第2章 专题二 判定全等三角形的方法-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（青岛版2024）

专题二判定全等 类型1》根据公共边得三角形全等 1.如图所示，点E在AB上，AC=AD, ∠CAB=∠DAB,△ACE与△ADE全等吗？ △ACB与△ADB呢？请说明理由. 类型2)已知线段相等，根据线段的和或差得 三角形全等 2.模型观念如图所示，点A,B,C,D在一条直 线上，EA∥BF,EC∥FD,AB=CD.求证： EC=FD 类型3)根据角的和或差得三角形全等 3.如图所示，已知在△ABC,△ADE中， ∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE, 点C,D,E三点在同一条直线上，连接BD交 AC于点F.图中的CE,BD有怎样的大小和 位置关系？试说明你的理由. 28 三角形的方法（答案P7) 类型4)根据公共角得三角形全等 4.如图所示，已知AB=AC,BD=CE,求证： △ABE≌△ACD. 类型5)根据平行线得三角形全等 5.(菏泽一模)如图所示，在Rt△ABC中，∠B= 90°，CD∥AB,DE⊥AC于点E,且CE=AB. 求证：△CED≌△ABC. 类型6)根据直角三角形得三角形全等 6.如图所示，在△ABC中，D为BC边上一点， BE⊥AD,交AD的延长线于点E,CF⊥AD 于点F,BE=CF, (1)求证：点D为BC的中点， (2)若BC=2AC,求证：AF=ED. nnN一优学案·课时通△ 类型7)根据等角或同角的余角（补角）相等得 三角形全等 7.(泰安岱岳区月考)已知：如图所示，点E,D, B,F在同一条直线上，AD∥CB,∠E=∠F, DE=BF.求证：AE=CF.（每一步都要写明 依据) 8.如图所示，AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD,连接 AC,过点D作DE⊥AC于点E,过点B作 BF⊥AC于点F, (1)求证：△ABF≌△DAE. (2)线段BF,EF,DE三者之间有怎样的数量 关系？请说明理由. D B △八年级·上册·数学.QD 类型8)运用两次全等说明三角形中边相等或 角相等 9.如图所示，△ABO≌△CDO,点E,F在线段 AC上，且AF=CE.求证：DF=BE. 10.如图所示，点B,F,C,E在一条直线上， FB=CE,AB∥ED,AC∥FD,AD交BE于 点O.求证：AD与BE互相平分. L29所以Rt△ABC≌Rt△QPA(HL). C(P) ① ② 当点P运动到与点C重合时（如图②所示）， △ABC≌△PQA. 理由如下：在Rt△ABC和R△PQA中，AB=PQ, AC=PA, 所以Rt△ABC≌Rt△PQA(HL). 综上可知，当点P运动到AC中点处或与点C重合时， △ABC和以A,P,Q为顶点的三角形全等」 14.解：(1)证明：因为BD⊥DE,CE⊥DE, 所以∠ADB=∠AEC=90°. 在Rt△ABD和Rt△CAE中， (AB=CA, AD=CE, 所以Rt△ABD≌Rt△CAE(HL). 所以∠BAD=∠ACE. 因为∠EAC+∠ACE=90°，所以∠BAD+∠EAC=90°. 所以∠BAC=180°-（∠BAD+∠EAC)=90° 所以AB⊥AC (2)AB⊥AC. 证明：同(1)可证Rt△ABD≌Rt△CAE 所以∠BAD=∠ECA. 因为∠EAC+∠ECA=90°，所以∠EAC十∠BAD=90°， 即∠BAC=90°.所以AB⊥AC. 专题二判定全等三角形的方法 1.解：△ACE≌△ADE,△ACB≌△ADB. 理由如下：在△ACE和△ADE中，因为AC=AD,∠CAE ∠DAE,AE=AE,所以△ACE≌△ADE(SAS) 在△ACB和△ADB中，因为AC=AD,∠CAB=∠DAB, AB=AB, 所以△ACB≌△ADB(SAS). 2.证明：因为EA∥BF,EC∥FD, 所以∠A=∠FBD,∠ACE=∠D 因为AB=CD, 所以AB十BC=CD十BC, 即AC=BD. 在△AEC和△BFD中， ∠A=∠FBD, AC=BD, ∠ACE=∠D， 所以△AEC≌△BFD(ASA), 所以EC=FD. 3.解：CE=BD且CE⊥BD,理由如下： 因为∠BAC=∠DAE=90°，∠BAD=∠BAC+∠CAD, ∠CAE=∠CAD+∠DAE, 所以∠BAD=∠CAE. 在△BAD和△CAE中， (BA=CA, ∠BAD=∠CAE, AD-AE, 所以△BAD≌△CAE(SAS), 所以BD=CE,∠ABD=∠ACE 因为∠ABC+∠ACB=90°，∠ABC=∠ABD+∠DBC, 所以∠ACE+∠DBC+∠ACB=90°， 所以∠BDC=90°， 所以BD⊥CE 4.证明：因为AB=AC,BD=CE,所以AD=AE.又因为 ∠A=∠A,所以△ABE≌△ACD(SAS). 5.证明：因为DE⊥AC,∠B=90°， 所以∠DEC=∠B=90° 因为CD∥AB, 所以∠A=∠DCE, 在△CED和△ABC中， ∠DCE=∠A, CE=AB, ∠DEC=∠B, 所以△CED≌△ABC(ASA). 6.证明：(1)因为BE⊥AD,交AD的延长线于点E,CF⊥AD 于点F, 所以∠CFD=∠BED=90°. 在△CFD和△BED中， ∠CFD=∠BED=90°， ∠CDF=∠BDE CF=BE, 所以△CDF≌△BDE(AAS), 所以CD=BD, 所以点D为BC的中点. (2)因为BC=2AC,CD=DB, 所以CA=CD 因为CF⊥AD, 所以△ACF和△DCF都是直角三角形 在Rt△ACF和Rt△DCF中， (AC=DC, CF=CF,所以RtAACFS≌Rt△DCF(HL), 所以AF=DF 因为△CDF≌△BDE, 所以DF=DE, 所以AF=DE 7.证明：因为AD∥CB(已知)， 所以∠ADB=∠CBD(两直线平行，内错角相等)， 所以∠ADE=∠CBF(等角的补角相等). 在△ADE和△CBF中， '∠ADE=∠CBF, DE=BF, ∠E=∠F, 所以△ADE≌△CBF(ASA), 所以AE=CF(全等三角形的对应边相等). 8.解：(1)证明：因为AB⊥BC, 所以∠ABC=90°， 因为AD∥BC, 所以∠BAD=180°-∠ABC=90° 因为DE⊥AC,BF⊥AC, 所以∠BFA=∠AED=90° 所以∠ABF+∠BAF=∠BAF+∠DAE=90°， 所以∠ABF=∠DAE. 在△ABF和△DAE中， ∠BFA=∠AED, ∠ABF=∠DAE, AB=AD, 所以△ABF≌△DAE(AAS). (2)BF+EF=DE 理由如下： 由(1)得△ABF≌△DAE, 所以BF=AE,AF=DE, 所以DE=AF=AE十EF=BF十EF, 即BF+EF=DE. 9.证明：因为△ABO≌△CDO 所以OA=OC,OB=OD. 因为AF=CE, 所以OA一AF=OC-CE,即OF=OE 在△FOD和△EOB中， OF=OE, ∠FOD=∠EOB, OD=OB, 所以△FOD≌△EOB(SAS). 所以DF=BE 10.证明：因为FB=CE, 所以FB十FC=CE十FC,即BC=EF. 又因为AB∥ED,AC∥FD, 所以∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE: 在△ABC和△DEF中， I∠ABC=∠DEF, BC=EF, ∠ACB=∠DFE, 所以△ABC≌△DEF(ASA), 所以AC=DF 在△AOC和△DOF中， I∠ACO=∠DFO, ∠AOC=∠DOF, AC=DF, 所以△AOC≌△DOF(AAS) 所以AO=DO,CO=FO. 因为BF=CE,所以BF+FO=CE+CO,即BO=EO 所以AD与BE互相平分. 2.3尺规作图 第1课时 尺规作角、三角形 1.B2.D 3.解：如图所示，∠APC即为所求.（作法不唯一） B 4.D 5.解：如图所示，△ABC1和△ABC2即为所求 6.解：如图所示，△ABC为所作. 7.解：(1)如图①所示.(2)能.如图②所示 2 cm 140 cm ① ② 第2课时过直线外一点作这条直 线的平行线或垂线 1.D 2.C 3.解：如图所示，点P即为所求 4.C 5.解：(1)如图所示. (2)证明：因为NPOA, 所以∠NPO=∠POM. 又因为MPOB, 所以∠MPO=∠POB. 因为∠MPO=∠NPO, 所以∠BOP=∠AOP, 所以OP是∠AOB的平分线， 6.解：(1)如图所示. D B G (2)AB=CF. 证明：因为CF∥AB,所以∠ECF=∠AEC 因为CA=CE,所以∠AEC=∠A, 所以∠A=∠ECF, 因为EF⊥CE, 所以∠CEF=∠ACB ∠A=∠ECF, 在△ABC和△CFE中， AC=CE, ∠ACB=∠CEF, 所以△ABC≌△CFE(ASA),所以AB=CF 本章综合提升 【本章知识归纳】 重合相同相等重合对应顶点对应边对应角 相等相等夹角夹边三边稳定性 【思想方法归纳】 【例1】解：(1)△ACP≌△BPQ,PC⊥PQ.