第二十一章 圆（上）（复习讲义）数学北京版九年级上册

第二十一章 圆（上）（复习讲义） 1.了解圆的概念和点与圆的三种位置关系，理解确定圆的条件并能掌握弧长与扇形面积的计算公式; ①了解圆心、半径、弦、弧、等弧的概念；②了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法;③会弧长公式及扇形面积的推导与运用 2．理解圆是轴对称图形和中心对称图形，掌握垂径定理和等对等定理并灵活运用定理进行证明及计算. ①在知识上通过了解圆的对称性掌握垂径定理和等对等定理，②在能力上要学会从表象中抽象出本质规律，提高逻辑思维能力与推理能力。 3．了解圆心角、圆周角的概念，掌握圆周角的性质和直径所对圆周角的特征;能灵活运用圆周角的性质解决问题; ①通过对比圆周角与圆心角的的区别与联系，进一步理解圆心角、圆周角、所对弧的度数关系， ②通过探索圆周角度数定理的过程，理解分类讨论的必要性，渗透由特殊到一般转化的思想方法. 4. 了解三角形外接圆和圆内接四边形的概念，熟练运用圆内接四边形的性质解决问题。 ①三角形的外接圆有且只有一个，外接圆的圆心为三角形的外心;②圆内接四边形的对角互补 知识点01：圆的定义及性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径． 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形． 确定圆的条件：1）圆心；2）半径． 备注：圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小． 【补充】 1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 3）半径相等的圆叫做等圆． 圆的对称性： 1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形． 知识点02：圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦（例如：图中的AB）． 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：图中的CD）． 备注：1）直径是同一圆中最长的弦．2）直径长度等于半径长度的2倍． 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以．为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB． 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧． 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧． 知识点03   垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等． 常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 知识点04  圆心角的概念 及性质 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心． 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 知识点05 圆周角的概念及性质 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=圆心角） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等． 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等． 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 知识点06 圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角． 即：在⊙中，∵四边是内接四边形， ∴ ． ． 知识点07 点与圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r点P在⊙O内； d=r点P在⊙O上； d>r点P在⊙O外． 知识点08  过三点的圆 1．过三点的圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆． 2．三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆． 3．三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心． 知识点09扇形的弧长和面积计算 扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 注意：　 （1）对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； （2）公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； （3）弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. （4）对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即； （5）在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 题型一 圆的有关概念辨析 方法点拨：理解圆的有关概念，熟练掌握弦、等圆、等弧的定义是解题的关键． 【例1】已知线段的中点为，动点满足，则点的轨迹是（    ） A．以为直径的圆 B．的延长线 C．的垂直平分线 D．平行的直线 【答案】A 【分析】根据圆的有关概念即可分析判断． 【详解】解：∵线段的中点为， ∴， ∵， ∴， ∴点P在以点M为圆心，为直径的圆上， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的有关认识，掌握圆的有关概念是解题的关键． 【变式1-1】下列说法中，不正确的是（    ） A．直径是最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等 C．长度相等的弧是等弧 D．圆既是轴对称图形又是中心对称 【答案】C 【分析】 根据弦的定义、中心对称图形和轴对称图形定义、等弧定义可得答案． 【详解】 A、直径是最长的弦，说法正确，故A选项不符合题意； B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确，故B选项不符合题意； C、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，说法错误，故C选项符合题意； D、圆既是轴对称图形又是中心对称，说法正确，故D选项不符合题意； 故选：C 【点睛】 此题主要考查了圆的认识，掌握在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧，是解题的关键． 【变式1-2】下列说法中正确的有　 　 （填序号）． （1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧． 【答案】（1）（3）（4） 【分析】根据弦、等圆、等弧的定义分别分析即可． 【详解】解：（1）直径是圆中最大的弦，说法正确； （2）长度相等的两条弧一定是等弧，说法错误，在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但长度相等，弯曲程度也要相同； （3）半径相等的两个圆是等圆，说法正确； （4）面积相等的两个圆是等圆，说法正确； （5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这条弦是直径． 故答案为：（1）（3）（4）． 【点睛】本题考查了圆的有关概念，熟练掌握弦、等圆、等弧的定义是解题的关键． 【变式1-3】一个长方形的长是4厘米，宽是2厘米，在长方形内画一个最大的圆，其直径等于　 　 ． 【答案】2厘米 【分析】根据在一个长方形内画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的短边的长，即可得到答案． 【详解】解：长方形的长是4厘米，宽是2厘米 在长方形内画一个最大的圆，其直径等于2厘米， 故答案为：2厘米． 【点睛】本题主要考查了圆的直径，明确在一个长方形内画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的短边的长，是解题的关键． 题型二 圆的相关概念应用 【方法点拨】解决此类问题的关键是圆中的半径所构成等腰三角形的灵活应用. 【例1】如图，⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E，且CE＝OB， 已知∠DOB＝72°，则∠E等于（　　） A．36° B．30° C．18° D．24° 【分析】根据圆的半径相等，可得等腰三角形；根据三角形的外角的性质，可得关于∠E的方程，根据解方程，可得答案． 【答案】解：如图： CE＝OB＝CO，得 ∠E＝∠1． 由∠2是△EOC的外角，得∠2＝∠E+∠1＝2∠E． 由OC＝OD，得∠D＝∠2＝2∠E． 由∠3是三角形△ODE的外角，得∠3＝E+∠D＝∠E+2∠E＝3∠E． 由∠3＝72°，得3∠E＝72°． 解得∠E＝24°． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的认识，利用圆的半径相等得出等腰三角形是解题关键，又利用了三角形外角的性质． 【变式1-1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以C为圆心，CB为半径的 圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD＝（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【分析】先求得∠B，再由等腰三角形的性质求出∠BCD，则∠ACD与∠BCD互余． 【答案】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝40°， ∴∠B＝50°， ∵CD＝CB， ∴∠BCD＝180°﹣2×50°＝80°， ∴∠ACD＝90°﹣80°＝10°； 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，是基础知识比较简单． 【变式1-2】如图，半圆O是一个量角器，△AOB为一纸片，AB交半圆于点D， OB交半圆于点C，若点C、D、A在量角器上对应读数分别为45°，70°，160°，则∠B的度数为（　　） A．20° B．30° C．45° D．60° 【分析】连结OD，如图，根据题意得∠DOC＝25°，∠AOD＝90°，由于OD＝OA，则∠ADO＝45°，然后利用三角形外角性质得∠ADO＝∠B+∠DOB，所以∠B＝45°﹣25°＝20°． 【答案】解：连结OD，如图，则∠DOC＝70°﹣45°＝25°，∠AOD＝160°﹣70°＝90°， ∵OD＝OA， ∴∠ADO＝45°， ∵∠ADO＝∠B+∠DOB， ∴∠B＝45°﹣25°＝20°． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 【变式1-3】如图，A，B，C是⊙O上的三点，AB，AC的圆心O的两侧，若∠ABO ＝20°，∠ACO＝30°，则∠BOC的度数为（　　） A．100° B．110° C．125° D．130° 【分析】过A、O作⊙O的直径AD，分别在等腰△OAB、等腰△OAC中，根据三角形外角的性质求出∠BOC＝2∠ABO+2∠ACO． 【答案】解：过A作⊙O的直径，交⊙O于D． 在△OAB中，OA＝OB， 则∠BOD＝∠ABO+∠OAB＝2×20°＝40°， 同理可得：∠COD＝∠ACO+∠OAC＝2×30°＝60°， 故∠BOC＝∠BOD+∠COD＝100°． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，涉及了等腰三角形的性质及三角形的外角性质，解答本题的关键是求出∠COD及∠BOD的度数． 题型三  确定圆的条件 【方法点拨】不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 【例3】已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（    ） A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（1，2） D．（1，﹣2） 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求出直线的解析式，再把每点代入函数解析式，根据不在同一直线上的三点能确定一个圆即可得出答案． 【详解】解：设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， A、当时，，则此时点不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意； B、当时，，则此时点不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意； C、当时，，则此时点在同一直线上，不可以确定一个圆，此项符合题意； D、当时，，则此时点不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了确定一个圆、求一次函数的解析式，熟练掌握确定一个圆的条件是解题关键． 【变式3-1】给定下列条件可以确定唯一的一个圆的是（    ） A．已知圆心 B．已知半径 C．已知直径 D．不在同一直线上的三个点 【答案】D 【分析】根据确定圆的条件，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】A. 已知圆心，但半径不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意， B. 已知半径，但圆心位置不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意， C. 已知直径，但圆心位置不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意， D. 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查确定圆的条件，掌握不在同一直线上的三个点确定一个圆，是解题的关键． 【变式3-2】如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解． 【详解】解：依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆， ∴共有6个， 故选：D． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键． 【变式3-3】已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出(    )． A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆 【答案】C 【分析】根据过不共线三点可作一个圆，找出不共线三点的组数即可． 【详解】解：过其中的三点作圆，最多能作出10个，即分别过点ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE的圆． 故选C． 【点睛】本题考查三点共圆问题，掌握查确定圆的个数方法是解题关键． 题型四 点与圆的位置关系 【方法点拨】 解题的关键是掌握点与圆的三种位置关系，如设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内． 【例4】如图，在中，，，，点D在边上，，以点D为圆心作，其半径长为r，要使点A恰在外，点B在内，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求出的长，进而得出的长，由点与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】解：在中，，，， 则，， 点A恰在外，点B在内， 故选：A． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系、勾股定理，解题的关键是掌握点与圆的三种位置关系，如设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内． 【变式4-1】若的半径为，圆心O为坐标系的原点，点P的坐标是，点P在 　 　 ． 【答案】外 【分析】设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，求出点P到圆心O的距离d的值，比较点P到圆心O的距离d与⊙O的半径为r的大小，即得 【详解】设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d， ∵，， ∴d>r， ∴点p在⊙O外． 故答案为：外． 【点睛】本题主要考查了点和圆的位置关系，解决问题的关键是熟练掌握两点之间的距离公式，运用点到圆心的距离与圆的半径的大小关系判断点与圆的位置关系． 【变式4-2】已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程的一个根，则点P在（　　） A．的内部 B．的外部 C．上或的内部 D．上或的外部 【答案】A 【分析】先解一元二次方程，得到d值，再比较d与半径8的大小，若，则点P在的外部，若，则点P在的内部，若，则点P在上，即可解答． 【详解】解：解方程可得，，， ∵点P到圆心O的距离d为方程的一个根， ∴， ∴点P在的内部， 故选A 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、解一元二次方程，熟练掌握点与圆的位置关系的判断方法是解答的关键． 【变式4-3】已知点P为平面内一点，若点P到上的点的最长距离为5，最短距离为1，则的半径为　 　 ． 【答案】3或2 【分析】本题应分两种情况进行讨论，当P在圆内，直径长度为，半径为3；当P在圆外，直径长度为，半径为2． 【详解】解：∵当P在圆内，直径长度为，半径为3， 当P在圆外，直径长度为，半径为2， ∴的半径为3或2． 故答案为：3或2． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，在解答此题时要注意分类讨论． 题型五 运用垂径定理求线段的长度 【方法点拨】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧． 【例5】如图，线段是的直径，于点E，若长为16，长为6，则半径是（       ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】连接，由垂径定理可得，由勾股定理计算即可获得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵线段是的直径，于点E，， ∴， ∴在中，可有， ∴半径是10． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了垂径定理及勾股定理等知识，理解并掌握垂径定理是解题关键． 【变式5-1】如图，的半径为5，弦，于点，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由于于点，所以由垂径定理可得，在中，由勾股定理即可得到答案． 【详解】解：在中， ∵， ∴ ∵在中，， ∴由勾股定理可得： 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理的性质，熟练运用垂径定理并结合勾股定理是解答本题的关键． 【变式5-2】如图，中，弦于点C，交于点D，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，． 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 【变式5-3】如图，是的直径，弦于点．若，则的长为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】连接，由勾股定理得，，从而即可得到，最后由计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ， ，弦于点， ， 是的直径， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理的相关概念进行计算是解题的关键． 题型六 垂径定理在格点中的运用 【方法点拨】牢记垂径定理及推论（平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧），根据确定圆的条件正确找到圆心的位置是解题的关键． 【例6】如图所示，一圆弧过方格的格点，试在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，作线段、的垂直平分线，其交点即为圆心，根据点的坐标即可求得答案． 【详解】如图所示，连接，作线段、的垂直平分线，其交点即为圆心．      ∵点的坐标为， ∴该圆弧所在圆的圆心坐标是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系、垂径定理的推论，牢记垂径定理的推论（平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）是解题的关键． 【变式6-1】如图，、，半径为5的⊙A经过M、N，则A点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过A作于B，连接，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，求出，即可得出答案． 【详解】解：过A作于B，连接， ∵过圆心A， ∴， ∵半径为5的与y轴相交于、， ∴，， ∴，， 由勾股定理得：， ∴点A的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，能根据垂径定理求出和是解此题的关键． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】B 【分析】根据图形作线段和的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可． 【详解】解：如图 作线段和的垂直平分线，交于点E，即为弧的圆心， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用． 【变式6-3】如图所示，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过正方形网格的格点A，B，C，已知A点的坐标为(－3，5)，B点的坐标为(1，5)，C点的坐标为(4，2)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为 　 　 ． 【答案】(－1，0) 【分析】根据网格的特点找到的垂直平分线的交点即可求解． 【详解】根据不共线三点确定一个圆，如图，的垂直平分线的交点即为所求，则该圆弧所在圆的圆心坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了不共线三点确定一个圆，求圆心的坐标，掌握确定圆的条件是解题的关键． 题型七 垂径定理的应用 【方法点拨】解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题． 【例7】一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一 个直径为10mm的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm，求这个孔道的直径AB． 【分析】先求出钢珠的半径及OD的长，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出AD的长，进而得出AB的长． 【答案】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D， 则AB＝2AD， ∵钢珠的直径是10mm， ∴钢珠的半径是5mm， ∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm， ∴OD＝3mm， 在Rt△AOD中， ∵AD＝＝＝4mm， ∴AB＝2AD＝2×4＝8mm． 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 【变式7-1】在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆 材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB 为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题． 【分析】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长． 【答案】解：如图所示，连接OC． ∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径， ∴E为CD的中点， 又∵CD＝10寸， ∴CE＝DE＝CD＝5寸， 设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸， 由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2， 即（x﹣1）2+52＝x2， 解得：x＝13， ∴AB＝26寸， 即直径AB的长为26寸． 【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题． 【变式7-2】在直径为1000毫米的圆柱形油罐内装进一些油．其横截面如图．油面宽AB＝600毫米． （1）求油的最大深度； （2）如果再注入一些油后，油面宽变为800毫米，此时油面上升了多少毫米？ 【分析】（1）首先过点O作OF⊥AB于点G，交⊙O于点G，连接OA，由垂径定理即可求得AF的长，然后由勾股定理，求得OF的长，继而求得油的最大深度． （2）分两种情况：根据（1）求得OE＝300mm，可得油面上升EF＝OF﹣OE，可得结论，同理可得当油面在圆心O的上方时，油面上升的高度． 【答案】解：（1）过O作OF⊥AB交AB于F，交圆O于G，连接OA， ∴AF＝AB＝300mm， ∵直径MN＝1000mm ∴OA＝500mm 由勾股定理得，OF＝＝＝400mm， 则GF＝OG﹣OF＝100mm； （2）油面宽变为800毫米时，存在两种情况： 当油面CD在圆心O的下方时，连接OC， ∵OE⊥CD， ∴CE＝400mm，OE＝＝300mm， 则EF＝OG﹣OE﹣FG＝100mm， 同理，当CD在圆心O上方时，可得EF＝700． 答：此时油面上升了100毫米或700毫米． 【点睛】此题考查了垂径定理与勾股定理的应用．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 【变式7-3】如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米． （1）求圆弧所在的圆的半径r的长； （2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？ 【分析】（1）连结OA，利用r表示出OD的长，在Rt△AOD中根据勾股定理求出r的值即可； （2）连结OA′，在Rt△A′EO中，由勾股定理得出A′E的长，进而可得出A′B′的长，据此可得出结论． 【答案】解：（1）连结OA， 由题意得：AD＝AB＝30，OD＝（r﹣18） 在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2， 解得，r＝34； （2）连结OA′， ∵OE＝OP﹣PE＝30， ∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302， 解得：A′E＝16． ∴A′B′＝32． ∵A′B′＝32＞30， ∴不需要采取紧急措施． 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 题型八 圆周角定理及推论 【方法点拨】圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 【例8】如图，点均在上，若，的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：与都对，， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，是解题的关键． 【变式8-1】如图，是的直径，点在上，，则的大小为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据圆周角定理可得，再由平角的定义可得，进行计算即可得到答案． 【详解】解：是的直径，， ， ∵， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键，也考查了平角的定义． 【变式8-2】如图，AD是半圆的直径，点C是弧BD的中点，∠ADC＝55°，则∠BAD等于（　　） A．50° B．55° C．65° D．70° 【分析】连接OB、OC．求出∠BOD即可解决问题． 【答案】解：连接OB，OC， ∵∠ADC＝55°， ∴∠AOC＝2∠ADC＝110°， ∴弧AC＝110°， ∵AD是半圆的直径， ∴弧CD＝70°， ∵D是弧BD的中点， ∴弧BD＝140°， ∴∠BOD＝140°， ∴∠BAD＝∠BOD＝70°， 故选：D． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 【变式8-3】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D， 若∠ABC＝30°，则∠CAD的度数为（　　） A．l00° B．105° C．110° D．120 【分析】利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则利用互余计算出∠BAC＝60°，接着根据角平分线定义得到∠BCD＝45°，从而利用圆周角定理得到∠BAD＝∠BCD＝45°，然后计算∠BAC+∠BAD即可． 【答案】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣30°＝60°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD＝45°， ∵∠BAD＝∠BCD＝45°， ∴∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝60°+45°＝105°． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 题型九 圆内接四边形的综合运用 【方法点拨】圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补,且任意一个角的外角都等于其内对角. 【例9】如图，，为的两条弦，连结，，点为的延长线上一点．若，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在优弧上，取点，连接，，根据圆内接四边形的性质，求出，在根据同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可． 【详解】在优弧上，取点，连接，， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D．    【点睛】本题考查圆的知识，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质，同弧或者等弧对应的圆周角和圆心角的关系． 【变式9-1】如图，是的直径，A、B是上的两点，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是的直径，可得，进而可求出，然后由等弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵ ∴． ∵， ∴． 故选：A 【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【变式9-2】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙O的半径为4，且∠B＝2∠D，连接AC，则线段AC的长为（　　） A．4 B．4 C．6 D．8 【分析】连接OA，OC，利用内接四边形的性质得出∠D＝60°，进而得出∠AOC＝120°，利用含30°的直角三角形的性质解答即可． 【答案】解：连接OA，OC，过O作OE⊥AC， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝2∠D， ∴∠B+∠D＝3∠D＝180°， 解得：∠D＝60°， ∴∠AOC＝120°， 在Rt△AEO中，OA＝4， ∴AE＝2， ∴AC＝4， 故选：B． 【点睛】此题考查内接四边形的性质，关键是利用内接四边形的性质得出∠D＝60°． 【变式9-3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论． 【答案】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°， ∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°． ∵＝，∠BAC＝25°， ∴∠DCE＝∠BAC＝25°， ∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°． 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 题型十 圆内接四边形的综合运用 【方法点拨】n°的圆心角所对的弧长l为：。 【例10】如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的点，若⊙O的半径为3，∠ADB＝30°， 则的长为　 　． 【分析】根据圆周角定理求出∠AOB，得到∠BOC的度数，根据弧长公式计算即可． 【答案】解：由圆周角定理得，∠AOB＝2∠ADB＝60°， ∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°， ∴的长＝＝2π， 故答案为：2π． 【点睛】本题考查的是圆周角定理、弧长的计算，掌握圆周角定理、弧长公式是解题的关键． 【变式10-1】如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，∠ABC的平分线交⊙O于点D．若AB＝6，∠BAC＝30°，则劣弧的长等于　 　． 【分析】根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB＝90°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC，然后根据角平分线的定义求出∠ABD，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的二倍求出∠AOD，然后根据弧长公式列式计算即可得解． 【答案】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠BAC＝30°， ∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°， ∵∠ABC的平分线交⊙O于点D， ∴∠ABD＝∠ABC＝×60°＝30°， ∴∠AOD＝2∠ABD＝2×30°＝60°， ∴劣弧的长＝＝π． 故答案为：π． 【点睛】本题考查了弧长的计算，圆周角定理，直角三角形两锐角互余的性质，比较简单，熟记定理与公式并求出∠AOD的度数是解题的关键． 【变式10-2】如图，△ABC的顶点C在半径为9的⊙O上，∠C＝40°，边AC，BC分 别与⊙O交于D，E两点，则劣弧DE的长度为　 　． 【分析】连接OD、OE，得出∠DOE＝2∠C＝80°，由弧长公式即可得出答案． 【答案】解：连接OD、OE，如图所示： ∵∠C＝40°， ∴∠DOE＝2∠C＝80°， ∵OD＝9， ∴劣弧DE的长＝＝4π． 故答案为：4π． 【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长公式；熟练掌握弧长公式，能够运用圆周角定理求角是解决问题的关键． 【变式10-3】如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，E为BC的中点，AF＝1，以EF为直径的半圆与DE交于点G，则劣弧的长为　 　． 【分析】连接OG，DF，根据勾股定理分别求出DF、EF，证明Rt△DAF≌Rt△FBE，求出∠DFE＝90°，得到∠GOE＝90°，根据弧长公式计算即可． 【答案】解：连接OG，DF， ∵BC＝2，E为BC的中点， ∴BE＝EC＝1， ∵AB＝3，AF＝1， ∴BF＝2， 由勾股定理得，DF＝＝，EF＝＝， ∴DF＝EF， 在Rt△DAF和Rt△FBE中， ， ∴Rt△DAF≌Rt△FBE（HL） ∴∠ADF＝∠BFE， ∵∠ADF+∠AFD＝90°， ∴∠BFE+∠AFD＝90°，即∠DFE＝90°， ∵FD＝FE， ∴∠FED＝45°， ∵OG＝OE， ∴∠GOE＝90°， ∴劣弧的长＝＝π， 故答案为：π． 【点睛】本题考查的是弧长的计算、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握弧长公式是解题的关键． 题型十一 计算扇形的面积 【方法点拨】熟练掌握扇形面积公式是解题的关键并注意割补法求面积的方法运用． 【例11】习近平总书记强调：“青年一代有理想、有本领、有担当，国家就有前途，民族就有希望”．如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据扇形面积公式，求出大扇形和小扇形的面积，最后根据即可求解． 【详解】解：根据题意可得： ∵，，， ∴，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求扇形面积，解题的关键是掌握扇形面积公式． 【变式11-1】一个扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据扇形面积公式（其中n是扇形圆心角，r是半径）进行计算即可． 【详解】解：扇形的面积＝． 故答案为：． 【点睛】此题考查了扇形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 【变式11-2】扇子在我国已经有三、四千年的历史，中国扇文化有丰富的文化底蕴．如图，扇形纸扇完全打开后，弧的长度为，弧的长度为，扇面边缘宽的长为，则扇面的面积为　 　 ．    【答案】 【分析】设扇形的圆心角为，利用弧的长度和弧的长度得到，根据的长求出，，利用扇形面积公式即可得到扇面的面积． 【详解】解：设扇形的圆心角为， 则，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 则扇面的面积为． 故答案为：． 【点睛】此题考查扇形面积公式、弧长公式等知识，求出是解题的关键． 【变式11-3】如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质，利用勾股定理求出的长，可得出是等腰直角三角形，可得，利用扇形面积公式即可得答案． 【详解】∵以点为圆心，长为半径画弧，交边于点， ∴， ∵矩形中，，， ∴，， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的判定、勾股定理及扇形面积的计算，正确得出是等腰直角三角形，熟练掌握扇形面积公式是解题关键． 基础巩固通关测 一、单选题 1．下列说法中，不正确的是（    ） A．过圆心的弦是圆的直径 B．等弧的长度一定相等 C．周长相等的两个圆是等圆 D．直径是弦，半圆不是弧 【答案】D 【分析】对于A，直径是通过圆心且两个端点都在圆上的线段，即可进行判断; 对于B，能重合的弧叫等弧，即可进行判断; 对于C和D，分别根据等圆，直径，半圆的知识，也可进行判断. 【详解】A.直径是通过圆心且两个端点都在圆上的线段，故正确 B.能重合的弧叫等弧，长度相等，故正确 C.周长相等的圆其半径也相等，为等圆，故正确 D.直径是弦，半圆是弧，故错误 故选：D 【点睛】本题考查圆的认识，解题的关键是掌握弦，弧等知识，灵活运用所学知识解决问题 2．在同一平面内，点P到圆上的最大距离为5，最小距离为1，则此圆的半径为（    ） A．3 B．4或6 C．2或3 D．6 【答案】C 【分析】点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径=最小距离+最大距离；②当点在圆外时，直径=最大距离-最小距离． 【详解】解：分为两种情况： ①当点在圆内时，如图1， 点到圆上的最小距离，最大距离， 直径, 半径 ②当点在圆外时，如图2， 点到圆上的最小距离，最大距离， 直径, 半径 故选：C 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键 3．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，，OC＝OD，则∠ABD的度数为（　　） A．90° B．95° C．100° D．105° 【答案】D 【分析】连接OB，即得出OB＝OD，从而得出∠OBD＝∠ODB．根据含30度角的直角三角形的性质结合题意可判断∠OBC＝30°，再利用平行线的性质可得出∠BOD＝∠OBC＝30°，从而根据三角形内角和求出∠OBD＝∠ODB＝75°，最后由∠ABD＝∠OBC+∠OBD求解即可． 【详解】如图：连接OB， ∴OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB． ∵OC＝OD， ∴OC＝OB． ∵OC⊥AB， ∴, ∴∠OBC＝30°． ∵， ∴∠BOD＝∠OBC＝30°， ∴∠OBD＝∠ODB＝75°， ∴∠ABD＝∠OBC+∠OBD=30°+75°＝105°． 故选D． 【点睛】本题考查圆的基本性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理的应用．连接常用的辅助线是解题关键． 4．如图，点A，B，C，E在上，于点D，，，则的长为（　　）    A． B． C． D．π 【答案】B 【分析】连接，则，根据垂径定理得到，由圆周角定理得到，根据弧长公式计算出的长，即可得到的长． 【详解】解：连接，则，    ∵于点D， ∴， ∵， ∴， ∴的长为， ∴的长为． 故选：B． 【点睛】此题考查了垂径定理、圆周角定理、弧长公式等知识，熟练掌握垂径定理、圆周角定理是解题的关键． 5．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（ED＝2寸），锯道长8寸”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径AC是（　　） A．5寸 B．8寸 C．10寸 D．12寸 【答案】C 【分析】设⊙O的半径为r,在Rt△AEO中,AE=4,OE=r-2,OA=r,则有r2=42+（r-2）2,解方程即可． 【详解】设⊙O的半径为r, 在Rt△AEO中,AE＝4,OE＝r﹣2,OA＝r, 则有r2＝42+（r﹣2）2, 解得r＝5, ∴⊙O的直径为10寸, 故选C． 【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理等知识,解决本题的关键是学会利用利用勾股定理构造方程进行求解. 二、填空题 6．如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有　 　条． 【答案】三##3 【分析】根据弦的定义（连接圆上任意两点的线段叫做弦）进行分析，即可得出结论． 【详解】解：根据弦的定义可得： 图中的弦有AB，BC，CE共三条， 故答案为：三． 【点睛】本题考查了弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦，充分理解其定义是解题关键． 7．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠A=80°，∠C=60°，则∠B的大小为　 　． 【答案】140° 【分析】连接OB，可得∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，进而即可求解． 【详解】连接OB， ∵OA=OB=OC， ∴∠A=∠ABO=80°，∠C=∠CBO=60°， ∴∠ABC =∠ABO+∠CBO=140°， 故答案是：140°． 【点睛】本题主要考查圆的性质，等腰三角形的性质，掌握圆的性质，是解题的关键． 8． 往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽，则水的最大深度为 　 　． 【答案】16 【分析】作点O作交AB于点D，交圆O于点C，连接OA，利用垂径定理得出，然后利用勾股定理求出OD的长度，最后利用即可求解． 【详解】如图，作点O作交AB于点D，交圆O于点C，连接OA， ∵，， ∴， ∵直径为52cm， ∴， ， ， 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 9.在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为　 　 ．（结果保留π）    【答案】 【分析】根据题意，点B所经过的路径是圆弧，根据直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半，易知AB=4，结合旋转的性质可知∠BAB′＝∠BAC＝60°，，最后求出圆弧的长度即可． 【详解】∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2， ∴AB＝2AC＝4，∠BAC＝60°， 由旋转的性质得，∠BAB′＝∠BAC＝60°， ∴B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半，旋转的性质，以及圆弧的求法，熟练地掌握相关内容是解题的关键． 10.如图，以量角器的直径为斜边画直角三角形，量角器上点对应的读数是，则的度数为　 　 【答案】 【分析】根据题意，确定在同一个圆上，根据量角器量角及圆周角定理即可得到． 【详解】解：令圆心为，连接，如图所示： 以量角器的直径为斜边画直角三角形， 在上， 量角器上点对应的读数是， ， ， ， ， 【点睛】本题考查圆周角定理，读懂题意，掌握量角器量角的方法及圆周角定理求解是解决问题的关键． 三 解答题 11.如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．    (1)用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法） (2)设是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作两弦的垂直平分线，其交点即为圆心O； （2）构建直角，利用勾股定理列方程可得结论． 【详解】（1）解：作法：分别作和的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心；    （2）连接、，交于E， ∵， ∴， ∴， 在中，， 设的半径为R，在中， ∴， 即， ∴， 答：圆片的半径R为． 【点睛】本题综合考查了垂径定理，勾股定理、线段垂直平分线的尺规作图等知识点，要注意作图和解题中垂径定理的应用． 12.在直径为1000毫米的圆柱形油罐内装进一些油．其横截面如图．油面宽AB＝600毫米． （1）求油的最大深度； （2）如果再注入一些油后，油面宽变为800毫米，此时油面上升了多少毫米？ 【分析】（1）首先过点O作OF⊥AB于点G，交⊙O于点G，连接OA，由垂径定理即可求得AF的长，然后由勾股定理，求得OF的长，继而求得油的最大深度． （2）分两种情况：根据（1）求得OE＝300mm，可得油面上升EF＝OF﹣OE，可得结论，同理可得当油面在圆心O的上方时，油面上升的高度． 【答案】解：（1）过O作OF⊥AB交AB于F，交圆O于G，连接OA， ∴AF＝AB＝300mm， ∵直径MN＝1000mm ∴OA＝500mm 由勾股定理得，OF＝＝＝400mm， 则GF＝OG﹣OF＝100mm； （2）油面宽变为800毫米时，存在两种情况： 当油面CD在圆心O的下方时，连接OC， ∵OE⊥CD， ∴CE＝400mm，OE＝＝300mm， 则EF＝OG﹣OE﹣FG＝100mm， 同理，当CD在圆心O上方时，可得EF＝700． 答：此时油面上升了100毫米或700毫米． 【点睛】此题考查了垂径定理与勾股定理的应用．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 13．在平面直角坐标系中，的位置如图所示．（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）    (1)画出关于原点对称的； (2)将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的，并求出此过程中线段扫过的区域的面积．（结果保留） 【答案】(1)见详解 (2)见详解， 【分析】（1）分别作出点关于原点对称的对称点，再顺次连接可得； （2）分别作出点绕点逆时针旋转得到的对应点，再顺次连接可得；利用扇形面积公式列式计算可得答案． 【详解】（1）解：如下图，即为所求；    （2）如图，即为所求， 由图可知，， 则线段扫过的区域的面积为． 【点睛】本题主要考查了作图﹣中心对称变换和旋转变换、勾股定理以及扇形面积公式等知识，解题的关键是根据中心对称和旋转的性质作出变换后的对应点． 14．如图，在⊙O中，AB、DE为⊙O的直径，C是⊙O上一点，且=． （1）BE与CE有什么数量关系？为什么？ （2）若∠BOE=60°，则四边形OACE是什么特殊的四边形？请说明理由． 【答案】（1）BE=CE，证明见解析；（2）四边形OACE是菱形，证明见解析； 【分析】（1）根据对顶角相等得到∠AOD=∠BOE，再根据圆心角、弧、弦的关系得 ，加上 ，所以，于是有BE=CE； （2）连结OC可得△COE和△AOC是等边三角形，可得四边形OACE的四条边都相等，再根据菱形的判定即可求解． 【详解】（1）∵AB、DE是⊙O的直径， ∴∠AOD=∠BOE， ∴， ∵， ∴， ∴BE=CE． （2）连结OC， ∵∠BOE=60°，BE=CE， ∴∠COE=60°， ∵OC=OE， ∴△COE是等边三角形， ∵∠AOC=180°﹣60°﹣60°=60°，OA=OC， ∴△AOC是等边三角形， ∴OE=CE=OA=AC=OC， ∴四边形OACE是菱形． 【点睛】考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 15．如图，是的外角的角平分线，与的外接圆交于点D，． (1)求所对圆心角的度数； (2)连，求证：； (3)探究线段之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）先由邻补角的定义可得，再由同弧所对的圆周角相等可推出，最后利用圆周角定理即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，得出是等边三角形，即可得证； （3）延长至，使，连接，证明，继而得出是等边三角形，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴所对圆心角； （2）证明：∵是的外角的角平分线，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴； （3），证明：如图，延长至，使，连接， ∵四边形是圆内四边形， ∴, ∵， ∴, 由（2）知是等边三角形， ∴， ∴， ∴，, ∴是等边三角形， ∴, 即． 【点睛】本题考查了圆周角定理，内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键． 能力提升进阶练 一、单选题 1．如图，已知是⊙的内接三角形，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同弧所对圆周角是圆心角的一半，等边对等角以及三角形内角和定理即可得解． 【详解】解：∵OA=OB，∠ABO＝40°， ∴∠BAO=∠ABO=40°（等边对等角）． ∴∠AOB=100°（三角形内角和定理）． ∴∠ACB=50°（同弧所对圆周角是圆心角的一半）． 故选D． 【点睛】本题考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半是解题关键． 2.直角坐标系中，已知点，的半径是5，若点在外，则的范围是　　 A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据两点间的距离公式与点在外得到关于的不等式，解不等式即可求得结论． 【详解】解：两点间的距离公式为； 由题意得，则， 即， ， 或， 故选． 【点睛】本题主要考查了两点间的距离公式，点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置与半径的关系是解题的关键． 3．如图，是的外角平分线，与的外接圆交于点D，连接交于点F，且，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据圆内接四边形对角互补推出，再由角平分线的定义得到，即可得到，则，再由得到，即可证明，再，即可证明即可判断A；再根据圆周角定理和等量代换把B、C、D三个选项中的角度用表示出来，结合三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，故A不符合题意； ∵ ∴ ，故C不符合题意； ∵，， ∴ ，故D不符合题意； ∵， ∴ ， 根据现有条件无法证明， ∴无法证明，故B符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，圆内接四边形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． 4．在圆内接四边形ABCD中，∠BAD、∠ADC的角平分线交于点E，过E作直线MN平行于BC，与AB、CD交于M、N，则总有MN＝(   ) A．BM+DN B．AM+CN C．BM+CN D．AM+DN 【答案】D 【分析】在NM上截取NF＝ND，连接DF，AF，由A，B，C，D四点共圆，得出∠ADC+∠B＝180°，由MNBC，得出∠AMN+∠ADN＝180°，可得到A，D，N，M四点共圆，可得∠MND+∠MAD＝180°再由AE，DE分别平分∠BAD，∠CDA，A，F，E，D四点共圆，由∠MAF＝180°﹣∠DAF﹣∠MND＝180°﹣∠DEN﹣∠MND＝∠EDN＝∠ADE＝∠AFM，可得出MA＝MF，即得出MN＝MF+NF＝MA+ND． 【详解】解：如图，在NM上截取NF＝ND，连接DF，AF ∴∠NFD＝∠NDF， ∵A，B，C，D四点共圆， ∴∠ADC+∠B＝180°， ∵MNBC， ∴∠AMN＝∠B， ∴∠AMN+∠ADN＝180°， ∴A，D，N，M四点共圆， ∴∠MND+∠MAD＝180°， ∵AE，DE分别平分∠BAD，∠CDA， ∴∠END+2∠DFN＝∠END+2∠DAE＝180°， ∴∠DFN＝∠DAE， ∴A，F，E，D四点共圆， ∴∠DEN＝∠DAF，∠AFM＝∠ADE， ∵∠MND+∠MAD＝180°， ∴∠MAF+∠DAF+∠MND＝180° ∴∠MAF＝180°﹣∠DAF﹣∠MND ＝180°﹣∠DEN﹣∠MND ＝∠EDN＝∠ADE ＝∠AFM， ∴MA＝MF， ∴MN＝MF+NF＝MA+ND． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了四点共圆，解题的关键是正确作出辅助线，利用四点共圆求解． 5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，∠BCD＝120°，E、F分别为BC、CD上一点，∠EAF＝30°，EF＝3，DF＝1．则BE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】延长CB到H，使BH=DF=1，连接AH，则可证得△ABH≌△ADF，从而AH=AF，∠BAH=∠DAF，易证△AHE≌△AFE，可得HE=EF=3，则可求得BE的长． 【详解】延长CB到H，使BH=DF=1，连接AH，如图 ∵四边形ABCD内接于⊙O ∴∠ABC+∠ADC=180゜ ∵∠ABH+∠ABC=180゜ ∴∠ABH=∠ADF 在△ABH和△ADF中 ∴△ABH≌△ADF ∴AH=AF，∠BAH=∠DAF ∵∠BAD+∠BCD=180゜，∠BCD=120゜ ∴∠BAD=180゜-∠BCD=60゜ ∵∠EAF=30゜ ∴∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=30゜ ∴∠EAH=∠BAE+∠BAH=30゜ 在△AHE和△AFE中 ∴△AHE≌△AFE ∴HE=EF=3 ∴BE=HE-BH=3-1=2 故选：B 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，构造辅助线得到全等三角形的问题的关键与难点． 二、填空题 6．“斐波那契螺旋线”（也称“黄金螺旋”）是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，人类耳朵的形状也符合这种螺旋形状，这种形状的构造帮助人类可以更好地接收声波，从而增强听觉．现依次取边长为1，1，2，3，5……的正方形按如图所示方式拼接，分别以每个正方形的一个顶点为圆心，边长为半径作圆弧，连接形成的螺旋曲线即为“斐波那契螺旋线”．那么前五个正方形内形成的曲线的长度是　 　 ．    【答案】 【分析】观察图形可知，螺旋曲线的每一段都是以正方形的边长为半径的圆弧构成，计算出每个正方形的边长，再根据圆的周长公式即可求解． 【详解】解：由图可知，正方形的边长依次为：1，1，2，3，5……，螺旋曲线的每一段都是以正方形的边长为半径的圆弧构成， 故前五个正方形内形成的曲线的长度是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查弧长的计算，解题的关键是观察图形得出每一段圆弧对应的正方形的边长． 7． 如图，在中，AB是的弦，的半径为3cm，C为上一点，，则AB的长为 　 　cm． 【答案】 【分析】连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理和圆周角定理可得，，再根据等腰三角形的性质可得，利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 8．如图，是的直径，点A是外一点，连接并延长交于点D，若，则 　 　 ． 【答案】 【分析】如图，连接、，由圆周角定理可得，再结合可得，进而得到；再根据圆的内接四边形的性质可得，进而得到，最后根据圆周角定理即可解答． 【详解】解：如图，连接，， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质等知识点，掌握圆的内接四边形的对角互补是解答本题的关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，，点在以为圆心，2为半径的圆上运动，且始终满足，则的最小值是 　 　 ． 【答案】## 【分析】根据点A、B、C的坐标，可知点A是的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半解得的长，再由勾股定理解得的长，最后由点与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：连接， 由题意，得：，， ∴， ∵， ∴， 要最小，就是点A到上的一点的距离最小， ∴P在上， ∵，， ∴， ∴t的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，其中涉及坐标与图形的性质、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 10.（2023秋·广东江门·九年级校考期末）如图，正方形中，，以B为圆心，为半径画圆，点P是上一个动点，连接，并将绕点A逆时针旋转至，连接，在点P移动的过程中，长度的取值范围是 　 　 ． 【答案】 【分析】通过画图发现，点的运动路线为以D为圆心，以为半径的圆，可知：当在对角线上时，最小；当在对角线的延长线上时，最大．先证明，则，再利用勾股定理求对角线的长，则得出的长度的取值范围． 【详解】解：如图，当在对角线上时，最小；当在对角线的延长线上时，最大． 连接， ①当在对角线上时， 由旋转得：，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， 由勾股定理得：， ∴， 即长度的最小值为． ②当在对角线的延长线上时， 同理可得， ∴， 即长度的最大值为． ∴长度的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、点与圆的位置关系和最值问题，寻找点的运动轨迹是本题的关键． 三.解答题 11．如图，以的边为直径作交于且，交于点．    (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由四边形内接于，得出，根据已知，得出，又，得出，等量代换得出，根据等角对等边，即可得证； （2）根据为直径，得出，根据已知以及（1）的结论，得出，，设，则，在，中，根据相等，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形内接于， ， 又 ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接，   ， ∵为直径， ∴， ，， 由（1），， ， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得，， 则， ∴， 设，则， ， ， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 12．如图，在中，，点D，E在上，．过A，D，E三点作，连接并延长，交于点F．    (1)求证； (2)若，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）连接，证明，推出，可得，再根据垂径定理的推论可得结论； （2）根据等腰三角形的性质和勾股定理依次求出，，连接，设，根据勾股定理构建方程求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴；    （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 连接，设， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的半径长为5． 【点睛】本题考查了垂径定理，弧、弦的关系，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键． 13．如图，都是的半径，．      (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由圆周角定理得出，，再根据，即可得出结论； （2）过点作半径于点，根据垂径定理得出，证明，得出，在中根据勾股定理得出，在中，根据勾股定理得出，求出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ， ． （2）解：过点作半径于点，则， ， ∴， ， ， ， 在中， ， 在中，， ， ，即的半径是．      【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握圆周角定理． 14．已知的直径，弦与弦交于点E．且，垂足为点F． （1）如图1，如果，求弦的长； （2）如图2，如果E为弦的中点，求 【答案】（1）；（2） 【分析】(1) 连接OC，由垂径定理、等弦得到等弧，根据同圆中弧与圆心角的关系可求出∠，通过解直角三角形求出，利用垂径定理求出； (2) 连接BC，根据AB为直径，得到，再得到，证明，求得是的中位线，设，则根据，求出的值，由勾股定理求出的值，再求出的值，即可求解． 【详解】如图 ，连接OC， 又， 即， ， 则； 如图2，连接， 为直径， ， ， ， 又 是的中位线， 设， 则 解得：， 则 【点睛】本题考查了垂径定理，弧，弦，圆心角定理，以及勾股定理，还考查了全等三角形的判定和性质，中位线定理，熟悉并灵活运用以上性质定理是解题的关键． 15 .（2023秋·北京海淀·九年级北京交通大学附属中学校考期末） 对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P给出如下定义：Q为图形M上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的2倍，则称点P为图形M的“二分点”． 已知点N（3，0），A（1，0），B（0，），C（，﹣1）． (1)①在点A，B，C中，线段ON的“二分点”是 　 　； ②点D（a，0），若点C为线段OD的“二分点”，求a的取值范围； (2)以点O为圆心，r为半径画圆，若线段AN上存在⊙O的“二分点”，直接写出r的取值范围． 【答案】(1)①B、C；②或≤a≤2； (2)≤r≤1或3≤r≤9． 【分析】（1）①计算每个点到ON的最大和最小值，可推断出结果； ②分为当最小值是1，和最大值是2两种情形； （2）当AN上的点在圆外和外内两种情形； 【详解】（1）解：①如图1， ∵点A到ON的最大距离是2，到ON的最小距离是0， ∴点A不是ON的二分点， ∵OB=，BN=2， ∴BN=2OB， ∴B点是ON的二分点， ∵CD=1，OC=2， ∴点C是ON的二分点， 故答案是：B、C； ②如图2， 当OC=2是最小值时，最大值是OD=4， ∴， ∴（舍去），， 当最小值是1时，a≥， 最大值是2时， ∵OC=2， ∴a≤2， ∴≤a≤2， 综上所述：a=−或≤a≤2； （2）解：如图3， 当点A在⊙O外时，设点M在AN上，M（x，0），（1≤x≤3）， 假设M是⊙O的二分点， ∴x+r=2（x-r）， ∴x=3r， ∴1≤3r≤3， ∴≤r≤1； 如图4， 点M在⊙O内， ∴x+r=2（r-x）， ∴x=， ∴1≤≤3， ∴3≤r≤9， 综上所述：≤r≤1或3≤r≤9． 【点睛】本题考查了点到线段（上的点）的距离，及点到圆最值问题，解决问题的关键是分为点在圆外和圆内两种情形讨论． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 圆（上）（复习讲义） 1.了解圆的概念和点与圆的三种位置关系，理解确定圆的条件并能掌握弧长与扇形面积的计算公式; ①了解圆心、半径、弦、弧、等弧的概念；②了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法;③会弧长公式及扇形面积的推导与运用 2．理解圆是轴对称图形和中心对称图形，掌握垂径定理和等对等定理并灵活运用定理进行证明及计算. ①在知识上通过了解圆的对称性掌握垂径定理和等对等定理，②在能力上要学会从表象中抽象出本质规律，提高逻辑思维能力与推理能力。 3．了解圆心角、圆周角的概念，掌握圆周角的性质和直径所对圆周角的特征;能灵活运用圆周角的性质解决问题; ①通过对比圆周角与圆心角的的区别与联系，进一步理解圆心角、圆周角、所对弧的度数关系， ②通过探索圆周角度数定理的过程，理解分类讨论的必要性，渗透由特殊到一般转化的思想方法. 4. 了解三角形外接圆和圆内接四边形的概念，熟练运用圆内接四边形的性质解决问题。 ①三角形的外接圆有且只有一个，外接圆的圆心为三角形的外心;②圆内接四边形的对角互补 知识点01：圆的定义及性质 圆的定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形 成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径． 圆的表示方法：以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 圆的特点：在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形． 确定圆的条件：1）圆心；2）半径． 备注：圆心确定圆的位置，半径长度确定圆的大小． 【补充】 1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 3）半径相等的圆叫做等圆． 圆的对称性： 1）圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴； 2）圆是以圆心为对称中心的中心对称图形． 知识点02：圆的有关概念 弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦（例如：图中的AB）． 直径的概念：经过圆心的弦叫做直径（例如：图中的CD）． 备注：1）直径是同一圆中最长的弦．2）直径长度等于半径长度的2倍． 弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以．为端点的弧记作，读作圆弧AB或弧AB． 等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 半圆的概念：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 优弧的概念：在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧． 劣弧的概念：小于半圆的弧叫做劣弧． 知识点03   垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等． 常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 知识点04  圆心角的概念 及性质 圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心． 弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 知识点05 圆周角的概念及性质 圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（即：圆周角=圆心角） 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等． 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等． 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 知识点06 圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角． 即：在⊙中，∵四边是内接四边形， ∴ ． ． 知识点07 点与圆的位置关系 设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： d<r点P在⊙O内； d=r点P在⊙O上； d>r点P在⊙O外． 知识点08  过三点的圆 1．过三点的圆 不在同一直线上的三个点确定一个圆． 2．三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆． 3．三角形的外心 三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心． 知识点09扇形的弧长和面积计算 扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 注意：　 （1）对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； （2）公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； （3）弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. （4）对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即； （5）在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 题型一 圆的有关概念辨析 方法点拨：理解圆的有关概念，熟练掌握弦、等圆、等弧的定义是解题的关键． 【例1】已知线段的中点为，动点满足，则点的轨迹是（    ） A．以为直径的圆 B．的延长线 C．的垂直平分线 D．平行的直线 【变式1-1】下列说法中，不正确的是（    ） A．直径是最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等 C．长度相等的弧是等弧 D．圆既是轴对称图形又是中心对称 【变式1-2】下列说法中正确的有　 　 （填序号）． （1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧． 【变式1-3】一个长方形的长是4厘米，宽是2厘米，在长方形内画一个最大的圆，其直径等于　 　 ． 题型二 圆的相关概念应用 【方法点拨】解决此类问题的关键是圆中的半径所构成等腰三角形的灵活应用. 【例1】如图，⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E，且CE＝OB， 已知∠DOB＝72°，则∠E等于（　　） A．36° B．30° C．18° D．24° 【变式1-1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以C为圆心，CB为半径的 圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD＝（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 【变式1-2】如图，半圆O是一个量角器，△AOB为一纸片，AB交半圆于点D， OB交半圆于点C，若点C、D、A在量角器上对应读数分别为45°，70°，160°，则∠B的度数为（　　） A．20° B．30° C．45° D．60° 【变式1-3】如图，A，B，C是⊙O上的三点，AB，AC的圆心O的两侧，若∠ABO ＝20°，∠ACO＝30°，则∠BOC的度数为（　　） A．100° B．110° C．125° D．130° 题型三  确定圆的条件 【方法点拨】不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 【例3】已知M（1，2），N（3，﹣3），P（x，y）三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（    ） A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（1，2） D．（1，﹣2） 【变式3-1】给定下列条件可以确定唯一的一个圆的是（    ） A．已知圆心 B．已知半径 C．已知直径 D．不在同一直线上的三个点 【变式3-2】如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式3-3】已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出(    )． A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆 题型四 点与圆的位置关系 【方法点拨】 解题的关键是掌握点与圆的三种位置关系，如设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内． 【例4】如图，在中，，，，点D在边上，，以点D为圆心作，其半径长为r，要使点A恰在外，点B在内，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】若的半径为，圆心O为坐标系的原点，点P的坐标是，点P在 　 　 ． 【变式4-2】已知⊙O的半径是8，点P到圆心O的距离d为方程的一个根，则点P在（　　） A．的内部 B．的外部 C．上或的内部 D．上或的外部 【变式4-3】已知点P为平面内一点，若点P到上的点的最长距离为5，最短距离为1，则的半径为　 　 ． 题型五 运用垂径定理求线段的长度 【方法点拨】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧． 【例5】如图，线段是的直径，于点E，若长为16，长为6，则半径是（       ） A．5 B．6 C．8 D．10 【变式5-1】如图，的半径为5，弦，于点，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-2】如图，中，弦于点C，交于点D，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式5-3】如图，是的直径，弦于点．若，则的长为（　　） A． B． C．1 D．2 题型六 垂径定理在格点中的运用 【方法点拨】牢记垂径定理及推论（平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧），根据确定圆的条件正确找到圆心的位置是解题的关键． 【例6】如图所示，一圆弧过方格的格点，试在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是（　　）    A． B． C． D． 【变式6-1】如图，、，半径为5的⊙A经过M、N，则A点坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【变式6-3】如图所示，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过正方形网格的格点A，B，C，已知A点的坐标为(－3，5)，B点的坐标为(1，5)，C点的坐标为(4，2)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为 　 　 ． 题型七 垂径定理的应用 【方法点拨】解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题． 【例7】一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一 个直径为10mm的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm，求这个孔道的直径AB． 【变式7-1】在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆 材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB 为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题． 【变式7-2】在直径为1000毫米的圆柱形油罐内装进一些油．其横截面如图．油面宽AB＝600毫米． （1）求油的最大深度； （2）如果再注入一些油后，油面宽变为800毫米，此时油面上升了多少毫米？ 【变式7-3】如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米． （1）求圆弧所在的圆的半径r的长； （2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？ 题型八 圆周角定理及推论 【方法点拨】圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 【例8】如图，点均在上，若，的度数是（　　）    A． B． C． D． 【变式8-1】如图，是的直径，点在上，，则的大小为（　　）    A． B． C． D． 【变式8-2】如图，AD是半圆的直径，点C是弧BD的中点，∠ADC＝55°，则∠BAD等于（　　） A．50° B．55° C．65° D．70° 【变式8-3】如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D， 若∠ABC＝30°，则∠CAD的度数为（　　） A．l00° B．105° C．110° D．120 题型九 圆内接四边形的综合运用 【方法点拨】圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补,且任意一个角的外角都等于其内对角. 【例9】如图，，为的两条弦，连结，，点为的延长线上一点．若，则为（    ）    A． B． C． D． 【变式9-1】如图，是的直径，A、B是上的两点，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【变式9-2】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙O的半径为4，且∠B＝2∠D，连接AC，则线段AC的长为（　　） A．4 B．4 C．6 D．8 【变式9-3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 题型十 圆内接四边形的综合运用 【方法点拨】n°的圆心角所对的弧长l为：。 【例10】如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的点，若⊙O的半径为3，∠ADB＝30°， 则的长为　 　． 【变式10-1】如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，∠ABC的平分线交⊙O于点D．若AB＝6，∠BAC＝30°，则劣弧的长等于　 　． 【变式10-2】如图，△ABC的顶点C在半径为9的⊙O上，∠C＝40°，边AC，BC分 别与⊙O交于D，E两点，则劣弧DE的长度为　 　． 【变式10-3】如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，E为BC的中点，AF＝1，以EF为直径的半圆与DE交于点G，则劣弧的长为　 　． 题型十一 计算扇形的面积 【方法点拨】熟练掌握扇形面积公式是解题的关键并注意割补法求面积的方法运用． 【例11】习近平总书记强调：“青年一代有理想、有本领、有担当，国家就有前途，民族就有希望”．如图①是一块弘扬“新时代青年励志奋斗”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图②所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式11-1】一个扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的面积为 ． 【变式11-2】扇子在我国已经有三、四千年的历史，中国扇文化有丰富的文化底蕴．如图，扇形纸扇完全打开后，弧的长度为，弧的长度为，扇面边缘宽的长为，则扇面的面积为　 　 ．    【变式11-3】如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 基础巩固通关测 一、单选题 1．下列说法中，不正确的是（    ） A．过圆心的弦是圆的直径 B．等弧的长度一定相等 C．周长相等的两个圆是等圆 D．直径是弦，半圆不是弧 2．在同一平面内，点P到圆上的最大距离为5，最小距离为1，则此圆的半径为（    ） A．3 B．4或6 C．2或3 D．6 3．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，，OC＝OD，则∠ABD的度数为（　　） A．90° B．95° C．100° D．105° 4．如图，点A，B，C，E在上，于点D，，，则的长为（　　）    A． B． C． D．π 5．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（ED＝2寸），锯道长8寸”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径AC是（　　） A．5寸 B．8寸 C．10寸 D．12寸 二、填空题 6．如图，⊙O 中，点 A、O、D 以及点 B、O、C 分别在一条直线上，图中弦的条数有　 　条． 7．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠A=80°，∠C=60°，则∠B的大小为　 　． 8． 往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽，则水的最大深度为 　 　． 9.在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车．如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，以此方法做下去……则B点通过一次旋转至B′所经过的路径长为　 　 ．（结果保留π）    10.如图，以量角器的直径为斜边画直角三角形，量角器上点对应的读数是，则的度数为　 　 三 解答题 11.如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．    (1)用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法） (2)设是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R． 12.在直径为1000毫米的圆柱形油罐内装进一些油．其横截面如图．油面宽AB＝600毫米． （1）求油的最大深度； （2）如果再注入一些油后，油面宽变为800毫米，此时油面上升了多少毫米？ 13．在平面直角坐标系中，的位置如图所示．（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）    (1)画出关于原点对称的； (2)将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的，并求出此过程中线段扫过的区域的面积．（结果保留） 14．如图，在⊙O中，AB、DE为⊙O的直径，C是⊙O上一点，且=． （1）BE与CE有什么数量关系？为什么？ （2）若∠BOE=60°，则四边形OACE是什么特殊的四边形？请说明理由． 15．如图，是的外角的角平分线，与的外接圆交于点D，． (1)求所对圆心角的度数； (2)连，求证：； (3)探究线段之间的数量关系，并证明你的结论． 能力提升进阶练 一、单选题 1．如图，已知是⊙的内接三角形，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2.直角坐标系中，已知点，的半径是5，若点在外，则的范围是　　 A． B．或 C． D． 3．如图，是的外角平分线，与的外接圆交于点D，连接交于点F，且，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 4．在圆内接四边形ABCD中，∠BAD、∠ADC的角平分线交于点E，过E作直线MN平行于BC，与AB、CD交于M、N，则总有MN＝(   ) A．BM+DN B．AM+CN C．BM+CN D．AM+DN 5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，∠BCD＝120°，E、F分别为BC、CD上一点，∠EAF＝30°，EF＝3，DF＝1．则BE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 6．“斐波那契螺旋线”（也称“黄金螺旋”）是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，人类耳朵的形状也符合这种螺旋形状，这种形状的构造帮助人类可以更好地接收声波，从而增强听觉．现依次取边长为1，1，2，3，5……的正方形按如图所示方式拼接，分别以每个正方形的一个顶点为圆心，边长为半径作圆弧，连接形成的螺旋曲线即为“斐波那契螺旋线”．那么前五个正方形内形成的曲线的长度是　 　 ．    7． 如图，在中，AB是的弦，的半径为3cm，C为上一点，，则AB的长为 　 　cm． 8．如图，是的直径，点A是外一点，连接并延长交于点D，若，则 　 　 ． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，，点在以为圆心，2为半径的圆上运动，且始终满足，则的最小值是 　 　 ． 10.（2023秋·广东江门·九年级校考期末）如图，正方形中，，以B为圆心，为半径画圆，点P是上一个动点，连接，并将绕点A逆时针旋转至，连接，在点P移动的过程中，长度的取值范围是 　 　 ． 三.解答题 11．如图，以的边为直径作交于且，交于点．    (1)求证：； (2)若，，求的长度． 12．如图，在中，，点D，E在上，．过A，D，E三点作，连接并延长，交于点F．    (1)求证； (2)若，求的半径长． 13．如图，都是的半径，．      (1)求证：； (2)若，求的半径． 14．已知的直径，弦与弦交于点E．且，垂足为点F． （1）如图1，如果，求弦的长； （2）如图2，如果E为弦的中点，求 15 .（2023秋·北京海淀·九年级北京交通大学附属中学校考期末） 对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P给出如下定义：Q为图形M上任意一点，若P，Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的2倍，则称点P为图形M的“二分点”． 已知点N（3，0），A（1，0），B（0，），C（，﹣1）． (1)①在点A，B，C中，线段ON的“二分点”是 　 　； ②点D（a，0），若点C为线段OD的“二分点”，求a的取值范围； (2)以点O为圆心，r为半径画圆，若线段AN上存在⊙O的“二分点”，直接写出r的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $