7.1 图形的位置与坐标-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（青岛版2024）

如果在甲公司购买合算，则 4060x+17400<4930x,解得x>20; 如果在乙公司购买合算，则 4060x十17400>4930x,解得x<20,又因为x>10, 所以10<x<20; 如果花费一样，则4060x+17400=4930x,解得x=20. 答：该公司购买电脑20台时，在两个公司花费一样；少于20台时， 在乙公司购买合算；多于20台时，在甲公司购买合算. 【变式训练2】 解：(1)设甲、乙两种牡丹每株的培育成本分别为x元、y元 根据题意，得+y=500, 解得/x=200, (3x+2y=1200, y=300, 答：甲、乙两种牡丹每株的培育成本分别为200元和300元. (2)设孙老伯培育甲种牡丹m株，则培育乙种牡丹(3m一 10)株. 根据题意，得 (200m+300(3m-10)≤30000， (300-200)m+(500-300)(3m-10)≥18000， 解得28号≤m≤30， 因为m为正整数，所以m=29或m=30. 当m=29时，3m-10=77; 当m=30时，3m-10=80. 答：孙老伯应该培育甲种牡丹29株、乙种牡丹77株或甲种牡丹 30株、乙种牡丹80株. 【通模拟】 1.C2.C3.D4.B5.1 6.解：解不等式2(x-1)≥-4，得x≥-1. 解不等式26<红-1，得z<4, 所以不等式组的解集为一1x<4, 所以不等式组的正整数解为1,2,3. 7.解：(1)设购进A种纪念品每件需x元，购进B种纪念品每件 需y元. 根据题意，得10x+4y=1200, 5.x+8y=900, 别仔-0 答：购进A种纪念品每件需100元，购进B种纪念品每件需 50元. (2)设购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品(200一 m)件. 根据题意，得200一m≤3m, 解得m≥50. 设购进的200件纪念品全部售出后获得的总利润为元，则 w=30m+50×0.8(200-m), 即=8000-10m. 因为m≥50，所以8000-10m≤7500， 所以当m=50时，有最大利润7500， 此时200-m=150, 所以当购进A种纪念品50件，B种纪念品150件时，获得的 总利润最大，最大总利润为7500元. 【通中考】 8.m≥-1 2x+7>3,① 9解：号@ 3 解不等式①，得x>一2；解不等式②，得x<5. 所以不等式组的解集为一2<x<5. 13(x+4)≥2(1-x),① 2<3-号@ 2 由①，得3x+12≥2-2x,解得x≥-2； 由②，得3x-3<18一4x,解得x<3. 两个不等式的解集在数轴上表示如图所示. 5-4-3-2-1012345 所以不等式组的解集为一2≤x<3. 第7章图形与坐标 7.1图形的位置与坐标 第1课时平面直角坐标系 1.(4,1)2.C3.C 4.解：(1)如图所示，点A,B,C,D即为所求 Br---3 Er- G -5-43-2-12345元 2jM (2)由图可得点E(-2,2),F(2,0),G(4,1),H(-3,-2), M(1,-2),N(0,-4). 5.B6.B7.A8.C9.(-5,0)10.5 11.D12.B13.D14.B15.A16.B17.二 18.(6,6)解析：从(0,0)到(1,0)需要3秒，从(1,0)到(0,2)需 要5秒，从(0,2)到(3,0)需要7秒，据此规律得出从(3,0)到 (0,4)需要9秒，从(0,4)到(5,0)需要11秒，从(5,0)到(0， 6)需要13秒，而3+5+7十9+11十13=48>42，所以可确 定质点的纵坐标，再向右移动48一42=6.故42秒时质点 所在位置的坐标是(6,6). 19.解：(1)因为点P(a一2,2a十8)在x轴上，所以2a十8=0，解 得a=一4，故a一2=-4-2=一6，则点P(一6,0). (2)因为点P(a一2,2a+8)在y轴上，所以a一2=0，解得 a=2,故2a+8=2×2+8=12,则点P(0,12). (3)因为点P到x轴、y轴的距离相等，所以a一2=2a+8 或a-2十2a十8=0，解得a=-10或a=-2.当a=-10 时，a-2=-12,2a十8=-12，则点P(-12,-12);当 a=-2时，a-2=-4,2a+8=4,则点P(-4,4).综上 所述，点P的坐标为(-12，-12)或(-4,4). 第2课时平面直角坐标 系中的图形 1.B2.A3.5 4.解：如图所示，过点B,A分别作BF,AE垂直于x轴，垂足分 别为F,E,所以四边形ABCD的面积为宁×3X6+合× (6+80X9+2×2×8=80, 8 ----=2：8) 1-}---} -- C-14:0--++E0 5.(0,-2)6.(1,5)或(1，-1)7.B8.(2,12) 9.(1)12(2)(-1,2)或(-1，-2)10.15 11.解：(1)建立平面直角坐标系如图所示. 4 因为每级台阶的宽等于高，D(2,2), 所以A(-4,-4),E(4,4),F(6,6). (2)台阶的长度：2×(10十1)=22， 高度：2×10=20. 根据勾股定理，得AM=√222+20=√884」 12.解：(1)因为点A(1,0),B(-2,3),C(-3,0),所以AC=1- (一3)=1十3=4，点B到AC的距离为3，所以△ABC的面 积为2×4×3=6. (2)因为S△Acp=2S△A8C=12,所以以AC为底时，△ACP的 高为12×2÷4=6，当点P在y轴正半轴上时，点P(0,6): 当点P在y轴负半轴上时，点P(0,一6). (3)因为S△BQ=2S△ABc=12,所以以CQ为底时，△BCQ 的高为3，底边CQ=12×2÷3=8,所以当点Q在点C的左 边时，Q(一3一8,0)，即点Q(一11,0).当点Q在点C的右边 时，Q(-3+8,0),即点Q(5,0) 13.解：(1)①E,F②（一3,3） (2)由题意，得T1(一1，一一3)，T2(4,4k一3)两点为“等距 点”， ①若4k一3≤4，则4=一k一3或一4=一k一3， 解得k=一7（舍去）或=1. ②若14k-3|>4,则14k-3=|-k-3|, 解得k=2或k=0(舍去). 根据“等距点”的定义知，k=1或k=2符合题意 即的值是1或2. 7.2图形的运动与坐标 1.B2.A3.B 4.解：(1)如图所示，△A'B'C即为所作 (2)点A'的坐标为(4,0)， 点B'的坐标为（一1，一4）， 点C的坐标为（一3，一1） 5143- 3 5.C6.(-2,3)7.(a,-b) 8.解：(1)(4,4) (2)如图所示，因为S△POA=S△PBC, 所以点P在对称轴1上. 设P(3,m), 因为S△PAB=S△POC, 所以号×2×4-m)= F2×6Xm, 所以m=1, 所以P(3,1). y 6 5 3 -2-10 67x -2H (3)存在.Q(3,-2). 7.3用方位角和距离描述两个 物体的相对位置 1.A2.A3.B4.B5.D 6.解：(1)如图所示. (2)如图所示. (3)如图所示. (4)如图所示. 北 小刚家 小红家 学校 30° 30° 60 45 小华家 小平家 50m 7.C8.B9.A10.145 11.解：(1)北偏东70° (2)因为∠AOB=40°+15=55°，∠AOC=∠AOB,所以 ∠BOC=110°.又因为∠B0D=180°，所以∠C0D=180°- 110°=70°.因为OE平分∠COD,所以∠COE=35°. 因为∠AOC=55°，所以∠AOE=∠AOC+∠COE=90°. 12.解：(1)学校和公园， (2)商场在小明家北偏西30°方向，学校在小明家北偏东45 方向，公园和停车场都在小明家南偏东60°方向.公园和停车 场的方位是相同的 D商场距离小明家4。°×2.5=500(m),停车场距离小明 492×4=80cm.第7章图形与坐标 /1/111/11 大单元建构 用有序数对表示物体的位置 用平面直角坐标系中点的 简化确定方法 坐标表示物体的位置 图形的位 置与坐标 用方向和距离表示物体的 位置 简化应用 图形 平面直角 与坐标 坐标系 求平面直角坐标系中图形的面积 平面直角坐 确定图形的位置 标系中的图形 应用 关于坐标轴成轴对称的两个点的坐标特点 /1//1// 本章核心素养· 学科核心素养 具体内容 通过对实际问题的探究引出多种确定位置的方法，进而抽象 出平面直角坐标系的相关概念及平面直角坐标系中点的坐标 抽象能力 特征.由此积累从具体到抽象的数学活动经验，通过抽象来把 握事物的数学本质 根据平面直角坐标系中图形顶点的坐标确定线段的长度，进 运算能力 而计算图形的面积，可以提高数学运算能力，培养利用数学运 算的方法解决问题的意识 引入平面直角坐标系，建立平面直角坐标系中的点与坐标之 间的一一对应关系，同时探索点的坐标与点的位置之间的关 几何直观 系，构建“数”与“形”相结合的直观模型，有利于增强运用图形 分析问题、解决问题的意识，提高直观想象能力 通过建立平面直角坐标系表示物体的位置，体现了学数学用 应用意识 数学的应用意识 △八年级·上册·数学.QDi / 定义 象限内的点的符号 点的坐标特征 坐标轴上的点 价值 感悟数学抽象对于数学产生与发 展的作用，感悟用数学的眼光观 察现实世界的意义，形成数学想 象力，提高学习数学的兴趣 运算能力有助于形成规范化思考 问题的品质，养成一丝不苟、严谨 求实的科学态度 几何直观有助于把握问题的本 质，明晰思维的路径 应用意识有助于用学过的知识和 方法解决简单的实际问题，养成 理论联系实际的习惯，发展实践 能力 135 7.1图形的位置与坐标 第1课时 平面直角坐标系（答案P28) ←通基础w (2)写出平面直角坐标系中点E,F,G,H, M,N的坐标. 知识点1用有序数对表示位置 1.观察如图所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位置 用(1,3)表示，“炮”所在的位置用(6,4)表示， E--2 OF--1G 那么“帅”所在的位置可表示为 5-4-3-2-1 2345 1--- -M 炮 知识点2认识平面直角坐标系 2.下图中是平面直角坐标系的是( ty 知识点4平面直角坐标系中点的坐标特征 1 -3-2-1123x-10-0234x 5.(聊城莘县期末)点A(x,y)的坐标满足y=0, A 公 则点A在() 2 A.原点 B.x轴上 10122 C.y轴上 D.x轴或y轴上 D 6.(秦安东平一模)点A(台，1在第一象限，则点 知识点3平面直角坐标系中点的坐标 B(-a2,ab)在( ) 3.如图所示，小明将写有“知”“识”“拓”“展”的四 A.第一象限 B.第二象限 张卡片分别放入平面直角坐标系中，则写有 C.第三象限 D.第四象限 “拓”的卡片遮住的点的坐标可能是() 7.(潍坊期末)在平面直角坐标系中，已知点P位 于第二象限，距离x轴6个单位长度，距离 知 识 y轴5个单位长度，则点P的坐标是() A.(-5,6) B.(6,5) 展 拓 C.(-6,5) D.(5,6) A.(-5,-3) B.(-5,3) 8.若点P(m,2一m)在坐标轴上，则m的值 C.(5,-3) D.(5,3) 为() 4.几何直观如图所示，在平面直角坐标系中 A.0 B.2 C.0或2D.0和2 (1)描出下列各点：A(3,5),B(一3,3)， 9.(聊城临清期末)若点P(m一3,2十m)在x轴 C(-4,-2),D(2,-4). 上，则点P的坐标是 136 优+学案·课时通△ 10.已知点P(5a+7,6a+2)在第一、三象限的角 平分线上，则a= ☆易错点对平面直角坐标系内点的坐标符号 理解不清 11.几何直观已知a十b>0,ab>0,则在如图所 示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐 标可能是( A.(a,b) B.(-a,b) C.(-a,-b) D.(a,-b) y 3 M--2 P -3-2-10 123 -2 第11题图 第12题图 。通能力 12.在如图所示的平面直角坐标系中描出下列各 点：M(-1,2),N(3,-1),P(0,4),Q(-3,0), 则描错的点的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 13.(聊城冠县期末)以下各点中，距离 x轴3个单位长度的点是() A.(3,2) B.(-3,-1) C.(3,0) D.(1,-3) 14.推理能力已知点A的坐标为(a+1,3-a), 下列说法正确的是( ) A.若点A在y轴上，则a=3 B.若点A在第一、三象限，到x轴、y轴的距 离相等，则a=1 C.若点A到x轴的距离是3，则a=士6 D.若点A在第四象限，则a的值可以为一2 △八年级·上册·数学.QDn 15.已知点P(a,b)是平面直角坐标系中第二象 限内的点，则化简|a一b|+|b一a的结果 是() A.-2a+2b B.2a C.2a-26 D.0 16.(菏泽单县期末)若点M(x,y)满足(x十 y)2=x2+y2-2,则点M在() A.第一象限或第三象限 B.第二象限或第四象限 C.第一象限或第二象限 D.不能确定 17.在平面直角坐标系中，点(-1，m2+1)一定在 第 象限。 18.探究拓展如图所示，一个质 点在第一象限及x轴、y轴上 运动，且每秒移动1个单位长 度，在第1秒钟，它从原点运 动到(0,1)，然后按图中箭头所示方向运动[即 (0,0)(0,1)→(1,1)→(1,0)→…]，那么第 42秒时质点所在位置的坐标是 ←通素养mu 19.已知点P(a一2,2a十8)，分别根据下列条件 求出点P的坐标. (1)点P在x轴上. (2)点P在y轴上. (3)点P到x轴、y轴的距离相等. 137 第2课时 平面直角坐 通基础 VAABKEKKKKK14141111111114104 知识点1)平面直角坐标系内的图形 1.如图所示，正方形ABCD中的点A和点C的 坐标分别为（一2,3）和(3，一2)，则点B和点D 的坐标分别为() A.(2,2)和(3,3) B.（-2,-2)和(3,3) C.（-2,-2)和(-3，-3) D.(2,2)和(-3，-3) 第1题图 第3题图 2.(聊城东阿期末)已知AB∥y轴，且点A的坐 标为(m,2m一1)，点B的坐标为(2,4)，则点 A的坐标为( ) A.(2,3) B(⑧4 C.（-2,-4) D.(2,-4) 知识点2求平面直角坐标系中图形的面积 3.如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点 都在网格格点上.其中点A的坐标为(2，一1)， 则△ABC的面积为 4.如图所示，四边形ABCD各个顶点的坐标分别 为(-2,8)，(-11,6)，（一14,0），(0,0).求这个 四边形的面积， 1=28) 义--↓--- C0-140-+--+-02 138 标系中的图形（答案P28) 知识点3建立适当的平面直角坐标系 5.如图所示是一只蝴蝶标本，将其放在适当的平 面直角坐标系中，若翅膀两端B,C两点的坐 标分别为（一1,3），(3,0)，则蝴蝶“尾部”点A 的坐标为 ☆易错点对距离与坐标的关系理解不清 6.(潍坊潍城区期末)在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1,2)，直线AB∥y轴，若AB=3,则 点B的坐标为 。通能力yu 7.如图所示，半径为1的圆，在x轴上从原点O 开始向右滚动一周后，落定点M的坐标 为() A.(0,2π)B.(2π，0)C.(π，0)D.(0,π) B O 第7题图 第8题图 8.如图所示，在平面直角坐标系中，B,C两点 的坐标分别为（一3,0）和(7,0)，AB=AC= 13,则点A的坐标为 9.(1)如图①所示，已知点A(1,4),B(-4,0), C(2,0),则△ABC的面积是 (2)如图②所示，若点B,C的坐标不变， △ABC的面积为6，点A的横坐标为一1，那 么点A的坐标为 2 A(1,4) (4,0) (2.0) B(-4.0)0 C(2.0 ① ② 优计学案·课时通 10.在平面直角坐标系中，一个四边形各顶点坐 标分别为A(-1,2),B(4,-2),C(4,3), D(一1,3)，则四边形ABCD的面积为 11.如图所示是某台阶的一部分，并且每级台阶 的宽等于高.请你在图中建立适当的平面直 角坐标系，使C点的坐标为(0,0)，D点的坐 标为(2,2). (1)直接写出点A,E,F的坐标 (2)如果台阶有10级（第11个点用M表示）， 请你求出该台阶的高度和线段AM的长度. B 12.如图所示，已知△ABC的三个顶点位置分别 是A(1,0),B(-2,3),C(-3,0). (1)求△ABC的面积. (2)若点A,C的位置不变，当点P在y轴上 时，且SAACP=2S△ABC,求点P的坐标. (3)若点B,C的位置不变，当点Q在x轴上 什么位置时，使S△BcQ=2S△ABC· △八年级·上册·数学.QD 通素养 MKKK1111111 13.阅读理解如图所示，在平面直角坐标系中， 对于P,Q两点给出如下定义：若点P到x 轴，y轴的距离中的最大值等于点Q到x轴， y轴的距离中的最大值，则称P,Q两点为 “等距点”.如图所示，图中的P,Q两点即为 “等距点”， (1)已知点A的坐标为（一3,1）， ①在点E(0,3),F(3,-3),G(2,-5)中，点 A的“等距点”是 ②若点B的坐标为B(m,m+6),且A,B两 点为“等距点”，则点B的坐标为 (2)若T1(-1,-k-3),T2(4,4k-3)两点为 “等距点”，求的值. 0 备用图 139