长度，再在Rt△OEF中利用勾股定理求解EF即可． 【详解】解：（1）若，则，即四边形ABCD为正方形， ∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°， ∵∠EOF=90°， ∴∠EOB=∠FOC， ∴△OEB≌△OFC， ∴OE=OF， ∴ 故答案为：1； （2）． 理由：过作于，作于， ∵， ∴四边形是矩形． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在矩形中，， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴； （3）∵， ∴， 由（2），， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 令，则， 由题意，， 由勾股定理得，， 解得：， ∴， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质等，灵活根据题意构造相似三角形，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 4．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，已知等腰中，，，与轴交于点，， (1)求点B的坐标 (2)求的长 (3)探究：在x轴上是否存在点P，使以A，D，P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】此题考查了等腰直角三角形的判定，相似三角形的性质，三角形的面积的计算方法，用分类讨论和方程的思想解决问题是解本题的关键． （1）先求出，得出，进而求出，即可判断出，即可得出结论； （2）先求出，再判断出，再求出，最后利用的面积公式建立方程求解即可得出结论； （3）分和两种情况分类讨论，利用相似三角形的性质得出比例式，进而建立方程求解即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1， 过点作轴于， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，由（1）知， ， ， ，， ， 过点作轴于，过点作轴于， 由（1）知，， 由（2）知，， ， ， 设， ， ， ， 在中， ， ， ； （3）解：由（2）知，，，，， 由（1）知，， ， 以、、为顶点的三角形与相似， ①当时， ， ， ， ， ， ②当时， ， ， ， ， ， 即：满足条件的点的坐标为或． 5．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标是，连接． (1)求的面积； (2)如果点D在线段上，且，求点D的坐标； (3)如果点P在直线上，且与相似，求线段长度． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据一次函数的性质得出，进而可以求出的面积； （2）利用待定系数法求得直线的解析式为，，求解即可； （3）过点P作轴于点E，根据P在直线上，设，可得，所以，分两种情况讨论∶ ①当时，②)当时，分别列式计算求出x的值，即可求点P的坐标． 【详解】（1）解∶ 直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 当，则， ． ． 当，则，解得． ． ． 点C的坐标是， ． ． ； （2）解∶设直线的解析式为， ，点C的坐标是， ， 解得． 直线BC的解析式为． ， 当点D在线段上时，如图1，设与y轴交于点E，由题意得， ，， ．． ， ． 设直线的解析式为， ， 解得 直线的解析式为， 联立和得， 解得 点D的坐标为； （3）解∶在中， ， ． 同理可得． 如图，过点P作轴于点E， ，； ， 轴， ． ． P在直线上，设， ． ． 当时． ． ，解得． ．， 当时， ． ，解得． ． 综上，线段长度为．或 【点睛】本题考查了三角形的面积，勾股定理，待定系数法求一次函数，两直线的交点，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 6．（25-26九年级上·福建漳州·阶段练习）在平面直角坐标系中（如图），已知直线l：交x轴于点A，交y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且．点D在线段上，且，过点C作的垂线，交的延长线于点E，连接． 在平面直角坐标系中（如图），已知直线l：交x轴于点A，交y轴于点B，点C在 (1)求点D的坐标； (2)求证：； (3)如果点P是直线上的动点，连接，当与相似时，求点P坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)P坐标是或 【分析】本题考查一次函数的性质、三角形相似的性质和判定、两点之间的距离公式，熟练掌握以上知识点、会用分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据直线解析式即可求出，，得到，，进而求出，证明，即可得，可得，进而求出，即可得出点D坐标； （2）由相似三角形的性质可得出，从而可得出，．过点作于点H，证明，即得出，，即，分别求出、、，结合勾股定理逆定理即可完成证明； （3）由，可确定当与相似时，点P只能在射线上．又可求出，，．分类讨论①当时，即，代入数据可求出，．过点作轴于点F，利用待定系数法可求出直线的解析式为．设，则，，再利用勾股定理即可求出此时；②当时，即，同理求解即可． 【详解】（1）对于，令，则， 令，则， ，， ，． ， ，． ，， ， ． 又∵在中，由勾股定理得， ， ， ， 点D坐标是； （2）证明： ，， ． ， ，． 过点作于点H，如图， ，， ． 又 ， , ，， ， ，． ， ， ； （3） ， 当与相似时，点P只能在射线上． ，，，， ，， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为, 令，则， ， ， ①当时，即， ， 解得：， ． 如图所示，过点作轴于点F， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为． 设，则，， 在中，， ， ， 解得：，（舍）， ， 此时； ②当时，即， ， 解得：， ， ， 点为中点， ，， ； 综上所述：点P坐标是或． 7．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点． (1)直接写出反比例函数的表达式； (2)如图1，点在反比例函数的图象上且在点的右侧，过点作轴于点，连接、，交于点，若点是的中点，求的面积； (3)如图2，连接，在轴上取一点，使为等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）把A点坐标代入中求出k得到反比例函数解析式； （2）先利用点C是的中点得到，则计算对应的反比例函数值得到，利用相似得到，接着计算出，然后根据三角形面积公式计算； （3）设，则，，，分三种情况讨论：当时，；当时，；当时，；分别解方程即可解答． 【详解】（1）解：把代入得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵点C是的中点，， ∴， 当时，， ∴， ∵, ∴, ∴, ∴， ∴， ∴的面积； （3）解：设，则 ，，， 为等腰三角形，分以下三种情况： 当时，， ∴， ∴点的坐标为或； 当时，， 解得或（舍去）， ∴点的坐标为； 当时，， 解得， ∴点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的定义，一元二次方程的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键． 8．（25-26九年级上·上海·期中）如图，抛物线经过点，点． (1)求这条抛物线的表达式； (2)P是抛物线对称轴上的点，连接，如果，求点P的坐标，并求三角形的面积； (3)将抛物线沿y轴向下平移m个单位，所得新抛物线与y轴交于点D，过点D作轴交新抛物线于点E，射线交新抛物线于点F，如果，求m的值． 【答案】(1) (2)； (3)m的值为3或5． 【分析】（1）将点A、B代入抛物线，用待定系数法求出解析式； （2）对称轴为直线，过点P作轴，垂足为G，证明，即，可得P的坐标，根据，代入数据即可求解； （3）新抛物线的表达式为，由题意可得，过点F作轴，垂足为H，由得到，那么，则，然后分情况讨论点D在y轴的正半轴上和在y轴的负半轴上，可求得m的值为3或5． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点， ∴，解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：， ∴对称轴为直线，设对称轴交轴于点，过点P作轴，垂足为G， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵ ； （3）解：设新抛物线的表达式为， 则， ∵对称轴为直线，， ∴，， 过点F作轴，垂足为H， ∴，而， ∴， ∴， ∴，， ∴将代入得：， 当点D在轴正半轴上时，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 当点D在y轴负半轴上，则， ∴， ∴， ∴， ∴综上所述：m的值为3或5． 【点睛】本题是二次函数和相似三角形的综合题目，整体难度较大，涉及待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平移的性质等知识点． 9．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图1，在等腰中，，点O是的外心，作外接圆，延长，交于点D． (1)连接，求证：； (2)若，求度数； (3)如图2，在的延长线上取点E，连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识． （1）连接，，由，，得到，结合，证明得到，即可证明； （2）设，则，，由和得到，再结合列方程求解即可； （3）延长交于，先证明，得到，，则，，设，半径，由，得到，代入整理得， 即可得到，最后根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：连接，，    ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （2）解：设， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图，延长交于， 由（1）可得是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴设，半径，则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， ∴， 由（1）得， ∴， 解得（负值舍去）， ∴． 10．（25-26九年级上·广东深圳·期中）数学课上，张老师在引导学生探究菱形与正方形性质的共同点时，根据菱形和正方形邻边都相等的性质，设计了以下问题． 【观察发现】 在菱形中，是菱形内一点，且，连接，延长交于点． （1）如图1，当时，的度数为 ． 【迁移探究】 （2）如图2，当时． ①判断与α的数量关系，并说明理由； ②当时，判断与的关系，并说明理由． 【结论应用】 （3）如图3，在边长为的正方形中，是正方形内一点，且，连接，延长交于点，过点作的平行线，交的延长线于点，连接．当是等腰直角三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）①；②；见解析；（3）BH或． 【分析】（1）根据四边形是菱形，得，，，，由，得到，所以，由此即可求解； （2）①根据菱形的性质，结合题意得到，在四边形中，，，，，即可求解； ②由菱形的性质得到，，则三点共线，，由①知，则，结合相似三角形的判即可求解； （3）根据题意得，分两种情况讨论：①当，时，，，，即，又，，设，则，，，列式求解；②当，时，同理可得，设，则，，列式求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，整理得，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①，理由如下： 在菱形中，， ∵， ∴， ∴， 在四边形中，，　 ∵， ∴， ∵， ∴，即； ②，理由如下： 在菱形中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴， 由①，知， ∴， ∴； （3）或， 同（2）①可得， ∵， ∴， 分两种情况讨论：①当，时，如题图3所示， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， 设，则，， ∵， ∴，即， ∴， ∴； ②当，时，如解图所示， 同理可得， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴是的中点， 设，则， ∴，即， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，正方形的性质，等边对等角的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理的综合运用，掌握以上知识，数形结合，分类讨论思想是解题的关键． 11．（2024·吉林长春·一模）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点、，交轴于点，连结、．点在该抛物线上，过点作，交直线于点，连结、、．设点横坐标为，的面积为，的面积为． (1)求a，b的值； (2)设抛物线上D、B两个点和它们之间的部分为图象G，当图象G的最高点的纵坐标与m无关时，求m的取值范围； (3)当点D在第一象限时，求＋的最大值； (4)当时，直接写出m的值． 【答案】(1)a的值为，b的值为2，见解析 (2)或，见解析 (3) (4)或 【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解； （2）分、、时，三种情况分别讨论即可求解； （3）证明的面积 的面积，则，即可求解； （4）当点在轴上方时，证明，求出点，，即可求解；当点在轴下方时，同理可解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 则， 则， 解得：，； （2）解：由（1）可得：二次函数解析式为：， 当时，图象的最高点为原抛物线的顶点， 此时最高点的纵坐标为4，与无关； 当时，图象的最高点为点，此时最高点的纵坐标为，与有关； 当时，图象的最高点为点，此时最高点的纵坐标为0，与无关． 综上，当图象的最高点的纵坐标与无关时，的取值范围是或； （3）解：连接， ， 的面积 的面积， 过点D作轴，交与点F， 令，则，即， ∵， ∴的解析式为：， ∴， ∴ ， 当 时， 有最大值，最大值为； （4）解：设交于点， 当点在轴上方时， 过点、分别作的垂线交的延长线于点、，则， ， 则， ， ， 则， 则， 则点，， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， ， 设直线的表达式为：，代入，得：， 解得：， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（不合题意的值已舍去）； 当点在轴下方时， 同理可得：点， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（不合题意的值已舍去）； 综上， 或． 【点睛】本题为二次函数综合运用，涉及到三角形相似、面积的计算、平行线的性质等知识，分类求解是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $