5.1-5.2 勾股定理及其逆定理 算术平方根-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（青岛版2024）

第5章勾股定理与实数 5.1勾股定理及其逆定理 第1课时勾股定理及其应用 1.A2.C3.B4.C5.A6.C7.A 82g94 10.解：如图所示，连接BD.因为在等腰直 角三角形ABC中，D为AC边的中点， 所以BD⊥AC,CD=AD,∠C=45°， 所以∠CBD=45°， 所以BD=CD=AD， ∠ABD=45°=∠C.又因为DE⊥DF, 所以∠FDC+∠BDF=∠BDF+∠EDB,所以∠FDC= ∠EDB,所以△EDB≌△FDC, 所以BE=FC=3. 因为AE=4,所以AB=7,所以BC=7,所以BF=4.在 Rt△EBF中，EF2=BE2+BF2=32+4=25,所以EF=5. 第2课时勾股定理的逆定理 1.B2.直角3.D4.1205.4或√346.7.5 7.解：(1)因为AC=300km,BC=400km,AB=500km, 所以AC2+BC2=AB2, 所以△ABC是直角三角形， 所以∠ACB=90. (2)海港C不会受到这次台风的影响，理由如下： 如图所示，过点C作CD⊥AB于点D. D 所以SaAc=2AC·BC= AB·CD, 即300×400=500CD 解得CD=240. 因为240km>200km, 所以海港C不会受到这次台风的影响， 8.解：(1)③(2)a2一b2可能为零 (3)正确结论：△ABC是等腰三角形或直角三角形.理由如下： 因为a2c2-b2c2=a4-b,所以c2(a2-b2)=(a2十b2)· (a2-b2),所以a2-b2=0或c2=a2+b2.当a2-b2=0时， a=b,此时△ABC是等腰三角形；当a2一b2≠0时，c2=a2十 b2,∠C=90°，此时△ABC是直角三角形.所以△ABC是等 腰三角形或直角三角形. 5.2算术平方根 1.A2.3 3.解：(1)因为132=169， 所以169的算术平方根是13，即√169=13. ②因为层》广-品 所以号的算术平方根是号即，√合-号 93 (3)因为（一2）2=4,22=4，所以（一2）2的算术平方根是2，即 √(-2)2=2. 4.解：(1)因为72=49，所以√49=7. 一1=-5 (3)因为0.092=0.0081，所以√0.0081=0.09. 5.B6而7.号8A9.C10.C.5 12.解：因为长方形的长为72cm,宽为18cm,所以这个长方形 的面积为72×18=1296(cm),所以与这个长方形面积相 等的正方形的边长为√1296=36(cm). 答：正方形的边长为36cm 13.解：(1) 0 … 0.01 1 10010000 √a 0.1 1 10100 (2)a的值扩大为原来的n倍，相应的算术平方根扩大为原 来的√m倍，或者说α的值的小数点向右或向左每移动2位， 相应的算术平方根的小数点向右或向左移动1位. 5.3无理数 第1课时无理数的估算 1.B2.C3.A4.C5.36.9 7.解：(1)因为22<8<32， 借助计算器可进一步估计2.82<8<2.92,2.822<8<2.832， 所以2.82<√8<2.83. (2)因为82<75<92， 借助计算器可进一步估计8.62<75<8.72， 8.662<75<8.672,所以8.66<√/75<8.67. 8.B9.C10.B11.A12.4 13.解：(1)√16=4，W4=2,则y=√2. (2)存在，当x=0或1时，始终输不出y值. (3)答案不唯一，如x=[(√5)2]2=25. 第2课时在数轴上表示无理数 1.D2.B 3.√2（答案不唯一） 4.B5.C6.C7.C8.C9.B10.B11.B 12.√/13> 13.-π14.√/1015./10 16.解：因为如题图所示是由36个边长为1的小正方形拼成的 方格图，所以AB=√22+12=√5. 同理BC=5,CD=√10，EF=5,DE=3,AF=2. 因为BC=5,EF=5,DE=3,AF=2,所以BC,EF,DE,AF 的长度是有理数 因为AB和CD都是无限不循环小数，所以AB,CD的长度是 无理数. 17.2024+675√5解析：由条件可知BC=√/12+22=√5. 所以△ABC的周长为3+√5. 所以2025次旋转中每三次一个循环. 因为2025÷3=675， 所以2025次旋转共经历675个循环. 所以△ABC第2025次旋转后，落在数轴上的三角形的顶 点中，右边的是点A, 所以2025次旋转后点A共向右移动的总长为675×(3+ √5)=2025+675√5. 因为第一次的起，点为一1， 所以右边的点表示的数是2024十675√5. 5.4平方根 1.D2.B3.B4.±4 5.解：(1)因为（士8）2=64，所以64的平方根是士8， 即土64=士8. (2)图为（上乡）厂-8所以的平方根是±号 3第5章勾股定理与实数 /I1// 大单元建构· 177717171 0 理论联系实际 证明 定理 定义 应用 证明 勾股定理 无理数 逆定理 应用 应用 理论联系实际 定义 定义 性质 勾股定理与实数 立方根 性质 算术平方根 应用 应用 定义 定义 含 包含 性质 分类 平方根 实数 应用 比较 应用 /A//I1/ ·本章核心素养· 学科核心素养 具体内容 价值 运算能力有助于形成规范化思考 运算能力 会求平方根、立方根，能进行实数的有关运算 问题的品质，养成一丝不苟、严谨 求实的科学态度 推理能力有助于逐步养成重论 推理能力 经历勾股定理及逆定理的探索过程，提高推理能力 据、合乎逻辑的思维习惯，形成实 事求是的科学态度与理性精神 几何直观有助于把握问题的本 几何直观 通过数轴将抽象的实数概念与直观的几何图形相结合 质，明晰思维的路径 经历勾股定理及逆定理的探索过程，发展空间观念；借助几何 空间观念有助于理解现实生活中 空间观念 图形，能用多种方法验证勾股定理及其逆定理，在图形实践中 空间物体的形态与结构，是形成 使空间观念得到升华 空间想象力的经验基础 应用意识有助于用学过的知识和 在具体问题情境中，能灵活利用勾股定理及逆定理解决生活 方法解决简单的实际问题，养成 应用意识 中的实际问题，从实际问题中抽象出数学问题，建构数学模 理论联系实际的习惯，发展实践 型，发展应用意识 能力 98 优+学率·课时通△ 5.1勾股定理及其逆定理 第1课时 勾股定理及其应用（答案P23) 通基础 7.几何直观如图所示，梯子AB斜靠在一竖直 的墙AO上，测得AO=4m,若梯子的顶端沿 知识点1)勾股定理 墙下滑1m,这时梯子的底端也向右滑1m,则 1.在△ABC中，∠A=25°，∠B=65°，则下列式 梯子AB的长度为() 子成立的是() A.5m B.6 m C.3 m D.7m A.AC2+BC2=AB2 B.AB2+BC2=AC2 C.AC2-BC2=AB2 D.AC2+AB2=BC2 2.一个直角三角形的两条直角边分别为5,12，则 斜边上的高为() B D A.5 B.4 60 5 第7题图 第8题图 D.12 8.(泰安岱岳区一模)如图所示，在△ABC中， 知识点2勾股定理的应用 ∠C=2∠B,AD⊥BC,垂足为D,AB=5, 3.(保定阜平期末)如图所 AD=3,则AC= 示，一段斜坡上有两棵 9.在直线1上依次摆放着七个正方形（如图所 树，两棵树之间的水平 示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是 距离为12m,竖直距离 12m 1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次是S1, 为5m,树的高度都是2m.一只小鸟从一棵树 S2,S3,S4,则S1+S2十S3十S4= 的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞( A.12mB.13m C.14m D.15m ☆易错点直角边不确定时漏解 通素养 E111111111111111E114 4.(毫州蒙城期末)若直角三角形的两边长分别 为3cm和4cm,则第三边长为( 10.推理能力如图所示，在等腰直角三角形ABC A.5 cm B.√7cm 中，∠ABC=90°，D为AC边的中点，过点D C.5cm或√7cm D.5cm或7cm 作DE⊥DF交AB于点E,交BC于点F.若 AE=4,FC=3,求EF的长. 之通能力 KKKKK1411111111 5.已知一直角三角形的木板，三边的平方和为 1800,则斜边长为( A.30 B.80 C.90 D.120 6.一直角三角形的三边长分别为2,3，x,那么以 x为边长的正方形的面积为( ) A.13 B.5 C.13或5D.4 △八年级·上册·数学.QD 99 第2课时 勾股定理的逆定理（答案P23) ←通基础wu恤 别为AC=300km,BC=400km,A,B两点的 距离为AB=500km. 知识点勾股定理的逆定理 (1)求∠ACB的度数. 1.在△ABC中，BC=6,AC=8,AB=10,则该三 (2)海港C会受到这次台风的影响吗？请说明 角形为( ) 理由. A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 2.已知x-12|+|x+y-25|与x2-10z+25 东 互为相反数，则以x,y,之为三边的三角形是 三角形.（填“锐角”“直角”或“钝角”) 通能力 LAAAHK1KK4411114441412144111774 3.满足下列条件的三角形不是直角三角形的 是() A.三内角的度数之比为1：2：3 B.三边长的平方之比为1：2：3 C.三边长之比为3：4：5 D.三内角的度数之比为3：4：5 MMKK1441111 4.若一个三角形的三边长之比为5：12：13，且 通素养 周长为60cm,则它的面积为 cm2. 8.阅读理解阅读下列解题过程： 5.三角形的两边长分别为3和5，要使这个三角 已知a,b,c为△ABC的三边长，且满足 形是直角三角形，则第三边长为 a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状. 6.数学文化我国南宋著名数学家秦九韶的著作 解：因为a2c2-b2c2=a4-b4,① 《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田 所以c2(a2-b2)=(a2-b2)(a2+b2).② 一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大 所以c2=a2+b2.③ 斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有 所以△ABC是直角三角形 一块三角形沙田，三条边长分别为5里、12里、 回答下列问题： 13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我 (1)上述解题过程，从第 步开始出现 国市制长度单位，1里=0.5千米，则该沙田的 错误， 面积为 平方千米。 (2)错误原因为 7.应用意识台风是一种自然灾害，它以台风中 (3)本题正确结论是什么？说明理由， 心为圆心，在周围200km的范围内形成极端 气候，有极强的破坏力.如图所示，有一台风中 心由西向东，从点A处移动到点B处，已知点 C是一个海港，且点C与A,B两点的距离分 100 优计学案·课时通 5.2算术平方根（答案P23) ·通基础 ←通能力u 知识点1算术平方根 8.下列各数的算术平方根比它本身大的 数是() 1.下列各数没有算术平方根的是( ) A.-(-5)2 B.2 A B.0 C.0 D.-2 C.1 D.(-1)2 2.如果2a一18=0，那么a的算术平方 9.若3x5y”与一2x"y的和是单项式，则 根是 (m一n)2的算术平方根是() 3.教材P132例1变式求下列各数的算术平 A.2 B.士2 C.4 D.±4 方根： 10.一个正偶数的算术平方根是a,那么与这个正 (1)169; (2)9 4: (3)(-2)2. 偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根 是() A.a+2 B.a2+2 C.√a2+2 D.√a+2 11.若√x+4=3,则x= 4.教材P133习题5.2T3变式计算： 12.已知长方形的长为72cm,宽为18cm,求与 144 (1)49; (2) √225 (3)√0.0081. 这个长方形面积相等的正方形的边长， 知识点2算术平方根的应用 5.(广东中考)若完全相同的4个正方形面积之 通素养mww 和是100，则正方形的边长是( A.2 B.5 C.10 D.20 13.探究拓展(1)填写下表： 6.如图所示，每个小正方形的边长为1，可通过 a 0.01 1 10010000 “剪一剪”“拼一拼”将10个小正方形拼成一个 √a 大正方形，若10个小正方形的面积之和等于 (2)观察上表，你从中发现了什么规律？ 大正方形的面积，则这个大正方形的边 长是 ☆易错点不会计算带分数的算术平方根 9 7.计算1的结果为 16 △八年级·上册·数学.QD 101