专题04 全等三角形相关几何证明分类（不含辅助线）（期中专项训练）八年级数学上学期新教材青岛版

高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04全等三角形相关几何证明分类 (不含辅助线) 题型归纳·内容导航 题型1平移模型 题型4一线三等角模型（难点） 题型2轴对称模型（常考点） 题型5手拉手模型（重点） 题型3旋转模型 题型6三垂直模型（常考点） 题型通关·靶向提分 题型1平移模型（共6小题） 1.(24-25八上山东滨州无棣期中)如图，己知点B、E、C、F在同一直线上，AB=DE,∠A=∠D, AB∥DE.求证： D B E (1)△ABC≌△DEF; (2)AC∥DF. 2.(25-26八上·甘肃定西渭源阶段一)C是AB的中点，AD=CE,CD=BE,求证：△ACD≌△CBE. B 3.(24-25八上山东菏泽成武·期中)如图，点B、E、C、F在一条直线上，AC∥DF, AC=DF,BE=CF.求证：∠A=∠D. 1/13 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 4.(24-25八上山东滨州期中)如图，己知A、D、C、E在同一直线上，AD=CE,AB∥DF, AB=DF B A D E (1)求证：△ABC≌△DFE; (2)连接CF,若∠BCF=60°，LDFC=20,求∠DFE的度数. 5.(22-23八上海南定安期中)如图，点B,E,C,F在同一直线上，AB∥DE,AB=DE, BE=CF.求证： D B E C (1)△ABC≌△DEF; (2)AC∥DF. 6.(25-26八上陕西榆林.一阶段)如图，在ABC与aDEF中，点A、D、C、F在一条直线上， AB∥DE,AB=DE,AD=CF,∠B与∠E相等吗？为什么？ E 题型2轴对称模型（共6小题） 7.(23-24八上山东济南历下区山东师大二附中开学)如图，在ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别是E,F,且DE=DF,求证：Rt BDE≌Rt CDF. 2/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A E B D 8.(23-24八上四川巴中.期末)如图，BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,BE=CD,BD与CE交于点O. D (1)求证：△C0D≌△B0E; (2)若CD=2,AE=5,求AC的长. 9.(24-25八上山东青岛三十九中学.期末)如图，点B、F、C、E四点在同一条直线上， ∠B=∠E,AB=DE,BF=CE.求证：AC=DF. B F C E 10.(2025西藏中考真题)如图，AB=DC,AC=DB,求证：△ABC≌△DCB. B 11.(24-25八上山东泰安肥城龙山中学.期中)如图，已知OC=OE,OD=OB,求证：AC=AE. D 12.(24-25八上湖北襄阳高新技术产业开发区二中.月考)如图，∠1=∠2，∠3=∠4.求证AC=AD. 3/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4 D 题型3旋转模型（共6小题） 13.(24-25八上山东济宁邹城期末)已己知：如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直 线AD的两侧，且AB=DE,∠A=∠D,AF=DC.求证：△ABC≌△DEF. B E 14.(24-25八上山东济南历城万象新天学校月考)如图，AB=CD,AF=CE,BE⊥AC于点E, DF⊥AC于点F.求证：AB∥CD. D 15.(22-23八上山东滨州惠民·期中)已知如图，在ABC和ADE中，AB=AD,AC=AE,∠1=∠2.求 证：BC=DE. 16.(山东省威海市乳山市2023-2024学年八年级上学期期末)如图，在ABC中，AB=AC,将ABC绕 点A沿顺时针旋转得到ADE,BD与CE交于点F. 4/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求证：△BCF≌△EDF; (2)若AB=1,∠BAC=45°，当四边形ADFC是平行四边形时，求EC的长. 17.(24-25八上山东泰安新泰期末)如图，在ABC中，AB=AC,将ABC绕点A沿逆时针方向旋转 得到ADE,BD与CE交于点F. D (1)若∠BCF=25°，求∠EDF的度数； (2)若AB=1,∠BAC=45°，当四边形ADFC是平行四边形时，求∠BAE的度数及EC的长. 18.(24-25八上山东淄博张店区·期末)如图，BC=DE,∠1=∠2=40°，∠C=LD，点E在线段BC上. B (1)求证：△ABC≌△AED: (2)求∠AEC的度数， 题型4一线三等角模型（共6小题） 19.(22-23八上山东济宁金乡期中)(1)如图①，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线m经过点 A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为D,E.求证：DE=BD+CE; (2)如图②，将(1)中的条件改为在ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线m上，且有 LBDA=∠AEC=∠BAC=a,其中O为任意钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立？若成立，请给出证明； 若不成立，请说明理由. 5/13 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B B D A E m D A E m 图① 图② 20.(23-24八上山东德州夏津金光中学期中)问题情境：如图①，在直角三角形ABC中， LBAC=90°，AD⊥BC于点D,可知：∠BAD=∠C(不需要证明)· 特例探究：如图②，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B,C在∠MAN的边AM,AN上，且 AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.证明：ABD≌CAF; 归纳证明：如图③，点B,C在∠MAN的边AM,AW上，点E,F在∠MAN内部的射线AD上，∠I,∠2分别是 △ABE,△CAF的外角.已知AB=AC,∠I=∠2=∠BAC.求证：ABE≌CAF; 拓展应用：如图④，在ABC中，AB=AC,AB>BC,点D在边BC上，CD=2BD,点E,F在线段AD上， ∠1=∠2=∠BAC.若ABC的面积为15，则△ACF与BDE的面积之和为- M B B D E C M B D 图① 图② 图③ 图④ 21.(24-25八上山东邹城十一中期末)(1)问题：如图①，已知：ABC中，∠BAC=90°，AB=AC, 直线m经过点A,BD⊥m于D,CE⊥m于E,求证：DE=BD+CE; (2)拓展：如图②，将(1)中的条件改为：ABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线m上，并且 ∠BDA=∠AEC=∠BAC=a,为任意锐角或钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请证明； 若不成立，请说明理由； (3)应用：如图③，在ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC,∠BAD>∠CAE,LBDA=LAEC=LBAC ,直线m与BC的延长线交于点F,若BC=2CF,ABC的面积是14，求△ABD与△CEF的面积之和. B B B D A E m D A E m F E A D m 图① 图② 图③ 22.(24-25八上山东济南莱芜区·期末)已知ABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线1上，且 6/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠BDA=LAEC=∠BAC=a,其中0°<a<180°. 图1 图2 图3 (1)模型：当a=90°时，如图1，猜想DE、BD、CE之间的数量关系为 (2)拓展：当0°<a<90°时，如图2，(1)中结论是否仍然成立？请说明理由： (3)应用：当90°<a<180°时，如图3，若∠BAD>∠CAE,延长BC,交直线1于点F,BC=3CF, S。ABD=2,SCEF=1,求SABC· 23.(21-22八上河南南阳方城期末)如图，在ABC中，AB=AC=2,∠B=40°，点D在线段BC上运动 (D不与B、C重合)，连接AD,作∠ADE=40°，DE交线段AC于E. B40X40° D (1)当∠BDA=115°时，∠BAD=-°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变-（填“大"或“小"）； (2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE,请说明理由； (3)在点D的运动过程中，ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，ADE是等腰三角形. 24.(22-23八上·山东聊城临清期中)已知：CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA=CB,E、F是 直线CD上两点，∠BEC=∠CFA=∠a. (1)若直线CD经过∠BCA的内部，∠BCD>∠ACD, ①如图1，∠BCA=90°，∠a=90°，写出BE,EF,AF间的等量关系： ②如图2，∠α与∠BCA具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出∠α与∠BCA的数量关 系 (2)如图3.若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA,①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若 不成立，写出新结论并进行证明。 7/13 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B F D D C C D 图1 图2 图3 题型5手拉手模型（共6小题） 25.(22-23八上山东德州齐河期末)如图，在ABC和ADE中，∠BAC=∠DAE=90°， AB=AC,AD=AE,点C,D,E三点在同一直线上，连接BD交AC于点G. A (1)试说明：△BAD≌△CAE; (2)猜想BD,CE有何特殊位置关系，并说明理由. 26.(22-23九上山东济南长清·期中)解答题 (1)如图1，ABC和ADE都是等边三角形，连接BD、CE,求证，BD=CE; D E 图1 [类比探究] (2)如图2，ABC和ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=LADE=90°，连接BD,CE. BD的值， CE 8/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B 图2 [拓展提升] B如图3，ABC和ADE都是直角三角形，∠4BC:∠HDE=90°，4C-4E-2.连接BD、CE,延长 AB AD CE交BD于点F,连接AF.若∠AFC恰好等于90°，请直接写出此时AF,BF,CF之间的数量关系. B 图3 27.(24-25八上山东济南商河·期末)数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径，通过探 究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广 阔的数学天地 A E 图1 图2 图3 (1)发现间题：如图1，在ABC和△AEF中，AB=AC,AE=AF,LBAC=∠EAF=30°，连接BE,CF, 延长BE交CF于点D.则BE与CF的数量关系：一，LBDC=一°； (2)类比探究：如图2，在ABC和△AEF中，AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=I20°，连接BE,CF, 延长BE交CF于点D.请猜想BE与CF的数量关系及LBDC的度数，并说明理由； (3)拓展延伸：如图3，ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAF=90°，连接BE,CF,且点B, E,F在一条直线上，过点A作AM⊥BF,垂足为点M.请猜想BF,CF,AM之间的数量关系并说明理由， 9/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 28.(24-25八上江苏连云港海宁中学.综合练习一)已知：如图，AE⊥AB,AF1AC,AE=AB, AF=AC,EC与AB、BF分别相交于点D、M. (1)求证：BF=CE; (2)EC与BF有怎样的位置关系？证明你的结论， 29.(24-25八上山东滨州阳信城区集团校月考)如图所示，ABC和ADE都是等边三角形，且B、A、 E在同一直线上，连接BD交AC于M,连接CE交AD于N,连接MN,求证： B (1)BD=CE (2)MN∥BE. 30.(23-24八上山东青岛市南区青大附中期中)如图，ABC和△AOD是等腰直角三角形，AB=AC, A0=AD,LBAC=∠0AD=90°，点O是ABC内的点，∠B0C=130°. O a B (1)求证：0B=DC; (2)设LA0B=a,当△COD是等腰三角形时，直接写出a的度数. 题型6三垂直模型（共6小题） 10/13专题04 全等三角形相关几何证明分类 （不含辅助线） 题型1 平移模型 题型4 一线三等角模型（难点） 题型2 轴对称模型（常考点） 题型5 手拉手模型（重点） 题型3 旋转模型 题型6 三垂直模型（常考点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 平移模型（共6小题） 1．（24-25八上·山东滨州无棣·期中）如图，已知点B、E、C、F在同一直线上，，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【详解】（1）∵， ， 在和中， ， （2）， 2．（25-26八上·甘肃定西渭源·阶段一）是的中点，，求证：． 【答案】证明见解析 【来源】甘肃省定西市渭源县2025--2026学年上学期第一次阶段测试八年级数学试卷 【分析】本题考查了三角形全等的判定，利用“”即可证明． 【详解】证明：∵是的中点， ∴， 又∵， ∴． 3．（24-25八上·山东菏泽成武·期中）如图，点B、E、C、F在一条直线上，，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴ ∵在和中， ，     ∴， ∴． 4．（24-25八上·山东滨州·期中）如图，已知A、D、C、E在同一直线上，，，． (1)求证：； (2)连接，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（22-23八上·海南定安·期中）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【来源】海南省省直辖县级行政单位定安县2022-2023学年八年级上学期期中数学试题 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）由题意易得，然后根据“”可判定全等； （2）根据全等三角形的性质可进行求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， ， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴． 6．（25-26八上·陕西榆林·一阶段）如图，在与中，点、、、在一条直线上，与相等吗？为什么？ 【答案】与相等，理由见解析 【来源】陕西省榆林市2025-2026学年上学期八年级第一次阶段性作业A数学试卷 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，根据证明，可得． 【详解】解：相等，．理由如下： ， ， ， ，即， 在和中， ， ． 题型2 轴对称模型（共6小题） 7．（23-24八上·山东济南历下区山东师大二附中·开学）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是，，且．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明∶ ，， ． 是的中点， ． 在与中， 8．（23-24八上·四川巴中·期末）如图，于点D，于点E，，与交于点O． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【来源】 四川省巴中市2023-2024学年八年级上学期期末考试数学试题（华师大版） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质： （1）利用角角边可证明； （2）根据，可得，，从而得到，再证明，可得，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．（24-25八上·山东青岛三十九中学·期末）如图，点B、F、C、E四点在同一条直线上，．求证：．    【答案】见解析 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 10．（2025·西藏·中考真题）如图，，．求证：． 【答案】证明见详解 【来源】2025年西藏自治区中考真题数学试卷 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，通过找出两个三角形三边对应相等来证明全等即可．在和中，已知，，同时还隐含条件这条公共边，此时满足全等三角形判定定理中的“边边边”，最终得出两个三角形全等． 【详解】证明：在和中， ， ∴． 11．（24-25八上·山东泰安肥城龙山中学·期中）如图，已知，求证∶． 【答案】证明见解析 【详解】证明∶在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴ 在和中， ∵ ， ∴， ∴ ． 12．（24-25八上·湖北襄阳高新技术产业开发区二中·月考）如图，，．求证．    【答案】见解析 【来源】湖北省襄阳高新技术产业开发区第二中学2024 -2025学年八年级上学期第一次诊断练习（月考）数学试题 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 根据等角的补角相等得到，证明，即可得到． 【详解】∵，，， ∴， ∵在和中， ∴， ∴． 题型3 旋转模型（共6小题） 13．（24-25八上·山东济宁邹城·期末）已知：如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线的两侧，且，，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中 ， ∴． 14．（24-25八上·山东济南历城万象新天学校·月考）如图，，，于点E，于点F．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴ ∴， ∴． 15．（22-23八上·山东滨州惠民·期中）已知如图，在和中，，，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ， 即， 又， 在和中 ， ． 16．（山东省威海市乳山市2023-2024学年八年级上学期期末）如图，在中，，将绕点A沿顺时针旋转得到，与交于点F． (1)求证：； (2)若，当四边形是平行四边形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】 山东省威海市乳山市（五四制）2023-2024学年八年级上学期期末考试数学试题 【分析】（1）连接．根据旋转的性质先证明△△则，进而证明△△，得出，即可证明△△； （2）根据四边形是平行四边形，结合已知条件得出，由勾股定理，可求得．根据△△，即可求解． 【详解】（1）证明：连接． 将绕点沿顺时针旋转得到， ，，， ， 又， ， ． ． ，， ． ． 在和中， ， ． （2）解：四边形是平行四边形， ． ． ， ． ． 由勾股定理，可求得． ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理；熟练掌握以上知识是解题的关键． 17．（24-25八上·山东泰安新泰·期末）如图，在中，，将绕点沿逆时针方向旋转得到，与交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，当四边形是平行四边形时，求的度数及的长． 【答案】(1) (2)， 【来源】山东省泰安市新泰市2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题 【分析】（1）连接．根据旋转的性质先证明则，进而证明，得出； （2）根据四边形是平行四边形，结合已知条件得出，进而得．由勾股定理，可求得．根据，即可求解． 【详解】（1）证明：连接． ∵将绕点沿顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴（）， ∴． ∵，， ∴（）． ∴． （2）解：由旋转性质得，， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴ 由勾股定理，可求得， ∵， ∴． 18．（24-25八上·山东淄博张店区·期末）如图，，，，点在线段上． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴； （2）解：由（1）得：， ∴， ∴， ∴． 题型4 一线三等角模型（共6小题） 19．（22-23八上·山东济宁金乡·期中）（1）如图①，在中，，直线m经过点直线直线m，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图②，将（1）中的条件改为在中，三点都在直线m上，且有，其中为任意钝角，请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）成立，证明见解析 【详解】（1）证明：直线直线m， ． ， ． ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：成立．证明如下： ， ， ． 在和中， ， ， ． 20．（23-24八上·山东德州夏津金光中学·期中）问题情境：如图①，在直角三角形中，于点D，可知：（不需要证明）． 特例探究：如图②，，射线在这个角的内部，点在的边上，且于点于点D．证明：； 归纳证明：如图③，点在的边上，点在内部的射线上，分别是的外角．已知．求证：； 拓展应用：如图④，在中，．点D在边上，，点在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为 ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）5 【详解】（1）证明：如图②，∵， ， ， ， 在和中，， ． （2）证明：如图③， ， ， ， ，   在和中， ， ． （3）如图④，∵的面积为， ∴的面积， 由（2）可得， 即：， ， 即与的面积之和等于的面积5 ， 故答案为：5． 21．（24-25八上·山东邹城十一中·期末）（1）问题：如图①，已知：中，，，直线m经过点A，于D，于E，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，三点都在直线m上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是14，求与的面积之和． 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3） 【来源】山东省邹城市第十一中学2024-2025学年上学期八年级数学期末考试试题 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，则，，； （2）同理（1）证明即可； （3）同理（2）可得，，则，设的底边上的高为，则的底边上的高为，，，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】（1）证明：直线，直线， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：结论成立；理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：同理（2）可得，， ∴， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ∴，， ， ∴， ∴， ∴与的面积之和为． 22．（24-25八上·山东济南莱芜区·期末）已知中，，D、A、E三点都在直线l上，且，其中． (1)模型：当时，如图1，猜想、、之间的数量关系为________； (2)拓展：当时，如图2，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； (3)应用：当时，如图3，若，延长，交直线l于点F，，，，求． 【答案】(1) (2)成立，见解析 (3)9 【详解】（1）解：的数量关系为：，理由如下： ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：（1）中的结论成立，证明如下： ∵， ∴， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设的底边上的高为h，则的底边上的高为h， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 23．（21-22八上·河南南阳方城·期末）如图，在中，，点D在线段上运动（D不与B、C重合），连接，作交线段于E． (1)当时， ；点D从B向C运动时，逐渐变 （填“大”或“小”）； (2)当等于多少时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状也在改变，判断当等于多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)；小 (2)2，理由见解析 (3)当或时，是等腰三角形 【来源】河南省南阳市方城县2021-2022学年八年级上学期期末数学试题 【分析】（1）根据三角形内角和定理，将已知数值代入即可求出，根据点的运动方向可判定的变化情况． （2）假设，利用全等三角形的对应边相等得出，即可求得答案． （3）假设是等腰三角形，分为三种情况：①当时，，根据，得出此时不符合；②当时，求出，求出，根据三角形的内角和定理求出，根据三角形的内角和定理求出即可；③当时，求出，求出，根据三角形的内角和定理求出． 【详解】（1）解：； 从图中可以得知，点从向运动时，逐渐变小； 故答案为：；小； （2）解：，， ， ， 当时，； （3）解：， ， ①当时，， ， 此时不符合； ②当时，即， ， ； ； ③当时，， ， ； 当或时，是等腰三角形． 24．（22-23八上·山东聊城临清·期中）已知：CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F是直线CD上两点，∠BEC＝∠CFA＝∠α． （1）若直线CD经过∠BCA的内部，∠BCD＞∠ACD． ①如图1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，写出BE，EF，AF间的等量关系：　 　． ②如图2，∠α与∠BCA具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出∠α与∠BCA的数量关系 　 　． （2）如图3．若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明． 【答案】（1）①EF= BE-AF；②∠α+ ∠BCA = 180°，理由见解析；（2）不成立，EF=BE+AF，证明见解析 【详解】（1）①EF、BE、AF的数量关系：EF= BE-AF， 证明：当α =90°时，∠BEC = ∠CFA =90°， ∵∠BCA = 90°, ∴∠BCE＋∠ACF= 90°, ∵∠BCE＋∠CBE =90°， ∴∠ACF = ∠CBE， ∵AC = BC, ∴△BCE≌△CAF, ∴BE =CF,CE = AF, ∵CF =CE＋EF, ∴EF= CF -CE=BE-AF； ②∠α与∠BCA关系：∠α+ ∠BCA = 180° 当∠α+ ∠BCA = 180°时，①中结论仍然成立; 理由是：如题图2， ∵∠BEC = ∠CFA = ∠α, ,∠α+∠ACB =180°, 又∵ ∴∠CBE= ∠ACF, 在△BCE和△CAF中 ∴△BCE≌△CAF (AAS), ∴BE =CF,CE = AF， ∴EF= CF-CE= BE -AF; 故答案为: ∠α+ ∠BCA = 180° ； （2）EF、BE、AF的数量关系:EF=BE+AF，理由如下 ∵∠BEC =∠CFA =∠α, ∠α= ∠BCA, 又∵∠EBC +∠BCE＋∠BEC = 180° , ∠BCE＋∠ACF+∠ACB =180° , ∴∠EBC ＋∠BCE =∠BCE＋∠ACF ∴∠EBC = ∠ACF， 在△BEC和△CFA中 ∴△ABE≌△CFA(AAS) ∴AF = CE，BE = CF ∵EF= CE+CF, ∴EF= BE＋AF． 题型5 手拉手模型（共6小题） 25．（22-23八上·山东德州齐河·期末）如图，在和中，，，点C，D，E三点在同一直线上，连接交于点G． (1)试说明：； (2)猜想有何特殊位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【详解】（1）解：， ． 即． 在和中， ， ． （2）解：，理由如下： ， ． ，，， ． ． 26．（22-23九上·山东济南长清·期中）解答题 (1)如图1，和都是等边三角形，连接、，求证，； [类比探究] (2)如图2，和都是等腰直角三角形，，连接．求的值． [拓展提升] (3)如图3，和都是直角三角形，，．连接，延长交于点F，连接．若恰好等于，请直接写出此时之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【来源】山东省济南市长清区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题 【分析】（1）证明，从而得出结论； （2）证明，从而得出结果； （3）过点B作，垂足为点H，令和相交于点O．通过证明以及，根据对应边成比例，即可将三条线段表示出来，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即：， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴，则， ∵，即：， 在和中， ，， ∴， ∴， 令，根据勾股定理可得：， ∴． （3） 过点B作，垂足为点H，令和相交于点O． ∵，， ∴，， ∴，则， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 在和中， ，， ∴， 设，，则， ∵，， ∴， ∴，即，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 27．（24-25八上·山东济南商河·期末）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径，通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． (1)发现问题：如图1，在和中，，，，连接，延长交于点D．则与的数量关系：______，______； (2)类比探究：如图2，在和中，，，，连接，延长交于点D．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； (3)拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，且点B，E，F在一条直线上，过点A作，垂足为点M．请猜想之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【详解】（1）如图1，设交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：30． （2）， 理由如下：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）， 理由如下：如图3所示： ∵和都是等腰三角形， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 28．（24-25八上·江苏连云港海宁中学·综合练习一）已知：如图，，，，．与分别相交于点D、M． (1)求证：； (2)与有怎样的位置关系？ 证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【来源】江苏省连云港市海宁中学2024-2025学年上学期八年级综合练习一（10月） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，垂线的定义，三角形内角和定理： （1）先由条件可以得出，再根据证明就可以得出结论； （2）由全等三角形的性质得到，再导角证明，即． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴ 即 ∵在和中 ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 29．（24-25八上·山东滨州阳信城区集团校·月考）如图所示，和都是等边三角形，且B、A、E在同一直线上，连接交于M，连接交于N，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可知，， ∵， 又∵，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 30．（23-24八上·山东青岛市南区青大附中·期中）如图，和是等腰直角三角形，，，，点 O是内的一点，． (1)求证：； (2)设，当是等腰三角形时，直接写出α的度数． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在与中 ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形中，； 当时， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴ 又 ∴； 当时， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴ ∴， ∴； 综上所述：当α的度数为或或时，是等腰三角形． 题型6 三垂直模型（共6小题） 31．（24-25八年级·山东济宁汶上苑庄镇中学·月考）如图，已知在中，，点P为边上一动点（），分别过点B，C作于点E，于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】云南省昭通市昭阳区2020-2021学年八年级上学期期中学业水平监测数学试题 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）由得到，进而得到，根据证明即可； （2）根据全等的性质得到，即可得到． 【详解】（1）∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴； （2）∵， ∴． ∵， ∴． 32．（22-23八上·山东济宁邹城六中·期中）（1）如图（1），在中，，，是过点A的一条直线，且点，在的异侧，于点，于点．求证：． （2）若直线AE绕点A旋转到图2的位置时（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明． 【答案】（1）证明见解析（2），证明见解析 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； 又，， ， 在和中， ， ； ，； ， ； （2）解：结论：． 理由：， ， ， ， ； 又， ， 在和中， ， ， ，； ， ． 33．（24-25八上·广东东莞南城开心实验学校·期中）如图，，，三点在同一直线上，且． (1)若，请判断与的位置关系； (2)线段，，有怎样的数量关系？请说明理由； 【答案】(1)，理由见解析； (2)，理由见解析． 【来源】广东省东莞市南城开心实验学校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷 【分析】（）根据全等三角形的性质得，则有，然后根据三角形的内角和定理得，从而求解； （）根据全等三角形的性质得，，然后由线段和差即可求解； 本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直的定义，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由， ∵， ∴，， ∵， ∴． 34．（23-24八上·山东济南钢城区·期末）如图，在中，于点E，于点D．求证： (1)； (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明∶∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 在与中， ， ∴．． （2）解：∵， ∴， ∴，即． 35．（24-25八下·广西贺州昭平县·期末）“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】 （1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，请直接写出、与之间的数量关系； 【模型应用】 （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，． ①求的长； ②如图3，延长，交于点，求的长度． 【答案】（1），（2）①，② 【来源】广西壮族自治区贺州市昭平县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题 【分析】本题考查了“一线三垂直”的全等模型，掌握模型的构成与结论是解题关键． （1）证即可求解； （2）①证即可求解；②设，根据，即可求解； 【详解】解：（1）、与之间满足的数量关系为：； 理由如下： 由题意得：， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）①在等腰直角中，，， ，             于点，于点， ， ， ，             在和中， ， ，，         ；         ②设， 在中，     在中，     在中，     ，解得         36．（24-25八上·辽宁盘锦双台子一中·期中）如图，点C在线段上，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，点为中点．连，，分别交，于．，猜想与关系，并加以证明； (3)如图3，在（2）的条件下，连接；求证：． 【答案】(1)见解析 (2)，，理由见解析 (3)见解析 【来源】辽宁省盘锦市双台子区第一中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由“”可证，可得，可证得结论成立； （2）由“”可证，可得，，再证明即可； （3）由“”可证，可得，可求，可证． 【详解】（1）证明：， ， ， 又， ， ， ； （2）解：，，理由： 如图，连接， ， ， ． ∵，点是的中点， ，，， ， 又， ， ，， ， ， ∴； （3）证明：∵，， 是等腰直角三角形， ． ， ， 又，， ， ， ， ． $