专题03 一元一次不等式复习题型汇编（高效培优期中专项训练）数学浙教版2024八年级上册

专题03 一元一次不等式 考点01:不等式﹑一元一次不等式（组）的定义 考点02:不等式的性质 考点03:在数轴上表示一元一次不等式（组）的解集 考点04:解一元一次不等式(组) 考点05:根据一元一次不等式解集求参数 考点06:不等式组和方程组的结合问题 考点07:一元一次不等式组的应用 考点08:一元一次不等式组的其他应用 考点01:不等式﹑一元一次不等式（组）的定义 1．下列式子中，属于不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．老师在黑板上写了下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是不等式的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 3．下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 考点02:不等式的性质 1．已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．已知、为任意实数，，则下列变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列式子一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．当 时，不等式的解集是． 5．若，则 ． 考点03:在数轴上表示一元一次不等式（组）的解集 1．解集在数轴上表示正确的是图中的（    ） A． B． C． D． 2．某不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组可能是（    ）    A． B． C． D． 3．不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 4．若一个不等式的负整数解为，，则该不等式的解集在数轴上的表示可能是下列的（   ） A． B． C． D． 考点04:解一元一次不等式(组) 1．解不等式： (1)； (2)． 2．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1) (2) 3．解不等式组： 4．解不等式（组） (1) (2) 5．解不等式组：，并把解集在下面数轴上表示出来． 6．解不等式组：，并写出所有的整数解． 考点05:根据一元一次不等式解集求参数 1．已知关于x的不等式组 有且只有1个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C．0 D． 2．若不等式组的解集是，则n的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．若不等式组的解集是，则（    ） A． B．1 C． D．0 5．不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 6．关于x的不等式组有五个整数解，则a的取值范围是 ． 7．已知关于x的不等式组的解集为，则a的值是 ． 8．若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是 ． 考点06:不等式组和方程组的结合问题 1．已知，且，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．关于，二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．关于x，y的方程组的解满足不等式，则m的取值范围是 ． 4．若方程组的解满足，则的取值范围为 ． 5．已知关于、的二元一次方程组的解满足，求的取值范围 ． 6．已知关于的方程组的解满足，求的取值范围． 考点07:一元一次不等式组的应用 1．2010年南非“世界杯”期间，中国球迷一行36人从酒店乘出租车到球场观看比赛．球迷领队安排车辆若干，若每辆坐4人，车不够，每辆坐5人，有的车未坐满．问领队安排的车有多少辆？ 2．一工厂要将100吨货物运往外地，计划租用某运输公司甲、乙两种型号的货车共6辆一次将货物全部运完，已知每辆甲型货车最多能装该种货物16吨，租金400元，每辆乙型货车最多能装该种货物18吨，租金425元，若此工厂计划此次租车费用不超过2500元，通过计算求出该公司共有几种租车方案？请你设计出来，并求出最低的租车费用．（请列不等式（组）解此应用题） 3．某班级计划购买甲、乙两种文具共件，甲种文具每件元，乙种文具每件元． (1)若购买这两种文具共用去元，求甲、乙两种文具各购买多少件？ (2)若购买甲种文具的数量不少于乙种文具数量的倍，且总费用不超过元，求该班级有几种购买方案？ 4．《义务教育劳动课程标准（2022年版）》将于2022年9月正式实施，在第四学段（年级）中要求：“独立制作午餐或晚餐中的道菜”．某厂根据委托开始生产两种型号的炒锅．王师傅在该厂工作．每月工作22天，每天工作8小时，工厂按计件的方式给工人发工资．王师傅每小时可以生产4个型炒锅或6个型炒锅．已知王师傅生产3个型炒锅和2个型炒锅可得工资23元，生产4个型炒锅和3个型炒锅可得工资32元． (1)王师傅生产一个型炒锅和一个型炒锅分别可得多少工资？ (2)工厂规定每个人生产的型炒锅的数量不得低于型炒锅数量的2倍，那么王师傅每个月至少应该生产多少个型炒锅？ 5．校运会期间，七年级1班准备给班上50名同学每人购买一杯奶茶，有“杨枝甘露”和“满野凤梨”两款果茶供大家选择．经调查：“杨枝甘露”每杯元，“满野凤梨”每杯元． (1)该班同学发现，购买1杯“杨枝甘露”和购买1杯“满野凤梨”需要32元，购买3杯“杨枝甘露”和2杯“满野凤梨”共需要81元．求的值； (2)同学们在某团上看到该店正在做活动．具体方式如下： 活动1：买十送一，送的产品为购买产品中价格最低的一种； 活动2：全部商品打9折． 如果同学们决定购买“杨枝甘露”30杯，另外的买“满野凤梨”．请通过计算，他们选择哪种活动更合算． (3)该班决定选择（2）中的活动2购买果茶，预算总费用不少于725元又不多于730元，有哪几种购买方案？ 6．某书店购进两种新书，相关信息如下表： 种新书 种新书 进价（元/本） 售价（元/本） 14 16 (1)该书店购进种新书15本和种新书10本需要240元；购进种新书10本和种新书6本需要152元，求的值； (2)若该书店购进两种新书共100本，投入资金不少于960元且不超过970元，则有哪几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，若书店售出的种新书每本捐出元给当地福利院，种新书售价不变，则书店应如何进货才能获得最大利润？ 7．某新能源汽车工厂计划建设两种生产线，分别用于生产新能源汽车的电池组和电机．已知一条电池组生产线预计占地300平方米，平均每天能生产30个电池组；一条电机生产线预计占地200平方米，平均每天能生产40个电机．每生产一套新能源汽车动力系统需要配套1个电池组和2个电机． (1)若工厂占地面积为24000平方米，且全部用于生产线建设，电池组、电机的生产线分别建设多少条才合理？ (2)在实际建设过程中，布局还需考虑消防通道等因素，用于建设生产线的面积不能超过21000平方米，一条电池组生产线预计每月利润万元，一条电机生产线预计每月利润2万元，预计工厂每月利润不低于130万元，在生产的电池和电机数量刚好配套的前提下，符合条件的建设方案共有几种？ 8．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚．文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号的“文房四宝”的价格比每套乙型号“文房四宝”的价格贵40元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号“文房四宝”共用1100元． (1)每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8500元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，则有几种购买方案？最低费用是多少？ 考点08:一元一次不等式组的其他应用 1．某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了，两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： (1)若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用，两种食品各多少包？ (2)考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于，且总热量不超过．请通过计算，求出共有多少种符合要求的配餐方案． 2．张老师测量一颗钢球体积的过程如图： （1）将的水倒进一个容量为1升的大杯子中； （2）将5颗相同的玻璃球放入水中，结果水没满； （3）再将一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗钢球的体积的范围． 3．数学活动 数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2的转运问题，进行了调研获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： (1)当n辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为___（用含n的代数式表示）； (2)求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车？ (3)若该超市需转运120辆购物车，使用电梯总次数为6次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由． 4．【阅读材料】 养成健康饮水的习惯 素材1 1．《中国居民膳食指南2022版》中提到“足量饮水”的建议：在温和气候条件下，成年人每天需喝水，如果等到渴了再喝水，身体可能已经处于缺水状态． 2．建议大家养成主动饮水的习惯．喝水时要注意避免喝过冷或过热的水，否则会引起胃肠道不适，健康饮水的适宜温度在． 素材2 1．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．已知温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为． 2．若接水过程中不计热量损失，混合温度可以用下列公式转化：混合后温度混合后体积温水温度温水体积开水温度开水体积． 【问题解决】 (1)若小康先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水，求小康分别接温水和开水的体积；（不计热量损失） (2)按照每杯水量计算，小康一天喝 杯水，能符合中国居民膳食指南提到的“足量饮水”的建议；（结果取整数） (3)若小康先用水杯接了开水，为了身体的健康，小康至少要接多长时间温水才能达到饮水的适宜温度？ 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元一次不等式 考点01:不等式﹑一元一次不等式（组）的定义 考点02:不等式的性质 考点03:在数轴上表示一元一次不等式（组）的解集 考点04:解一元一次不等式(组) 考点05:根据一元一次不等式解集求参数 考点06:不等式组和方程组的结合问题 考点07:一元一次不等式组的应用 考点08:一元一次不等式组的其他应用 考点01:不等式﹑一元一次不等式（组）的定义 1．下列式子中，属于不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．用不等号 “”“”“”“”“” 连接的式子叫做不等式． 根据不等式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是等式，故本选项不符合题意； B、是代数式，故本选项不符合题意； C、是不等式，故本选项符合题意； D、是代数式，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．老师在黑板上写了下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是不等式的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查不等式，解题的关键是掌握不等式的定义：用符号“”、“”、“”、“”或“”连接的式子，叫做不等式． 【详解】解：个式子中，其中式子，，是不等式，有个． 故选：C． 3．下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义，需满足：①只含有一个未知数；②所有不等式均为一次整式不等式，据此解答即可． 【详解】解：A、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意； B、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； C、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：A． 考点02:不等式的性质 1．已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可，不等式的性质为：不等式两边同时加上或减去一个相同的数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 本题主要考查了不等式的性质，熟练运用不等式的性质是解题的关键． 【详解】解： A、由可得，该不等式一定成立，符合题意； B、由可得，则该不等式一定不成立，不符合题意； C、若可得，则该不等式一定不成立，不符合题意； D、由可得，则该不等式一定不成立，不符合题意； 故选：A． 2．已知、为任意实数，，则下列变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 根据不等式的基本性质，对每个选项进行分析判断． 【详解】解：∵， ∴，故A项正确． ∵， ∴，故B项错误． 当，时，，但，，，故C项错误． 当时，；当时，，故D项错误． 故选：A． 3．下列式子一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质并结合反例进行判断是解题的关键． 根据不等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A：若，则一定有，与不一定相等，故该选项不合题意； B：若，，那么，故该选项不合题意； C：若，，那么，故该选项不合题意； D：若，，那么，故该选项符合题意． 故选：D． 4．当 时，不等式的解集是． 【答案】/大于2 【分析】本题考查了不等式的解集，解题的关键是掌握不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．由已知的不等式的解集与不等式的基本性质可知，解此不等式即可． 【详解】解：由题意可知时，不等式的解集是， 解得． 故答案为：． 5．若，则 ． 【答案】> 【分析】本题主要考查了乘方的定义以及实数大小的比较方法，熟记乘方的定义是解答本题的关键．根据乘方的定义以及实数大小的比较方法解答即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 考点03:在数轴上表示一元一次不等式（组）的解集 1．解集在数轴上表示正确的是图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，根据“小于向左，大于向右”且“边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”在数轴上表示即可． 【详解】解：不等式组的解集在数轴上的表示为： 故选：A． 2．某不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是不等式组在数轴上的表示，熟练掌握“空心没有等于号，实心有等于号”是解题的关键．根据数轴写出不等式组的解集即可得出答案． 【详解】由图示得，数轴上表示的不等式组的解集为， 故选：B． 3．不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，注意若解集是“或”，则在数轴上用实心点表示，若解集是“或”，则在数轴上用空心点表示． 根据在数轴上表示不等式的解集，即可求解． 【详解】解：不等式的解集在数轴上表示为 ． 故选：C 4．若一个不等式的负整数解为，，则该不等式的解集在数轴上的表示可能是下列的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的负整数解，用数轴表示不等式的解集，熟练掌握，向右画；，向左画；在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示是解题的关键． 观察数轴得到不等式的解集，即可求解． 【详解】解：A、该不等式的解集为，负整数解为，故本选项不符合题意； B、该不等式的解集为，负整数解为，，，……，不是，，故本选项不符合题意； C、该不等式的解集为，负整数解为，，故本选项符合题意； D、该不等式的解集为，负整数解为，，，……，不是，，故本选项不符合题意． 故选：C． 考点04:解一元一次不等式(组) 1．解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键． （1）将不等式移项合并，把系数化为1，即可求出解集． （2）将不等式去分母、移项合并，把系数化为1，即可求出解集． 【详解】（1）解： （2）解： 2．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1) (2) 【答案】(1)，数轴见详解 (2)，数轴见详解 【分析】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键； （1）根据一元一次不等式的解法进行求解，然后再把解集在数轴上表示即可； （2）根据一元一次不等式的解法进行求解，然后再把解集在数轴上表示即可． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：； 在数轴上表示如下： （2）解： 去分母得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：； 在数轴上表示如下： 3．解不等式组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式组的步骤． 利用解一元一次不等式组的步骤进行求解即可． 【详解】解： 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∴该不等式组的解集为． 4．解不等式（组） (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式及一元一次不等式组的解法，解题的关键是掌握不等式的基本性质（不等式两边加、减、乘、除同一个正数，不等号方向不变；乘、除同一个负数，不等号方向改变），解不等式组时需分别求出每个不等式的解集，再取其公共部分． （1）先去括号展开右边整式，再通过移项将含未知数的项移到左边、常数项移到右边，合并同类项后根据不等式性质将未知数系数化为1； （2）分别解两个不等式，求出各自解集后，取两个解集的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】（1）解不等式 去括号，得； 移项，得； 合并同类项，得； 系数化为1，得． （2）解不等式组 解不等式①：移项，得； 合并同类项，得． 解不等式②：移项，得； 合并同类项，得； 系数化为1，得． 综上，不等式组的解集为． 5．解不等式组：，并把解集在下面数轴上表示出来． 【答案】，数轴见详解 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的解集，并利用数轴表示出解集，解题的关键是掌握解一元一次不等式组的步骤． 求出两个不等式的解集，在同一数轴上表示出解集，然后通过数轴确定不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得； 解不等式②得； 在同一数轴上表示出不等式的解集为： 所以，该不等式组的解集为． 6．解不等式组：，并写出所有的整数解． 【答案】，， 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解即可． 【详解】解：解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， 整数解为，，． 考点05:根据一元一次不等式解集求参数 1．已知关于x的不等式组 有且只有1个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小， 大小小大中间找，大大小小解不了．先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且只有一个整数解求出整数解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：， 解不等式， 得：， 解不等式， 得：， ∵不等式组有且只有1个整数解， ∴不等式组的整数解为1， ∴． 故选：B． 2．若不等式组的解集是，则n的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据一元一次不等式组的解集情况求参数，掌握“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”是解本题的关键． 先求出不等式的解集，再根据两个不等式解集的公共部分为，即可确定n的取值范围． 【详解】解：解不等式，得：， 不等式组的解集是， ， 故选D． 3．已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解不等式组，得到的范围，再根据整数解的个数确定具体整数解，进而推出的取值范围．本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解不等式组的方法以及根据整数解确定参数取值范围是解题的关键． 【详解】解：解不等式组， 得， ∵共有5个整数解， ∴整数解为、、0、1、2， ∴. 故选：D. 4．若不等式组的解集是，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、有理数的乘方等知识点，根据不等式的解集确定a、b的值是解本题的关键． 先求出两个不等式的解集，再结合不等式组的解集求出a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：由不等式组， 解得∶，即． ∵， ，． ，． ． 故选A． 5．不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，解一元一次不等式和解一元一次不等式组，能求出不等式组的解集是解此题的关键．求出不等式的解集，根据已知不等式组的解集，推出即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∵不等式组的解集是， ∴， 故答案为：． 6．关于x的不等式组有五个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，掌握相关知识是解决问题的关键．求出每个不等式的解集，根据已知得出不等式组的解集，根据不等式组的整数解即可得出关于的不等式组，求出即可． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， 则不等式组的解集为， 不等式组有5个整数解为9、10、11、12、13， ， 即． 故答案为：． 7．已知关于x的不等式组的解集为，则a的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法以及根据解集求参数，重点在于理解“同大取大”等不等式组解集的确定原则． 分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据已知的不等式组的解集来确定参数a的值． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为， 当时，， 则， 时，， 则a无解． ， 故答案为： 8．若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，依据口诀“大大小小找不到”结合不等式组的解集可得的范围，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 【详解】解：由得：， 由得：， ∵一元一次不等式组无解， ∴， 解得， 故答案为：． 考点06:不等式组和方程组的结合问题 1．已知，且，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解不等式（组），熟练掌握解二元一次方程组的方法是关键． 先根据加减消元法解二元一次方程组，再将值代入，求不等式组即可得出答案． 【详解】解：， ，得 解得：， 将代入①，得， 解得：， ， ， ， ． 故选A． 2．关于，二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据方程组的解的情况求参数的范围，解一元一次不等式， 将两个方程相减得到的值，整体代入不等式中，解不等式即可． 【详解】解： 由得：， ∵， ∴， 解得： 故选C． 3．关于x，y的方程组的解满足不等式，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式的解集问题． 求出，根据计算即可． 【详解】解： 得：， 即， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 4．若方程组的解满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解方程组及不等式的综合，理解题意，熟练掌握运用求解方法是解题关键．先将两个方程相加，得到，代入然后求解即可． 【详解】解：解方程组 得，， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 5．已知关于、的二元一次方程组的解满足，求的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组和不等式的结合，通过将两个方程相加，可以得到的表达式．利用题目给出的条件，建立关于的不等式，进而求解的取值范围． 【详解】解：将方程组中的两个方程相加： ， 将方程两边同时除以4： ， ， ． 故答案为：． 6．已知关于的方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法和一元一次不等式组的解法，灵活应用整体思想是解题的关键； 观察已知的式子结合方程组的两个方程的特点可让方程组中的两个相减，即可得到，即可得到关于m的不等式组，再进一步求解即可． 【详解】解：， ，得， ∵， ∴， 解得． 考点07:一元一次不等式组的应用 1．2010年南非“世界杯”期间，中国球迷一行36人从酒店乘出租车到球场观看比赛．球迷领队安排车辆若干，若每辆坐4人，车不够，每辆坐5人，有的车未坐满．问领队安排的车有多少辆？ 【答案】领队安排了8辆车． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意得到人数和车辆数的关系是解题的关键．根据每辆车坐4人时，球迷多于车的容量；当每辆坐5人时，球迷少于车的容量，从而列出两个不等式，求出车的数量的取值范围，又由于车数量是整数，从而确定车的数量． 【详解】解：设领队安排了x辆车， 由题意得：， 解得：， 又∵x是整数， ∴． 答：领队安排了8辆车． 2．一工厂要将100吨货物运往外地，计划租用某运输公司甲、乙两种型号的货车共6辆一次将货物全部运完，已知每辆甲型货车最多能装该种货物16吨，租金400元，每辆乙型货车最多能装该种货物18吨，租金425元，若此工厂计划此次租车费用不超过2500元，通过计算求出该公司共有几种租车方案？请你设计出来，并求出最低的租车费用．（请列不等式（组）解此应用题） 【答案】一共有三种租车方案：租甲种型号的货车2辆，租乙种型号的货车4辆；租甲种型号的货车3辆，租乙种型号的货车3辆；租甲种型号的货车4辆，租乙种型号的货车2辆，最低费用为2450元． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设租甲种型号的货车x辆，则租乙种型号的货车辆，根据总运货量要不低于100吨，且租车费用不超过2500元建立不等式求解即可． 【详解】解：设租甲种型号的货车x辆，则租乙种型号的货车辆， 由题意得，， 解得， ∵x为整数， ∴x的值为2或3或4， 当时，， 当时，， 当时，， ∴一共有三种租车方案：租甲种型号的货车2辆，租乙种型号的货车4辆；租甲种型号的货车3辆，租乙种型号的货车3辆；租甲种型号的货车4辆，租乙种型号的货车2辆； ∵， ∴租1辆甲种型号的货车的费用比租1辆乙种型号的货车的费用低， ∴当甲种货车最多时，总费用最低，即租甲种型号的货车4辆，租乙种型号的货车2辆时，费用最低，最低为元， 答：一共有三种租车方案：租甲种型号的货车2辆，租乙种型号的货车4辆；租甲种型号的货车3辆，租乙种型号的货车3辆；租甲种型号的货车4辆，租乙种型号的货车2辆，最低费用为2450元． 3．某班级计划购买甲、乙两种文具共件，甲种文具每件元，乙种文具每件元． (1)若购买这两种文具共用去元，求甲、乙两种文具各购买多少件？ (2)若购买甲种文具的数量不少于乙种文具数量的倍，且总费用不超过元，求该班级有几种购买方案？ 【答案】(1)购买甲种文具件，乙种文具件； (2)只有种购买方案，购买甲种文具件，乙种文具件． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题意，找出关系，列出方程和不等式组是解题的关键． （） 设购买甲种文具件，则购买乙种文具件，根据题意得，然后解方程即可； （）设购买甲种文具件，则购买乙种文具件，根据题意得，然后解不等式组即可． 【详解】（1）解：设购买甲种文具件，则购买乙种文具件， 根据题意得， 解得， 则， 答：购买甲种文具件，乙种文具件； （2）解：设购买甲种文具件，则购买乙种文具件， 根据题意得，​ 解不等式得； 解不等式得， ∴， 故只有种购买方案，即购买甲种文具件，乙种文具件， 答：只有种购买方案，购买甲种文具件，乙种文具件． 4．《义务教育劳动课程标准（2022年版）》将于2022年9月正式实施，在第四学段（年级）中要求：“独立制作午餐或晚餐中的道菜”．某厂根据委托开始生产两种型号的炒锅．王师傅在该厂工作．每月工作22天，每天工作8小时，工厂按计件的方式给工人发工资．王师傅每小时可以生产4个型炒锅或6个型炒锅．已知王师傅生产3个型炒锅和2个型炒锅可得工资23元，生产4个型炒锅和3个型炒锅可得工资32元． (1)王师傅生产一个型炒锅和一个型炒锅分别可得多少工资？ (2)工厂规定每个人生产的型炒锅的数量不得低于型炒锅数量的2倍，那么王师傅每个月至少应该生产多少个型炒锅？ 【答案】(1)王师傅生产一个型炒锅和一个型炒锅分别可得5元、4元工资 (2)王师傅每个月至少应该生产528个型炒锅 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，正确理解题意列出式子求解是解题的关键． （1）设王师傅生产一个型炒锅和一个型炒锅分别可得元、元工资，然后根据生产3个型炒锅和2个型炒锅可得工资23元，生产4个型炒锅和3个型炒锅可得工资32元列出方程组求解即可； （2）设王师傅每个月工作小时生产型炒锅，则每个月工作小时生产型炒锅，根据题意列出不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：设王师傅生产一个型炒锅和一个型炒锅分别可得元、元工资， 由题意得， 解得， ∴王师傅生产一个型炒锅和一个型炒锅分别可得5元、4元工资， 答：王师傅生产一个型炒锅和一个型炒锅分别可得5元、4元工资； （2）解：设王师傅每个月工作小时生产型炒锅，则每个月工作小时生产型炒锅， 由题意得， ， 则王师傅每个月至少工作小时生产型炒锅． ∴王师傅每个月至少应该生产个型炒锅． 5．校运会期间，七年级1班准备给班上50名同学每人购买一杯奶茶，有“杨枝甘露”和“满野凤梨”两款果茶供大家选择．经调查：“杨枝甘露”每杯元，“满野凤梨”每杯元． (1)该班同学发现，购买1杯“杨枝甘露”和购买1杯“满野凤梨”需要32元，购买3杯“杨枝甘露”和2杯“满野凤梨”共需要81元．求的值； (2)同学们在某团上看到该店正在做活动．具体方式如下： 活动1：买十送一，送的产品为购买产品中价格最低的一种； 活动2：全部商品打9折． 如果同学们决定购买“杨枝甘露”30杯，另外的买“满野凤梨”．请通过计算，他们选择哪种活动更合算． (3)该班决定选择（2）中的活动2购买果茶，预算总费用不少于725元又不多于730元，有哪几种购买方案？ 【答案】(1)， (2)他们选择活动2更合算，理由见解析 (3)共有3种方案：①购买“杨枝甘露”28杯，购买“满野凤梨”22杯；②购买“杨枝甘露”29杯，购买“满野凤梨”21杯；③购买“杨枝甘露”30杯，购买“满野凤梨”20杯． 【分析】此题考查了二元一次方程组，有理数的混合运算的实际应用和一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是找准等量关系和不等关系列出二元一次方程组和一元一次不等式组． （1）根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）分别按照活动1和活动2的方式计算，然后比较求解即可； （3）设购买“杨枝甘露”a杯，则购买“满野凤梨”杯，根据题意列出一元一次不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵“杨枝甘露”每杯元，“满野凤梨”每杯元， 根据题意得， 解得； （2）解：活动1：（元）， 活动2：（元）， ∵， ∴他们选择活动2更合算； （3）解：设购买“杨枝甘露”a杯，则购买“满野凤梨”杯， 根据题意得， 解得 ∵a是正整数 ∴或29或30 ∴或21或20 ∴共有3种方案：①购买“杨枝甘露”28杯，购买“满野凤梨”22杯；②购买“杨枝甘露”29杯，购买“满野凤梨”21杯；③购买“杨枝甘露”30杯，购买“满野凤梨”20杯． 6．某书店购进两种新书，相关信息如下表： 种新书 种新书 进价（元/本） 售价（元/本） 14 16 (1)该书店购进种新书15本和种新书10本需要240元；购进种新书10本和种新书6本需要152元，求的值； (2)若该书店购进两种新书共100本，投入资金不少于960元且不超过970元，则有哪几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，若书店售出的种新书每本捐出元给当地福利院，种新书售价不变，则书店应如何进货才能获得最大利润？ 【答案】(1)的值为8，的值为12 (2)有三种购买方案：①购进种新书58本，种新书42本；②购进种新书59本，种新书41本；③购进种新书60本，种新书40本 (3)书店购进种新书60本，种新书40本才能获得最大利润 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、整式加减的应用，正确建立方程组和不等式组的应用是解题关键． （1）根据题意建立二元一次方程组，解方程组即可得； （2）设该书店购进种新书本，则购进种新书本，根据题意建立一元一次不等式组，求出不等式组的解集，再根据为正整数解答即可得； （3）分别求出三种方案的利润，再根据整式的加减法则比较大小，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， 答：的值为8，的值为12． （2）解：设该书店购进种新书本，则购进种新书本， 由题意得：， 解得， 因为为正整数， 所以有三种购买方案：①购进种新书58本，种新书42本；②购进种新书59本，种新书41本；③购进种新书60本，种新书40本， 答：有三种购买方案：①购进种新书58本，种新书42本；②购进种新书59本，种新书41本；③购进种新书60本，种新书40本． （3）解：方案①购进种新书58本，种新书42本， 则书店获得的利润为（元）； 方案②购进种新书59本，种新书41本， 则书店获得的利润为（元）； 方案③购进种新书60本，种新书40本， 则书店获得的利润为（元）； ∵， ∴，， ∴， 答：书店购进种新书60本，种新书40本才能获得最大利润． 7．某新能源汽车工厂计划建设两种生产线，分别用于生产新能源汽车的电池组和电机．已知一条电池组生产线预计占地300平方米，平均每天能生产30个电池组；一条电机生产线预计占地200平方米，平均每天能生产40个电机．每生产一套新能源汽车动力系统需要配套1个电池组和2个电机． (1)若工厂占地面积为24000平方米，且全部用于生产线建设，电池组、电机的生产线分别建设多少条才合理？ (2)在实际建设过程中，布局还需考虑消防通道等因素，用于建设生产线的面积不能超过21000平方米，一条电池组生产线预计每月利润万元，一条电机生产线预计每月利润2万元，预计工厂每月利润不低于130万元，在生产的电池和电机数量刚好配套的前提下，符合条件的建设方案共有几种？ 【答案】(1)建设40条电池组生产线，60条电机生产线； (2)符合条件的建设方案共有3种． 【分析】设建设x条电池组生产线，y条电机生产线，根据用于建设生产线的面积为24000平方米且每天生产的电机的总数量是电池组数量的2倍，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； 设建设m条电池组生产线，则建设条电机生产线，根据“用于建设生产线的面积不能超过21000平方米，且预计工厂每月利润不低于130万元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m，均为正整数，即可得出符合条件的建设方案共有3种． 本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 【详解】（1）解：设建设x条电池组生产线，y条电机生产线， 根据题意得：， 解得： 答：建设40条电池组生产线，60条电机生产线； （2）解：设建设m条电池组生产线，则同（1）可得建设条电机生产线， 根据题意得：， 解得：， 又，均为正整数， 可以为30，32， 答：符合条件的建设方案共有3种． 8．“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚．文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号的“文房四宝”的价格比每套乙型号“文房四宝”的价格贵40元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号“文房四宝”共用1100元． (1)每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ (2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8500元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，则有几种购买方案？最低费用是多少？ 【答案】(1)每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元 (2)两种购买方案，最低费用为8440元，购买甲31套，乙89套 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程的应用，正确地列出二元一次方程和一元一次不等式组是解题的关键． （1）设每套甲型号“文房四宝”的价格为元，每套乙型号“文房四宝”的价格为元， 根据“每套甲型号的“文房四宝”的价格比每套乙型号“文房四宝”的价格贵40元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号“文房四宝”共用1100元．”得出方程组，解方程即可； （2）设需购乙型号“文房四宝”套，则购甲型号“文房四宝”套，根据题意得到不等式组，解不等式组即可得到结论． 【详解】（1）解：设每套甲型号“文房四宝”的价格为元，每套乙型号“文房四宝”的价格为元，则： ， 解之得， 答：每套甲型号“文房四宝”的价格为100元，每套乙型号“文房四宝”的价格为60元． （2）解：设需购乙型号“文房四宝”套，则购甲型号“文房四宝”套，则： ， 解之得：． ∵为正整数， ∴88，89； 当时，；当时，． 故有两种购买方案：甲32套，乙88套或甲31套，乙89套． 当购买甲32套，乙88套时，所需费用为元， 当购买甲31套，乙89套时，所需费用为元， ∵， 故最低费用为8440元，购买甲31套，乙89套． 考点08:一元一次不等式组的其他应用 1．某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了，两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： (1)若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用，两种食品各多少包？ (2)考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于，且总热量不超过．请通过计算，求出共有多少种符合要求的配餐方案． 【答案】(1)应选用A种食品3包，B种食品2包 (2)共有4种配餐方案，方案见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，列出方程组和不等式组是解题的关键； （1）设应选用种食品包，种食品包，根据每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设选用种食品包，则选用种食品包，根据要保证每份午餐中的蛋白质含量不低于 且总热量不超过 ，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各配餐方案． 【详解】（1）解：设应选用种食品包，种食品包， 根据题意得：， 解得：， 答：应选用种食品包，种食品包； （2）解：设选用种食品包，则选用种食品包， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为，，，， 共有种配餐方案， 方案：选用种食品包，种食品包； 方案：选用种食品包，种食品包； 方案：选用种食品包，种食品包； 方案：选用种食品包，种食品包． ∴共有4种配餐方案． 2．张老师测量一颗钢球体积的过程如图： （1）将的水倒进一个容量为1升的大杯子中； （2）将5颗相同的玻璃球放入水中，结果水没满； （3）再将一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗钢球的体积的范围． 【答案】一颗钢球的体积在之间． 【分析】本题考查一元一次不等式的知识，解题的关键是根据题意，列出不等式，解出，即可． 【详解】解：一颗玻璃球的体积为， ∵将5颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满， ∴， 解得：； ∵6颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出， ∴， 解得：； ∴一颗玻璃球的体积的取值范围为：． 3．数学活动 数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2的转运问题，进行了调研获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： (1)当n辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为___（用含n的代数式表示）； (2)求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车？ (3)若该超市需转运120辆购物车，使用电梯总次数为6次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由． 【答案】(1) (2)该超市直立电梯一次最多能转运14辆购物车 (3)共有3种运输方案：①扶手电梯运4次，直立电梯运2次；②扶手电梯运5次，直立电梯运1次；③扶手电梯运6次，见解析 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用； （1）根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加，从而得到辆购物车叠放时长，化简即可得到答案； （2）根据（1）中式子先求出一列长度为的购物车列包含多少辆购物车，然后进一步计算即可； （3）设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次，根据题意得到，解出的取值范围，然后根据为正整数，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加， 所以辆购物车叠放是长， 故答案为：； （2）解：因为该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车， 因此由（1）可得， 解得， （辆）， 答：该超市直立电梯一次最多能转运14辆购物车； （3）解：设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次， 由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输14辆购物车， ， 解得：， 为正整数， ，5，6， 共有3种运输方案：①扶手电梯运4次，直立电梯运2次；②扶手电梯运5次，直立电梯运1次；③扶手电梯运6次． 4．【阅读材料】 养成健康饮水的习惯 素材1 1．《中国居民膳食指南2022版》中提到“足量饮水”的建议：在温和气候条件下，成年人每天需喝水，如果等到渴了再喝水，身体可能已经处于缺水状态． 2．建议大家养成主动饮水的习惯．喝水时要注意避免喝过冷或过热的水，否则会引起胃肠道不适，健康饮水的适宜温度在． 素材2 1．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．已知温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为． 2．若接水过程中不计热量损失，混合温度可以用下列公式转化：混合后温度混合后体积温水温度温水体积开水温度开水体积． 【问题解决】 (1)若小康先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水，求小康分别接温水和开水的体积；（不计热量损失） (2)按照每杯水量计算，小康一天喝 杯水，能符合中国居民膳食指南提到的“足量饮水”的建议；（结果取整数） (3)若小康先用水杯接了开水，为了身体的健康，小康至少要接多长时间温水才能达到饮水的适宜温度？ 【答案】(1)小康接温水，开水 (2)6 (3) 【分析】（1）设小康接温水，则接开水，根据混合后温水的温度为，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值（即小康接温水的体积），再将其代入中，即可求出小康接开水的体积； （2）设小康一天喝杯水，根据成年人每天需喝水，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出结论； （3）设小康同学接温水，根据混合后的温度不超过，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设小康接温水，则接开水， 根据题意得：， 解得：， ． 答：小康接温水，开水； （2）解：小康一天喝杯水， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， ， 小康一天喝6杯水． 故答案为：6； （3）解：设小康同学接温水， 根据题意，得：，解得：， 的最小值为13.5． 答：小康至少要接温水才能达到饮水的适宜温度． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $