第1章 推理与证明 限时训练-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（青岛版2024）

限时训练 学案 课时通 八年级·上册·数学·QD 建议用时10分钟，实际用时 分钟 第1章推理与证明 1.3第1课时平行线的性质定理和判定定理(1)（答案P31) 如图所示，在一副直角三角板中，∠A=60°，∠D=30°，∠E=∠B=45°，现将直角顶点C按照如图所示方式 叠放，点E在直线AC上方，且0°<∠ACE<180°，求能使△ADC有一条边与BE平行的所有∠ACE的 度数. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 第1课时平行线的性质定理和判定定理(2)（答案P31) 1.推理能力如图所示，B,F,E,C在同一条直线上，∠A=∠D. (1)若∠A=78°，∠C=47°，求∠BFD的度数. (2)若∠AEB+∠BFD=180°，求证：AB∥CD. 2.如图所示，直线AB,CD被EF所截，GH⊥AB于点H,∠1=25°，∠2=65°，求证：AB∥CD △八年级·上册·数学.QD 1 建议用时10分钟，实际用时 分钟 第2课时三角形内角和定理及其推论（答案P31) 1.如图所示，∠C=30°，∠E=28°，∠BDF=130°，求∠A与∠EFD的度数. B 2.运算能力现有一张△ABC纸片，点D,E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠，折成如图所示 的形状. (1)若∠1=25°，∠2=35°，求∠A的度数. (2)猜想∠1，∠2和∠A的数量关系，并说明理由. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 第3课时直角三角形的性质定理及判定定理（答案P31) 1.如图所示，在直角三角形ABC中，∠B=30°，CE平分∠ACB,∠EAD=2∠CAF.求证：CEFD. B 2.如图所示，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC,∠C=90°，并画出了两锐角的角平分线 AD,BE及其交点F.小明发现，无论怎样变动Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值，则这个定 值为多少？ 2 优+学素·课时通△ 建议用时10分钟，实际用时 分钟 第4课时反证法（答案P31) 用反证法证明下列命题： (1)垂直于同一条直线的两条直线平行. (2)一个三角形中，最大的内角不小于60°. (3)如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线也互相平行. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 第2章全等三角形 2.1全等三角形（答案P32) 1.如图所示，△ABC≌△DBE,点B在线段AE上，若∠C=25°，则∠BDE的度数是 2.如图所示，点E在AB上，AC与DE相交于点F,△ABC≌△DEC,∠B=65°. (1)求∠DCA的度数. (2)若∠A=20°，求∠DFA的度数. △八年级·上册·数学.QDn 3综合与实践 5如何铺设太阳能光伏板 1.解：如图所示，太阳光线EB⊥AB,过点C作CF⊥BD 点F 60 因为∠CBF=180°-60°-90°=30°，∠CFB=90°， C是AB的中点，AB=80cm, 所以BC三2AB=40cm, 在直角三角形BCF中，CF=】BC=20cm 所以支架C端离地面的高度为20cm. 2.解：如图所示，过点A作AG⊥CD于点G,则∠CAG=30°， B 太阳能电池板 支撑角钢 支撑角钢 C支撑角钢 底座地基 地面宜 H D 在R△ACG中，CG=50X2 1 =25(cm), 所以GD=55一30=25(cm), 所以CD=CG+GD=25+25=50(cm).如图所示，连接F 并延长与BA的延长线交于点H,则∠H=30°， 在Rt△CDH中，CH=2CD=100cm, 所以EH=EC+CH=AB-BE-AC+CH=300-50 50+100=300(cm). 在Rt△EFH中，因为∠EHF=30°，FH=2EF, 所以FH2-EF2=EH2,所以(2EF)2-EF2=3002， 所以EF=/300cm. 答：支撑角钢CD和EF的长度各是50cm,√300cm. 6 如何提高校园安保 监控的覆盖率（略） 限时训练 第1章推理与证明 1.3第1课时平行线的性质 定理和判定定理(1) 解：当AC∥BE时，如图①所示. 因为AC∥BE,所以∠ACE=∠E=45° ① 当CD∥BE时，如图②所示. 因为CD∥BE,所以∠DCE=∠E=45°， 所以∠ACE=∠ACD+∠DCE=135°. 当AD∥BE时，如图③所示，延长AC交BE于点F. 因为AD∥BE, 所以∠A=∠CFB=60°， 所以∠CFE=120° 因为∠E=45°， 所以∠ECF=180°-120°-45°=15°， 所以∠ACE=180°-15°=165°， 综上，△ADC有一条边与BE平行的所有∠ACE的度数为 45°，135°，165° 第1课时平行线的性质定理 和判定定理(2) 1.解：(1)因为∠A=78°，∠A=∠D, 所以∠D=78° 因为∠C=47° 所以∠BFD=∠D+∠C=78°+47°=125° (2)证明：因为∠AEB十∠BFD=180°，∠CFD+∠BFD=180°， 所以∠AEB=∠CFD 因为∠A=∠D, 所以180°-∠A-∠AEB=180°-∠D-∠CFD, 所以∠B=∠C, 所以AB∥CD. 2.证明：因为GH⊥AB于点H, 所以∠AHG=90°. 因为∠1=25°， 所以∠AHE=90°-25°=65°. 因为∠2=65°， 所以∠2=∠AHE,所以ABCD. 第2课时三角形内角和定理及其推论 1.解：因为∠BDF=130°， 所以∠EDF=180°-130°=50°. 因为∠E=28°， 所以∠AFC=∠EDF+∠E=50°+28°=78°， 所以∠EFD=180°-78°=102° 因为∠C=30°， 所以∠A=180°-∠C-∠AFC=180°-30°-78°=72° 2.解：(1)由折叠，得∠ADE=∠A'DE,∠AED=∠A'ED, ∠AED+∠A'ED=180°-∠1=180°-25°=155°， ∠ADE+∠A'DE=180°-∠2=180°-35°=145°， 所以∠ADE+∠AED=(155°+145°)÷2=150°，所以∠A= 180°-150°=30°. (2)猜想：∠1+∠2=2∠A, 理由：由折叠，得∠ADE=∠A'DE,∠AED=∠A'ED. 因为∠AEB+∠ADC=360°， 所以∠1+∠2=360°-∠ADE-∠A'DE-∠AED- ∠A'ED=360°-2∠ADE-2∠AED=2(180°-∠ADE- ∠AED)=2∠A. 第3课时直角三角形的性质定理及判定定理 1.证明：因为△ABC为直角三角形且∠CAB=90°，∠B=30°， 所以∠BCA=60° 又因为CE平分∠ACB, 所以∠ECA=30°. 因为∠EAD=2∠CAF且∠CAB=90°， 所以∠CAF=30°， 所以∠ECA=∠CAF,所以CEFD. 2.解：因为∠C=90°， 所以∠CAB+∠CBA=90° 因为AD平分∠CAB,BE平分∠ABC, 所以∠FAB=∠CAB,∠FBA=合∠CBA, 所以∠FAB+∠FBA=2(∠CAB+∠CBA)=45°， 所以∠AFB=180°-45°=135°. 第4课时反证法 (1)已知：AB⊥CD于点G,EF⊥CD于点H.求证：AB∥EF 证明：假设AB与EF不平行，如图①所示，设AB与EF交于点P. 31 因为AB⊥CD,所以∠AGC=90°，所以∠EHC<∠AGC, 所以∠EHC<90°， 所以EF与CD不垂直，这与EF⊥CD相矛盾， 所以假设AB与EF不平行不成立，所以AB∥EF」 IC D ① ② (2)已知，在△ABC中，∠A>∠B,∠A>∠C, 求证：∠A≥60°. 证明：如图②所示，假设∠A<60°， 则∠B<60°，∠C<60°，所以∠A+∠B+∠C<180°，这与三角 形内角和等于180°相矛盾， 所以假设不成立，所以∠A≥60° (3)已知：ab,a∥c, 求证：b∥c. 证明：如图③所示，假设b与c相交于点O, 因为a/仍，ac, 所以过点O有两条直线与a平行 这与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾， 所以假设不成立，所以b∥c 第2章全等三角形 2.1全等三角形 1.65° 2.解：(1)因为△ABC≌△DEC, 所以CB=CE,∠DCE=∠ACB, 所以∠CEB=∠B=65°. 在△BEC中，∠CEB+∠B+∠ECB=180°， 所以∠ECB=180°-65°-65°=50° 又∠DCE=∠ACB,所以∠DCA=∠ECB=50°」 (2)因为△ABC≌△DEC, 所以∠D=∠A=20°. 在△DFC中，∠DFA=∠DCA十∠D=50°+20°=70°. 2.2第1课时SAS 1.解：在△AOB和△DOC中， (OA=OD, ∠AOB=∠DOC, OB=OC, 所以△AOB≌△DOC(SAS),所以AB=CD=5cm. 因为EF=6cm,所以圆形容器的壁厚是号×(6-5) 0.5(cm). 2.解：(1)证明：因为AD=BC, 所以AD-CD=BC一CD,即AC=BD. 在△ACE和△BDF中， (AC=BD, ∠A=∠B, AE=BF, 所以△ACE≌△BDF(SAS). (2)因为△ACE≌△BDF,AC=2, 所以BD=AC=2. 又因为AB=8, 所以CD=AB-BD-AC=8-2-2=4. 第2课时ASA和AAS 1.解：因为AB∥CD,所以∠ABD=∠EDC 在△ABD和△EDC中， ∠1=∠2， DB=DC, ∠ABD=∠EDC, 所以△ABD≌△EDC(ASA) 2.解：因为∠AED=90°， 所以∠AEB+∠DEC=90°. 因为∠ABE=90°，所以∠A+∠AEB=90° 所以∠A=∠DEC. 在△ABE和△ECD中， ∠B=∠C=90°， ∠A=∠DEC, AE=DE, 所以△ABE≌△ECD(AAS),所以EC=AB=60m. 因为BC=160m,所以BE=100m. 所以小月走的时间为100÷1=100(s),即t的值为100. 第3课时SSS 1.证明：因为BE=CF,所以BC=EF. 在△ABC和△DEF中， AB=DE, AC=DF, BC=EF, 所以△ABC≌△DEF(SSS). 2.证明：因为CE=DE,EA=EB, 所以CE+EB=DE十EA,即BC=AD. 在△ABC和△BAD中， (AC=BD, AB=BA, BC=AD, 所以△ABC≌△BAD(SSS). 第4课时直角三角形全等的判定定理 1.证明：因为∠BAD=∠BCD=90°， 在Rt△ABD和Rt△CBD中， (BD-BD, AB-CB, 所以Rt△ABD≌Rt△CBD(HL), 所以AD=CD 因为AE⊥EF于点E,CF⊥EF于点F, 所以∠E=∠F=90° 在Rt△ADE和Rt△CDF中， (AD=CD, AE=CF, 所以Rt△ADE≌Rt△CDF(HL), 2.证明：因为∠A=∠B=90°， 所以△ADE和△BEC均为直角三角形 在Rt△ADE和Rt△BEC中， (DE=EC, AE=BC, 2