第二十一章 圆（上）（知识清单）数学北京版九年级上册

第二十一章 圆（上） 【知识点01】圆的定义与性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆。这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形。 确定圆的条件：（1）圆心；（2）半径。 圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； （2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 【知识点02】圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦(例如：右图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：右图中的CD）。 备注：（1）直径是同一圆中最长的弦。（2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧。 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧。 【知识点03】垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）： 1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 【知识点04】圆心角的概念与性质 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 【知识点05】圆周角的概念与性质 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 【知识点06】圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角． 即：在⊙中，∵四边是内接四边形， ∴ ． ． 【知识点07】点和圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r点P在⊙O内； d=r点P在⊙O上； d>r点P在⊙O外。 【知识点08】弧长和扇形面积 1.扇形的弧长和面积计算 扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 2.扇形与圆柱、圆锥之间联系 （1）圆柱： ①圆柱侧面展开图：=；②圆柱的体积： （2）圆锥侧面展开图：①=；②圆锥的体积： 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长 注意：　 （1）对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； （2）公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； （3）弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. （4）对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即； （5）在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 一、圆的有关概念与有关性质 错误：忽视概念或性质中的前提条件致错 注意：圆中概念与性质成立的前提条件。如只有“在同圆或等圆中”，弧、弦、圆心角之间的关系才能成立，只有“在同圆或等圆中”能够互相重合的弧叫做等弧．只有不在同一直线上三点才能确定圆， 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 1．下列说法正确的是（　　） A．劣弧一定比优弧短 B．面积相等的圆是等圆 C．长度相等的弧是等弧 D．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧也相等 【答案】B 【分析】根据圆的相关概念、圆周角定理及其推论进行逐一分析判断即可． 【详解】解：A.在同圆或等圆中，劣弧一定比优弧短，故本选项说法错误，不符合题意； B.面积相等的圆是等圆，故本选项说法正确，符合题意； C.能完全重合的弧才是等弧，故本选项说法错误，不符合题意； D.必须在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项说法错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理及其推论、等弧、等圆、以及优弧和劣弧等知识，解题关键是理解各定义的前提条件是在同圆或等圆中． 二.垂径定理 1垂径定理理解和运用 错误：对垂径定理理解和运用不熟练致误 注意：垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（被平分的弦不是直径）；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简称“知二得三”，解题过程中经常通过做辅助线使半径、弦心距、弦的一半构成直角三角形来解决问题。 2.综合与实践：测量如图（1）所示的圆口水杯的杯口直径． 工具：一张宽度为的矩形硬纸板（厚度忽略不计）和刻度尺． 小明的测量方法：如图（2），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点A，B分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为，利用刻度尺测得的长． 小亮的测量方法：如图（3），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为A，另一边与杯口相交于B，C两点，利用刻度尺测得的长为． (1) 小明认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是　 　 (2)请根据小亮的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径（结果用含字母l的式子表示）． 【答案】(1)的圆周角所对的弦是直径(2) 【详解】（1）解：∵纸板的两个顶点A，B分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为，，∴为杯口的直径（的圆周角所对的弦是直径），即小明认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是的圆周角所对的弦是直径． 故答案为：的圆周角所对的弦是直径； （2）解：如图，设点O为圆心，连接交于点M，连接． ∵为的切线，∴．又∵，∴，∴．     设的半径为，则，，在中，， ∴，    ，∴杯口的直径为． 2.平行弦距离问题 错误：未对平行弦距离问题分类讨论致误 注意：求两条弦间的距离时要分类讨论两条弦与圆心的相对位置：两弦在圆心的同侧，两弦在圆心的异侧。 3.如图，一下水管道横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为，一场大雨过后，水面宽为，则水位上升　 　 ． 【答案】1或7 【详解】解：作半径于，连接，由垂径定理得： 在中，，当水位上升到圆心以下水面宽时，则， 水面上升的高度为：；当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：， 综上可得，水面上升的高度为或．故答案为：1或7． 三.圆周角及性质 1.弦所对的圆周角 错误：弦所对的圆周角没有分类讨论 注意：弧所对的圆周角是唯一的，弦所对的圆周角有两种情况要特别注意，在圆中，非直径的弦所对的圆周角有两个，且两个圆周角互补。 4.如图，是的弦，是过点的切线，若，则所对的圆周角的度数为　 　 ． 【答案】或 【详解】解：∵是过点的切线，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴弦所对的劣弧的度数为：，所对的优弧的度数为：， ∴所对的圆周角的度数为或；故答案为：或． 四. 弧长与扇形的面积 1.立体图形圆锥与平面图形扇形间的转化 错误：立体图形圆锥与平面图形扇形间的转化关系混乱致误， 注意：1）搞清母线、底面半径与高的关系；2）理解弧长与底面周长的对应关系。 如图，圆锥的底面半径为r，底面周长为C，母线为a，高为h；扇形的圆心角为n°，半径为R，弧长为l。 重要关系：①圆锥的底面周长=扇形的弧长，即C=l；②圆锥的母线=扇形的半径，即a=R。 5．综合与实践 主题：制作无底圆锥 素材：一张直径为的圆形纸板，如图1． 步骤1：将圆形纸板对折，如图2，得出两个相同的半圆，并剪去一个半圆； 步骤2：如图3，在剪好的半圆纸板中，圆心为，直径为，使与重合，制作成一个无底的圆锥． 猜想与计算：(1)直接写出圆形纸板的周长与圆锥的底面周长的大小关系； (2)如图3．求圆锥母线与圆锥高OH的夹角的度数． 【答案】(1)（或）(2) 【详解】（1）解：由题可知，半圆的弧长等于圆锥的底面周长，或． （2）解：，，，解得：， 在直角中，，，，． 2.求不规则图形的面积 错误：易错误拆分或组合图形，导致对各部分形状和尺寸判断失误，进而使面积计算出错；也常因忽略图形间的重叠、空缺部分，造成面积多算或少算。 注意：仔细分析图形结构，合理拆分或补全为规则图形，明确各部分的形状、尺寸及相互关系，计算时留意重叠、空缺部分的处理。 6.如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，则，，，围成的面积（图中阴影部分面积）为 　 　 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、求其他不规则图形的面积、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了图形的旋转，不规则图形的面积计算，勾股定理，发现阴影部分面积的计算方法是解题的关键．根据旋转的性质得到，，进而得到，再结合扇形面积公式和勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：将绕点B逆时针旋转得到， ，， ， 在中，，， ， 上式． 故答案为：． 1．下列说法中，正确的是（　　） A．过圆心的直线是圆的直径 B．直径是圆中最长的弦 C．相等长度的两条弧是等弧 D．顶点在圆上的角是圆周角 【答案】B 【分析】根据直径，弦，等弧，圆周角的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、过圆心的弦是圆的直径，故此选项不符合题意； B、直径是圆中最长的弦，故此选项符合题意； C、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧，故此选项不符合题意； D、顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角是圆周角，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的认识，熟练掌握经过圆心的弦叫直径，连接圆上任意两点的线段叫弦，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧，顶点在圆上，两边分别与圆相交的角是圆周角是解题的关键． 2．在观察地球仪时，某数学小组发现台湾省的纬度约为北纬，小组成员查阅相关资料，得到如下信息：①如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；②如图2，赤道半径约为6400千米，弦，以为直径的圆的周长就是北纬纬线的长度．根据以上信息，北纬纬线的长度约为　 　 （参考数据：，，，） 【答案】 【详解】解：如图，过点O作，垂足为D，    根据题意，∵，∴， ∵在中， ，∴， ∵，∴由垂径定理可知：， ∴以为直径的圆的周长为，故答案为：． 3.刺绣是我国独有的一门传统艺术，它承载着大量中国民族文化的意义．圆形刺绣作品展示木架的设计简图如图所示，已知、、分别与圆相交于点A、点E、点D，，，，，则圆形刺绣作品的半径为　 　 ． 【答案】10 【详解】解：如图，设圆心为O，连接，，，交于点F． ， ，，，四边形是平行四边形， ，，，四边形是矩形，， ，，，是切线，， ，，设，则有， ，故答案为：10． 4．（2023·山东泰安·二模）已知的直径为10cm， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为（    ）． A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 【答案】C 【详解】作于E，延长交于F，连接、，如图     ∵，∴∴， 在中， 在中， 当点O在与之间时，如图1， 当点O不在与之间时，如图2，故选：C． 5．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）一下水管道横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为，一场大雨过后，水面宽为，则水位上升（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：如图，作半径于C，连接， 由垂径定理得：，在中，， 当水位上升到圆心以下时，水面宽时，则， 水面上升的高度为：； 当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：， 综上可得，水面上升的高度为或，故选：D． 6．在半径为1的中，弦，则弦所对的圆周角的度数为（    ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】如图，连结，，，，，， 当圆周角的顶点在优弧上时，，当圆周角的顶点在劣弧上时，， ， 综上所述，弦所对的圆周角的度数为或．故选C． 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）的一条弦分圆周长为两部分，则弦所对的圆周角的度数是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】解：的一条弦分圆周长为两部分， 弦所对的圆心角的度数是或， 弦所对的圆周角的度数是或，故选：B． 8.（2024·广东佛山·一模）数学活动课要求用一张正方形纸片制作圆锥，同学们分别剪出一个扇形和一个小圆作为圆锥的侧面和底面，下列图示中的剪法恰好能构成一个圆锥的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设正方形的边长为，如图，连接，，则， ，在上，    设，过作于，连接，∴四边形为矩形， ∴，，，而， ∴，解得：（舍去），， ∴大的半圆的弧长为，小圆的周长为，故A不符合题意； 如图，由正方形与圆的性质可得：，∴大的半圆的弧长为， 小圆的周长为，故B符合题意；如图，连接，，则， 设， 同理可得：，，，∴，解得：， ∴∴大的扇形的弧长为，小圆的周长为，故C不符合题意； 如图，连接，， 设，当刚好要围成一个圆锥时，则扇形的弧长等于小圆的周长， ∴，∴，而图中裁剪的条件中没有这个条件，故D不一定能够刚好围成圆锥，不符合题意；故选B 9．【综合与实践】 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，       (1)现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数； (2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1），，，， 扇形纸板的圆心角度数为； （2）如图所示．连接，过点P作，线段就是彩带长度的最小值， 由（1）得， , 彩带长度的最小值为． 10：如图，在，将绕点O逆时针旋转至，点在的延长线上，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积为　 　 ．（结果保留π） 【答案】 【知识点】求图形旋转后扫过的面积 【分析】根据旋转的性质得出，，，，根据直角三角形的性质求出，，求出，根据图形得出阴影部分的面积，再求出答案即可． 【详解】解：将绕点逆时针旋转至△，， ，，，， ，，， ，， ， ， 阴影部分的面积 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的面积计算，旋转的性质，直角三角形的性质等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 圆（上） 【知识点01】圆的定义与性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆。这个固定的端点叫做 ，线段叫做 。 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O。 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于 的点组成的图形。 确定圆的条件：（1） ；（2） 。 圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，经过 的每一条直线都是它的对称轴； （2）圆是以圆心为对称中心的 。 【知识点02】圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做 (例如：下图中的AB)。 直径的概念：经过圆心的弦叫做 （例如：下图中的CD）。 备注：（1） 是同一圆中最长的弦。（2）直径长度等于半径长度的2倍。 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称 。以为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB。 等弧的概念： 或 ，能够 的弧叫做等弧。 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 优弧的概念：在一个圆中 。 劣弧的概念： 。 【知识点03】垂径定理 垂径定理： 于弦的直径 这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：（1）平分弦（ ）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧 。 常见辅助线做法（考点）： 1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 【知识点04】圆心角的概念与性质 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做 。 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在 或 中，如果两个 、两条 、两条 或两条 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。 【知识点05】圆周角的概念与性质 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做 。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的 。（即：圆周角=） 推论1：同弧或等弧所对的 。 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是 ，的圆周角所对的弦是 。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 【知识点06】圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角 ，外角等于它的 ． 即：在⊙中，∵四边是内接四边形， ∴ ． ． 【知识点07】点和圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r点P在⊙O内； d=r点P在⊙O上； d>r点P在⊙O外。 【知识点08】弧长和扇形面积 1.扇形的弧长和面积计算 扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 2.扇形与圆柱、圆锥之间联系 （1）圆柱： ①圆柱侧面展开图：=；②圆柱的体积： （2）圆锥侧面展开图：①=；②圆锥的体积： 注意：圆锥的底周长=扇形的弧长 注意：　 （1）对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的 ，即； （2）公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； （3）弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. （4）对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 ，即； （5）在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 一、圆的有关概念与有关性质 错误：忽视概念或性质中的前提条件致错 注意：圆中概念与性质成立的前提条件。如只有“在同圆或等圆中”，弧、弦、圆心角之间的关系才能成立，只有“在同圆或等圆中”能够互相重合的弧叫做等弧．只有不在同一直线上三点才能确定圆， 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 1．下列说法正确的是（　　） A．劣弧一定比优弧短 B．面积相等的圆是等圆 C．长度相等的弧是等弧 D．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧也相等 二.垂径定理 1垂径定理理解和运用 错误：对垂径定理理解和运用不熟练致误 注意：垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（被平分的弦不是直径）；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧。若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简称“知二得三”，解题过程中经常通过做辅助线使半径、弦心距、弦的一半构成直角三角形来解决问题。 2.综合与实践：测量如图（1）所示的圆口水杯的杯口直径． 工具：一张宽度为的矩形硬纸板（厚度忽略不计）和刻度尺． 小明的测量方法：如图（2），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点A，B分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为，利用刻度尺测得的长． 小亮的测量方法：如图（3），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为A，另一边与杯口相交于B，C两点，利用刻度尺测得的长为． (1) 小明认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是　 　 (2)请根据小亮的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径（结果用含字母l的式子表示）． 2.平行弦距离问题 错误：未对平行弦距离问题分类讨论致误 注意：求两条弦间的距离时要分类讨论两条弦与圆心的相对位置：两弦在圆心的同侧，两弦在圆心的异侧。 3.如图，一下水管道横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为，一场大雨过后，水面宽为，则水位上升　 　 ． 三.圆周角及性质 1.弦所对的圆周角 错误：弦所对的圆周角没有分类讨论 注意：弧所对的圆周角是唯一的，弦所对的圆周角有两种情况要特别注意，在圆中，非直径的弦所对的圆周角有两个，且两个圆周角互补。 4.如图，是的弦，是过点的切线，若，则所对的圆周角的度数为　 　 ． 四. 弧长与扇形的面积 1.立体图形圆锥与平面图形扇形间的转化 错误：立体图形圆锥与平面图形扇形间的转化关系混乱致误， 注意：1）搞清母线、底面半径与高的关系；2）理解弧长与底面周长的对应关系。 如图，圆锥的底面半径为r，底面周长为C，母线为a，高为h；扇形的圆心角为n°，半径为R，弧长为l。 重要关系：①圆锥的底面周长=扇形的弧长，即C=l；②圆锥的母线=扇形的半径，即a=R。 5．综合与实践 主题：制作无底圆锥 素材：一张直径为的圆形纸板，如图1． 步骤1：将圆形纸板对折，如图2，得出两个相同的半圆，并剪去一个半圆； 步骤2：如图3，在剪好的半圆纸板中，圆心为，直径为，使与重合，制作成一个无底的圆锥． 猜想与计算：(1)直接写出圆形纸板的周长与圆锥的底面周长的大小关系； (2)如图3．求圆锥母线与圆锥高OH的夹角的度数． 2.求不规则图形的面积 错误：易错误拆分或组合图形，导致对各部分形状和尺寸判断失误，进而使面积计算出错；也常因忽略图形间的重叠、空缺部分，造成面积多算或少算。 注意：仔细分析图形结构，合理拆分或补全为规则图形，明确各部分的形状、尺寸及相互关系，计算时留意重叠、空缺部分的处理。 6.如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，则，，，围成的面积（图中阴影部分面积）为 　 　 ． 1．下列说法中，正确的是（　　） A．过圆心的直线是圆的直径 B．直径是圆中最长的弦 C．相等长度的两条弧是等弧 D．顶点在圆上的角是圆周角 2．在观察地球仪时，某数学小组发现台湾省的纬度约为北纬，小组成员查阅相关资料，得到如下信息：①如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；②如图2，赤道半径约为6400千米，弦，以为直径的圆的周长就是北纬纬线的长度．根据以上信息，北纬纬线的长度约为　 　 （参考数据：，，，） 3.刺绣是我国独有的一门传统艺术，它承载着大量中国民族文化的意义．圆形刺绣作品展示木架的设计简图如图所示，已知、、分别与圆相交于点A、点E、点D，，，，，则圆形刺绣作品的半径为　 　 ． 4．（2023·山东泰安·二模）已知的直径为10cm， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为（    ）． A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 5．（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）一下水管道横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为，一场大雨过后，水面宽为，则水位上升（　　） A． B． C．或 D．或 6．在半径为1的中，弦，则弦所对的圆周角的度数为（    ）． A． B． C．或 D．或 7．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）的一条弦分圆周长为两部分，则弦所对的圆周角的度数是（    ） A． B．或 C． D．或 8.（2024·广东佛山·一模）数学活动课要求用一张正方形纸片制作圆锥，同学们分别剪出一个扇形和一个小圆作为圆锥的侧面和底面，下列图示中的剪法恰好能构成一个圆锥的是（    ） A． B． C． D． 9．【综合与实践】 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，      (1)现在需要制作一个，的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数； (2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值． 10：如图，在，将绕点O逆时针旋转至，点在的延长线上，则边扫过区域（图中阴影部分）的面积为　 　 ．（结果保留π） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $