专题05 全等三角形相关几何证明分类（含辅助线）（期中专项训练）八年级数学上学期新教材青岛版

高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题05全等三角形相关几何证明分类 (含辅助线) 题型归纳·内容导航 题型1 倍长中线（难点） 题型4半角模型（重点） 题型2截长补短（难点） 题型5含辅助线动点问题（难点） 题型3作垂直 题型通关·靶向提分 题型1倍长中线（共6小题） 1.(24-25八上山东滨州无棣期中)如图，己知ABC中，AB=4,AC=3,AD是ABC的中线，求 AD的取值范围. B 0 2.(23-24八上辽宁葫芦岛连山区六初中.期末)某校八年级（1)班数学兴趣小组在一次活动中进行了试 验探究活动，请你和他们一起活动吧. 图1 图2 图3 【探究与发现】 (1)如图1，AD是ABC的中线，延长AD至点E,使ED=AD,连接BE,求证：AC=BE. 【理解与运用】 (2)如图2，EP是△DEF的中线，若EF=8,DE=5,求EP的取值范围； 1/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如图3，AD是ABC的中线，∠BAC=LACB,点Q在BC的延长线上，QC=AB,求证： A0=2AD 3.(24-25八上山东菏泽成武期中)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABC中，若 AB=6,AC=4,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如 图1所示，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,请根据小明的思路继续思考： 图1 图2 图3 (1)由已知和作图能证得ADC≌EDB,得到BE=AC,在△ABE中求得2AD的取值范围，从而求得AD的 取值范围是 方法总结：上述方法我们称为”倍长中线法”.“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； (2)如图2，AD是ABC的中线，AB=AE,AC=AF,∠BAE+∠CAF=180°，试判断线段AD与EF的数量关 系，并加以证明； (3)如图3，在ABC中，D,E是BC的三等分点，求证：AB+AC>AD+AE· 4.(23-24八上广东广州番禺桥城中学.期中)如图1，在ABC(AB>AC)中，AD是BC边上的中线， △ABD和△ADC的周长之差为2cm,且AB的长是8cm. B D B D 图1 图2 (1)求AC的长； (2)求AD长度的取值范围： (3)若∠BAC=90°，E是AD的中点，如图2，直接写出△CDE的面积. 5.(22-23八下山东临沂罗庄区·期中)如图，在ABC中，AB=3,AC=4, A B 2/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求BC边的长的取值范围？ (2)若AD是ABC的中线，求AD取值范围？ 6.(24-25八上山东滨州期中)佳佳同学遇到这样一个问题：如图1，ABC中，AB=6,AC=4,AD是 中线，求AD的取值范围.她的做法是：延长AD到E,使DE=AD,连接BE,证明△BED≌△CAD,经 过推理和计算使问题得到解决，请回答： B B D 图1 图2 (1)为什么△BED≌△CAD？写出推理过程： (2)求出AD的取值范围； (3)如图2，AD是ABC的中线，在AD上取一点F,连结BF并延长交AC于点E,若AE=EF,求证： BF=AC. 题型2截长补短（共6小题） 7.(23-24八上山东临沂罗庄沂堂中学期中)【基本模型】 (1)如图1，ABCD是正方形，∠EAF=45°，当E在BC边上，F在CD边上时，请你探究BE、DF与EF之 间的数量关系，并证明你的结论， 【模型运用】 (2)如图2，ABCD是正方形，LEAF=45°，当E在BC的延长线上，F在CD的延长线上时，请你探究BE、 DF与EF之间的数量关系，并证明你的结论. B E 图1 图2 8.(24-25八上山东青岛三十九中学·期末)如图，四边形ABCD中，AB/1CD,CD=AD,∠ADC=60°，对角 线BD平分∠ABC交AC于点P.CE是∠ACB的角平分线，交BD于点O. 3/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)请求出∠BAC的度数； (2)试用等式表示线段BE、BC、CP之间的数量关系，并说明理由； D 9.(24-25八上山东济宁邹城期末)如图，ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，直线1经过点A且绕 点A在ABC所在平面内转动，作BD⊥I,CE⊥I,D,E为垂足 A D D E B C B D 图① 图② 图③ (1)如图①，求证：DA+DB=2DE; (2)在图②和图③中，(1)的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出DE,DA,DB三条线 段的数量关系 10.(24-25八上山东泰安肥城龙山中学期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的角平分线 AD交BC于D,交∠ABC的角平分线于E,过点E作EF⊥AE,交AC于点F,求证：AF+BD=AB. D B 11.(22-23八上山东滨州惠民期中)如图在△ABC中，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平 分线，AD、CE相交于点F, 4/14 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D (1)请你判断并写出FE与FD之间的数量关系； (2)试判断线段AE、CD与AC之间的数量关系并说明理由， 12.(23-24八上江西南昌民德学校期中)综合与实践 问题提出 如图1，在ABC中，AD平分∠BAC,交BC于点D,且∠ACB=2LB,则AB,CD,AC之间存在怎样 的数量关系？并说明理由. 方法运用 图1 图2 图3 图4 (1)我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题.如图2，延长AC至点E,使得AE=AB,连接DE, 请判断AB,CD,AC之间的数量关系并补充完整解题过程. (2)以上方法叫做“补短法”.我们还可以采用“截长法”，即通过在AB上截取线段构造全等三角形来解题.如 图3，在线段AB上截取AB,使得AF=①，连接②·请补全空格，并在图3中画出辅助线。 延伸探究 (3)小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题.如图4，在五边形ABCDE中， EA=ED,AB+DC=BC,∠A+∠D=180°，若∠BCD=120°，求∠BCE的度数. 13.（23-24八上山西吕梁交口期末)数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关 线段之间的关系 问题情境： 如图1，三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC=BC将点C放在直线I上，点A,B位于直线1的同侧，过 点A作AD⊥I于点D 5/14 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B(M) 图1 图2 图3 初步探究： (1)在图1的直线I上取点E,使BE=BC,得到图2，猜想线段CE与AD的数量关系，并说明理由； (2)小颖又拿了一张三角形纸片MPN继续进行拼图操作，其中∠MPN=90°，MP=NP.小颖在图1的基础上， 将三角形纸片MPN的顶点P放在直线I上，点M与点B重合，过点N作NH⊥1于点H如图3，探究线段 CP,AD,NH之间的数量关系，并说明理由 14.(24-25八上山东淄博张店区·期末)己知AB=AC,AE=AF,∠BAC=∠EAF=90，BF、CE交于点M, 连接AM. (1)求证：BF=CE,BF⊥CE. (2)求∠AMC的度数， 题型3作垂直（共6小题） 15.(24-25八上·重庆綦江区·期末)通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： 图1 图2 图3 (1)如图1，∠BAD=90°，AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC于点E.由 6/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D.又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE.进而得到 AC=一，BC=一，BC+DE=·我们把这个数学模型称为“K字"模型或”一线三等角"模型； (2)如图2，∠BAD=LCAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且BC⊥AF于点F,DE与直线 AF交于点G.求证：点G是DE的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型， (3)如图2，∠ADC=∠EDF=90°，AD=DC,DE=DF,连接AC,EF,△AFD的面积为S,△DCE的 面积为S2,S,+S2=2024,求S2的值. 16.(23-24八上广东潮州湘桥区城西初中.期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1,P为 射线BC上一动点（点P不与点B重合），以AP为直角边在AP的右侧作等腰直角三角形APQ, ∠PAQ=90°. A B B 图1 图2 备用图 (1)如图1，当点P在线段BC上时，求点Q到直线AC的距离； (2)如图2，当点P运动到BC的延长线上时，连接BQ,交直线AC于点M,求证：BM=QM; 3)点P在运动过程中，连接BQ,交直线AC于点M,若S.即=3S.AwQ,则BP的长为一· 17.(22-23八上，山东济宁金乡.期中)在△ABC中，AB=AC,D、E分别在BC和AC上，AD与BE相交于点 F. D D 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠BAC=60°，BD=CE,求证：∠1=∠2； (2)如图2，在(1)的条件下，连接CF,若CF⊥BF,求证：BF=2AF; (3)如图3，∠BAC=∠BFD=2∠CFD=90°，若SAABC=2,求SACDF的值. 18.(23-24八上山东德州夏津金光中学.期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABD=∠CBE=90°， 7/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BA=BD,BC=BE,延长CB交DE于F.求证：EF=DF· C E A B F D 题型4半角模型（共6小题） 19.(22-23八上山东聊城临清期中)（1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，E,F 分别是边BC,CD上的点，且∠EAF=∠BAD,线段EF,BE,FD之间的关系是一；（不需要证明） (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD上的点，且 ∠B4FB0,(1中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关系， 并证明. (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，E,F分别是边BC,CD延长线上的点， 且∠EAF-∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数量关 系，并证明， E 图1 图2 图3 20.(24-25八上山东济宁微山期末)四边形ABCD中，AB=BC,∠A+∠C=180°，E,F分别是边AD ,CD上的动点，且∠ABC=2∠EBF. 8/14 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E F 图1 图2 (1)如图1，当E,F分别在线段AD,CD上时， ①填空：若设∠D=a,∠EBF=B,则o,B之间的数量关系是； ②猜想AE,EF,FC之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)如图2，当E,F分别运动到在线段DA,CD延长线上时，其它条件不变，(1)中②你的猜想是否仍然 成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数据关系，并证明. 21.(24-25八上山东邹城十中月考)(1)问题背景：如图1，在四边形ABCD中， AB=AD,∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC,CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段 BE、EF、FD之间的数量关系.小李同学探究此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE.连接AG, 先证明△ABE≌△ADG,再证明aAEF≌△AGF,可得出结论.他的结论应是 (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+LD=180°，E,F分别是边BC,CD上的点，且 ∠EAF=∠BAD.(1)中的结论是否仍然成立？请写出证明过程. 2 (3)在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD所在直线上的点，且 ∠EAF=。∠BAD.请直接写出线段EF,BE,FD之间的数量关系. G A D Bh B E E 图1 图2 备用图 22.(24-25八上山东济南历城万象新天学校月考)【问题背景】 如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，点E、F分别是边BC、CD上的 点，且LEAF=60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系， 小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G,使GD=BE,连结AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明 △AEF≌a4GF,可得出结论，他的结论应是一· 9/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【探索延伸】 如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=I80°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且 ∠EAF=∠BAD,上述结论是否仍然成立，并说明理由. 2 G D D A E E 图1 图2 23.(23-24八上山东青岛市北区期中)阅读理解 半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或 旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的 本质. E 图1 图2 【问题背景】 如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点， ∠EAF=60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系 【初步探索】 小亮同学认为解决此间题可以用如下方法：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明 △ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,则可得到线段BE、EF、FD之间的数量关系是 【探索延伸】 如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD上的点，∠EAF=∠BAD, 上述结论是否仍然成立，并说明理由. 10/14函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05全等三角形相关几何证明分类 (含辅助线) 题型归纳·内容导航 题型1倍长中线（难点） 题型4半角模型（重点） 题型2截长补短（难点） 题型5含辅助线动点问题（难点） 题型3作垂直 题型通关·靶向提分 题型1倍长中线（共6小题） 1.(24-25八上山东滨州无棣期中)如图，已知△ABC中，AB=4,AC=3,AD是△ABC的中线，求 AD的取值范围. 【管案】0号 【详解】解：如图，延长AD到E,使DE=AD,连接BE, 1/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D :AD是△ABC的中线， :BD=CD, 在△BDE与△CDA中， BD=CD ∠BDE=∠CDA ED=AD ∴.△BDE≌CDA(SAS .BE=AC=3, AB=4, .AB-BE<AE<AB+BE ,4-3<2AD<4+3, 1 2<D<2 2.(23-24八上·辽宁葫芦岛连山区六初中期末)某校八年级(1)班数学兴趣小组在一次活动中进行了试 验探究活动，请你和他们一起活动吧 图1 图2 图3 【探究与发现】 (1)如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E,使ED=AD,连接BE,求证：AC=BE 2/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【理解与运用】 (2)如图2，EP是△DEF的中线，若EF=8,DE=5,求EP的取值范围： (3)如图3， 是4Bc AD 中线，∠B1C=∠4CB,点在8C的延K线上， QC=AB ,求证： AQ=2AD 【答案】（①证明见解析：(2）<x< 3 2:(3)证明见解析 【详解】(1)证明：延长AD至点E,使ED=AD,连接BE,如图所示： B :AD是△ABC的中线， ∴.BD=DC, 在△ADC和△EDB中， DC=BD ∠ADC=∠EDB AD=ED △ADC≌△EDB(SAS ..AC=BE: O PO=PE (2)解：延长P至点”，使 FO ，连接，如图所示： O- D 'EP是△DEF的中线， 3/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .PD=PF, 在△PDE △PFQ 和 中， PD=PF ∠DPE=∠FPQ PE=PO △PDE≌△PFQ(SAS DE=FO=5 设PE=PQ=x, △FQE EF-FO<OE<EF+FO8-5<2x<8+5 在 中，由三边关系可得 ,即 <x< 2 29 (3)证明：延长AD至点M,使MD=AD,连接BM,如图所示： A B Q .AM =2AD, :AD是△ABC的中线， BD=CD, 在△BMD和△CAD中， MD=AD ∠BDM=∠CDA BD=CD △BMD≌ACAD(SAS 4/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BM=CA,∠DBM=∠DCA, ∠BAC=∠ACB,∠ACQ=∠BAC+∠ABC,∠MBA=∠DBM+∠ABC ∠ACQ=∠MBA 在△ACQ和△MBA中， CA=BM ∠ACQ=∠MBA OC=AB △ACQ≌AMBA(SAS) A0=AM=2AD 3.(24-25八上山东菏泽成武期中)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若 AB=6,AC=4,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： 如图1所示，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE.请根据小明的思路继续思考： E 图1 图2 图3 (1)由已知和作图能证得△ADC≌△EDB,得到BE=AC,在△ABE中求得2AD的取值范围，从而求得AD 的取值范围是」 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”·“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关 系； AD△ABC AB=AE,AC=AF,∠BAE+∠CAF=180 (2)如图2， 是 的中线， ,试判断线段D与F的数量 关系，并加以证明： 5/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图3，在△ABC中，D,E是BC的三等分点.求证：AB+AC>AD+AE. 【答案】(1)1<AD<5 (2)EF=2AD,证明见解析 (3)见解析 【详解】(1)解：如图1所示，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE. :AD是△ABC的中线， ..BD=CD, 在△MDB和△ADC中， BD=CD ∠BDM=∠CDA DM=AD △MDB≌△ADC(SAS) .BM=AC=4, 在△ABM中，AB-BM<AM<AB+BM, 6-4<AM<6+4,即2<AM<10, 1<AD<5, 故答案为：1<AD<5」 (2)EF=2AD,理由： 如图2，延长AD到M,使得DM=AD,连接BM, E D M 6/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △BDM≌CDA(SAS) 由(1)知， .BM=AC,∠M=∠MAC .AC=AF, .BM AF, ∠MBA+∠M+∠BAM=180°，即∠MBA+∠BAC=180°， 又，∠BAE+∠CAF=180°， ∴∠EAF+∠BAC=180°， ,∠EAF=∠MBA, 又：AB=EA, A△MBM≌aEAF(SAS .AM=EF, AD=DM, .AM=2AD, .AM =EF, ∴EF=2AD. (3)证明：如图所示，取DE中点H,连接H并延长至°点，使得 DE AH=OH OE OC ,连接和 B K H为DE中点，D、E为BC三等分点， DH=EH,BD=DE=CE 7/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DH=CH, 在△ABH △QCH 和 中， BH=CH ∠BHA=∠CHQ AH=OH △ABH≌△DCH(SAS) 同理可得：△ADH≌△QEH, AB=CO,AD=EO 此时，延长AE交CQ于K点， AC+CO=AC+CK+OK,AC+CK>AK AC+CO>AK+OK AK+OK=AE+EK+OK>OE,EK+OK>OE AK+OK>AE+OE AC+CO>AK+OK>AE+OE AB=CO,AD=EO .AB+AC>AD+AE 4.(23-24八上广东广州番禺桥城中学期中)如图1，在△ABC(1B>1C中，AD是BC边上的中线， △ABD和△ADC的周长之差为2cm,且AB的长是8cm. 8/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D C B D 图1 图2 (1)求AC的长： (2)求AD长度的取值范围： (3)若∠BAC=90°，E是AD的中点，如图2，直接写出△CDE的面积 【答案】(1)AC=6 (2)1<AD<7 (3)6 【来源】广东省广州市番禺区桥城中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形的中线定义，全等三角形的性质与判定： (1)根据三角形的中线的性质，得出BD=CD,根据题意得出AB-AC=2,即可求解： (2)倍长中线，延长AD至E,使得DE=AD,连接CE,证明△ABD≌aECD,得出EC=AB=8, 4D=,AE,进而根据三角形的三边关系，即可求解。 2 (3)根据三角形的面积公式求得5c=24, ,进而根据三角形的中线的性质，即可求解. 【详解】(1)解：：D是BC的中点， .BD DC, :△ABD和△ADC的周长之差为2Cm, ..AB-AC=2, :AB的长是8cm. .AC=6: (2)解：如图所示，延长AD至E,使得DE=AD,连接CE, 9/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D E 图1 :D是BC的中点， BD=DC, 又：∠ADB=∠EDC,DE=AD, ·AABD≌AECD .EC=AB=8, 在△AEC中，AC+CE>AE>EC-AC,即8-6<AE<8+6 4D=AE」 2 .1<AD<7 ,∠BAC=90°AB=8,AC=6 (3)解： 1 ÷50-2×8×6=24 :D是BC的中点， 54c=2S.ac=12, :E是AD的中点， 23c=6. 5.(22-23八下山东临沂罗庄区·期中)如图，在△ABC中，AB=3,AC=4, D 10/79