第1章 推理与证明 本章综合提升-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（青岛版2024）

本章综合提升（答案P4) 7171717 本章知识归纳· /11/11/ (①)两条平行直线被第三条 (①)两，点确定一条直线 直线所截，同位角相等 (②)两点之间最短 性质（②）两条平行直线被第三条 (③)同一平面内，过一点 直 定理直线所截，内错角相等 线与已知直线垂直 (③)两条平行直线被第三条直 (4)过直线外一点 直线与这 基本事实 线所截，同旁内角互补 条直线平行 (1)两条直线被第三条直线所 (⑤)两条直线被第三条直线所截，如果同 平行线 位角相等，那么这两条直线 截，如果内错角相等，那么 这两条直线平行 判定 定理（②两条直线被第三条直线所 截，如果同旁内角互补，那 能够说明一个概念 的语句定义 么这两条直线平行 三角形的内角和等 定理 对某件事情作出 的语句叫作命题 性质、判 三角形 (1)三角形的一个外角 定、定理 当条件成立时，结论也一定 内角和 与它不相邻的 及推论 成立的命题 真命题 两个内角的和 当条件成立时，结论不一定 命题 推论(2)三角形的一个外角 成立的命题 假命题 与它不相邻的 满足命题条件，而结论却 任意一个内角 与命题结论 的例子 反例 性质 直角三定理 直角三角形的两个锐角 推理与 角形 证明 判定 有两个角互余的三角形 人们在长期的实践中，经过分析总结 基本 定理 是直角三角形 后，把那些公认的 作为基本事实 事实 经过推理证实的真命题 定理 从定义、基本事实及已知条件出发， 证明 概念 通过逻辑推理的方法证实命题的过程 概念：这种先提出与命题的结论相反的 假设，再从假设出发推出矛盾，从而证 在两个命题中，如果一个命题的条 明命题成立的方法 件和结论分别是另一个命题的 和 那么这两个命题叫作互 互逆 用反证法证明一个命题的步骤 逆命题 命题 如果一个定理的逆命题也是真命题， 逆定 (1)否定结论 假设命题的结论不成立 那么这个逆命题叫作原定理的逆定理，理 反证法 (2)推出矛盾一从假设出发，根据已 知条件，经过推理，得出一个与命题的 条件、定义、基本事实、定理等相矛盾 的结果 (3)肯定结论一由矛盾判定假设不 成立，从而证明命题成立 (1)根据题意，画出图形； (2)结合图形，写出“已知”“求证”； (3)写出“证明” 几何证明 的步骤 △八年级·上册·数学.QD 13 思想方法归纳 LZ1H111 【变式训练2】 如图所示，将△ABC纸片沿DE折叠，使点 1.方程思想 A落在点A'处，且BA'平分∠ABC,CA'平分 链接本章) ∠ACB,若∠BA'C=122°，则∠1+∠2的度数 本章中涉及三角形内角的求解问题时， 为( 只要给出与三个内角有关的两个独立条件， 我们就可以运用方程的思想，求出三角形的 三个内角的度数. 【例1】在△ABC中，∠A-∠B=60°，∠C= 4∠B,求∠A,∠B,∠C的度数. A.116° B.100° C.128° D.120° 3.分类讨论思想 对于比较复杂的问题，有时无法通过统一研 究或者整体研究解决，需要把研究的对象按照一 定的标准实行分类并逐类实行讨论，再把每一类 【变式训练1】 的结论综合，使问题得到解决，这种解决问题的 在△ABC中，∠A-∠B=36°，∠C=2∠B. 思想方法就是分类讨论的思想方法， 求∠A,∠B,∠C的度数. Q链接本章) 平行线中，当有关几何图形的点的位置 不确定时，往往要分类讨论解答. 【例3】如图所示，已知AD∥BE,点C是 2.整体思想 直线FG上的动点，若在点C的移动过程中，存 链接本章 在某时刻使得∠ACB=45°，∠DAC=22°，求 有关求角的度数、角相等的问题，若涉 ∠EBC的度数， 及角平分线（或折叠）问题，通常是利用整体 思想，借助三角形的内角和、平角等知识来 解决. 【例2】如图所示，直线a∥b,AB平分 ∠MAD,AC平分∠NAD,DE⊥AC于点E,求 证：∠1=∠2. 14 优+学案·课时通△ 【变式训练3】 5.(泰安新泰期末)如图所示，直线l1∥12，点A 已知AB∥CD,在AB,CD间取一点E,连接 在直线11上，以点A为圆心，适当长度为半径 EA,EC,试探索∠AEC与∠A,∠C之间的 画弧，分别交直线11,12于B,C两点，连接 关系 AC,BC,若∠ABC=70°，则∠1的大小 为() A.40° B.35 C.50° D.70° B 第5题图 第6题图 6.(菏泽郓城期中)已知：△ABC(如图所示).求 通模拟M 证：在△ABC中，如果它含直角，那么它只能 1.(菏泽鄄城期末)下列命题是真命题的是( 有一个直角.下面写出运用反证法证明这个命 A.相等的两个角是对顶角 题的四个步骤：①所以∠A十∠B十∠C> B.同位角相等 180°，这与“三角形内角和等于180°”相矛盾. C.若|a|=|b|,则a=b ②因此，三角形有两个（或三个）直角的假设不 D.平行于同一条直线的两条直线平行 成立，所以如果三角形含直角，那么它只能有一 2.(潍坊潍城区期末)下列命题的逆命题是真命 个直角.③假设△ABC中有两个（或三个）直角， 题的是( ) 不妨设∠A=∠B=90°.④所以∠A十∠B= A.若a十b=0,则a2=b2 180°.这四个步骤正确的顺序应是() B.若a-b=0,则a2=b2 A.④③②① B.③④②① C.若|a|-|b|=0,则a2=b2 C.①②③④ D.③④①② D.若a>b,则a|>|b 7.(菏泽单县期末)如图所示，CD∥AB,OE平分 3.(潍坊月考)如图所示，把△ABC的∠A沿DE ∠AOD,OE⊥OF,∠D=50°，则∠BOF的度 折叠，点A落在四边形CBDE外，则∠1，∠2 数为 与∠A的关系是() A.∠1+∠2=2∠AB.∠2-∠1=2∠A C.∠2-∠A=2∠1D.2∠1+2∠A=∠2 8.(泰安宁阳期中)如图①，②所示，∠A=42°， ∠1=∠2，∠3=∠4，则∠01+∠02的度数 为 第3题图 第4题图 4.(泰安宁阳二模)如图所示，已知直线AB∥CD, ∠C=116°，∠A=27°，则∠E=() A.79° B.88° C.89° D.98° ② △八年级·上册·数学.QDn 15 9.(济宁任城区期末)仔细想一想，完成下面的推 11.(菏泽单县期末)如图①所示，AD平分 理过程。 ∠BAC,AE⊥BC,∠B=38°，∠C=64°. 已知：如图所示，EF∥AD,∠1=∠2， (1)求∠DAE的度数， ∠BAC=60°，求∠AGD的度数. (2)如图②所示，若把“AE⊥BC”变成“点F 解：因为EF∥AD, 在DA的延长线上，FE⊥BC”,∠B=a, 所以∠2= ∠C=B(a<B),请用含a,B的代数式表 示∠DFE. 因为∠1=∠2， 所以∠1=∠3， 所以AB∥ 所以∠BAC+ =180°( 因为∠BAC=60°，所以∠AGD= 2 E 10.(菏泽成武期中)已知命题“如果a=b,那 。通中考mu 么a|=|bl.” 12.(聊城中考)如图所示，分别过△ABC的顶点 (1)写出此命题的条件和结论. A,B作AD∥BE.若∠CAD=25°，∠EBC= (2)写出此命题的逆命题， 80°，则∠ACB的度数为() (3)判断此命题的逆命题是真命题还是假命 A.65°B.75 C.85° D.95° 题，如果是假命题，请举出一个反例进行 D 说明 第12题图 第13题图 13.（潍坊中考)一种路灯的示意图如图所示，其 底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底 部支架AB所成锐角α=15°.顶部支架EF与 灯杆CD所成锐角3=45°，则EF与FG所成 锐角的度数为() A.60°B.55° C.50° D.45° 16 优+学案·课时通证明：假设∠1≠∠A十∠B, 在△ABC中，∠A+∠B+∠2=180°， 所以∠A+∠B=180°-∠2. 因为∠1+∠2=180°， 所以∠1=180°-∠2， 所以∠1=∠A+∠B, 与假设相矛盾， 所以假设不成立 所以原命题成立，即∠1=∠A十∠B. 2入 B C D 8.证明：假设∠B十∠BED十∠CDE≠360°，如图所示，延长 BE交CD的延长线于点F,G为DF延长线上的点，所以 AB//CD, 所以∠B=∠EFG, 所以∠BED十∠CDE+∠EFG≠360°， 这与“多边形的外角和等于360°”相矛盾， 所以∠B+∠BED+∠CDE=360°. A B 本章综合提升 【本章知识归纳】 线段有且只有一条有且只有一条平行含义判断 不同真命题结论条件180°等于大于互余 【思想方法归纳】 【例1】解：设∠B=x,则∠C=4x. 因为∠A一∠B=60°， 所以∠A=60°+x.① 因为∠A+∠B+∠C=180°， 所以∠A+x十4x=180°，② 把①代入②，得60°+x+x+4x=180°，解得x=20°， 所以∠A=60°+20°=80°，∠B=20°，∠C=4x=4X20°=80°. 【变式训练1】解：设∠B=x,因为∠A一∠B=36°， 所以∠A=36°+x. 因为∠C=2∠B,∠A+∠B+∠C=180°， 所以36°+x+x+2x=180°， 所以x=36°， 所以∠A=x+36°=72°，∠B=36°，∠C=2x=72 【例2】证明：因为直线a∥仍， 所以∠NAC=∠ACD. 因为DE⊥AC于点E,所以∠DEC=90°， 所以∠1十∠ACD=90°. 因为AB平分∠MAD,AC平分∠NAD, 所以∠2=∠BAD,∠DAC=∠NAC. 因为∠MAD+∠NAD=180°，所以∠2+∠NAC= 2∠MAD+∠NAD)=90°，所以∠1=∠2. 【变式训练2】C解析：因为将△ABC纸片沿DE折叠，所以 ∠ADE=∠EDA',∠AED=∠DEA',所以∠1+∠2=180°- 2∠ADE+180°-2∠AED=180°-（∠ADE+∠AED)+ 180°-（∠ADE+∠AED)=2∠A.因为BA'平分∠ABC,CA 平分∠ACB,∠BAC=122,所以∠A'BC=号∠ABC 1 ∠A'CB=2∠ACB, 所以∠A'BC+∠A'CB=180°-122°=58°，所以∠ABC+ ∠ACB=2(∠A'BC+∠A'CB)=2X58°=116°， 所以∠A=180°一116°=64°，所以∠1+∠2=2∠A=2× 64°=128°. 【例3】解：如图①所示，当点C在AD,BE之间时， 过点C作CH∥AD,则AD//CH.∥BE. 因为∠DAC=22°，所以∠ACH=22° 又因为∠ACB=45°，所以∠BCH=23°， 所以∠EBC=23°. 如图②所示，当点C在AD,BE外部时， 过点C作CH∥AD,则ADCH∥BE. 因为∠DAC=22°，所以∠ACH=22. 又因为∠ACB=45°，所以∠BCH=67°， 所以∠EBC=67°. 综上所述，∠EBC的度数是23°或67° 【变式训练3】 解：如图①所示，当点E在AC连线上时，因为AB∥CD,所 以∠AEC=∠A+∠C=180. B A B E --------f D D ① ② 如图②所示，当点E在AC连线左侧时，过点E作EF∥AB. 因为AB∥CD,所以EF∥AB∥CD. 所以∠1+∠A=180°，∠2+∠C=180°.所以∠1+∠A+∠2+ ∠C=360°，即∠AEC+∠A+∠C=360°. 如图③所示，当点E在AC连线右侧时，过点E作EF∥AB. 因为ABCD,所以EF∥AB∥CD. 所以∠1=∠A,∠2=∠C.所以∠1+∠2=∠A+∠C,即 ∠AEC=∠A+∠C B ③ 【通模拟】 1.D2.C3.B4.C5.A6.D 7.25°8.132° 9.∠3两直线平行，同位角相等DG内错角相等，两直线平 行∠AGD两直线平行，同旁内角互补120° 10.解：(1)此命题的条件为a=b,结论为|a=|b. (2)此命题的逆命题为如果|a|=|b,那么a=b (3)此命题的逆命题是假命题，反例： 当a,b为相反数时，它们的绝对值相等，但本身不相等， 如a=2,b=一2时，|2|=|一2|，而2≠一2. 11.解：(1)因为∠B=38°，∠C=64°， 所以∠BAC=78°. 因为AD平分∠BAC, 所以∠BAD=∠CAD=39°， 所以∠ADE=∠B十∠BAD=77 因为AE⊥BC,所以∠AEB=90°， 所以∠DAE=90°-∠ADE=13° (2)因为∠B=a,∠C=B, 所以∠BAC=180°-a-B. 因为AD平分∠BAC, 所以∠BAD=∠CAD=90°- 2(a+), 所以∠ADE=∠B+∠BAD=a+90°-2(a+B), 因为FE⊥BC, 所以∠FEB=90°， 所以∠DFE=90”-∠ADE=g-a). 【通中考】 12.B13.A 第2章全等三角形 2.1全等三角形 1.B2.C3.B 4.B5.A6.60°10cm 7.解：相等的角：∠A=∠D,∠ABC=∠DBC,∠ACB=∠DC 相等的边：AB=DB,BC=BC,AC=DC. 8.C9.D 10.30 11.解：因为△ACE≌△DBF, 所以AC=DB, 所以AC-BC=DB-BC, 所以AB=DC. 因为AC=6,BC=4, 所以AB=CD=AC-BC=6-4=2, 所以AD=AC+CD=6+2=8. 12.D13.D 14.5 15.解：(1)因为△ABC≌△DEB, 所以BE=BC=5,AB=DE=8, 所以AE=AB-BE=8-5=3. (2)因为△ABC≌△DEB,∠D=35°，∠C=60°， 所以∠DBE=∠C=60°，∠A=∠D=35°， ∠ABC=∠DEB, 所以∠ABC=180°-∠A-∠C=85°， 所以∠DBC=∠ABC-∠DBE=85°-60°=25°. 因为∠ABC=85°， 所以∠DEB=85°， 所以∠AED=95°， 所以∠AFD=∠A+∠AED=35°+95°=130°. 16.解：(1)因为△ABC≌△CDE,CE=25, 所以AC=CE=25. 因为AB=7,BC=24, 所以△ABC的周长=AB+BC+AC=7+24+25=56. (2)因为∠B=90°， 所以∠ACB+∠BAC=90°. 因为△ABC≌△CDE, 所以∠ECD=∠CAB 所以∠ACB+∠ECD=90°， 所以∠ACE=90. 因为AC=CE=25, 所以△ACE的面积= 2×25X25=625 2.2 三角形全等的判定 第1课时SAS 1.B 2.证明：因为AC平分∠BAD, 所以∠BAC=∠DAC. 在△ABC和△ADC中， (AB=AD, ∠BAC=∠DAC, AC=AC, 所以△ABC≌△ADC(SAS). 3.B4.A5.B6.C7.A8.45°9.SAS 10.解：石凳M到石凳E,F的距离ME,MF相等.理由如下： 因为ABCD, 所以∠B=∠C. 又因为M为BC的中点， 所以BM=MC 在△BEM和△CFM中， (BE=CF, ∠B=∠C, BM=CM, 所以△BEM≌△CFM(SAS), 所以ME=MF. 即石凳M到石凳E,F的距离ME,MF相等】 11.证明：因为CE∥AB,所以∠B=∠DCE. 在△ABC与△DCE中， (BC=CE, ∠B=∠DCE, BA=CD, 所以△ABC≌△DCE(SAS). 12.解：设点F的运动速度为xcm/s,则AE=tcm,BE=(5 t)cm,BF=xt cm 因为∠DAB=∠ABC, 所以当AD=BE,AE=BF时，根据“SAS”判断 △ADE≌△BEF, 即5-t=3,t=xt,解得t=2,x=1; 当AD=BF,AE=BE时，根据“SAS”判断 △ADE≌△BFE, 即xt=3,t=5-t,解得t=2.5,x=1.2. 综上所述，点F的运动速度为1cm/s或1.2cm/s. 第2课时ASA和AAS 1.C2.D 3.证明：因为∠1=∠2， 所以∠1十∠EAC=∠2+∠EAC, 所以∠BAC=∠DAE. 在△ABC和△ADE中， |∠BAC=∠DAE, AC=AE, ∠C=∠E, 所以△ABC≌△ADE(ASA). 4.A5.A 6.证明：因为∠ADC=∠1+∠B, 即∠ADE+∠2=∠1+∠B. 而∠1=∠2， 所以∠ADE=∠B. 在△ABC和△ADE中， I∠C=∠E, ∠B=∠ADE, AC=AE, 所以△ABC≌△ADE(AAS)