第7章 图形与坐标 本章综合提升+综合与实践5 如何铺设太阳能光伏板-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（青岛版2024）

本章综合提升 【本章知识归纳】 垂直原点向右向上十十 十 一一十 一纵横(-x,y)(x,一y) 【思想方法归纳】 【例1】解：如图所示，长方形AB1C1D1,AB1C2D2,AB2C3D1, AB2C4D2均符合题意，所以点C的坐标为(3，一4)或(3,8)或 (-5,-4)或(-5,8). C4(-5,8) D ↑y C3.8) 6 3 1 -6-1-4-3-2-01234567x C3(-5,-4) D:5 C(3,-4) -6 【变式训练1】(5,0)(8,3) 【例2】C 【变式训练2】(4,2)或(-2,2) 【例3】解：(1)A(-4,5),B(-4,-7),C(3,-3),D(6,2) (2)如图所示，过点C作CE⊥AB于点E,过点D作DF⊥AB 于点F. 714 454-32-1012356 6 B 8 所以四边形ABCD的面积=2×3X10+2×(10+7)×5十 「7×4×7=15+42.5+14=71.5。 【变式训练3】解：如图所示， B -H S△MBc=S长方形DBCF-S△ABD-S△BCE-S△AC=3X4-X1X 2-号×2x3-日 ×2X4=4. 【通模拟】 1.D2.A3.C4.(6,2) 5.北偏东40°，47海里 6.-27.(2,0)8.(6,5)或(-5，-6) 9.解：(1)因为点A,B关于x轴对称，根据关于x轴对称的点， 横坐标相同，纵坐标互为相反数可得2-6=26-1， l5+a=-(-a+b), 解得一8， 6=-5, 所以a=-8,b=-5. (2)因为点A,B关于y轴对称，根据“关于y轴对称的点，纵 坐标相同，横坐标互为相反数”可得 12a-b=-(2b-1), l5+a=-a+b, a=-1, b=3, 所以a=-1,b=3. 10.解：(1)如图所示，三角形ABC即为所求作. yt -k-4- --}-}----}-}--}-}- -- 1 (2)△ABC的面积=2X3X4=6. (3)因为A(-1,0),B(-1,-3), 所以AB=3. 设点P的坐标为(x,0) 所以AP=|x+1|, 由(2)可知，S△ABc=6, 所以合AB·AP=号×3x+1=6, 所以|x+1|=4, 所以x=3或x=一5， 所以点P的坐标为(3,0)或（一5,0）. 11.解：(1)建立平面直角坐标系如图所示 (2)体育馆C(1,一3)，食堂D(2,0)如图所示 《3)四边形ABCD的面积=4义5-7 ×3×3-2×2X3- 2X1X3-1 ×1×2=10. A教学楼 D律堂 B胸馆O C体育馆 0 综合与实践 5如何铺设太阳能光伏板 1.解：如图所示，太阳光线EB⊥AB,过点C作CF⊥BD 点F 60 因为∠CBF=180°-60°-90°=30°，∠CFB=90°， C是AB的中点，AB=80cm, 所以BC三2AB=40cm, 在直角三角形BCF中，CF=】BC=20cm 所以支架C端离地面的高度为20cm. 2.解：如图所示，过点A作AG⊥CD于点G,则∠CAG=30°， B 太阳能电池板 支撑角钢 支撑角钢 C支撑角钢 底座地基 地面宜 H D 在R△ACG中，CG=50X2 1 =25(cm), 所以GD=55一30=25(cm), 所以CD=CG+GD=25+25=50(cm).如图所示，连接F 并延长与BA的延长线交于点H,则∠H=30°， 在Rt△CDH中，CH=2CD=100cm, 所以EH=EC+CH=AB-BE-AC+CH=300-50 50+100=300(cm). 在Rt△EFH中，因为∠EHF=30°，FH=2EF, 所以FH2-EF2=EH2,所以(2EF)2-EF2=3002， 所以EF=/300cm. 答：支撑角钢CD和EF的长度各是50cm,√300cm. 6 如何提高校园安保 监控的覆盖率（略） 限时训练 第1章推理与证明 1.3第1课时平行线的性质 定理和判定定理(1) 解：当AC∥BE时，如图①所示. 因为AC∥BE,所以∠ACE=∠E=45° ① 当CD∥BE时，如图②所示. 因为CD∥BE,所以∠DCE=∠E=45°， 所以∠ACE=∠ACD+∠DCE=135°. 当AD∥BE时，如图③所示，延长AC交BE于点F. 因为AD∥BE, 所以∠A=∠CFB=60°， 所以∠CFE=120° 因为∠E=45°， 所以∠ECF=180°-120°-45°=15°， 所以∠ACE=180°-15°=165°， 综上，△ADC有一条边与BE平行的所有∠ACE的度数为 45°，135°，165° 第1课时平行线的性质定理 和判定定理(2) 1.解：(1)因为∠A=78°，∠A=∠D, 所以∠D=78° 因为∠C=47° 所以∠BFD=∠D+∠C=78°+47°=125° (2)证明：因为∠AEB十∠BFD=180°，∠CFD+∠BFD=180°， 所以∠AEB=∠CFD 因为∠A=∠D, 所以180°-∠A-∠AEB=180°-∠D-∠CFD, 所以∠B=∠C, 所以AB∥CD. 2.证明：因为GH⊥AB于点H, 所以∠AHG=90°. 因为∠1=25°， 所以∠AHE=90°-25°=65°. 因为∠2=65°， 所以∠2=∠AHE,所以ABCD. 第2课时三角形内角和定理及其推论 1.解：因为∠BDF=130°， 所以∠EDF=180°-130°=50°. 因为∠E=28°， 所以∠AFC=∠EDF+∠E=50°+28°=78°， 所以∠EFD=180°-78°=102° 因为∠C=30°， 所以∠A=180°-∠C-∠AFC=180°-30°-78°=72° 2.解：(1)由折叠，得∠ADE=∠A'DE,∠AED=∠A'ED, ∠AED+∠A'ED=180°-∠1=180°-25°=155°， ∠ADE+∠A'DE=180°-∠2=180°-35°=145°， 所以∠ADE+∠AED=(155°+145°)÷2=150°，所以∠A= 180°-150°=30°. (2)猜想：∠1+∠2=2∠A, 理由：由折叠，得∠ADE=∠A'DE,∠AED=∠A'ED. 因为∠AEB+∠ADC=360°， 所以∠1+∠2=360°-∠ADE-∠A'DE-∠AED- ∠A'ED=360°-2∠ADE-2∠AED=2(180°-∠ADE- ∠AED)=2∠A. 第3课时直角三角形的性质定理及判定定理 1.证明：因为△ABC为直角三角形且∠CAB=90°，∠B=30°， 所以∠BCA=60° 又因为CE平分∠ACB, 所以∠ECA=30°. 因为∠EAD=2∠CAF且∠CAB=90°， 所以∠CAF=30°， 所以∠ECA=∠CAF,所以CEFD. 2.解：因为∠C=90°， 所以∠CAB+∠CBA=90° 因为AD平分∠CAB,BE平分∠ABC, 所以∠FAB=∠CAB,∠FBA=合∠CBA, 所以∠FAB+∠FBA=2(∠CAB+∠CBA)=45°， 所以∠AFB=180°-45°=135°. 第4课时反证法 (1)已知：AB⊥CD于点G,EF⊥CD于点H.求证：AB∥EF 证明：假设AB与EF不平行，如图①所示，设AB与EF交于点P. 31本章综合提升（答案30） 71111111 ·本章知识归纳·/1111/1 用有序数对表示物体的位置 位置的确定 用平面直角坐标系中点的坐标表示物体的位置 定义：在平面内，两条互相 且有公共 的数轴组成平面直角坐 标系.通常两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取 或的方向分 别为两条数轴的正方向.水平的数轴叫作x轴或横轴，竖直的数轴叫作y轴或纵 轴.x轴和y轴统称坐标轴，它们的公共原点O称为平面直角坐标系的原点 象限内的点的符号：第一象限( )第二象限( 图 第三象限( )第四象限( 平面直角坐标系 点的坐 与坐标 标特征 x轴上各点的 坐标都为0 坐标轴上的点 y轴上各点的 坐标都为0 求平面直角坐标系中图形的面积 平面直角坐标系中的图形 确定图形的位置 在平面直角坐标系中 点（化，y)关于y轴对称的点的坐标是 图形的运动与坐标 点(x,y关于x轴对称的点的坐标是 用方位角和距离描述两个物体的相对位置 【变式训练1】 思想方法归纳 111/11111/11111/0 「运算能力如图所示，弹性小球从点P(0,3) 1.数形结合思想 出发，沿如图所示方向运动，每当小球碰到长方 Q链接本章 形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射 平面直角坐标系的建立，使平面内的点 与有序数对之间建立了一一对应关系，既可 角.当小球第1次碰到长方形的边时的点为P1, 以由点的位置确定坐标，也可以由坐标确定 第2次碰到长方形的边时的点为P2…第n次 点的位置.通过点的坐标的变化呈现图形的 碰到长方形的边时的点为P,则点P4的坐标是 变换，也促进了数形之间的相互转化. ,点P2025的坐标是 B 【例1】已知长方形ABCD的边AB=4, BC=6.若将该长方形放在平面直角坐标系中， -1--7--- 使点A的坐标为（一1,2），且AB∥x轴，试求点 123P45678 C的坐标 △八年级·上册·数学.QDi 143 2.分类讨论思想 【变式训练3】 链接本章 如图所示，在平面直角坐标系中，求△ABC 本章主要应用分类讨论思想确定点的 的面积.（网格中小正方形的边长为1） 位置.不同象限内点的横、纵坐标的符号可 能不同，故在解决点的坐标的相关问题时， 往往进行分类讨论. 【例2】在平面直角坐标系内，点A(n,1一n) 一定不在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【变式训练2】 通模拟m (聊城东阿期末)在平面直角坐标系Oy中， 点M的坐标是(1,2)，MN∥x轴，MN=3,则 1.(菏泽定陶区期末)若点A(a,b)在第二象限， 则点B(b,a)在( 点N的坐标是 A.第一象限 B.第二象限 3.转化思想 C.第三象限 D.第四象限 Q链接本章 2.(菏泽东明期末)若直线MN∥x轴，M点的坐 本章中求不规则图形的面积往往通过 标为(2,3)，且线段MN=3,点N在点M的左 割补法转化为规则图形，利用规则图形的面 侧，则点N的坐标为( ) 积的和差求解。 A.(-1,3) B.(5,3) C.(1,3)或(5,3) D.(1,3)或(-5,3) 【例3】如图所示，点A,B,C,D在平面直 3.(聊城东昌府区期末)如图所示，在平面直角坐 角坐标系中， 标系中，A(2,1),B(-2,1),C(-2,-1), (1)写出点A,B,C,D的坐标. D(2,一1).一个动点从点A出发沿A→B→ (2)连接线段AB,BC,CD,DA,求四边形 C→D→A方向移动，移动了2024个单位长 ABCD的面积. 度后动点在( )处 A.(0,1) B.(-2,-1) C.(0,-1) D.(2,-1) D 登飞来峰 6 山 塔 5443-210111234156x 闻 鸡 日升 不畏浮云遮望眼 自缘身在最高层。 第3题图 第4题图 4.(泰安泰山区期末)如图所示是古诗《登飞来 峰》，如果“浮”用(2,1)表示，“上”用(3,3)表 示，那么“升”可以表示为 144 优学案·课时通△ 5.(聊城冠县期末)如图所示，货船北 10.(潍坊昌邑期末)在如图所示的平面直角坐标系 A与港口B相距47海里，我们 中，A(-1,0),B(-1,-3),C(3,-4). 用有序数对（南偏西40°，47海 40 里)来描述港口B相对货船A 的位置，那么货船A相对港口B B 的位置可描述为 6.(潍坊诸城月考)若点M(a一2,2a十4)是x轴 上的点，则a的值是 7.(菏泽成武期中)在平面直角坐标系中，如果 △ABC三个顶点的坐标分别是A(一2,0)， B(-1,0),C(一1,2)，△ABC关于y轴成轴 (1)在平面直角坐标系中描出各点，画 对称的图形是△A1BC1,△A1B1C1关于x 出△ABC 轴成轴对称的图形是△A2B2C2,则点A2的坐 (2)求△ABC的面积. 标为 (3)设点P在x轴上，且△ABP与△ABC的 8.(菏泽定陶区期末)在平面直角坐标系中，对于 面积相等，求点P的坐标. 点P,Q两点给出如下定义：若点P到x,y轴 的距离的较大值等于点Q到x,y轴的距离的 较大值，则称P,Q两点为“等距点”.如点 P(-2,5)和点Q(-5,-1)就是等距点.已知 点A的坐标是（一6,5），点B的坐标是 (m+1,m),若点A与点B是“等距点”，则点 B的坐标为 11.(聊城期末)如图所示，为东明一中新校区分 9.(潍坊诸城月考)已知点A(2a一b,5十a)与点 布图的一部分，方格纸中每个小方格都是边长 B(2b-1,-a+b),当a,b为何值时， 为1个单位长度的正方形，若教学楼A的坐标 (1)点A,B关于x轴对称. 为(1,2)，图书馆B的坐标为B(一2，一1). (2)点A,B关于y轴对称. 解答以下问题： (1)在图中找到坐标系中的原点，并建立平面 直角坐标系. (2)若体育馆C的坐标为(1，一3)，食堂D的 坐标为(2,0)，请在图中标出体育馆和食堂的 位置 (3)顺次连接教学楼、图书馆、体育馆、食堂得 到四边形ABCD,求四边形ABCD的面积. B △八年级·上册·数学.QD 145 综合与实践 5如何铺设太阳能光伏板（答案30） 1.某校“综合与实践”小组的同学把“太阳能如何安装才能达到最大利用率”作为一项课题活动，利用 课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告.请根据活动报告计算支架C端离地面的高度. (结果精确到0.1cm) 课题 太阳能板如何安装才能达到最大利用率 调查 资料查阅、电力部门走访、实地查看了解 方式 功能 怎样安装太阳能板才能达到最大利用率 材料 所需材料为光伏板，支架等 如图①所示是一个太阳能面板，其侧面示意图如图②所 查内容 太阳能板安装示意图 示，C是AB的中点，AB=80cm,支架CD可绕点C旋 转，当太阳光线与面板垂直时，吸收光能的效率最高.当 60 太阳光与地面的夹角为60°时，为了让太阳能面板吸收光 ② 能的效率最高.求支架C端离地面的高度 2.太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴 产业.如图所示是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑 角钢AB的长度相同，均为300cm,AB的倾斜角为30°，BE=CA=50cm,支撑角钢CD,EF与底 座地基台面接触点分别为D,F,CD垂直于地面，FE⊥AB于点E.两个底座地基高度相同（即点D, F到地面的垂直距离相同)，均为30cm,点A到地面的垂直距离为55cm.求支撑角钢CD和EF 的长度各是多少厘米.（结果保留根号） 太阳能电池板 支撑角钢 支撑角钢 C支撑角钢 底座地基 309A 地面前 /D 6 如何提高校园安保监控的覆盖率（略）（答案P30) 146 优+学率·课时通△