第二十二章 圆（下）（知识清单）数学北京版九年级上册

第二十二章 圆（下） 知识点01 直线与圆的位置关系 1、直线与圆 无交点； 2、直线与圆 有一个交点； 3、直线与圆 有两个交点； 知识点02 切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过 且 半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于 的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过 ． 推论2：过切点垂直于切线的直线必过 ． 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个． 知识点03 切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 ，这点和圆心的连线 两条切线的夹角． 即：∵、是的两条切线 ∴；平分 知识点04 三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的 ． 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条 的交点，它叫做三角形的内心． 注意：内切圆及有关计算． （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离 ． （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= ． （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径． （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦． 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D．        知识点05 圆内接正多边形的计算 （1）正三角形 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行，． 知识点06 与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心 正多边形的外接圆的 叫做这个正多边形的中心． 2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的 叫做这个正多边形的半径． 3、正多边形的边心距 正多边形的 到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距． 中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的 叫做这个正多边形的中心角． 知识点07 正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形．一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的 ． 2、正多边形的中心对称性 边数为 的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心． 3、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形． 一、动直线与动圆的位置关系问题 1.动直线问题的分类讨论 错误：混淆圆心到直线距离和圆心与直线上某点的距离而致错 注意：熟记直线与圆的位置关系，正确区分圆心到直线距离和圆心与直线上某点的距离 1．已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果⊙O的半径为6cm，线段，线段，那么直线AB与⊙O的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 2.动圆问题的分类讨论 错误：忽视圆运动过程中图形的对称性漏解而致错 注意：熟记直线与圆的位置关系，同时关注圆运动过程中图形的对称性。 2．如图，直线AB，CD相交于点O，，圆P的半径为1cm，动点P在直线AB上从点O左侧且距离O点6cm处，以1cm/s的速度向右运动，当圆P与直线CD相切时，圆心P的运动时间为 s． 二、直线与圆相切的判定 错误：混淆切线的证明方法而致错 注意： 切线的证明方法通常有两种，一是已知圆与直线有公共点“连半径，证垂直”，二是不知圆与直线有公共点“作垂直，证半径”．． 3.在中，,平分∠CAB，O是OA上任一点，为半径作． 求证：是的切线．    4．如图，为的直径，点C是上异于A，B的点，连接，点D在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 三、三角形的内心和外心 错误：混淆三角形的内心与外心概念而致错 注意： 三角形的内心是指三角形内切圆的圆心，是三角形 三 条角平分线的交点;三角形的外心是指三角形外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点。 5．如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 1．设的半径为，若点在直线上，且，则直线与的位置关系为（　） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 2．已知的半径为，圆心到直线上某点的距离为，则直线与的公共点的个数为（    ） A．0 B．1或0 C．0或2 D．1或2 3．已知半径为，若直线上一点与圆心距离为，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 4．如图，直线与轴、轴分别相交于、两点，圆心的坐标为，与轴相切于原点，若将圆沿轴向右移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，在直线上有相距的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为的圆，过点A作直线．将以的速度向右移动（点O始终在直线上），则与直线在（  ）秒时相切． A．3 B．2.5 C．3或2 D．3或2.5 6．如图，为的角平分线上的一点， 于点，以为圆心为半径作， 求证：与相切． 7．如图，在中，，，点D在边上，⊙D经过点和点B且与边相交于点E． (1)求证：是⊙D的切线； (2)若，求⊙D的半径． 8．如图，是的直径，是上一点，和过点的直线互相垂直，垂足为点，且平分． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)连接，当，时，求的半径． 9.（2024·山东聊城·一模）如图，点为等边的内心，连接并延长交的外接圆于点，已知外接圆的半径为，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 10．如图所示，在中，，是内心，是外心，则等于（    ) A．130° B．135° C．140° D．145° 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十二章 圆（下） 知识点01 直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点； 2、直线与圆相切 有一个交点； 3、直线与圆相交 有两个交点； 知识点02 切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点． 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心． 以上三个定理及推论也称二推一定理： 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个． 知识点03 切线长定理 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 即：∵、是的两条切线 ∴；平分 知识点04 三角形的内切圆和内心 1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆． 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心． 注意：内切圆及有关计算． （1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等． （2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= ． （3）S△ABC=，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径． （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦． 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D．        知识点05 圆内接正多边形的计算 （1）正三角形 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：； （2）正四边形 同理，四边形的有关计算在中进行，： （3）正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行，． 知识点06 与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径． 3、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距． 中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角． 知识点07 正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形．一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心． 2、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心． 3、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形． 一.动直线与动圆的位置关系问题 1.动直线问题的分类讨论 错误：混淆圆心到直线距离和圆心与直线上某点的距离而致错 注意：熟记直线与圆的位置关系，正确区分圆心到直线距离和圆心与直线上某点的距离 1．已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果⊙O的半径为6cm，线段，线段，那么直线AB与⊙O的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】根据圆心到直线的距离与圆的半径大小的关系进行判断，即当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交；圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离． 【详解】解：∵⊙O的半径为10cm，线段，线段， ∴点A在以O为圆心，10cm长为半径的圆上，点B在以O圆心，6cm长为半径的⊙O上 当时，如左图所示，由知，直线AB与⊙O相切； 当AB与OB不垂直时，如右图所示，过点O作于点D，则，所以直线AB与⊙O相交； ∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切 故选：D． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，要确定直线与圆的位置关系，要比较圆心到直线的距离与半径的大小，从而可确定位置关系． 2.动圆问题的分类讨论 错误：忽视圆运动过程中图形的对称性漏解而致错 注意：熟记直线与圆的位置关系，同时关注圆运动过程中图形的对称性。 2．如图，直线AB，CD相交于点O，，圆P的半径为1cm，动点P在直线AB上从点O左侧且距离O点6cm处，以1cm/s的速度向右运动，当圆P与直线CD相切时，圆心P的运动时间为 s． 【答案】4或8/8或4 【分析】求得当⊙P位于点O的左边与CD相切时t的值和⊙P位于点O的右边与CD相切时t的值即可． 【详解】解：当点P在射线OA时⊙P与CD相切，如图1，过P作PE⊥CD于E ∴PE＝1cm， ∵∠AOC＝30° ∴OP＝2PE＝2cm ∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6﹣2）cm后与CD相切 ∴⊙P移动所用的时间＝＝4（秒）； 当点P在射线OB时⊙P与CD相切，如图2，过P作PE⊥CD于E ∴PF＝1cm ∵∠AOC＝∠DOB＝30° ∴OP＝2PF＝2cm ∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（6+2）cm后与CD相切， ∴⊙P移动所用的时间＝＝8（秒） ∴当⊙P的运动时间为4或8秒时，⊙P与直线CD相切． 故答案为：4或8． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，含30°的直角三角形，解题的关键在于分点P在射线OA和点P在射线OB两种情况进行计算． 二.直线与圆相切的判定 错误：混淆切线的证明方法而致错 注意： 切线的证明方法通常有两种，一是已知圆与直线有公共点“连半径，证垂直”，二是不知圆与直线有公共点“作垂直，证半径”．． 3.在中，,平分∠CAB，O是OA上任一点，为半径作 求证：是的切线 ．    错解:证明：如图设AB与⊙O的公共点为F，连接OF. 通过证明△OCA≌△OFA. 得到∠OFA=∠OCA=90°. ∴⊙O与AB 相切. 错解分析:切线的证明方法通常有两种， 一是已知圆与直线有公共点“连半径，证垂直”， 二是不知圆与直线有公共点“作垂直，证半径”． 本题未说明AB与⊙O有公共点，故应该用第二种证明方法． 正解：证明：如图：过点作于点，   是的角平分线，，， ， 是的切线． 【点睛】本题考查圆的切线的判定知识．结合角平分线的性质，正确构造辅助线是解题的关键． 4．如图，为的直径，点C是上异于A，B的点，连接，点D在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得，再由，可得，然后根据，可得，即可求证； （2）根据，可得，设，根据勾股定理求出x，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 即的半径3． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质是解题的关键． 三：三角形的内心和外心 错误：混淆三角形的内心与外心概念而致错 注意： 三角形的内心是指三角形内切圆的圆心，是三角形 三 条角平分线的交点;三角形的外心是指三角形外接圆的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点。 5．如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，连接，∵点是的内心，∴平分， ∵，∴， ∵点是外接圆的圆心，∴， ∵，∴，故选：C． 1．设的半径为，若点在直线上，且，则直线与的位置关系为（　） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】根据直线与圆位置关系可知，若直线与圆相离，圆心与直线上的点不可能等于半径；反之，当直线与圆相交或相切时，直线上总有点到圆心的距离等于半径，从而得到答案． 【详解】解：由题意可知，当的半径为，点在直线上，且，则直线与的位置关系为相交或相切， 故选：D． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系的综合运用，熟记直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系是解决问题的关键． 2．已知的半径为，圆心到直线上某点的距离为，则直线与的公共点的个数为（    ） A．0 B．1或0 C．0或2 D．1或2 【答案】D 【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l和相交或相切，然后根据相切与相交的定义对各选项进行判断． 【详解】∵的半径为，圆心到直线上某点的距离为， ∴圆心O到直线l的距离 即圆心O到直线l的距离圆的半径， ∴直线l和相切或相交， ∴直线l与有1个或2个有公共点． 故选：D． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则当直线l和相交时，；直线l和相切，；直线l和相离，． 3．已知半径为，若直线上一点与圆心距离为，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】D 【分析】根据题意，直线上一点与圆心的距离和圆心到直线的距离不同，故无法确定直线与圆的位置关系 【详解】解：半径为，若直线上一点与圆心距离为，那么直线与圆的位置关系是无法确定， 故选：D． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，能熟记直线和圆的位置关系内容是解此题的关键，注意：直线和圆有三种位置关系：相离，相交，相切，已知：圆的半径为，圆心到直线的距离为，那么：时，直线与圆相离，当时，直线与圆相切，当时，直线与圆相交． 4．如图，直线与轴、轴分别相交于、两点，圆心的坐标为，与轴相切于原点，若将圆沿轴向右移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先判断图中的特殊直角三角形，画出与该直线相切时的位置，再在圆和直线相交过程中找到所有整数点即可． 【详解】在上， 令；令 Rt中 如图所示，当在P点和点时和直线相切，切点分别为M，N 当与该直线相交时， 横坐标为整数的点即线段之间的三个点． 故选：B 【点睛】此题考查圆与切线的关系，结合平面直角坐标系求点的坐标，解题关键是画出两种可能性，看图选整数点即可． 5．如图，在直线上有相距的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为的圆，过点A作直线．将以的速度向右移动（点O始终在直线上），则与直线在（  ）秒时相切． A．3 B．2.5 C．3或2 D．3或2.5 【答案】C 【分析】根据切线的判定方法，点到距离为1时，与相切，然后计算出圆向右移动的距离，然后计算出对应的时间． 【详解】解：当点到距离为1时，与相切， ∵开始时点到的距离为5， ∴当圆向右移动或时，点到距离为1，此时与相切， ∴或， 即与直线在2秒或3秒时相切， 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆的切线垂直与经过切点的半径，经过半径的外端且垂直与这条半径的直线时圆的切线，当圆心到直线的距离等于圆的半径时，直线与圆相切． 6．如图，为的角平分线上的一点， 于点，以为圆心为半径作， 求证：与相切． 【答案】见解析 【分析】过点作于，根据证明，推出，即可证明与相切． 【详解】证明：如图，过点作于， 平分， ， 又，， ， 在与中， ， ， ， 点D在上， 又， 与相切于点． 【点睛】本题考查切线的判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定方法． 7．如图，在中，，，点D在边上，⊙D经过点和点B且与边相交于点E． (1)求证：是⊙D的切线； (2)若，求⊙D的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1 ）连接，根据等腰三角形的性质得到，，求得，根据三角形的内角和得到，于是得到是⊙D的切线； （2 ）连接，推出是等边三角形，得到，，求得，得到，于是得到结论． 【详解】（1）证明：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是圆D的半径， ∴是⊙D的切线； （2）解：连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴⊙D的半径． 故答案是2． 【点睛】 本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 8．如图，是的直径，是上一点，和过点的直线互相垂直，垂足为点，且平分． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)连接，当，时，求的半径． 【答案】(1)与相切；理由见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据平分，以及，可得，从而得到，即可； （2）连接，先证得，再由，可得，从而得到，再由勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：与相切， 理由：如图1，连接． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴与相切； （2）解：如图2，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的半径为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，平行线的判定，直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定，圆周角定理，勾股定理，平行线的判定，直角三角形的性质是解题的关键． 9.（2024·山东聊城·一模）如图，点为等边的内心，连接并延长交的外接圆于点，已知外接圆的半径为，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接，是等边三角形，， 点为等边的内心，，， 等边三角形的内心与外接圆的圆心重合，点为的外接圆的圆心， ，是等边三角形，，故选A． 10．如图所示，在中，，是内心，是外心，则等于（    ) A．130° B．135° C．140° D．145° 【答案】C 【分析】根据三角形的内心得出∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB，根据三角形内角和定理求出∠IBC+∠ICB=55°,故可得到∠ABC＋∠ACB=110°，进而求出∠A的度数， 再根据圆周角定理求出∠BOC＝2∠A，求出∠A度数， 【详解】∵在△ABC中，，是内心， ∴∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB， ∵∠IBC+∠ICB=180°-， ∴∠ABC+∠ACB=2∠IBC+2∠ICB=2（∠IBC+∠ICB）=110°， ∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=70°， ∵是外心， ∴∠BOC＝2∠A=140°， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆和三角形的外接圆，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $