4.3 角的平分线-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（青岛版2024）

4.3 角的平 ·通基础 MKKKKKK11111114141 知识点1角的轴对称性 1.下列说法正确的是( A.线段有且只有一条对称轴 B.垂直于线段的直线就是线段的对称轴 C.角的对称轴是角的平分线 D.角平分线所在的直线是角的对称轴 知识点2用尺规作角的平分线 2.如图所示，已知∠AOB,按照以下步骤作图： ①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分 别交∠AOB的两边于C,D两点，连接CD; ②分别以点C,D为圆心，以大于线段OC的 长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E,连 接CE,DE; ③连接OE交CD于点M. 下列结论错误的是( ) D B A.∠CEO=∠DEOB.CM=MD C.OE⊥CD D.∠OCD=∠ECD 3.应用意识如图所示，现要在三角地ABC内建 一中心医院，使医院到A,B两个居民小区的 距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相 等，请确定这个中心医院的位置。 80 分线（答案P18) 知识点3角平分线的性质 4.如图所示，射线OC平分∠AOB,点D,Q分别 在射线OC,OB上，若OQ=4,△ODQ的面积 为10，过点D作DP⊥OA于点P,则DP的长 为() A.10 B.5 C.4 D.3 A P D 第4题图 第5题图 5.推理能力如图所示，AB∥CD,BP和CP分别 平分∠ABC和∠BCD,AD过点P且与AB垂直. 若AD=8,BC=10,则△BCP的面积为() A.16 B.20 C.40 D.80 知识点4角平分线的判定 6.如图所示，ADCB,点P到AB,BC,AD的距 离相等，则∠APB的度数为 D B 7.应用意识我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如 图所示，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始 终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC, 且AE=AF,DE=DF,从而保证伞圈D能沿 着伞柄滑动.你能证明点D必定在AP上吗？ 优+学案·课时通△ ☆易错点在判定角平分线时，易忽略相等的线 段是垂线段而造成错解 8.如图所示，点P是∠AOB内部一点.下列说法 正确的是( ) P 0 B A.若PA=PB,则∠1=∠2 B.若PA=PB,PA⊥OA,则∠1=∠2 C.若PA⊥OA,PB⊥OB,则∠1=∠2 D.若PA⊥OA,PB⊥OB,PA=PB,则 ∠1=∠2 。通能力m 9.如图所示，△ABC的三边AB,BC,CA的长分 别为30,40,15，点P是三条角平分线的交点，将 △ABC分成三个三角形，则S△APB：S△BPC· S△CPA等于( ) B A.1:1:1 B.6:8:3 C.5:8:3 D.4:5:3 10.如图所示，∠AOB=90°，OM是∠AOB的平 分线，三角板的直角顶点P在射线OM上滑 动，两直角边分别与OA,OB交于点C,D, PC和PD有怎样的数量关系？请说明理由， △八年级·上册·数学.QD 11.应用意识把两个同样大小的含30°角的三角 板按照如图①所示的方式叠合放置，得到如 图②所示的Rt△ABC和Rt△ABD,设M是 AD与BC的交点，则这时MC的长度就等于 点M到AB的距离，你知道这是为什么吗？ 请说明理由， 通素养M 12.如图所示，在△ABC中，∠BAC=120°，AD, BE分别为△ABC的角平分线，连接DE. (1)求证：点E到DA,DC的距离相等. (2)求∠DEB的度数. 817.解：如图所示，延长AC到点M,使CM=AC,连接BM交CD 于点P,点P就是水厂的位置 8.B9.B10.1011.85 12.解：能求出线段BE,CE,BC的长. 理由：因为DE是边BC的垂直平分线， 所以BD=DC,BE=CE. 因为△ABC的周长是25cm,△ACD的周长是17cm, 所以AB+AC+BC=25cm,AD+AC+DC=AD+AC+ BD=AB+AC=17 cm, 所以BC=25-17=8(cm), 所以BE=CE=2BC=4cm 所以能求出线段BC的长是8cm,线段BE,CE的长都是 4 cm. 13.解：如图所示，作A点关于MN的 对称点A1,作A点关于PQ的对称 点A2,连接A1A2,分别交MN于点 C,交PQ于点D,则C,D两点为邮 M 筒的位置.邮递员所走的最短路线 D 为A→C→D→A. D 理由：如图所示，在MN上另取一 点C1,连接AA1,AA2,AC1, AC1,A2C1,A2C1与PQ交于点 D1,连接AD1.因为MN垂直平分AA1,PQ垂直平分AA2, 所以若邮简设立在C1,D1处，则此时邮递员走的路程为 AC+CiD+AD=AC1+A2C1>AA2.mAA2= A,C+CD+A2D=AC十CD+AD,所以邮递员所走路线 A→C→D→A为最短路线. 第2课时线段垂直平分线的判定及尺规作图 1.B2.C3.B 4.如图所示，点P即为所作. 5.到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 6.解：(1)补全图形如图所示。 B M (2)ANPN线段垂直平分线的判定 7.解：(1)如图所示，直线1即为所求作， (2)如图所示，线段PD即为所求作. (3)如图所示，直线OE即为求作.OE>OP>PD. 8.B 9.解：由题意，得点P是线段AB的垂直平分线与以点C为圆 心、以CA的长为半径所画弧的交点，如图所示. B 10.解：(1)如图①所示，点P,Q即为所求。 ② (2)在AP段路上距离M,N两村庄越来越近；在PQ段路 上距离村庄N越来越近，而距离村庄M越来越远 (3)存在.如图②所示，点H即为所求 4.3角的平分线 1.D2.D 3.解：如图所示，作AB的垂直平分线 EF,作∠BAC的平分线AM,两线 交于点P,则点P即为这个中心医 院的位置 M A 4.B5.B E 6.90° 7.解：在△AED和△AFD中， 因为AE=AF,DE=DF,AD=AD, 所以△AED≌△AFD, 所以∠DAE=∠DAF 所以AD平分∠BAC 因为伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的 角∠BAC, 所以点D必定在AP上. 8.D9.B 10.解：PC=PD.理由如下： 如图所示，过点P分别作PE⊥OB于点E,PF⊥OA于点 F,所以∠CFP=∠DEP=90°. 因为OM是∠AOB的平分线： 所以PE=PF. 因为∠AOB=90°，所以∠FPE= 90°，所以∠2十∠FPD=90°. 又因为∠1+∠FPD=90°， 所以∠1=∠2. 在△CFP和△DEP中， |∠CFP=∠DEP, 因为{PF=PE, ∠1=∠2， 所以△CFP≌△DEP(ASA), 8 所以PC=PD, 11.解：过点M作MH⊥AB于点 H,如图所示 因为∠BAD=30°，∠BAC=60°， 所以∠CAM=∠BAC ∠BAD=60°-30°=30°， 所以AM平分∠BAC. 因为MC⊥AC,MH⊥AB 所以MH=MC, 即MC的长度就等于点M到AB的距离. 12.解：(1)证明：如图所示，过点E作EH⊥AB,交BA的延长 线于点H,作EF⊥BC于点F,作EG⊥AD于点G 因为AD平分∠BAC,∠BAC=120°， 所以∠BAD=∠CAD=60°. 因为∠CAH=180°-120°=60°， 所以AE平分∠HAD,所以EH=EG. 因为BE平分∠ABC,EH⊥AB,EF⊥BC, 所以EH=EF, 所以EF=EG,所以点E到DA,DC的距离相等， 、H (2)由(1)知，DE平分∠ADC 因为∠EDC=∠DEB十∠DBE, 所以号∠CDA=∠DEB+号∠ABC, 所以∠DEB=合（∠CDA-∠ABC)=克∠BAD=30 阶段检测二（4.2~4.3) 1.A2.B3.B4.C5.D6.A 7.238.40°9.9.6 10.解：(1)因为BD是线段AE的垂直平分线， 所以AB=BE,AD=DE. 因为△ABC的周长为18，△DEC的周长为6， 所以AB+BE+EC+CD+AD=18,CD+EC+DE= CD+CE+AD=6, 所以AB+BE=18-6=12, 所以AB=6. (2)因为∠ABC=30°，∠C=45°， 所以∠BAC=180°-30°-45°=105°. 在△BAD和△BED中， BA=BE, BD=BD, DA-DE, 所以△BAD≌△BED(SSS), 所以∠BED=∠BAC=105°， 所以∠CDE=∠BED-∠C=105°-45°=60° 11.解：(1)补全图形如图所示 (2)如图所示. 因为DE垂直平分AB, 所以EA=EB, 所以△EBC的周长=EB十EC十 BC=EA+EC+BC= AC+BC. 因为AC=8cm,△EBC的周长是 14cm, 所以BC=14-8=6(cm). 12.解：(1)证明：因为AE是∠BAD的平分线， 所以∠BAD=2∠BAF. 因为∠BFE=45°， 所以∠FBA+∠BAF=45°， 所以2∠FBA+2∠BAF=90° 因为AD为BC边上的高， 所以∠EBF+∠FBA+2∠BAF=90°， 所以2∠FBA=∠EBF+∠FBA, 所以∠EBF=∠FBA, 所以BF平分∠ABE. (2)证明：过点F作FM⊥BC于点M,FN⊥AB于点N,如 图所示. 因为BF平分∠ABE,FM⊥BC,FN⊥AB, 所以FM=FN. 因为S△ABF=S△cBP, 即号AB·FN=2BC·FM, 所以AB=BC: 在△ABF和△CBF中， (BA=BC, ∠ABF=∠CBF, BF=BF, 所以△ABF≌△CBF(SAS), 所以∠AFB=∠CFB. 因为∠BFE=45°， 所以∠AFB=135°， 所以∠CFB=135°， 所以∠CFE=∠CFB-∠BFE=135°-45°=90°， 所以∠AFC=90°. (3)因为△ABF≌△CBF, 所以AF=FC. 因为∠AFC=∠ADC=90°， ∠AGF=∠CGD, 所以∠FAG=∠FCE. 在△AFG和△CFE中， I∠AFG=∠CFE, AF=CF, ∠FAG=∠FCE 所以△AFG≌△CFE(ASA), 所以AG=EC=4.5. 因为BE=3, 所以BC=BE+EC=7.5. 因为△ABF≌△CBF, 所以AB=BC=7.5. 4.4 等腰三角形 第1课时 等腰三角形的性质 1.D2.②④⑤ 3.C4.B5.65°6.50 7.证明：因为AM=AN, 所以∠AMN=∠ANM, 所以∠AMB=∠ANC. 在△ABM和△ACN中， (AM-AN, ∠AMB=∠ANC, BM=CN, 所以△ABM≌△ACN(SAS), 所以AB=AC.