第5章 勾股定理与实数 本章综合提升-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（青岛版2024）

10+2=12,y=10+5-12=5-2,所以x-y 12-(W5-2)=14-√5，所以x-y的相反数是-14+√5. 特色素养专题（二）传统文化专题 1.A2.A3.C4.D5.D6.D 本章综合提升 【本章知识归纳】 等于。直角三角形算术平方根0平方根立方根无理数 平方根立方根实数勾股数组两个相反数0 没有正负0正有理数负有理数 一一对应 【思想方法归纳】 【例1】解：(1)-5√5-2√5 (2)由(1)可知，DC=3-√5,0B=√5-2. 【变式训练1】解：(1)√21+√2 (2)由勾股定理，得a=√12+32=√10. 【例2】解：(1)证明：因为AD⊥BC,AD=2,BD=1, 所以AB2=AD2+BD2=5. 又因为AD⊥BC,CD=4,AD=2, 所以AC2=CD2+AD2=20, 所以AC2+AB2=25. 因为BC=CD+BD=5,所以BC2=25, 所以AC2+AB2=BC2, 所以△ABC是直角三角形，即∠BAC=90°， (2)分三种情况： ①当BP=AB时， 因为AD⊥BC,所以AB=√BD+AD=√5， 所以BP=AB=√5； ②当BP=AP时，P是BC的中点， 所以Bp=号BC=2.5i ③当AP=AB时，BP=2BD=2; 综上所述，BP的长为√5或2或2.5. 【变式训练2】C 【通模拟】 1.C2.C3.D4.B5.B6.B7.C8.D9.B 10.C11.B12.C13.A14.D15.A 16.1+√6或1-√617.0,16,9/2718.1-√5 19.(x-3)2+64=x2 20.解：(1)原式=2-2+7+(-1)=6. (222x+1D2-9=0, (2x+1)2-36=0, (2x+1)2=36, 2x+1=士6， 解得x=2.5或x=-3.5. 21.解：(1)由勾股定理，得CD=√BC2-BD2=√252-15= 20(米)，所以CE=CD+DE=20+1.6=21.6(米). (2)如图所示，设风筝下降12米至点F处.由勾股定理，得 BF=√DF2+BD=√(20-12)2+15-17（米）， 25一17=8（米），所以他应该往回收线8米. 22.解：(1)因为AC=15m,CD=8m, AD=17 m, 所以AC2+CD2=152+82=289 AD2=172=289, 所以AC2+CD2=AD2, 所以△ACD是直角三角形 (2)过点A作AH⊥BC,垂足为H,如图所示. 因为AB=AC=15m,BC=18m, 所以BH=CH=9m. 在Rt△ABH中，AH=√AB2-BH=√15-92=12(m). 所以SaAe+S6Am=2BC·AH+号AC·CD=号× 18×12+2×15×8=168(m). 答：这块空地的面积为168m2. 【通中考】 23.D24.C25.C 第6章 一元一次不等式 6.1不等式 第1课时一元一次不等式 1.A2.D3.B4.C5.D 6.解：(1)(2)(3)(6)是不等式.(4)是等式. 7.解：(1)子x+2x≤0， (2)设炮弹的杀伤半径为r,则应有r≥300. (3)设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有3a十4b≤268. (4)用P表示明天下雨的可能性，则有P≥70%. (5)设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有 a≥b. 8.解：第一种规格的面积：(3m十5)×6=18m+30, 第二种规格的面积：(6m+11)×3=18m十33， 因为18m+30<18m+33,所以第二种规格的面积较大. 第2课时不等式的解 1.A2.1,23.D4.B 5.解：(1)如图所示. 4320片 (2)如图所示， 2 立6 6.C7.D8.C9.A10.D11.B12.B13.1,2 14.解：1)-3是不等式分x<-1的解，0不是。 (20是不等式号x十6>1的解，-2，-7不是。 (3)3,0是不等式4x-5<3+2x的解，5不是， (④1是不等式2x+3<5x-的解，-1,1日不是， 15.解：(1)不等式的解集表示在数轴上如图所示 。 3-2-10234 ① (2)不等式的解集表示在数轴上如图所示. -25 -3-2-102234 16.解：这种解答错误， 理由：不等式x+3<6的解集是x<3,而x<2是不等式解 集的一部分. 25本章综合提升（答案P25》 /1/11/111·本章知识归纳·/111111/ 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和 斜边的平方 勾股 定理 勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是 算术平方根：如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫作a的 0的算术平方根是 平方根：如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么x叫作a的 或二次方根 立方根：如果一个数x的立方等于a,即x=a,那么x叫作a的或三次方根 无理数：无限不循环小数叫作 概念 开平方：求一个数的 的运算叫作开平方 开立方：求一个数的 的运算叫作开立方 实数：有理数与无理数统称为 勾股数组：满足a2+b2=c2的正整数叫作 平方根的性质：一个正数有 平方根，它们互为 ；0的平方根是一；负数平方根 勾股 性质 定理 立方根的性质：正数的立方根是一个数，负数的立方根是一个数，0的立方根是 与实 数 有理数 零 ①实数 正无理数 无理数 负无理数 正实数 正有理数 正无理数 分类 ②实数 零 负有理数 负实数 负无理数 对应性 实数与数轴上的点 有理数的运算法则和运算律在实数中同样适用 运算 用计算器求平方根和立方根 C的左侧截取CB=2,点D表示的数为3，回答 思想方法归纳 1MM1111 下列问题： 1.数形结合思想 (1)点A,B,C表示的实数依次为 链接本章 本章中，实数与数轴上的点是一一对应 (2)计算线段DC和OB的长度. 的关系、勾股定理及逆定理等知识的应用均 体现了数形结合思想， A o"c p. -3-2-10123 【例1】几何直观如图所示，长方形的一 条边在数轴上，长为2个单位长度，宽为1个单 位长度，以原点O为圆心，以长方形对角线的长 为半径画弧，与正、负半轴分别交于点C,A,在点 112 优+学率·课时通△ 【变式训练1】 通模拟 111E1111111112111111411414 几何直观如图①所示，依次连接2×2方格 图四条边的中点，得到一个阴影正方形，设每个 1.(菏泽牡丹区开学)下列实数中是无理数的 方格的边长为1个单位长度，则这个阴影正方形 是() 的边长为√2. A号 B.3.14 C.√13 D.927 (1)图②中AP=AD= ;点P表示 2.(菏泽东明二模)下列说法正确的是() 的实数为 A.64是8的算术平方根 (2)如图③所示，在4×4的方格图中阴影正 B.9是√81的算术平方根 方形的边长为a,写出边长a的值. C.√9的算术平方根是3 D.一个数的算术平方根等于它本身，这个数只 能是1 3.(潍坊潍城区期末)在下列各数中，最大的 -3-2-1 0 3 是() A.-2 B.T C.√2 4.(聊城东昌府区模拟)已知实数a=|一2024|， 则实数a的倒数为() 1 1 A.2024 2.分类讨论思想 B.2024 C.-2024D.一2024 5.(菏泽郓城期中)实数a在数轴上的位置如图 链接本章 本章实数的分类，平方根、立方根的性 所示，若a|>2,则下402 列说法不正确的是() 质，绝对值的意义及利用勾股定理确定等腰 A.a的相反数大于2B.一a<2 三角形顶点坐标等均体现了分类讨论思想， C.|a-2|=2-a D.a<-2 6.(菏泽鄄城期末)如图所示，在Rt△ABC中，分 【例2】如图所示，在△ABC中，AD⊥BC, 别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方 垂足为D,BD=1,AD=2,CD=4. 形，面积分别记为S1,S2,S3.若S3十S2 (1)求证：∠BAC=90°. S1=18.则图中阴影部分的面积为( (2)点P为BC上一点，连接AP,若△ABP A.6 C.5 为等腰三角形，求BP的长。 B 0.2 D 第6题图 第7题图 7.(聊城临清期中)如图所示，在长方形ABCD 【变式训练2】 中，AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠， 若x是（一√9）2的平方根，y是27的立方 使点B与点D重合，折痕为EF,则△ABE的 根，则x一y的值为() 面积为() A.0B.-6C.0或-6 D.0或-3 A.3 cm2 B.4 cm2 C.6 cm2 D.12 cm2 △八年级·上册·数学.QDi 113 8.（菏泽郓城一模)已知实数a,则下列各式中一 13.（菏泽东明期中)已知按照一定规律排成的一 定大于0的是() 列实数：一1,2，，一2,5,6，一√7，√8， A.a+3 B.10a C.-a D.a2+1 ,一√10，….则按此规律可推得这一列数 9.(泰安肥城期末)如图所示，这是一个数值转换 中的第11个数应是() 器，当输入x的值为64时，则输出y的值 是( ) A.√1I B.-√/11 是无理数 C. D.11 取算术平方根 输出y 输人x 是有理数 14.（泰安宁阳期中)如图所示，用4个全等直角 取立方根 三角形与1个正方形拼成正方形图案.已知 是有理数 大正方形面积为100，小正方形面积为9.若 A.2 B.√2 C.士2 D.3 用x,y表示直角三角形的两条直角边(x> 10.(聊城期末)如图所示，有一个摆钟，摆锤看作 y).下列说法正确的有() 一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度 ①x2+y2=100;②x-y=3;③x+y= DE=6cm,当摆锤摆动到最高位置时，它离 91 底座的垂直高度BF=8cm,此时摆锤与静止 √/191；④xy= 2 位置时的水平距离BC=10cm时，钟摆AD 的长度是( A.①② B.②③ C.①②③ D.①②③④ 15.（泰安肥城期末)如图所示，在四边形ABCD A.17 cm B.24 cm C.26 cm D.28 cm 中，对角线分别为AC,BD,且AC⊥BD交于 11.（泰安宁阳期中)下面的三角形中：①△ABC 点O,若AD=2,BC=4,则AB2+CD2的值 中，∠C=∠A-∠B;②△ABC中，∠A: 为( ∠B:∠C=3:4:5;③△ABC中，a:b: c=5:12:13;④△ABC中，三边长分别为 日日其中，直角二角形有( A.1个B.2个 C.3个 D.4个 12.(菏泽东明期中)课堂上，王老师给出如图所 A.20 B.18 示甲、乙两个图形，能利用面积验证勾股定理 C.16 D.1 a2+b2=c2的是( 16.(菏泽鄄城县期末)A,B为数轴上两点，点A 甲 表示的数为1，点B到点A的距离是6，则点 B表示的数为 22 17.(聊城冠县开学)在下列实数7,3.1415926， a √6,0,16，-8，/27,1.103030030003…（两 A.甲行、乙不行 B.甲不行、乙行 个3之间依次多一个0)，π中，非负整数 C.甲、乙都行 D.甲、乙都不行 有 114 优+学案·课时通△ 18.(聊城冠县期末)数轴是一个非常重要的数学 ③牵线放风筝的小明的身高为1.6米， 工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是 (1)求风筝的垂直高度CE “数形结合”的基础.如图所示，面积为5的正 (2)如果小明想风筝沿CD方向下降12米， 方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示 那么他应该往回收线多少米？ 的数为1，若点E在数轴上（点E在点A左 侧)，且AD=AE,则点E所表示的数 为 E -2-101234一 22.(泰安新泰期末)如图所示，某小区有一块四 19.(泰安岱岳区期末)《九章算术》卷九“勾股”中 边形空地ABCD,连AC,经过测量可得 记载：今有立木，系索其末，委地三尺.引索却 △ABC是等腰三角形，AB=AC=15m, 行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今 BC=18 m,CD=8 m,AD=17 m. 有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索， (1)判断△ACD的形状. 绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的 (2)求这块空地的面积. 部分尚有3尺.牵着绳索（绳索头与地面接 触)退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽. 问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方 程为 20.(聊城东阿开学)计算： (1)√4-88+|-7|+(-1)225： 。通中考mM 23.(潍坊中考)在实数1，一1,0,2中，最大的数 是() (2)已知4(2x+1)2-9=0,求x的值. A.1 B.-1C.0 D.√2 24.(潍坊中考)实数a,b,c在数轴上对应的点如 图所示，下列判断正确的是() a60 A.-c<6 B.a>-c C.la-bl=b-a D.c-al=a-c 21.(菏泽鄄城期中)如图所示，小明和小亮学习 25.（菏泽中考)实数a,b,c在数轴上对应点的位 了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高 置如图所示，下列式子正确的是() 度CE,他们进行了如下操作： ①测得水平距离BD的长为15米； a06一 ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC A.c(b-a)<0 B.b(c-a)<0 的长为25米； C.a(b-c)>0 D.a(c+b)>0 △八年级·上册·数学.QD 115