第4章 图形的轴对称 本章综合提升-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（青岛版2024）

本章综合提升（答案P21) /1///1 本章知识归纳· 把一个平面图形沿某条直线折叠后，得到 等腰三角形是轴对称图形 另一个与它全等的图形，图形的这种变化 等腰三角形的对称轴是底 叫作 ，这条直线叫作 轴对称 边的垂直平分线 一个图形以某条直线为对称轴 性质等腰三角形的两个底角相等 经过轴对称后，能够与另一个 图形的 等腰三角形顶角的平分线、 两个图形关 图形重合，那么称这两个图形 轴对称 底边上的中线及底边上的 关于这条直线成轴对称 概念 于某条直线 高互相重合 成轴对称 成轴对称的两个图形 性质 有两条边相等的三角形是 等腰三角形 判定有两个角相等的三角形是 等腰三角形 等边三角形 成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称 等腰三 是轴对称图 轴垂直平分 轴对称的 基本性质 角形 形，有三条 对称轴 等边三角形 的三边都 性质 一个图形的一部分，以某一条直线为对称轴，经 等边三角形 等边三 过轴对称能与图形的另一部分 ，这样的图 的各角都等 轴对称 角形 形叫作轴对称图形 于 图形 三边都相等 的三角形是 图形的 等边三角形 轴对称 判定三个角都相 垂直并且平分一条线段的直线概念 等的三角形 是等边三 线段垂直平分线上的，点到线段两端的 线段的垂 特例 角形 距离 性质 直平分线 有一个角 到线段两端距离相等的点在这条线段的 是60°的 上 判定 等边三角形 等腰直角三角 等腰直角形的两个底角 三角形都为45° 角的平分线所在的直线是它的对称轴 在直角三角形中，30°角所对的 性质 直角边等于斜边的」 角平分线上的点到角两边的距离相等 角的平 三种基作线段的垂直平分线 角的内部到角两边距离相等的点在角的 分线 本作图作角的平分线 平分线上 判定 尺规作图 过一点作直线的垂线 作等腰三角形 思想方法归纳 【例1】已知等腰三角形一腰上的高与另一 腰的夹角是40°，则这个等腰三角形的底角为 1.分类讨论思想 多少？ 链接本章 求解等腰三角形的边、角问题时，在条 件不明确的情况下，应根据题目特点进行分 类讨论. △八年级·上册·数学.QD 93 【变式训练1】 【变式训练2】 用一条长为21cm的细绳围成一个等腰三 (北京海淀区期中)如图所示，在△ABC中， 角形 AC=AB,点D在AB上，BC=BD,∠ACD= (1)如果腰长是底边长的3倍，那么底边长 15°，求∠B的度数. 是多少？ (2)能围成一边长为5cm的等腰三角形吗？ 说明理由. 3.转化思想 链接本章) 本章进行转化的依据主要是边与角的 转化.如“等边对等角”“等角对等边”等 2.方程思想 方程思想方法是指把所研究数学问题中的 【例3】如图所示，在△ABC中，AB=AC, 已知量与未知量之间的等量关系，转化为方程 ∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点M, (组)，从而达到解决数学问题的一种思维方法. 交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于点N, Q链接本章 交AC于点F.求证：BM=MN=NC. 在本章中等腰三角形的内角、边长都存 在特殊关系，所以在求等腰三角形的内角或 边长时，常常需要设未知数列方程（组）或用 整体代入法解决问题。 【例2】如图所示，△ABC的周长为32，且 AB=AC,AD⊥BC于点D,△ABD的周长为 【变式训练3】 24,求AD的长. 在△ABC中，∠BAC=90°. (1)如图①所示，若点D在CB的延长线上， 且BD=BA,点E在BC的延长线上，且CE= CA,则∠DAE的度数为 (2)如图②所示，若点D,E均在BC上，且 BE=BA,CD=CA,求∠DAE的度数， ① ② 94 优+学案·课时通△ 通模拟 MEAEEEK11111218314211111412114 5.(泰安岱岳区期中)已知在等腰三角形ABC 中，∠A=50°，则∠B的度数为() 1.(泰安期末)下列图形中是轴对称图形的 A.50° B.65° 是( C.50°或65° D.50°或80°或65 业米 6.(泰安三模)如图所示，在△ABC中，AB AC,直线DE,FG分别经过点B,C,DE∥FG D 若∠DBC=45°，∠ACG=10°，则∠ABE的度 2.(菏泽期中)如图所示，把一张长方形纸片ABCD 数为( ) 沿EF折叠后，点C,D分别落在点C',D'的位 置上，EC'与AD交于点G.已知∠EFG=61°， 那么∠BEG=( A.100° B.105° C.110 D.115° 7.(潍坊高密月考)如图所示，小明在学了尺规作 图后，作了一个图形，其作图步骤是①作线段 A.58° B.64° C.72 D.60° AB=2,分别以点A,B为圆心，以AB的长为 3.如图所示，在△ABC中，按以下步骤作图： 半径作弧，两弧相交于点C,D;②连接AC, ①分别以点B,C为圆心，以大于2C的长为 BC,作直线CD,且CD与AB相交于点H.则 半径作弧，两弧相交于两点M,N; 下列说法不正确的是( ) ②作直线MN交AB于点D,连接CD. 若BC=7,AC=4,AB=9,则△ACD的周长 为() A.△ABC是等边三角形 B.AB⊥CD B.13 C.16 D.20 C.AH=BH A.11 4.如图所示，已知在△ABC中，AB=4,AC=5, D.∠ACD=45° 边BC的垂直平分线分别交BC,AC于点E, 8.(菏泽期中)如图所示，在△ABC中，点B与点 F,点D为直线EF上一点，则△ABD的周长 C关于直线DE对称，直线DE分别交AB,BC 最小值为( 于点D,E,连接CD,CD平分∠ACB,∠A= 60°，则∠B的度数为 A.11 B.10 C.9 D.8 △八年级·上册·数学.QD 95 9.（菏泽月考)如图所示，在正三角形网格图中，已 (2)试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数 有两个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正 量关系，并说明理由。 三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一 个轴对称图形的方法有 种. 10.(泰安宁阳期中)若等腰三角形一腰上的高与 另一腰的夹角是45°，则一个底角为 11.(聊城茌平区期末)在折纸游戏中，小颖将一 张长方形纸片ABCD按如图所示的方式折 叠，AE,AF为折痕，点B,D折叠后的对应 点分别为B',D'.若∠B'AD'=12°，则 14.(菏泽期中)如图所示，在△ABC中，DM,EN ∠EAF的度数为 分别垂直平分AC和BC,交AB于M,N两 点，DM与EN相交于点F. B (1)若AB=8,求△CMN的周长， (2)连接FA,FB,FC,在(1)的条件下，若 △FAB的周长为18，求FC的长， 12.(潍坊昌乐月考)如图所示，等腰三角形ABC 的底边BC=4,高AD为8，腰AB的垂直平 分线EF交AC于点F,交AB于点E,M为 线段EF上一动点，则△BDM周长的最小值 为 13.几何直观如图所示，在△ABC中，∠ABC= ∠C,D是BA延长线上的一点，E是AC的 中点. (1)利用尺规按下列要求作图，并在图中标明 相应字母.（保留作图痕迹，不写作法） ①作∠DAC的平分线AM. ②连接BE并延长交AM于点F. 96 优+学案·课时通△ 15.(泰安新泰期末)如图所示，在△ABC中，17.（聊城中考）如图所示，在△ABC中，若 AB=AC,∠ABC的平分线BE交AC于点 ∠BAC=80°，∠ACB=70°，根据图中尺规作 D,AF⊥AB交BE于点F. 图的痕迹推断，以下结论错误的是() (1)如图①所示，若∠BAC=40°，求∠AFE A.∠BAQ=40° B.DE-ZBD 的度数 C.AF-AC D.∠EQF=25° (2)如图②所示，若BD⊥AC,垂足为点D, M BF=8,求DF的长. D 第17题图 第18题图 18.(泰安中考)如图所示，直线l∥m,等边三角形 ABC的两个顶点B,C分别落在直线1，m 上.若∠ABE=21°，则∠ACD的度数 是() A.45°B.39° C.29 D.21 19.(泰安中考)如图所示，在Rt△ABC中， ∠ABC=90°，分别以顶点A,C为圆心，以大 于2AC的长为半径作弧，两弧分别相交于点 M和点N,作直线MN分别与BC,AC交于 点E和点F;以点A为圆心，以适当的长为 半径作弧，分别交AB,AC于点H和点G,再 分别以点H、点G为圆心，大于？HG的半 径作弧，两弧交于点P,作射线AP,若射线 AP恰好经过点E,则下列四个结论： ①∠C=30°，②AP垂直平分线段BF; 通中考mwwu ③CE=2BE;④SaBEF=6SMBc. 16.(泰安中考)下列图形： 其中，正确的结论有( 其中是轴对称图形的有( A.4个 B.3个 A.1个B.2个C.3个 D.4个 C.2个 D.1个 △八年级·上册·数学.QD 97则∠B=180°-2a; 若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=a. 当90-29≠180°-2a且180°-2a≠a且90°-20 Γ2a≠a, 即a≠60°时，∠B有三个不同的度数. 所以当0°<a<90°且a≠60时，∠B有三个不同的度数. 综上所述，当a=60°或90°≤a<180°时，∠B的度数只有 个；当0°<a<90°且a≠60时，∠B有三个不同的度数. 第3课时等边三角形的判定与 含30°角的直角三角形 1.C2.B3.D4.B 5.186.27.B8.B 9.A10.D11.B 12.解：根据题意，得AB=15×(10一8)=30（海里）】 因为∠NBC=60°，∠NAC=30°， 所以∠ACB=∠NBC-∠NAC=60° 30°=30°， 609 所以∠ACB=∠NAC,所以BC=AB= 30海里. 30 如图所示，过点C作CD⊥AB于点D. 根据垂线段最短，线段CD的长为船与灯 塔C之间的最短距离，∠BDC=90°. 又因为∠NBC=60°， 所以∠DCB=180°-∠BDC-∠CBD=30° 在Rt△BCD中，∠BCD=30°， 所以DB=BC=号×30=15（海里， 所以15÷15=1（小时）. 答：还要经过1小时，船与灯塔C之间的距离最短， 13.解：△APQ为等边三角形. 证明：因为△ABC为等边三角形，所以AB=AC 在△ABP与△ACQ中， (AB=AC, 因为（∠ABP=∠ACQ! BP=CQ, 所以△ABP≌△ACQ(SAS) 所以AP=AQ,∠BAP=∠CAQ: 因为∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°， 所以∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°， 所以△APQ是等边三角形. 14.解：(1)因为△ABC为等边三角形， 所以∠ABC=∠ACB=60°， 即∠ABD+∠DBC=60°， ∠ACD+∠BCD=60° 因为∠BDC=120°， 所以∠DBC+∠DCB=60°， 所以∠ABD+∠ACD=60°， 所以∠ACD=60°-a. (2)AD=2DE.理由：延长CD至F使DF=BD,连接BF AF,如图所示 因为∠BDC=120°， 所以∠BDF=180°-∠BDC=60°， 所以△BDF是等边三角形， 所以BF=DF=DB,∠FBD=∠BFD=60°， 所以∠ABF十∠ABD=6O°. 又因为∠ABC=∠ABD+∠DBC=60°， 所以∠DBC=∠ABF, 因为AB=BC, 所以△ABF≌△CBD(SAS), 所以CD=AF,∠BDC=∠AFB=120°， 所以∠AFD=∠AFB-∠BFD=60°. 延长DE至G,使DE=GE,连接BG,如图所示。 因为点E是BC的中点， 所以BE=CE. 又因为∠BEG=∠CED, 所以△BEG≌△CED(SAS), 所以CD=BG,∠BCD=∠GBE, 所以BG=AF 因为∠BDC=120°， 所以∠BCD+∠DBC=60°， 所以∠GBE+∠DBC=60°，即∠GBD=60°， 所以∠GBD=∠AFD=60°. 在△DFA与△DBG中， DF=DB, ∠AFD=∠GBD, AF=BG, 所以△DFA≌△DBG(SAS), 所以AD=DG=DE+GE=2DE. 专题七等腰三角形与线段的垂直 平分线、角平分线的综合应用 1.D2.等边3.120°或75°或30 4.245.70°6.C 7.解：(1)202040 (2)证明：因为AD为等腰三角形ABC的顶角∠BAC的平分 1 线，所以∠BAE=2∠BAC. 因为∠ABC=∠ACB=50°， 所以∠BAC=80°， 所以∠BAE=40°， 所以∠BAE=∠BFE=40° 因为∠ABE=∠EBF=20°，BE=BE 所以△ABE≌△FBE(AAS), 所以AB=BF」 (3)BE⊥AF 本章综合提升 【本章知识归纳】 轴对称对称轴 全等重合相等垂直平分线相等 60°等腰三角形 一半 【思想方法归纳】 【例1】解：因为AB=AC, 所以∠ABC=∠C 如图①所示，因为∠ABD=40°，BD⊥AC, 所以∠A=50°， 所以∠ABC=∠C=180°，∠A=65, 如图②所示，因为∠ABD=40°，BD⊥AC, 所以∠BAD=50°， 所以∠ABC=∠C=2∠BAD=25, 所以这个等腰三角形的底角为65°或25°. D ① ② 【变式训练1】解：(1)设底边长为xcm,则腰长为3xcm, 根据题意，得x十3x十3x=21, 解得x=3, 所以底边长为3cm. (2)若5cm为底边长时，腰长为2×(21-5)-8(cem, 三角形的三边长分别为5cm,8cm,8cm 能围成三角形； 若5cm为腰长时，底边长为21一5×2=11(cm), 三角形的三边长分别为5cm,5cm,11cm. 因为5+5=10<11， 所以不能围成三角形 综上所述，能围成一个底边长是5cm、腰长是8cm的等 角形. 【例2】解：设AB=AC=x,BC=y: 因为AB=AC,AD⊥BC, 所以BD=DC=7BC=合. /2x+y=32,① 根据题意，得 1 x+2y+AD=24.② 1 由①，得x+2y=16,③ 把③代入②，得16+AD=24, 所以AD=8, 即AD的长为8. 【变式训练2】解：设∠BCD=x. 因为AC=AB, 所以∠B=∠ACB=x+15°. 因为BC=BD,所以∠BDC=∠BCD=x· 在△BCD中， 因为∠B+∠BCD+∠BDC=180°， 即x+15°+x+x=180°，解得x=55°， 所以∠B=55°+15°=70°. 【例3】解：连接MA,NA,如图所示 B E 根据题意，可得BM=AM,CN=AN 所以∠MAB=∠B,∠CAN=∠C 因为∠BAC=120°，AB=AC, 所以∠B=∠C=30°. 所以∠MAB+∠CAN=60°，∠AMN=∠ANM=60 所以∠MAN=60°. 所以△AMN是等边三角形， 所以AM=AN=MN. 所以BM=MN=NC. 【变式训练3】解：(1)135 (2)因为BE=BA,CD=CA, 所以∠BEA=∠BAE,∠CDA=∠CAD. 设∠BEA=∠BAE=x,∠CDA=∠CAD=y,∠EAD=之， 所以在△AED中，x十y十x=180°.① 因为∠BAC=90°， 所以x十y一x=90°，② ①+②，得x+y=135°， 所以之=45°， 即∠DAE的度数是45°. 【通模拟】 1.D2.A3.B4.C5.D6.A7.D 8.40°9.310.67.5°或22.5°11.39°12.10 13.解：(1)①②如图所示. (2)AF∥BC且AF=BC 理由：因为∠ABC=∠C, 所以∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C. 由作图，可知∠DAC=2∠FAC, 所以∠C=∠FAC,所以AF∥BC: 三 因为E是AC的中点，所以AE=CE. 又因为∠AEF=∠CEB, 所以△AEF≌△CEB(ASA), 所以AF=BC. 14.解：(1)因为DM,EN分别垂直平分AC和BC, 所以MA=MC,NB=NC, 所以△CMN的周长为MC+MN+NC=MA+MN+ NB=AB=8. (2)因为△FAB的周长为18， 所以FA+FB+AB=18. 因为AB=8, 所以FA+FB=10. 因为DM,EN分别垂直平分AC和BC, 所以FA=FC,FB=FC, 所以2FC=10, 所以FC=5. 15.解：(1)因为AB=AC,∠BAC=40°， 所以∠ABC=70° 因为BE平分∠ABC, 所以∠ABF=35° 因为AF⊥AB, 所以∠BAF=90°， 所以∠AFE=125°. (2)因为BD平分∠ABC, 所以∠ABD=∠CBD 因为BD⊥AC, 所以∠ADB=∠CDB=90°， 所以△ABD≌△CBD(ASA), 所以AB=BC. 因为AB=AC, 所以三角形ABC是等边三角形， 所以∠ABF=30°，所以AF=4. 在Rt△ADF中， 因为AF=4,∠FAD=30°， 所以DF=2. 【通中考】 16.B17.D18.B19.D 22