第2章 全等三角形 本章综合提升-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（青岛版2024）

所以BF=AE,AF=DE, 所以DE=AF=AE十EF=BF十EF, 即BF+EF=DE. 9.证明：因为△ABO≌△CDO 所以OA=OC,OB=OD. 因为AF=CE, 所以OA一AF=OC-CE,即OF=OE 在△FOD和△EOB中， OF=OE, ∠FOD=∠EOB, OD=OB, 所以△FOD≌△EOB(SAS). 所以DF=BE 10.证明：因为FB=CE, 所以FB十FC=CE十FC,即BC=EF. 又因为AB∥ED,AC∥FD, 所以∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE: 在△ABC和△DEF中， I∠ABC=∠DEF, BC=EF, ∠ACB=∠DFE, 所以△ABC≌△DEF(ASA), 所以AC=DF 在△AOC和△DOF中， I∠ACO=∠DFO, ∠AOC=∠DOF, AC=DF, 所以△AOC≌△DOF(AAS) 所以AO=DO,CO=FO. 因为BF=CE,所以BF+FO=CE+CO,即BO=EO 所以AD与BE互相平分. 2.3尺规作图 第1课时 尺规作角、三角形 1.B2.D 3.解：如图所示，∠APC即为所求.（作法不唯一） B 4.D 5.解：如图所示，△ABC1和△ABC2即为所求 6.解：如图所示，△ABC为所作. 7.解：(1)如图①所示.(2)能.如图②所示 2 cm 140 cm ① ② 第2课时过直线外一点作这条直 线的平行线或垂线 1.D 2.C 3.解：如图所示，点P即为所求 4.C 5.解：(1)如图所示. (2)证明：因为NPOA, 所以∠NPO=∠POM. 又因为MPOB, 所以∠MPO=∠POB. 因为∠MPO=∠NPO, 所以∠BOP=∠AOP, 所以OP是∠AOB的平分线， 6.解：(1)如图所示. D B G (2)AB=CF. 证明：因为CF∥AB,所以∠ECF=∠AEC 因为CA=CE,所以∠AEC=∠A, 所以∠A=∠ECF, 因为EF⊥CE, 所以∠CEF=∠ACB ∠A=∠ECF, 在△ABC和△CFE中， AC=CE, ∠ACB=∠CEF, 所以△ABC≌△CFE(ASA),所以AB=CF 本章综合提升 【本章知识归纳】 重合相同相等重合对应顶点对应边对应角 相等相等夹角夹边三边稳定性 【思想方法归纳】 【例1】解：(1)△ACP≌△BPQ,PC⊥PQ. 理由如下：因为AC⊥AB,BD⊥AB, 所以∠A=∠B=90°. 因为AP=BQ=2cm, 所以BP=AB-AP=5cm, 所以BP=AC. 在△ACP和△BPQ中， (AP=BQ, ∠A=∠B, AC=BP, 所以△ACP≌△BPQ(SAS). 所以∠C=∠BPQ. 因为∠C+∠APC=90°， 所以∠APC+∠BPQ=90°， 所以∠CPQ=90°， 所以PC⊥PQ. (2)①若△ACP≌△BPQ, 则AC=BP,AP=BQ,可得5=7-2t,2t=xt, 解得x=2,t=1. ②若△ACP≌△BQP, 则AC=BQ,AP=BP,可得5=xt,2t=7一2t, 20 7 解得x=7,t=4 综上所述，当△ACP与以B,P,Q为顶点的三角形全等时，x的 值为2或9 【变式训练1】解：(1)2tcm(8-at)cm (2)以B,P,Q为顶点的三角形与△CDQ能全等. 因为∠B=∠C, 所以以B,P,Q为顶点的三角形与△CDQ全等存在两种情况： ①当△PBQ≌△QCD时，PB=CQ,BQ=CD, 所以8-at=8-2t,2t=6, 所以a=2,t=3; ②当△PBQ≌△DCQ时，PB=DC,BQ=CQ, 所以8-at=6,2t=8-2t, 所以a=1,t=2. 综上所述，以B,P,Q为顶点的三角形与△CDQ能全等，此时 a=2,t=3或a=1,t=2. 【例2】证明：延长AD到点E,使DE=AD,连接BE. 在△ACD与△EBD中， AD=ED(作法)， ∠ADC=∠EDB(对顶角相等)， CD=BD(已知)， 所以△ACD≌△EBD(SAS), 所以AC=EB(全等三角形对应边相等). 在△ABE中，AB十EB>AE(三角形两边之和大于第三边)， 所以AB十AC>2AD(等量代换)， (AB+AC). 即AD<2 【变式训练2】证明：因为AB∥CD, 所以∠D=∠ABE. 在△BDC和△ABE中， ∠C=∠AEB, ∠D=∠ABE, BD=AB, 所以△BDC≌△ABE(AAS), 所以BC=AE. 【通模拟】 1.B2.B3.D4.D5.B6.135°7.55 8.AC=DF(答案不唯一) 9.63.74 10.解：因为∠BCD=∠ACE, 所以∠BCD+∠ACD=∠ACE+∠ACD, 所以∠BCA=∠DCE. 因为AB=ED,∠B=∠D, 所以△ABC≌△EDC(AAS), 所以AC=EC. 11.解：(1)证明：因为AB∥FC,E是DF的中点. 所以∠A=∠ECF,DE=EF, 在△ADE与△CFE中， ∠A=∠ECF, DE-EF, ∠AED=∠CEF, 所以△ADE≌△CFE(AAS, (2)因为△ADE≌△CFE,所以CF=AD 因为AB=15,CF=8, 所以BD=AB-AD=AB-CF=15-8=7. 12.证明：因为BE⊥AC,DF⊥AC, 所以∠AEB=∠CFD=90°. 又因为AF=CE, 所以AF一EF=CE一EF, 所以AE=CF. 又因为∠BAC=∠DCA, 所以△ABE≌△CDF,所以AB=CD: 13.解：(1)证明：①因为∠BAC=∠DAE, 所以∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD, 所以∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中， (AB=AC, ∠BAD=∠CAE, AD-AE, 所以△ABD≌△ACE(SAS). ②由①，知△ABD≌△ACE, 所以BD=CE, 所以BC=BD+DC=CE+DC. (2)因为∠BAC=∠DAE, 所以∠BAC+∠CAD=∠DAE十∠CAD, 所以∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中， (AB=AC, ∠BAD=∠CAE,所以△ABD≌△ACE(SAS), AD=AE, 所以BD=CE, 所以BC=BD-CD=CE-CD. 【通中考】 14.证明：因为∠B=∠AED=∠C,∠AEC=∠B+∠BAE= ∠AED+∠CED, 所以∠BAE=∠CED. 在△ABE和△ECD中， I∠BAE=∠CED, ∠B=∠C, BE=CD, 所以△ABE≌△ECD(AAS), 所以AE=ED, 所以∠EAD=∠EDA.本章综合提升（答案P8) 71117111 本章知识归纳· 777777777 全等形：能够完全 的两个平面图形叫作全等形 全等形 全等形的性质：全等形的形状，大小 全等三角形：能够完全 的两个三角形叫作全等三角形 对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫作 对应边：全等三角形中互相重合的边叫作 全等三角形 对应角：全等三角形中互相重合的角叫作 全等三角形的性质：对应边 ,对应角 两边及其 分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS” 全等三角形 全等三角两角及其 分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA'” 形的判定 方法 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成 “角角边”或“AAS” 分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS” 三角形的三条边的长度确定后，它的形状和大小就被确定了，三角形 三角形的 的这种特性叫作三角形的 稳定性 全等三角形 尺规作图：只使用直尺（没有刻度）和圆规这两种工具的作图 基本作图 作一条线段等于已知线段 作一个角等于已知角 已知三边作三角形 尺规作图 按要求作三角形已知两边及其夹角作三角形 已知两角及其夹边作三角形 过直线外一点作已知直线的平行线 过直线外一点作已知直线的垂线 思想方法归纳 /1/I1/1/11I11/I/ 此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说 明理由. 1.分类讨论思想 (2)如图②所示，若“AC⊥AB,BD⊥AB”改为 链接本章 “∠CAB=∠DBA”,点Q的运动速度为xcm/s,其 在本章的动点问题中，由于对应边的变 他条件不变，当点P,Q运动到何处时有△ACP 化，会产生不同的情况，需要进行分类讨论 与以B,P,Q为顶点的三角形全等，求出相应的 x的值. 【例1】如图①所示，AB=7cm,AC⊥AB, BD⊥AB,垂足分别为A,B,AC=5cm.点P在 线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动， 同时点Q在射线BD上运动.它们运动的时间为 ts(当点P运动结束时，点Q运动也随之结束). (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等， 当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断 32 优+学案·课时通 【变式训练1】 【例2】如图所示，在△ABC中，AD为BC 如图所示，已知四边形ABCD中，AB= BC=8cm,CD=6cm,∠B=∠C,动点P,Q同 边上的中线，求证：AD<号(AB+AC). 时从A,B两点出发，分别沿AB,BC方向匀速运 动，点Q运动的速度是每秒2cm,点P运动的速 度是每秒acm(a≤2)，当点Q到达点C时，P, Q两点都停止运动，设运动时间为t秒 (1)BQ= ,BP= .(用含a或t 的代数式表示) (2)在运动过程中，连接PQ,DQ,以B,P,Q为 顶点的三角形与△CDQ能否全等？若能，请求 出相应的t和a的值；若不能，请说明理由， 【变式训练2】 已知：如图所示，AB∥CD,且AB=BD, 点E在BD边上，连接AE,∠C=∠AEB.求证： BC=AE. 备用图 通模拟m 1.(菏泽曹县期中)如图所示，AD⊥BC于点D, BE⊥AC于点E,DC=EC=4cm,AC= 6cm,则BD的长为() A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm 2.转化思想 转化思想是指将未知解法或难以解决的问 题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择 恰当的方法进行变换，化归为已知知识范围内已 B 经解决或容易解决的问题， 第1题图 第2题图 链接本章 2.(泰安泰山区期中)如图所示，点E、点F在BC 在本章中，转化思想主要应用于将证明 上，BE=CF,∠AFB=∠DEC,添加一个条 线段的相等问题、不等问题、倍数问题转化 件，不能说明△ABF≌△DCE的是() 为证明三角形全等的问题. A.AF=DE B.AB=DC C.∠B=∠C D.∠A=∠D △八年级·上册·数学.QD 33 3.(潍坊期中)如图所示，书架两侧摆放了若干本 7.(潍坊安丘月考)如图所示，AB=AC,AD= 相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰 AE,∠BAC=∠DAE,∠1=25°，∠2=30°，则 直角三角板，其直角顶点C在书架底部DE ∠3= 上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶 8.(菏泽成武期中)已知：如图所示，∠1=∠2， 点B恰好落在左侧书籍的上方边沿.已知每本 BF=CE,请你再添加一个条件，使得AB= 书长18cm,厚度为2cm,则两摞书之间的距 ED,这个条件可以是 (只需写 离DE的长为() 出一个即可) A.19 cm B.20 cm C.21cm M A D.22 cm 第8题图 第9题图 4.(聊城东阿月考)如图所示，以△ABC的顶点A 9.(潍坊诸城模拟)如图所示，已知∠AOB,以点 为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为 O为圆心，以任意长为半径画弧MN,分别交 圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D,连 OA,OB于点M,N,再以点N为圆心，以MN 接AD,CD,若∠B=65°，则∠BCD的大小 长为半径画弧PQ,交弧MN于点C,画射线 为() OC.若∠AOB=31°52'12"，则∠AOC的度数 A.65° B.130° 为 度 C.120° D.115° 10.(菏泽期中)如图所示，点A在DE上，AB= ED,∠B=∠D,∠BCD=∠ACE,说明 AC=EC的理由. 第4题图 第5题图 5.(泰安宁阳期末)如图所示，在△ABC中， AC=BC,点D,E,F分别在边AC,AB,BC 上，且满足AD=BE,AE=BF,∠DEF= 40°，则∠C的度数是() A.90°B.100° C.120° D.140° 6.(泰安岱岳区月考)如图所示为6个边长相等 的正方形的组合图形，则∠1十∠2十 ∠3= D 第6题图 第7题图 34 优+学案·课时通△ 11.(潍坊期中)如图所示，AB∥FC,E是DF的 (2)如图②所示，当点D在边BC的延长线上 中点 时，其他条件不变，探究线段BC,CD,CE之 (1)求证：△ADE≌△CFE. 间存在的数量关系 (2)若AB=15,CF=8,求BD的长. 12.(泰安期中)如图所示，在四边形ABCD中， AC与BD交于点O,BE⊥AC,DF⊥AC,垂 足分别为点E,F,且AF=CE,∠BAC= 。通中考m ∠DCA. 求证：AB=CD. 14.(聊城中考)如图所示，在四边形ABCD中， 点E是边BC上一点，且BE=CD,∠B= ∠AED=∠C. 0 求证：∠EAD=∠EDA. 13.(泰安一模)已知△ABC为等腰三角形， AB=AC,点D为直线BC上一动点（点D 不与点B、点C重合).以AD为边作△ADE, 且AD=AE,连接CE,∠BAC=∠DAE. (1)如图①所示，当点D在边BC上时，求证： ①△ABD≌△ACE; ②BC=CE+DC. △八年级·上册·数学.QD 35