1.3 几何证明举例+专题一 三角形肉角和与外角和的巧用-【优+学案】2025-2026学年新教材八年级上册数学课时通（青岛版2024）

1.3几何证明举例 第1课时 平行线的性质定理和判定定理（答案P1) 之通基础 知识点1平行线的性质定理 1.应用意识如图所示，一条街道有两个拐角 ∠ABC和∠BCD,已知AB∥CD,若∠ABC= 第5题图 第6题图 150°，则∠BCD的度数是() A.30°B.120° 6.(聊城冠县期中)如图所示，点G在CD上，已 C.130° D.150° 知∠BAG+∠AGD=180°，AE平分∠BAG, GF平分∠AGC,求证：AE∥GF 证明：因为∠BAG+∠AGD=180°( C.---D ∠AGC+∠AGD=180°( 小B 所以∠BAG=∠AGC( 第1题图 第2题图 因为AE平分∠BAG, 2.如图所示，AB∥DE,BC∥EF,若∠E=118°， 则∠B的度数为() 所以∠1=∠BAG( A.62° B.72° C.102 D.118° 因为GF平分∠AGC, 3.如图所示，a∥b,∠3=80°，∠2=30°，则∠1的 度数是() 所以∠2=号 得∠1=∠2（等量代换）. 所以 知识点3互逆命题与逆定理 A.30°B.40° C.50° D.80 7.教材P14练习T2变式请写出下列命题的逆 4.已知：如图所示，AB和CD相交于点O,AC∥ 命题，并判断这些逆命题的真假， BD,∠A=∠AOC.求证：∠B=∠BOD (1)如果a十b=0,那么a=0,b=0. (2)若两个角互补，则这两个角的和为180°. (3)若c2a<c2b,则a<b. 知识点2平行线的判定定理 5.如图所示，下列条件不能判定11∥12的 是() A.∠1=∠3 B.∠2+∠4=180° C.∠2=∠3 D.∠4+∠5=180° 4 优+学案·课时通△ ☆易错点任何命题都有逆命题，但定理不一定12.如图所示，直线CD,EF交于点O,OA,OB 有逆定理 分别平分∠COE和∠DOE,且∠1+∠2=90°. 8.下列说法正确的是( ) (1)求证：AB∥CD A.若原命题是真命题，则逆命题也是真命题 (2)若∠2：∠3=2：5，求∠AOF的度数 B.若原命题是假命题，则逆命题也是假命题 C.每个命题都有逆命题 D.每个定理都有逆定理 。通能力L 9.跨学科·物理平面镜在光学仪器中有广泛的 应用.平面镜反射光线的规律是射到平面镜上 的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐 角相等.如图①所示，一束光线m射到平面镜 a上，被a反射后的光线为n,则∠1=∠2.如 通素养u 图②所示，一束光线AB先后经平面镜OM, ON反射后，反射光线CD与AB平行，当 13.探究拓展在综合与实践课上，老师让同学们 ∠ABM=30°时，∠DCN的度数为( 以“两条平行线AB,CD和一块含60°角的直 M 角三角尺EFG(∠EFG=90°，∠EGF=60)” B30° 为主题开展数学活动， (1)【操作发现】如图①所示，小明把三角尺的 ammn分7 60°角的顶点G放在CD上，若∠2=70°，求 ① ② ∠1的度数. A.40° B.50 C.60° D.70° (2)【探索证明】如图②所示，小颖把三角尺的 10.运算能力如图所示，直线AB∥CD,GE⊥ 两个锐角的顶点E,G分别放在AB和CD EF于点E.若∠EFD=32°，则∠BGE的度 上，请你探索∠AEF与∠FGC之间的数量关 数是() 系，并说明理由， A.62°B.58° C.52° D.48° B B C 2 第10题图 第11题图 11.(济宁任城区期末)如图所示，点E在AD的 延长线上，给出下列条件： ①∠A=∠CDE;②∠CDE=∠C;③∠1= ∠2；④∠3=∠4；⑤∠A+∠ABC=180°； ⑥∠A+∠ADC=180°.能判定BC∥AD的 条件有 .(填序号) △八年级·上册·数学.QD 5 第2课时三角形内角和定理及其推论（答案P2) ·通基础 /I1/11I1I1II1/II1I/1111II1/1I/I0 ☆易错点忽略三角形的高既可以在三角形内 部，也可以在三角形外部导致错误 知识点1三角形内角和定理 6.(北京西城区期中)在△ABC中，∠B=30°， 1.在入ABC中，∠A=∠B-3∠C,则此=角 AD是BC边上的高，若∠CAD=∠B,求 ∠BAC的度数. 形是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 2.(烟台招远期末)已知在△ABC中， ∠A-∠B=30°，且∠C=4∠B,则△ABC 为() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 3.如图所示，在△ABC中，点D,E分别在边 AC,AB上，且DE∥BC,∠ADE=80°，∠B= 通能力 35°，求∠A的度数 7.下列说法正确的是( ) A.三角形的一个外角等于任意两个内角的和 B.三角形的一个外角小于它的一个内角 C.三角形的一个外角大于它的相邻的内角 D.三角形的一个外角大于任何一个与它不相 邻的内角 8.已知△ABC的三个内角互不相等，如果∠A 知识点2三角形内角和定理的推论 为最小的内角，那么下列四个度数中，∠A最 4.如图所示，摆放一副形状不同的三角板，其中 大可取( ∠A=30°，AC,EF所夹的钝角的度数是() A.20 B.59° C.60° D.89° 9.运算能力如图所示，在△ABC中，∠A=30°， ∠B=50°，将点A与点B分别沿MN和EF A.15° B.135° 折叠，使点A,B与点C重合，则∠NCF的度 C.150° D.165° 数为() 5.如图所示是一副三角板拼成的图形，边EF和BC 在同一条直线上，则∠DNM= A.10° B.15° C.20° D.30° 6 优学案·课时通 10.如图所示，在△ABC中，BO,CO分别平分14.如图所示，在△ABC中，∠B=25°，∠BAC= ∠ABC,∠ACB,且交于点O,CE为外角 31°，过点A作BC边上的高，交BC的延长线 ∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点 于点D,CE平分∠ACD,交AD于点E. E,则以下结论：①∠A=2∠E;②∠BOC= 求：(1)∠ACD的度数. 3∠E;③∠BOC=90°+∠A;④∠BOC= (2)∠AEC的度数. 90°+∠E.正确的是( A.①④ B.①③④ C.①②③ D.①②④ 0 B 35 C 709 通素养mm恤 第10题图 第11题图 15.几何直观(1)已知：我们把如图①所示的图 11.某工人加工一个机器零件（数据如图所示）， 形称为“8字形”，求证：∠A+∠B= 经过测量这个零件不符合标准.标准要求是 ∠C+∠D. ∠EFD=120°，且∠A,∠B,∠E保持不变. (2)如图②所示，AP,CP分别平分∠BAD, 为了达到标准，工人在保持∠E不变情况下， ∠BCD,若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求 应将图中∠D （填“增大”或“减小”) ∠P的度数. 度 (3)如图③所示，直线AP平分∠BAD,CP 12.推理能力如图所示，一条船从海岛A出发， 平分∠BCD的邻补角∠BCE,猜想∠P与 向正北航行到达海岛B处，从海岛A,B处望 ∠B,∠D的数量关系并证明 灯塔C,分别测得∠A=38°，∠NBC=77°，则 ∠C= B 13.运算能力如图所示，△ABC中，∠C=40°， ∠B=70°，AE平分∠CAB,AD⊥BC于点 D,DF⊥AE于点F (1)求∠CAE的度数， (2)求∠ADF的度数. △八年级·上册.数学.QDi 第3课时直角三角形的性质定理及判定定理（答案P2) 通基础 >yuu ∠B=∠C,④∠A=90°一∠B中，能确定 △ABC是直角三角形的有() 知识点1直角三角形的性质定理 A.①②③ B.①②④ 1.推理能力如图所示，CD是△ABC的高， C.②④ D.①②③④ ∠ACB=90°，若∠A=35°，则∠BCD的度数 7.如图所示，CE⊥AD,垂足为E,∠A=∠C.求 是() 证：△ABD是直角三角形. A.35°B.40° C.45° D.50° 第1题图 第2题图 2.几何直观如图所示，某同学在课桌上随意将一 块三角板叠放在直尺上，则∠1十∠2等于() A.60°B.75° C.90° D.105 3.如图所示，直线a,Rt△ABC按如图所示放置， ☆易错点忽略分类讨论导致错误 若∠1=28°，∠2=80°，则∠B的度数为() 8.运算能力在△ABC中，∠A=50°，∠B= A.62° B.52° C.38 D.289 30°，点D在AB边上，连接CD,若△ACD为 直角三角形，求∠BCD的度数. 第3题图 第4题图 4.运算能力如图所示，在△ABC中，∠C=90°， 点E,D分别在边AC,AB上，若∠1=∠B,则 ∠EDB= 5.如图所示，在△ABC中，∠A=90°，点D在 通能力 AC边上，DE∥BC,∠1=153°，求∠B的度数. 9.跨学科·物理物 理实验中，小明研 究一个小木块在 斜坡上滑下时的运动状态，如图所示，斜坡为 Rt△ABC,∠C=90°，∠B=13°，小木块 △DEF在斜坡AB上，且DE∥BC,EF∥AC, 知识点2直角三角形的判定定理 则∠DFE的度数为( ) 6.推理能力下列条件①∠A十∠B=∠C, A.13° B.77 ②∠A:∠B：∠C=1:2:3,③∠A= C.87 D.63 8 优+学率·课时通△ 10.推理能力如图所示，在△ABC中，∠ACB= 通素养 111I111/1/I/1/1II1/1/1I/1/1/0 90°，沿CD折叠△CBD,使点B恰好落在边 AC上点E处，若∠B=65°，则∠ADE的大 15.【问题背景】 小为() ∠MON=90°，点A,B分别在OM,ON上运 A.40°B.50° C.65° D.75° 动（不与点O重合）. C 【问题思考】 (1)如图①所示，AE,BE分别是∠BAO和 B2--- ∠ABO的平分线，随着点A,B的运动， D 第10题图 第11题图 ∠AEB= 11.在△ABC中，∠BAC=90°，AC≠AB,AD是 (2)如图②所示，若BC是∠ABN的平分线， 斜边BC上的高，DE⊥AC于点E,DF⊥AB BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于 于点F,如图所示，则图中与∠B(∠B除外) 点D. 相等的角有() ①若∠BAO=70°，则∠D= A.3个B.4个 C.5个 D.6个 ②随着点A,B的运动，∠D的大小会变吗？ 12.如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的 如果不会，求出∠D的度数；如果会，请说明 4倍，那么这个直角三角形中较小锐角的度数 理由 是 13.如图所示，在△ABC中， ∠A=90°，∠ABC=a (0°<a<60),D是边B月 AC上一点，将△ABD沿BD翻折后，点A 恰好落在边BC上的点E处，再将△DEC沿 DE翻折，点C落在点F处，则∠BDF= (用含a的式子表示) 。 14.运算能力(1)如图所示，在△ABC中， ∠B=40°，∠C=80°，AD⊥BC于点D,AE 平分∠BAC,求∠EAD的度数. (2)上题中若∠B=40°，∠C=80°改为∠C> ∠B,其他条件不变，请你直接写出∠EAD 与∠B,∠C之间的等量关系，并说明理由. △八年级·上册·数学.QDi 9 专题一三角形内角和与外角和的巧用（答案3） 类型1)用三角形内角和定理与外角性质巧解 类型3)巧作辅助线，利用三角形内、外角性质 图形角的度数的问题 解决角的度数的问题 1.已知一个三角形三个内角度数的比是1：2： 6.如图所示，A,B,C,D,E,F是平面上的6个 3,则其最大内角的度数为() 点，则∠A十∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的 A.60°B.75° C.90°D.120 度数是 度 2.将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使 含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的 三角板的一条直角边放在同一条直线上，则 ∠α的度数是( ) A.45°B.60° C.75° D.85° 类型4)三角形内角和定理与平行线知识结合 15 巧解问题 7.如图所示，直线11∥12，∠1=40°，∠2=65°，则 30° ∠3=( 第2题图 第3题图 3.一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图 中∠a等于() A.65° B.70° C.75° D.85 A.105° B.115 8.如图所示，在△ABC中，∠ABC=∠ACB,AD C.120° D.125° 是△ABC的角平分线. 类型2)用三角形内角和定理与外角性质巧解 (1)求∠ADC的度数. 不规则图形角的和的问题 (2)E是边AC上一点，DE∥AB,BF是AC边 4.如图所示是由线段AB,CD,DF,BF,CA组 上的高，判断∠CBF和∠ADE的数量关系， 成的平面图形，∠D=28°，则∠A十∠B十 并说明理由. ∠C十∠F的度数为() A.62 B.152° C.208° D.236° 第4题图 第5题图 5.如图所示，点A,B,C,D,E,F是平面上的 6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+ ∠F的度数是() A.180°B.360°C.540°D.720° 10 优+学案·课时通△ 9.如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC交 11.已知：如图所示，点D,E分别在AB,AC上， BC于点D,AE⊥BC,垂足为E,且CF∥AD. DE∥BC,F是AD上一点，FE的延长线交 (1)如图①所示，若△ABC是锐角三角形， BC的延长线于点G.求证： ∠B=30°，∠ACB=70°，则∠CFE的度数 (1)∠EGH>∠ADE. 为 (2)∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF. (2)若图①中的∠B=x,∠ACB=y,则 ∠CFE= ·（用含x,y的代数式 表示) (3)如图②所示，若△ABC是钝角三角形，其 他条件不变，则(2)中的结论还成立吗？请说 明理由. 类型6)三角形外角性质多次运用巧解问题 12.运算能力如图所示，∠C=48°，∠E=25°， ∠BDF=140°，求∠A与∠EFD的度数. 类型5)利用三角形外角性质巧解不等角问题 10.如图所示，已知D为△ABC内任一点， (1)求证：∠BDC>∠A. (2)若BD和CD分别是△ABC的角平分线， 求证：∠BDC=90+2∠A. △八年级·上册·数学.QDi 11 第4课时 反证法（答案P3) ←通基础 5.(济宁任城区期末)用反证法证明：“若a≥b> 0,则a2≥b2”,应先假设 知识点反证法 6.如图所示，a⊥b,c与b不垂直.求证：a与c 1.用反证法证明“已知五个正数的和等于1，求 必相交。 证：这五个正数中至少有一个大于或等于5 时，首先要假设 2.已知：如图所示，11，l2被直线13所截，∠1十 ∠2≠180°.求证：l2与12不平行.（用反证法 证明) 7.用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不 相邻的两个内角的和. 3.用反证法证明：两直线有且只有一个交点.已 知：直线a,b,求证：直线a,b相交时只有一个 交点P. 通素养恤 8.如图所示，已知：AB∥CD.求证：∠B十∠E十 ∠D=360°.（要求用反证法证明） A 。通能力 4.某个命题的结论为“x,y,之三个数中至少有 个数为正数”，现用反证法证明，下列假设正确 的是( ) A.假设三个数都是正数 B.假设三个数都为非正数 C.假设三个数至多有一个为负数 D.假设三个数中至多有两个为非正数 12 优十学案·课时通△优学案 课时通 参 第1章 推理与证明 1.1定义与命题 1.C2.D 3.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两 条直线平行 4.B5.A 6.解：(1)是命题；如果同号两数相加，那么和一定不是负数. （2)是命题；如果x=2,那么1-5x=0. (3)不是命题. (4)是命题；如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为1. 7.D 8.解：(1)条件：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； 结论：这两条直线平行.真命题」 (2)条件：∠1=∠2，∠2=∠3； 结论：∠1=∠3.真命题. (3)条件：一个角是锐角； 结论：这个角小于它的余角.假命题 反例：∠A=50°，∠A的余角为40°，50>40°. 1.2证明 1.B 2.证明：因为M是AC的中点，N是BC的中点（已知）， 所以MC=2AC,CN=2BC(线段中点的定义). 所以N-MC+CN-名AC+号BC- 2(AC+BC) AB=4(等式的性质。 3.C4.B 5.对顶角相等；同角或等角的余角相等；两直线平行，同位角相 等（答案不唯一） 6.证明：因为∠COD=∠AOB(正方形的定义)， 所以∠COA=∠DOB(同角的余角相等). 同理可得∠EOA=∠FOB. 因为OF平分∠DOB(已知)， 所以∠DOF=∠POB=合∠DOB(角平分线的定义). 所以∠B0A-号∠DOB=名∠COA(等量代换). 所以OE平分∠AOC(角平分线的定义). 7.解：(1)因为∠AOC=50°， 所以∠BOD=∠AOC=50°， 因为OF平分∠BOD, 所以∠BOF=∠DOF=25° 因为EO⊥CD, 所以∠COE=90°， 所以∠BOE=180°-90°-50°=40°， 所以∠EOF=40°+25°=65°. (2)因为∠EOF=60°，∠COE=90°， 所以∠F0D=180°-60°-90°=30°， 所以∠BOD=2∠FOD=60°， 所以∠BOC=180°-60°=120°. (3)∠BOC=2∠EOF,理由如下： 设∠AOC=a,则∠BOD=a, 考答案 八年级·上册·数学·QD 由(1)，得∠BOE=90°-Q,∠BOF=g 2 所以∠B0C=180-a,∠B0F=号+90-a=90-号， a 所以∠B0C-2∠E0F=180°-a-(180°-a)=0, 所以∠BOC=2∠EOF. 1.3几何证明举例 第1课时平行线的性质定理和判定定理 1.D2.A3.C 4.证明：因为AC∥BD(已知)， 所以∠A=∠B(两直线平行，内错角相等). 因为∠A=∠AOC(已知)， 所以∠B=∠AOC(等量代换). 因为∠AOC=∠BOD(对顶角相等)， 所以∠B=∠BOD(等量代换). 5.C 6.已知平角的定义同角的补角相等角平分线的定义 ∠AGC AE∥GF内错角相等，两直线平行 7.解：(1)逆命题：如果a=0,b=0,那么a十b=0.是真命题， (2)逆命题：若两个角的和为180°，则这两个角互补.是真 命题. (3)逆命题：若a<b,则c2a<c2b.是假命题. 8.C9.C10.B11.②④⑤ 12.解：(1)证明：因为OA,OB分别平分∠COE和∠DOE, 所以∠A0C-?∠COE,∠2=2∠D0E. 因为∠COE+∠DOE=180°， 所以∠A0C+∠2=？∠C0E+2∠D0E=90. 1 因为∠1+∠2=90°， 所以∠AOC=∠1， 所以AB∥CD. (②)因为∠2：∠3=2：5，∠8=号∠D0E, 所以∠D0E:∠3=4：5. 因为∠DOE+∠3=180°， 5所以∠D0E-180×号-80，∠3-180×号-10， 所以∠COE=∠3=100°， 因为OA平分∠COE, 所以∠A0E=号∠COE=50, 所以∠AOF=180°-∠AOE=130° 13.解：(1)因为点G在直线CD上， 所以∠EGD+∠EGF+∠2=180° 又因为∠EGF=60°，∠2=70°， 所以∠EGD=180°-（∠EGF十∠2）=180°一(60°+ 70)=50°」 因为AB∥CD 所以∠1=∠EGD=50° (2)∠AEF与∠FGC之间的数量关系是∠AEF+∠FGC= 90°，理由如下： 在△EFG中，∠EFG=90°，∠EGF=60°， 所以∠GEF=180°-（∠EFG+∠EGF)=30°， 所以∠AEG=∠AEF+∠GEF=∠AEF+30°，∠CGE= ∠FGC+∠EGF=∠FGC+60° 因为AB∥CD, 所以∠AEG+∠CGE=180°， 所以∠AEF+30°+∠FGC+60°=180°， 所以∠AEF+∠FGC=90° 第2课时三角形内角和定理及其推论 1.B2.C 3.解：因为DE∥BC,∠B=35°，所以∠AED=∠B=35°. 因为∠ADE=80°， 所以∠A=180°-∠ADE-∠AED=65°. 4.D5.75° 6.解：如图①所示，当高AD在△ABC内部时， 、、D ⊙ ② 因为AD是BC边上的高， 所以AD⊥BC, 所以∠ADB=90° 因为∠B=30°， 所以∠BAD=180°-∠B-∠ADB=60° 因为∠CAD=∠B=30°， 所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+30°=90° 如图②所示，当高AD在△ABC外部时， 因为AD是BC边上的高，所以AD⊥BC, 所以∠ADB=90° 因为∠B=30°， 所以∠BAD=180°-∠B-∠ADB=60° 因为∠CAD=∠B=30°， 所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°-30°=30° 综上所述，∠BAC=90°或30°. 7.D8.B9.C10.A11.减小15°12.39° 13.解：(1)因为∠C=40°，∠B=70°，所以∠BAC=180° ∠B-∠C=180°-70°-40°=70°. 因为AE平分∠CAB, 所以∠CAE=2∠BAC-号×70=35 (2)因为AD⊥BC,所以∠ADC=90°， 所以∠DAC=180°-90°-∠C=180°-90°-40°=50°. 因为∠CAE=35°， 所以∠DAE=∠DAC-∠CAE=50°-35°=15°. 因为DF⊥AE,所以∠AFD=90°， 所以∠ADF=180°-90°-∠DAE=180°-90°-15°=75° 14.解：(1)因为∠ACD=∠B+∠BAC,∠B=25°，∠BAC 31°，所以∠ACD=25°+31°=56° (2)因为AD⊥BD,所以∠D=90°. 因为∠ACD=56°，CE平分∠ACD, 所以∠EGD-号LACD=2S, 所以∠AEC=∠ECD+∠D=28°+90°=118°. 15.解：(1)因为∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D ∠C0D=180°， 所以∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD, 因为∠AOB=∠COD, 所以∠A十∠B=∠C+∠D. (2)因为AP,CP分别平分∠BAD,∠BCD, 所以∠BAP=∠PAD,∠BCP=∠PCD, 由(1)的结论，得∠P+∠BCP=∠ABC+∠BAP,① ∠P+∠PAD=∠ADC+∠PCD,② ①+②，得2∠P+∠BCP+∠PAD=∠BAP+∠PCD+ ∠ABC+∠ADC, 所以2∠P=∠ABC+∠ADC. 因为∠ABC=36°，∠ADC=16°， 所以2∠P=36°+16°=52°， 所以∠P=26°. (3)∠P=90+(∠B+∠D).证明： 因为直线AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的邻补 角∠BCE, 所以∠PAB=∠PAD,∠PCB=∠PCE, 所以2∠PAB+∠B=180°-2∠PCB+∠D, 所以180°-2（∠PAB+∠PCB)+∠D=∠B. 因为∠P+∠PAD=∠PCB+∠AOC=∠PCB+∠B+ 2∠PAD, 所以∠P=∠PAD+∠B+∠PCB=∠PAB+∠B+ ∠PCB, 所以∠PAB+∠PCB=∠P-∠B 所以180°-2（∠P-∠B)+∠D=∠B, 即∠P=90+(∠B+∠D. 第3课时直角三角形的性质定理及判定定理 1.A2.C3.C 4.90° 5.解：因为∠1+∠EDC=180°，∠1=153°， 所以∠EDC=27° 因为DE∥BC,所以∠EDC=∠C=27°. 因为∠A=90°，所以∠B=90°-∠C=63° 6.B 7.证明：因为CE⊥AD, 所以∠CED=90°， 所以∠C+∠D=90° 因为∠A=∠C, 所以∠A十∠D=90°， 所以∠ABD=90°， 所以△ABD是直角三角形， 8.解：分两种情况： ①如图①所示，当∠ADC=90°时. 因为∠B=30°，所以∠BCD=90°一30°=60° ② (Ⅱ)如图②所示，当∠ACD=90°时 因为∠A=50°，∠B=30°， 所以∠ACB=180°-30°-50°=100°， 所以∠BCD=100°-90°=10° 综上所述，∠BCD的度数为60°或10° 9B10.A1.A12.1813.90-20 14.解：(1)因为∠B=40°，∠C=80°， 所以∠BAC=180°-∠B-∠C=60°. 因为AE平分∠BAC, 所以∠CAE=号∠BAC=30 因为AD⊥BC,所以∠ADC=90° 2 因为∠C=80°， 所以∠CAD=90°-∠C=10°， 所以∠EAD=∠CAE-∠CAD=30°-10°=20°. 1 (2)∠EAD=2∠C-2∠B,理由如下： 因为三角形的内角和等于180°， 所以∠BAC=180°-∠B-∠C. 因为AE平分∠BAC, 所以∠CAE-∠BAC=2180-∠B-∠C. 1 因为AD⊥BC,所以∠ADC=90°， 所以∠CAD=90°-∠C,所以∠EAD=∠CAE-∠CAD 218o-∠B-∠C)-(90-∠C)=2∠C-2∠B. 15.解：(1)135° (2)①45 ②∠D的度数不会随点A,B的移动而发生变化 设∠BAD=x.因为AD平分∠BAO, 所以∠BAO=2x.因为∠AOB=90°， 所以∠AB0=90°-∠BAO=90°-2x, 所以∠ABN=180°-∠AB0=90°+2x. 因为BC平分∠ABN, 所以∠ABC=45°+x. 因为∠ABC=∠D十∠BAD, 所以∠D=∠ABC-∠BAD=45°+x-x=45° 专题一三角形内角和与外角和的巧用 1.C2.C3.A4.C5.B 6.3607.C 8.解：(1)因为AD是△ABC的角平分线， 1 所以∠BAD=∠CAD=2∠BAC,即∠BAC=2∠CAD. 因为在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC=180°. 所以2∠C+2∠CAD=180°，即∠C+∠CAD=90° 所以∠ADC=180°-90°=90° (2)∠CBF=∠ADE. 理由如下：因为BF是AC边上的高， 所以∠F=90°，所以∠CBF+∠C=90. 因为DE∥AB,所以∠ADE=∠BAD. 由(1)知，∠ADC=90°， 所以∠ADB=90°，所以∠BAD+∠ABC=90° 所以∠ADE+∠C=90°， 所以∠CBF=∠ADE. 9.解：(1)20 22y-3x 1 (3)(2)中的结论成立.理由： 因为∠B=x,∠ACB=y, 所以∠BAC=180°-x-y. 因为AD平分∠BAC, 所以∠DAC=号∠BAC=90-3x 1 2x-2y. 因为CF∥AD, 1所以∠ACF=∠DAC=90°-2x-2y, 1 1 所以∠BCF=y+90一2x-2=90一2x十2y 所以∠BCF=180°-∠BCF=90+2x-2y. 11 因为AE⊥BC,所以∠FEC=90°， 所以∠CFE=90-∠BCFP=2y-号. 10.证明：(1)延长BD交AC于点E,如图所示. 4 D 因为∠CED是△ABE的外角，∠BDC是△CDE的外角， 所以∠A+∠ABE=∠CED,∠BDC=∠CED+∠DCE, 所以∠A<∠CED,∠CED<∠BDC, 所以∠BDC>∠A. (2)在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A, 因为BD和CD分别是△ABC的角平分线， 所以∠CBD-名∠ABC,∠BCD= 2∠ACB, 所以∠CBD+∠BCD=名（∠ABC+∠ACB)=90- ∠A. 所以∠BDC=180°-（∠CBD+∠BCD)=180°- (s0-2∠A）=90+2∠A 11.证明：(1)因为∠EGH是△FBG的外角， 所以∠EGH>∠B. 又因为DE∥BC, 所以∠B=∠ADE(两直线平行，同位角相等)， 所以∠EGH>∠ADE. (2)因为∠BFE是△AFE的外角， 所以∠BFE=∠A+∠AEF. 因为∠EGH是△BFG的外角， 所以∠EGH=∠B+∠BFE, 所以∠EGH=∠B+∠A+∠AEF, 又因为DE∥BC, 所以∠B=∠ADE(两直线平行，同位角相等)， 所以∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF 12.解：因为∠BDF=∠C+∠CBD,∠C=48°，∠BDF=140°， 所以∠CBD=92° 因为∠CBD=∠A十∠E,∠E=25°， 所以∠A=67°，∠EFD=∠A十∠C=115°. 第4课时反证法 1.这五个数都小于号 2.证明：假设11∥亿2， 则∠1+∠2=180° 这与已知矛盾，故假设不成立： 所以11与12不平行. 3证明：假设直线a,b相交时有两个交点P,Q,则直线a经过 点P,Q,直线b经过点P,Q,这与两点确定一条直线相矛盾， 故直线a,b相交时只有一个交点P. 4.B 5.a2<b2 6.证明：假设a与c不相交，则a∥c, 因为a⊥b,所以∠1=90°. 因为a∥c,所以∠2=∠1=90° 所以b⊥c,与c与b不垂直相矛盾，则a与c必相交 7.解：已知：如图所示，∠1是△ABC的一个外角， 求证：∠1=∠A+∠B. 3 证明：假设∠1≠∠A十∠B, 在△ABC中，∠A+∠B+∠2=180°， 所以∠A+∠B=180°-∠2. 因为∠1+∠2=180°， 所以∠1=180°-∠2， 所以∠1=∠A+∠B, 与假设相矛盾， 所以假设不成立 所以原命题成立，即∠1=∠A十∠B. 2入 B C D 8.证明：假设∠B十∠BED十∠CDE≠360°，如图所示，延长 BE交CD的延长线于点F,G为DF延长线上的点，所以 AB//CD, 所以∠B=∠EFG, 所以∠BED十∠CDE+∠EFG≠360°， 这与“多边形的外角和等于360°”相矛盾， 所以∠B+∠BED+∠CDE=360°. A B 本章综合提升 【本章知识归纳】 线段有且只有一条有且只有一条平行含义判断 不同真命题结论条件180°等于大于互余 【思想方法归纳】 【例1】解：设∠B=x,则∠C=4x. 因为∠A一∠B=60°， 所以∠A=60°+x.① 因为∠A+∠B+∠C=180°， 所以∠A+x十4x=180°，② 把①代入②，得60°+x+x+4x=180°，解得x=20°， 所以∠A=60°+20°=80°，∠B=20°，∠C=4x=4X20°=80°. 【变式训练1】解：设∠B=x,因为∠A一∠B=36°， 所以∠A=36°+x. 因为∠C=2∠B,∠A+∠B+∠C=180°， 所以36°+x+x+2x=180°， 所以x=36°， 所以∠A=x+36°=72°，∠B=36°，∠C=2x=72 【例2】证明：因为直线a∥仍， 所以∠NAC=∠ACD. 因为DE⊥AC于点E,所以∠DEC=90°， 所以∠1十∠ACD=90°. 因为AB平分∠MAD,AC平分∠NAD, 所以∠2=∠BAD,∠DAC=∠NAC. 因为∠MAD+∠NAD=180°，所以∠2+∠NAC= 2∠MAD+∠NAD)=90°，所以∠1=∠2. 【变式训练2】C解析：因为将△ABC纸片沿DE折叠，所以 ∠ADE=∠EDA',∠AED=∠DEA',所以∠1+∠2=180°- 2∠ADE+180°-2∠AED=180°-（∠ADE+∠AED)+ 180°-（∠ADE+∠AED)=2∠A.因为BA'平分∠ABC,CA 平分∠ACB,∠BAC=122,所以∠A'BC=号∠ABC 1 ∠A'CB=2∠ACB, 所以∠A'BC+∠A'CB=180°-122°=58°，所以∠ABC+ ∠ACB=2(∠A'BC+∠A'CB)=2X58°=116°， 所以∠A=180°一116°=64°，所以∠1+∠2=2∠A=2× 64°=128°. 【例3】解：如图①所示，当点C在AD,BE之间时， 过点C作CH∥AD,则AD//CH.∥BE. 因为∠DAC=22°，所以∠ACH=22° 又因为∠ACB=45°，所以∠BCH=23°， 所以∠EBC=23°. 如图②所示，当点C在AD,BE外部时， 过点C作CH∥AD,则ADCH∥BE. 因为∠DAC=22°，所以∠ACH=22. 又因为∠ACB=45°，所以∠BCH=67°， 所以∠EBC=67°. 综上所述，∠EBC的度数是23°或67° 【变式训练3】 解：如图①所示，当点E在AC连线上时，因为AB∥CD,所 以∠AEC=∠A+∠C=180. B A B E --------f D D ① ② 如图②所示，当点E在AC连线左侧时，过点E作EF∥AB. 因为AB∥CD,所以EF∥AB∥CD. 所以∠1+∠A=180°，∠2+∠C=180°.所以∠1+∠A+∠2+ ∠C=360°，即∠AEC+∠A+∠C=360°. 如图③所示，当点E在AC连线右侧时，过点E作EF∥AB. 因为ABCD,所以EF∥AB∥CD. 所以∠1=∠A,∠2=∠C.所以∠1+∠2=∠A+∠C,即 ∠AEC=∠A+∠C B ③ 【通模拟】 1.D2.C3.B4.C5.A6.D 7.25°8.132° 9.∠3两直线平行，同位角相等DG内错角相等，两直线平 行∠AGD两直线平行，同旁内角互补120° 10.解：(1)此命题的条件为a=b,结论为|a=|b. (2)此命题的逆命题为如果|a|=|b,那么a=b (3)此命题的逆命题是假命题，反例： 当a,b为相反数时，它们的绝对值相等，但本身不相等， 如a=2,b=一2时，|2|=|一2|，而2≠一2. 11.解：(1)因为∠B=38°，∠C=64°， 所以∠BAC=78°. 因为AD平分∠BAC, 所以∠BAD=∠CAD=39°， 所以∠ADE=∠B十∠BAD=77