第4章 专题六、七 等腰三角形中的分类讨论 等腰三角形与线段的垂直平分线、角平分线的综合应用-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（青岛版2024）

8.D9.D 10.证明：连接AD,如图所示 因为AB=AC,D是BC的中点， 所以∠EAD=∠FAD, 在△AED和△AFD中， (AE=AF, ∠EAD=∠FAD, AD-AD, 所以△AED2△AFD(SAS), 所以DE=DF. 11.40°或70°或1009 12.B13.C14.D15.C 16.解：(1)105 (2)∠ACB=3∠A.理由：连接CD.因为DE垂直平分AC, 所以∠ACD=∠A,所以∠BDC=2∠A.因为BD=BC, 所以∠BCD=∠BDC, 所以∠BCD=2∠A, 所以∠ACB=∠BCD+∠ACD=3∠A. 17.解：(1)PA=PB=PC (2)因为AM平分∠BAC,AB=AC,∠ABC=70°，所以 AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=90°-∠ABC=90°-70°= 20°.因为EF是线段AB的垂直平分线，所以PA=PB, 所以∠PBA=∠PAB=20°.因为∠BPD是△PAB的外 角，所以∠BPD=∠PAB+∠PBA=20°+20°=40°，所 以∠BPD=∠CPD=40°，所以∠BPC=∠BPD+ ∠CPD=40°+40°=80°. 第2课时等腰三角形的判定与 等边三角形的性质 1.B2.A3.B4.B 5.证明：因为AD平分∠CAE, 所以∠EAD=∠CAD, 因为AD∥BC, 所以∠EAD=∠B,∠CAD=∠C, 所以∠B=∠C, 所以AB=AC 故△ABC是等腰三角形 6.证明：因为AB=AC, 所以∠B=∠C=30° 因为∠C+∠BAC+∠B=180°， 所以∠BAC=180°-30°-30°=120， 因为∠DAB=45°， 所以∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-45°=75°. 因为∠DAB=45°，∠B=30°， 所以∠ADC=∠B+∠DAB=75°， 所以∠DAC=∠ADC, 所以DC=AC, 所以△ADC是等腰三角形. 7.解：如图所示，△ABC即为所求作的三角形. 8.B9.C10.C11.140°或80°或20 12.D13.A 14.C15.C16.C 17.10°或80°或20°或140 18.(1)8(2)60 19.证明：过点D作DG∥AC交BC于点 G,如图所示 因为DG∥AC, 所以∠GDF=∠E,∠DGB= ∠ACB. 在△GDF和△CEF中， I∠GDF=∠E, DF=EF, I∠DFG=∠EFC, 所以△GDF≌△CEF(ASA), 所以GD=CE 因为BD=CE, 所以BD=GD, 所以∠B=∠DGB=∠ACB,所以AB=AC, 所以△ABC是等腰三角形. 20.证明：因为△ABC是等边三角形， 所以∠A=∠B=∠ACB=60. 因为DE∥AB, 所以∠EDC=∠B=60°， 所以∠EDC=∠ECD=∠CED=60°， 因为EF⊥DE, 所以∠DEF=90°， 所以∠F=90°-∠EDC=90°-60°=30° 因为∠F+∠FEC=∠ECD=60°， 所以∠FEC=∠EFC=30°， 所以CE=CF, 所以△CEF是等腰三角形， 21.解：(1)①③，①④，②③和②④. (2)以①④为条件.理由： 因为OB=OC, 所以∠OBC=∠OCB. 又因为∠DBO=∠ECO, 所以∠DBO+∠OBC=∠ECO+∠OCB, 即∠ABC=∠ACB, 所以AB=AC, 所以△ABC是等腰三角形.（答案不唯一） 专题六等腰三角形中的分类讨论 1.C2.D3.D 4.2 5.解：设腰长为2xcm,则(2x十x)一(5十x)=3或(5十x)一 (2x十x)=3.解得x=4或x=1,所以2x=8或2x=2.①当 三边长分别是2,2,5时，2+2=4<5，所以不能构成三角形； ②当三边长分别是8,8,5时，符合三角形三边关系，能构成三 角形.综上所述，腰长为8cm. 6.D7.A 8.60°或120 9.80°或50°或209 10.解：(1)35° (2)40°或70°或100 分两种情况： ①当90°≤a<180时，∠A只能为顶角， 所以∠B的度数只有一个 ②当0°<a<90时， 若∠A为顶角，则∠B=2(180°-a)=90° 20: 若∠A为底角，∠B为顶角， 0 则∠B=180°-2a; 若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=a. 当90-29≠180°-2a且180°-2a≠a且90°-20 Γ2a≠a, 即a≠60°时，∠B有三个不同的度数. 所以当0°<a<90°且a≠60时，∠B有三个不同的度数. 综上所述，当a=60°或90°≤a<180°时，∠B的度数只有 个；当0°<a<90°且a≠60时，∠B有三个不同的度数. 第3课时等边三角形的判定与 含30°角的直角三角形 1.C2.B3.D4.B 5.186.27.B8.B 9.A10.D11.B 12.解：根据题意，得AB=15×(10一8)=30（海里）】 因为∠NBC=60°，∠NAC=30°， 所以∠ACB=∠NBC-∠NAC=60° 30°=30°， 609 所以∠ACB=∠NAC,所以BC=AB= 30海里. 30 如图所示，过点C作CD⊥AB于点D. 根据垂线段最短，线段CD的长为船与灯 塔C之间的最短距离，∠BDC=90°. 又因为∠NBC=60°， 所以∠DCB=180°-∠BDC-∠CBD=30° 在Rt△BCD中，∠BCD=30°， 所以DB=BC=号×30=15（海里， 所以15÷15=1（小时）. 答：还要经过1小时，船与灯塔C之间的距离最短， 13.解：△APQ为等边三角形. 证明：因为△ABC为等边三角形，所以AB=AC 在△ABP与△ACQ中， (AB=AC, 因为（∠ABP=∠ACQ! BP=CQ, 所以△ABP≌△ACQ(SAS) 所以AP=AQ,∠BAP=∠CAQ: 因为∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°， 所以∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°， 所以△APQ是等边三角形. 14.解：(1)因为△ABC为等边三角形， 所以∠ABC=∠ACB=60°， 即∠ABD+∠DBC=60°， ∠ACD+∠BCD=60° 因为∠BDC=120°， 所以∠DBC+∠DCB=60°， 所以∠ABD+∠ACD=60°， 所以∠ACD=60°-a. (2)AD=2DE.理由：延长CD至F使DF=BD,连接BF AF,如图所示 因为∠BDC=120°， 所以∠BDF=180°-∠BDC=60°， 所以△BDF是等边三角形， 所以BF=DF=DB,∠FBD=∠BFD=60°， 所以∠ABF十∠ABD=6O°. 又因为∠ABC=∠ABD+∠DBC=60°， 所以∠DBC=∠ABF, 因为AB=BC, 所以△ABF≌△CBD(SAS), 所以CD=AF,∠BDC=∠AFB=120°， 所以∠AFD=∠AFB-∠BFD=60°. 延长DE至G,使DE=GE,连接BG,如图所示。 因为点E是BC的中点， 所以BE=CE. 又因为∠BEG=∠CED, 所以△BEG≌△CED(SAS), 所以CD=BG,∠BCD=∠GBE, 所以BG=AF 因为∠BDC=120°， 所以∠BCD+∠DBC=60°， 所以∠GBE+∠DBC=60°，即∠GBD=60°， 所以∠GBD=∠AFD=60°. 在△DFA与△DBG中， DF=DB, ∠AFD=∠GBD, AF=BG, 所以△DFA≌△DBG(SAS), 所以AD=DG=DE+GE=2DE. 专题七等腰三角形与线段的垂直 平分线、角平分线的综合应用 1.D2.等边3.120°或75°或30 4.245.70°6.C 7.解：(1)202040 (2)证明：因为AD为等腰三角形ABC的顶角∠BAC的平分 1 线，所以∠BAE=2∠BAC. 因为∠ABC=∠ACB=50°， 所以∠BAC=80°， 所以∠BAE=40°， 所以∠BAE=∠BFE=40° 因为∠ABE=∠EBF=20°，BE=BE 所以△ABE≌△FBE(AAS), 所以AB=BF」 (3)BE⊥AF 本章综合提升 【本章知识归纳】 轴对称对称轴 全等重合相等垂直平分线相等 60°等腰三角形 一半 【思想方法归纳】 【例1】解：因为AB=AC, 所以∠ABC=∠C 如图①所示，因为∠ABD=40°，BD⊥AC, 所以∠A=50°， 所以∠ABC=∠C=180°，∠A=65, 如图②所示，因为∠ABD=40°，BD⊥AC, 所以∠BAD=50°， 所以∠ABC=∠C=2∠BAD=25, 所以这个等腰三角形的底角为65°或25°.专题六等腰三角形 类型1》边的分类讨论 1.已知一个等腰三角形的两边长分别是3和6， 则该等腰三角形的周长为() A.12或15 B.12 C.15 D.6或12 2.若实数m,n满足等式|m一2十|n一4|=0， 且m,n恰好是等腰三角形ABC的两条边的 边长，则△ABC的周长是() A.6 B.8 C.8或10 D.10 3.阅读理解等腰三角形的底边长与其腰长的比 值称为这个等腰三角形的“优美比”.若等腰三 角形ABC的周长为20，其中一边长为8，则它 的“优美比”为( A方 4 C.2 n或 4.(北京海淀区期中)若等腰三角形的一边长为 1,周长为5，则它的腰长为 5.等腰三角形底边长为5cm,一腰上的中线把其 周长分为两部分，两部分的差为3cm,求腰长。 △八年级·上册·数学.QD 中的分类讨论（答案P20) 类型2》角的分类讨论 6.已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶 角为( A.50° B.80° C.65°或80 D.50°或80° 7.等腰三角形的一个角为30°，其他两个角的度 数是( ) A.75°，75°或30°，120° B.30°，75°或30°，45° C.30°，65°或30°，45° D.30°，55°或30°，75 8.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则它的顶角为 9.在△ABC中，∠A=80°，当∠B= 时， △ABC是等腰三角形， 10.探究拓展已知等腰三角形ABC, (1)若∠A=110°，则∠B= (2)若∠A=40°，则∠B= 通过上述解答，发现∠A的度数不同，得到 ∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰 三角形ABC中，设∠A=a,求∠B的度数 (用含α的式子表示)，请你根据∠B的度数 的个数探索α的取值范围. 89 第3课时 等边 含30°角的直角 ←通基础mw 知识点1等边三角形的判定 1.(周口淮阳区月考)在△ABC中，AB=AC,添 加下列一个条件后不能判定△ABC是等边三 角形的是() A.∠A=60° B.AC=BC C.∠B的补角等于∠C的补角 D.AB边上的高也是AB边上的中线 2.若一个三角形的最小内角为60°，则下列判断 正确的有() ①这个三角形是锐角三角形；②这个三角形是 等边三角形；③形状不能确定；④不存在这样 的三角形， A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图所示，在△ABC中，AB=BC,∠C=60°， AD是BC上的高，DE∥AC,图中与BD(BD 除外)相等的线段共有() A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 第3题图 第4题图 4.如图所示，E是等边三角形ABC中AC边上 的点，∠1=∠2，BE=CD,则△ADE的形状 是() A.等腰三角形 B.等边三角形 C.不等边三角形 D.不能确定形状 5.有一个内角为60°的等腰三角形，腰长为6cm, 那么这个三角形的周长为 cm. 90 三角形的判定与 三角形（答案P21) 6.(菏泽曹县二模)将含30°角的直角三角板和直 尺按如图所示的方式放置，已知∠a=60°，点 B,C表示的刻度分别为1cm,3cm,则线段 AC的长为 cm. C) 4 知识点2在直角三角形中，30°角所对的直角 边等于斜边的一半 7.模型观念如图所示是某商场一楼与二楼之间 的手扶电梯示意图.其中AB,CD分别表示一 楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的 长是8m,则乘电梯从点B到点C上升的高度 h是() A.3 m B.4 m C.4.5mD.5m D 150° AB D 第7题图 第8题图 8.如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°， ∠C=30°，BC=6,点D为BC的中点，AEL BC于点E,则DE的长是( ) 3 A.1 b.2 C.3 D.6 ·通能力 -yiuu 9.已知△ABC的三边a,b,c满足a2+b2+c2= ab+bc+ac,则△ABC是() A.等边三角形 B.腰底不等的等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 优+学案·课时通△ 10.如图所示，∠AOB=120°，OP平分∠AOB, 且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上，且 △PMN为等边三角形，则满足上述条件的 △PMN有() A.2个B.3个 C.4个 D.无数个 11.如图所示，△ABC是等边 三角形，D是线段BC上一 点（不与点B,C重合），连 接AD,点E,F分别在线 段AB,AC的延长线上，且 DE=DF=AD,点D从B运动到C的过程 中，一直不变的量是( ①BE+CF;②ABDE的周长；③ADE SCFD ④∠BDE+∠CDF. A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②③④ 12.应用意识如图所示，一条船上午8时从海岛 A出发，以每小时15海里的速度向正北方向 航行，上午10时到达海岛B处，分别从A,B 处望灯塔C,测得∠NAC=30°，∠NBC= 60°.若这条船到达海岛B处后，继续向正北 方向航行，还要经过多长时间，船与灯塔C之 间的距离最短？ 601 △八年级·上册·数学.QDi 13.如图所示，在等边三角形ABC中，点P在 △ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP= ∠ACQ,BP=CQ,问△APQ是什么形状的 三角形？试证明你的结论。 通素养 14.探究拓展已知△ABC是等边三角形，点D 在△ABC的内部，且∠BDC=120°. (1)如图①所示，设∠ABD=a,求∠ACD的 度数（用含a的式子表示）. (2)如图②所示，点E是BC的中点，连接 AD,DE,用等式表示线段AD与DE之间的 数量关系，并说明理由， 91 专题七等腰三角形与线段的垂直平分线、 角平分线的综合应用（答案P21) 类型1)等腰三角形与线段的垂直平分线的综5.如图所示，在△ABC中，AB=AC,AD垂直平 合应用 分BC.∠ABC的平分线交AD于点O,连接 1.如图所示，在已知的△ABC中，按以下步骤 OC.若∠AOC=125°，则∠ABC的度数 作图： 为 ①分别以点B,C为圆心，以大于2BC的长为 类型4》利用“三线合一”解决问题 6.如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥ 半径作弧，两弧相交于M,N两点； BC,∠ABC的平分线BE交AD于点F,AG ②作直线MN交AB于点D,连接CD, 平分∠DAC.下列结论不正确的是( ) 若CD=AC,∠B=25°，则∠ACB的度数 为() M A.∠BAD=∠C B.AE=AF C.∠EBC=∠C D.GF=GE 7.如图所示，AD为等腰三角形ABC的顶角 A.90° B.95° C.100° D.105° ∠BAC的平分线，∠ABC=50°，在线段AD 2.已知∠AOB=30°且∠AOB内有一点P,点P 上取一点E,使得∠ACE=20°，在线段CE上 关于OA,OB的对称点分别为E,F,则△EOF 取一点F,使得∠FBC=10°，连接BE,AF. 一定是 三角形 (1)∠EBF= 度，∠EBA= 类型2)等腰三角形与角平分线的综合应用 度，∠BFE= 度. 3.如图所示，∠AOB=60°，OC平分∠AOB,如 (2)求证：AB=BF. 果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角 (3)BE与AF的位置关系为 ,(直 形，那么∠OEC的度数为 接写出) B/ A 类型3)等腰三角形与线段的垂直平分线、角 平分线的综合应用 4.如图所示，在△ABC中，AF平分∠BAC,AC 的垂直平分线交BC于点E,∠B=70°， ∠FAE=19°，则∠C= 度 第4题图 第5题图 92 优+学案·课时通△