5.1 勾股定理及其逆定理 课件 2025--2026学年青岛版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的逆定理，通过古埃及人用绳结构造直角三角形的情境导入，回顾直角三角形性质作为前导，以探究活动为支架，引导学生从计算验证、尺规作图到逻辑证明，构建从性质到判定的知识脉络。 其特色在于以情境激发数学眼光，通过3,4,5等实例的计算与作图培养推理意识，结合港口航行等实际问题发展应用意识。采用对比表格梳理定理关系，勾股数归纳强化认知，助力学生提升逻辑思维与问题解决能力，也为教师提供结构化教学资源。

5.1勾股定理及其逆定理 第五章 勾股定理与实数 数学青岛版八年级上册 1.经历勾股定理的逆定理的探索过程，进一步发展推理能力． 2.掌握勾股定理的逆定理，会利用勾股定理的逆定理判断已知三 边的三角形是不是直角三角形，了解勾股数的概念，熟悉常用的 勾股数. 3.运用勾股定理的逆定理解决实际问题，发展应用意识，进一体 会数学与现实世界的联系． 4.培养逻辑思维能力及推理能力，提升数学素养． 学习目标 四千多年前，古埃及人在建造金字塔时，就已经知道如何构造一个 直角三角形了. 同学们，你知道他们是如何构造的吗？ 直角三角形有哪些性质呢？ 用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结， 拉紧绳子就得到一个直角三角形，其直角在第4个结处. 有一个角是直角； 两个锐角互余； 在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半； 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 1 2 3 4 直角三角形有哪些性质？ A B C 勾股定理 勾股定理的逆 定理是什么？ 如果一个三角形中有两边的平方和等于第三 边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 它是真命题吗？ 活动一：探究勾股定理的逆定理 已知△ABC的三边长分别为AC=3，BC=4，AB=5. 验证三边长是否 满足a2+b2=c2? 因为AC2+BC2= 32+42=9+16=25， 所以AC2+BC2=AB2. 所以△ABC的三边长满足 a2+b2=c2. AB2=25， 符合a2+b2=c2的三角形 是直角三角形？？ 探究新知 已知△ABC的三边长分别为AC=3，BC=4，AB=5.用尺规作图的方法作出△ABC，观察它是怎样的三角形. B C A 作法：(1)作线段BC＝4； (3)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的三角形. (2)分别以点B，C为圆心，5，3为半径作弧，两弧相交于点A； 90° △ABC为直角三角形. 5 3 4 活动一：探究勾股定理的逆定理 探究新知 5 12 13 A B C 活动一：探究勾股定理的逆定理 已知△ABC的三边长分别为AC=5，BC=12，AB=13.验证三边长是否满足a2+b2=c2 ?它是怎样的三角形? 你可以从中得到什么结论? 因为AC2+BC2 = 52+122 =25+144 =169， AB2 =132 =169， 所以AC 2+BC 2 =AB 2. 所以△ABC的三边长满足 a2+b2=c2. △ABC是直角三角形. 你能作出这个三角形吗？？ 你能证明吗？ 如果三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 90° 探究新知 已知：如图，在△ABC中，AB=c，BC=b，AC=a，a2+b2=c2. 求证：△ABC是直角三角形. b c a A C B a B′ A′ b C′ 如图,作△A'B'C',使∠C'=90°,B'C'=b, A'C'=b. 利用SSS证△ABC≌△A'B'C'. 活动一：探究勾股定理的逆定理 在△ABC中,由边的关系a2+b2 =c2,推导出直角很难做到,若作一个 与△ABC全等的直角三角形,则可借助 全等的性质来说明∠C是直角. 分析 探究新知 B′ A′ b C′ a b c A C B a 证明：如图，作△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=b，A'C'=a. 由勾股定理可得A'B'2=a2+b2. 因为a2+b2=c2，所以A'B'2=c2. 在△ABC和△A'B'C'中， 因为AB=A'B'=c，BC=B'C'=b，AC=A'C'=a， 所以△ABC≌△A'B'C'(SSS). 所以∠C=∠C'=90°(全等三角形的对应角相等), 即△ABC是直角三角形. 活动一：探究勾股定理的逆定理 已知：如图，在△ABC中，AB=c，BC=b，AC=a，a2+b2=c2. 求证：△ABC是直角三角形. 探究新知 勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 活动一：探究勾股定理的逆定理 A B C a b c 如何确定哪个 角为直角呢？ 注意 勾股定理的逆定理是直角三角形的判 定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条 较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断 此三角形为直角三角形，最长边所对角为直角. 探究新知 类别 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 结论 关系 勾股定理及其逆定理有什么关系呢？ 在△ABC中，∠C=90° 在△ABC 中，a2+b2=c2 a2+b2=c2 △ABC 是直角三角形 a2+b2=c2 勾股定理 勾股定理的逆定理 直角三角形的性质 直角三角形的判定 数 形 C B A b a c 活动一：探究勾股定理的逆定理 探究新知 活动二：探究勾股数 解：(1)因为152+82=289，172=289，所以152+82=172， 由勾股定理的逆定理可知，这个三角形是直角三角形，且边c所对的角是直角. 下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？ (1) a=15， b=8，c=17；(2) a=13，b=14，c=15. (2)因为132+142=365，152=225，所以132+142≠152， 由勾股定理的逆定理可知，这个三角形不是直角三角形. 探究新知 活动二：探究勾股数 勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数. 注意 1.三个数必须是正整数，例如0.3，0.4，0.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数. 2.一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数. 3.常见勾股数： ①3，4，5； ②9，40，41； ③8，15，17； ④7，24，25； ⑤5，12，13. 探究新知 　　　 已知三角形三条边的长分别是： (1)2，3，4； (2)3x，4x，5x(x>0). 分别判断它们是否为直角三角形. 解：(1)在边长为2，3，4的三角形中，4是最大边长. 因为22+32=13≠42，所以该三角形不是直角三角形. 由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方. 分析 (2)在边长为3x，4x，5x(x>0)的三角形中，5x是最大边长. 因为(3x)2+(4x)2=9x2+16x2=25x2=(5x)2，所以该三角形是直角三角形. 教材 例题 应用新知 解：图中有4个直角三角形，理由如下： 因为四边形ABCD为正方形,所以∠A=∠C=∠D=90°, 所以△ABE，△DEF，△FCB均为直角三角形. 由勾股定理，得BE2=22+42=20，EF2=22+12=5， BF2=32+42=25，所以BE2+EF2=BF2， 所以△BEF是直角三角形. 所以图中共有4个直角三角形. 如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有 几个直角三角形，说出你的理由. 经典例题 4 4 3 B C F 2 2 A D E 1 由正方形的性质可知,△ABE,△DEF,△FCB均为直角三角形. 分析 再根据勾股定理的逆定理证明△BEF是直角三角形. 应用新知 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海 天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 经典例题 2 1 E P N R Q 根据题意易得PQ，PR， QR的长度，145°. 分析 再利用勾股定理的逆定理推出△PQR是直角三角形. 求2的度数 应用新知 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海 天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 经典例题 2 1 E P N R Q 解：由题意得PQ161.524 n mile， PR121.518 n mile，QR30 n mile. 因为242182302，即PQ2PR2QR2， 所以QPR90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知145°， 所以245°.所以“海天”号沿北偏西45°方向航行. 应用新知 教材 练习 1.已知三角形三条边的长分别是： (1)1.5，2，2.5；(2)10，24，26；(3)12，15，18. 分别判断它们是否为直角三角形. 解：(1)在边长为1.5，2，2.5的三角形中，2.5是最大边长. 因为1.52+22=6.25=2.52，所以该三角形是直角三角形. (2)在边长为10，24，26的三角形中，26是最大边长. 因为102+242=676=262，所以该三角形是直角三角形. (3)在边长为12，15，18的三角形中，18是最大边长. 因为122+152=369≠182，所以该三角形不是直角三角形. 课堂练习 教材 练习 2.一个零件的形状如图所示.已知∠DAB=90°， AB=3，AD=4， BC=12，CD=13. 能判断∠DBC是直角吗? 证明你的结论. 解：∠DBC是直角，证明如下： 又因为在△BDC中， BD2+BC2=25+144=169=CD2， 所以△BDC是直角三角形且∠DBC是直角. 在Rt△ABD中，由勾股定理可得BD2=AB2+AD2=9+16=25， 课堂练习 限时训练 B 根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除分数， 再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和，而B选项中72+ 242=252，符合勾股数的定义，所以选B. 分析 1、下列各组数是勾股数的是 课堂练习 限时训练 2.如图，已知CD=2，BD=4，AD=1，若CD⊥AB交AB于点D，则A，B，C三点 构成直角三角形(填“能”或“不能”). C B A D 在Rt△ACD中,由勾股定理可得AC2AD2CD25, 在Rt△BCD中,由勾股定理可得，BC2BD2CD220, 又因为ABDADB415， AC2BC252025，AB225. 所以AC2BC2AB2. 故A，B，C三点能构成直角三角形. 分析 能 课堂练习 限时训练 3. 如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在 挖完后测量了一下，发现ABDC8m，ADBC6m，AC9m，请你运 用所学知识帮他检验一下挖的是否合格. A D B C 解：因为ABDC8，ADBC6， 所以AB2BC28262100. 又因为AC29281， 所以AB2BC2AC2， 所以ABC90°， 所以该农民挖的不合格. 课堂练习 限时训练 B A D C 连接BD，先根据勾股定理求得BD的长. 分析 最后根据四边形ABCD 的面积等于△BCD与△ADB的面积之差进行求解. 再根据勾股定理的逆定理判断△BDC为直角三角形. 4.如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3 cm，AB=4 cm， CD=12 cm，BC=13 cm，求四边形ABCD 的面积. 课堂练习 限时训练 故四边形ABCD 的面积为24 cm2. 4.如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3 cm，AB=4 cm， CD=12 cm，BC=13 cm，求四边形ABCD 的面积. B A D C 课堂练习 勾股定理的逆定理 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数. 知识点1相交线 如果三角形两边的平方和等于第三边的 平方，那么这个三角形是直角三角形. 勾股定理及其逆定理 勾股数 勾股定理逆定理的应用 知识点1相交线 判断三角形是否为直角三角形. 总结归纳 $