第四章 图形的相似 知识归纳与题型突破（十一类题型清单）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）

第四章 图形的相似 知识归纳与题型突破（十一类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、相似图形及比例线段 1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 要点： 　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等； 2.相似多边形 如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 要点： （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比. 3. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 要点： （1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（d也叫第四比例项） （2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）． 4.平行线分线段成比例： 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 二、相似三角形 1. 相似三角形的判定: 判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似.　 要点：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（三）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 要点：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似. 2.相似三角形的性质： （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； （2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比； 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. (3) 相似三角形周长的比等于相似比； （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 3.相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似多边形的周长比等于相似比． （3）相似多边形的面积比等于相似比的平方． 三、位似 1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 2.位似图形的性质: （1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上； （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 要点： (1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形. （2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点 为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k. 03 题型归纳 题型一 成比例线段 比例的性质 例题 1．下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】此题考查了比例线段，理解成比例线段的定义是解题的关键．如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，则四条线段叫成比例线段．根据比例性质对选项一一分析，排除错误答案即可． 【解析】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意． 故选：C． 巩固训练 2．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【解析】解：A、， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、， ， 四条线段成比例，故本选项符合题意； C、， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； D、， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．若，则下列式子不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质判断即可． 【解析】解：A，B，C选项分别对应比例的反比性质、合比性质、更比性质， 只有D选项不正确． 故选D． 4．若，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查比例性质，根据条件设，代值化简即可得到答案，熟练掌握比例性质及相应题型的解法是解决问题的关键． 【解析】解：， 设，则， 故答案为：． 5．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质计算即可． 【解析】解：由比例的基本性质，得， ， ． 6．若，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查比例的基本性质，根据，设，由等式代值解方程得到，进而代入所求代数式计算即可得到答案，熟练掌握比例的基本性质，设出是解决问题的关键． 【解析】解：， 设， ， ，解得，则， ， 故答案为：． 题型二 黄金分割 例题 7．如图，点P是线段的黄金分割点，且，若，则的长度是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义可得，由此可解． 【解析】解：点P是线段的黄金分割点，且， ，即， ， 故选A． 巩固训练 8．已知点是线段的黄金分割点，且，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是黄金分割的概念，掌握黄金分割的概念、黄金比值为是解题的关键．根据黄金比值为计算即可． 【解析】解：点是线段的黄金分割点，， ， ， 故答案为：． 9．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，如果AP1，那么AB＝ ． 【答案】2 【分析】根据黄金分割的定义可得，进而即可求解． 【解析】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP， ∴， ∵AP1， ∴AB=2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查黄金分割的定义，掌握黄金分割点与黄金比的关系是解题的关键． 10．已知，点P、Q是线段的两个黄金分割点，若，则的长是 ． 【答案】/ 【分析】先由黄金分割的比值求出，再由进行计算即可． 【解析】解：如图，点、是线段的黄金分割点，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，熟记黄金比是解题的关键． 11．点是线段的黄金分割点，且，则下列等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点是线段的黄金分割点，且，则，即可． 【解析】∵点是线段的黄金分割点，且 ∴ ∴ ∴A、B、C等式成立，D等式不成立 故选：D． 【点睛】本题考查黄金分割，解题的关键是掌握黄金比例的公式． 题型三 平行线分线段成比例 例题 12．如图，，，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．10 【答案】B 【分析】利用平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例的性质可计算出的长． 【解析】解：∵， ∴，即， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理．掌握平行线分线段成比例定理是解答本题的关键． 巩固训练 13．如图，已知，那么（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由平行线分线段成比例定理，得到；利用AO、BO、CO的长度，求出DO的长度即可解决问题． 【解析】解：∵AB∥CD， ∴； ∵AO=2，CO=6，BO=3， ∴， 解得：DO=4， 故选B. 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是读懂题意，掌握平行线分线段成比例. 14．已知，如图，点、和、分别在的边、上，且，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，解答本题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理得到，于是得到，即可得到结论． 【解析】解：，， ， ， 故答案为：． 15．如图，直线，直线和被，，所截，如果 则 的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，据此代值计算即可． 【解析】解：∵， ∴， ∵ ∴， 解得， 故答案为：． 16．如图，，，，，则 ．    【答案】 【分析】根据已知平行线得到，然后带入求值即可． 【解析】解：， ， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线找到对应成比例线段是解答本题的关键． 题型四 平行线分线段成比例的几何应用 例题 17．如图，点是矩形的对角线的中点，交于点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理．先求出，后求，然后用勾股定理求即可． 【解析】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 为的中点， ， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， ， 为的中点， ． 故答案为：． 巩固训练 18．如图，已知为等腰三角形，且，延长至D，使得，连接，E是边上的中点，连接，并延长交与点F，连接，则 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查的是平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 如图：过点B作交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【解析】解：过点B作交于H， ∴ ∴，    ∵，E是边上的中点， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵，即 ∴, ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 19．如图，正方形的边长为，是的中点，是射线上一点（不与点重合），且，则的长为 ． 【答案】 【分析】延长，，交点为，过点作，交直线于点，连接．由正方形的性质及勾股定理得．再根据平行线分线段成比例证明为的中点，为的中点，从而得．最后利用勾股定理求得，． 【解析】解：如图，延长，，交点为，过点作，交直线于点，连接． ∵四边形是正方形， ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 同理可证：为的中点， ∴． ∵为正方形的对角线， ∴， ∴． 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质、平行线分线段成比例以及等腰三角形的判定及性质，熟练掌握勾股定理及正方形的性质是解题的关键． 题型五 相似多边形 例题 20．下列说法中正确的是（    ） A．各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形 B．各边成比例的两个多边形是相似多边形 C．边数相同的两个多边形是相似多边形 D．边数相同、各角分别相等、各边成比例的两个多边形是相似多边形 【答案】D 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，熟知相似多边形的判定方法是解答此题的关键．根据相似多边形的定义：对应边成比例，对应角相等的两个多边形相似，进行判定即可． 【解析】解：边数相同，各边成比例，各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形，故ABC错误，D正确． 故选：D． 巩固训练 21．下列说法中，错误的是（   ） A．全等图形一定是相似图形 B．两面大小不等的标准国旗一定相似 C．两个等腰直角三角形一定相似 D．两个直角三角形一定相似 【答案】D 【分析】本题考查的是相似图形的定义，“相似图形的形状相同，但大小不一定相同”．根据相似图形的定义，结合选项中提到的图形，对选项一一分析，选出正确答案． 【解析】解：A、全等图形一定是相似图形，故本选项不符合题意； B、两面大小不等的标准国旗一定相似，故本选项不符合题意； C、等腰直角三角形形状相同，只是大小不同，一定相似，故本选项不符合题意； D、两个直角三角形的锐角不一定相等，则两个直角三角形不一定相似，故本选项符合题意； 故选：D． 22． 五边形五边形，相似比为，若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应边的比即为相似比是解本题的关键．利用相似五边形的对应边之比等于相似比求解即可． 【解析】解：五边形五边形相似比为． ， ， ． 故答案为：6 23．两个相似多边形的面积之比为，则它们的对应边之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相似多边形的性质质．根据相似图形的面积比等于相似比的平方即可． 【解析】解：两个相似多边形的面积之比为，则它们的对应边之比为， 故选：B． 24．如图，取一张长为a，宽为b的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片，若要使小矩形纸片与原矩形纸片相似，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质和相似多边形的性质，能根据相似得出比例式是解此题的关键．根据相似四边形的性质得出比例式，再求出答案即可． 【解析】解：对折两次后得到的小矩形纸片的长为b，宽为， ∵小矩形纸片与原矩形纸片相似， ∴=， 又∵， ，即． 故答案为： 题型六 相似三角形的判定 例题 25．如图，下列条件中，不能判定的是(　　)    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形，根据相似三角形的判定即可求出答案． 【解析】解：A、∵， ∴，故A能判定； B、∵， ∴，故B能判定； D、∵，， ∴，故D能判定； 故选：C． 巩固训练 26．和符合下列条件，其中使与不相似的是（    ） A．，， B．，，，，， C．，，，， D．，，，，， 【答案】D 【分析】依据选项提供条件，选择对应的方法进行判断即可． 【解析】解：A、∵,，， ∴， ∴， ∴，故此选项不符合题意； B、∵，，，，，， ∴ ∴，故此选项不符合题意； C、∵，，，， ∴， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； D、三边对应比例不相等，故两个三角形不相似，故此选项符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定条件． 27．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．此题考查三角形相似判定定理的应用以及勾股定理与网格． 【解析】 解：依题意，按小到大排序： A、按小到大排序：， ∵ ∴三角形（阴影部分）不与图中相似； 故该选项是错误的； B、按小到大排序：， ∵ ∴三角形（阴影部分）与图中相似； 故该选项是正确的； C、按小到大排序：， ∵ ∴三角形（阴影部分）不与图中相似； 故该选项是错误的； D、按小到大排序：， ∵ ∴三角形（阴影部分）不与图中相似； 故该选项是错误的； 故选：B． 28．如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法“两组角对应相等的两个三角形相似”，“两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似”是解决问题的关键． 【解析】解：在和中，， 如果，需满足的条件有： ①或平分； ②； 故选：A． 29．如图，若，请再添加一个条件，使得，你添加的条件是 ．（写出一个即可）    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理进行求解即可：三边对应成比例的两个三角形相似；两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，有两个角对应相等的两个三角形相似． 【解析】解：添加条件，理由如下： ∵，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 30．如图，不等长的两条对角线相交于点，且将四边形分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有 ． 【答案】乙和丁 【解析】． 【易错点分析】容易误认为，条件中，是，是，不是两个三角形的对应边成比例，所以不能判定． 题型七 相似三角形的性质 例题 31．如果两个相似三角形对应边上的高之比是，那么它们的周长之比等于 . 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形对应边上的高之比等于相似比，周长比也等于相似比，由此可解． 【解析】解：两个相似三角形对应边上的高之比是， 这两个相似三角形的相似比为， 它们的周长之比等于． 故答案为：． 巩固训练 32．若两个相似三角形的面积比为，则这两个三角形的周长比为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质及应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键，根据两个相似三角形的周长比等于相似比，则面积比等于相似比平方，据此即可得出答案． 【解析】解：∵两个相似三角形的面积比为， ∴三角形的相似比为， ∵两个相似三角形的周长比等于相似比， ∴两个三角形的周长比为， 故答案为：． 33．如果两个相似三角形的面积之比为，那么这两个三角形一组对边上的中线之比为 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，由面积比为得到相似比为，利用“相似三角形的对应中线的比等于相似比”解本题是关键． 【解析】解：∵两个相似三角形的面积之比为， ∴相似比是， 又∵相似三角形一组对边上的中线的比等于相似比， ∴中线的比为． 故答案为：． 34．已知的三边长分别为2、3、4，与相似，且周长为54，那么的最短边的长是 ． 【答案】12 【分析】先计算出的周长，进而得出相似比为，进而得出答案． 【解析】解：∵的三边长分别为2、3、4， ∴的周长为：9 ∵与相似，且周长为54， ∴与的周长比为， ∴与的相似比为， 设的最短边的长是x ，则： ， 解得∶． 故答案为∶12． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 35．如图，已知点分别是边上的点，且，相似比为交于点，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要查了相似三角形的性质．根据，可得，从而得到，进而得到，再由相似三角形的性质，即可求解． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵相似比为， ∴， 故答案为： 题型八 相似三角形的判定与性质综合 例题 36．如图，D，E 两点分别在的边上，且，，若的面积是3，则四边形的面积是（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先证明，根据面积比等于相似比的平方，求出的面积，进而求出四边形的面积即可． 【解析】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积； 故选B． 巩固训练 37．如图，四边形中，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题重点考查相似三角形的判定与性质，先由证明，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方得到，则，即可求得． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 38．如图，在矩形中，，点分别在边上，交于点，若是的中点，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质可得，，，从而可得，然后利用直角三角形斜边上的中线的性质可得，从而可得，进而可得，再证明∽，利用相似三角形的性质即可求出，利用勾股定理求出即可解答． 【解析】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ∽， ， ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 39．如图，在四边形中，，，为对角线，若，，，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】延长、相交于点，过点作于点，由等腰三角形三线合一的性质求出的长，由勾股定理求出的长，由三角形外角的性质结合得出是等腰三角形，根据其性质求出的长，再证得，即可求出的长，最后根据三角形面积公式计算即可． 【解析】解：延长、相交于点，过点作于点，如图所示： ，， ， 由勾股定理得， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握相关几何知识点是解题的关键． 题型九 利用相似三角形的判定测高 例题 40．小明和他的同学在太阳下行走，小明身高米，他的影长为米，他同学的身高为米，则此时他的同学的影长为 米． 【答案】2． 【分析】在同一时刻物高和影长成比例，列比例式求解即可． 【解析】解：设他的同学的影长为xm， ∵同一时刻物高与影长成比例， ∴， 解得，x=2, 经检验，x=2是原方程的解， ∴他的同学的影长为2m， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了同一时刻物高与影长成比例，利用同一时刻物高与影长成比例列出方程，通过解方程求出的影长，体现了方程的思想． 巩固训练 41．学校教学楼前面有一根高是4.2米的旗杆，在某时刻太阳光下的影子长是6.3米，与此同时， 在旗杆周边的一棵大树在地面上投影出的影子长是9米，则此大树的高度是（      ） A．4.8米 B．8.4米 C．6米 D．9米 【答案】C 【分析】此题利用相似三角形测高，先找出对应的成比例线段，再把数据代入计算即可． 【解析】 如图，根据题意得: AG=4.2米 ，AB=6.3米，EF=9米， 同一时刻树高与影长的比和旗杆与影长的比相等得△DFE与△GAB相似， 即 ， 代入得： 解得：树高= 6米． 故选：C． 【点睛】此题考查利用相似三角形测高，主要利用线段成比例，找出对应边是关键，难度一般． 42．如图，晓波拿着一根笔直的小棍，站在距某建筑物约30米的点N处（即米），把手臂向前伸直且让小棍竖直，，晓波看到点B和建筑物顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上．已知晓波的臂长约为60厘米，小棍的长为24厘米，，，．求这个建筑物的高度． 【答案】这个建筑物的高度为12米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．过点A作，交于点F，垂足为G，根据，得到，根据相似三角形的性质列方程并求解，即得答案． 【解析】如图，过点A作，交于点F，垂足为G， 由题意，得厘米米，米，厘米米， ， ， ， ， 米． 答：这个建筑物的高度为12米． 43．如图，苏海和苏洋很想知道射阳日月岛上“生态守护者——徐秀娟”雕像的高度AB，于是，他们带着测量工具来到雕像前进行测量，测量方案如下：如图，首先，苏海在C处放置一平面镜，他从点C沿后退，当退行0.9米到E处时，恰好在镜子中看到雕像顶端A的像，此时测得苏海眼睛到地面的距离为1.2米；然后，苏海沿的延长线继续后退到点G，用测倾器测得雕像的顶端A的仰角为，此时，测得米，测倾器的高度米．已知点B、C、E、G在同一水平直线上，且、、均垂直于，求雕像的高度．    【答案】 【分析】根据已知条件推出，求得与的关系，再根据题意易得四边形、四边形、四边形均为矩形，得到，根据，得，构造一元一次方程，解方程即可得出结论． 【解析】解：设米，如图，    根据题意可得，，， ∴， ∴, ∴， ∵点B、C、E、G在同一水平直线上，且、、均垂直于，， ∴四边形、四边形、四边形均为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得 ∴ 答：雕像的高度为16.8米． 【点睛】本题考查相似三角形的判定、性质与实际应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 题型十 图形的位似 例题 44．如图，与是位似图形，且位似中心为，，若的面积为9，则的面积为（    ）． A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查的是位似图形．根据位似图形的概念得到，，证明，根据相似三角形的性质得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【解析】解：与是位似图形， ，， ， ， ， 的面积为9， 的面积为4， 故选：A． 巩固训练 45．如图，在平面直角坐标系中的两个矩形和矩形是位似图形，对应点和的坐标分别为，，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查位似图形的性质、相似图形的应用，连接，交轴于点，则点为位似中心，先根据题意证明，再根据位似比和点的坐标求出线段长度，得到，求出点的坐标即可．解决本题的关键是借助相似比求出线段长度． 【解析】解：连接，交轴于点，则点为位似中心， 矩形与矩形是位似图形，，， ，，，，， ， ， ， 即， ， 故位似中心的坐标为． 故选：A． 46．如图，中A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，且与的位似比为．设点B的对应点的横坐标是a，则点B的横坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似变换的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．设点B的横坐标为x，则B、C间的水平距离为，、C间的水平距离为，再根据位似变换的概念列式计算． 【解析】设点B的横坐标为x，则B、C间的水平距离为，、C间的水平距离为， ∵与的位似比为， ∴， 解得， 故选：D． 47．在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点E的对应点的坐标是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查坐标与位似，根据关于原点成位似图形的对应点的坐标的特征，进行求解即可． 【解析】解：∵，且相似比为， ∴的坐标为或， 即：点的坐标是或； 故选D． 48．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，画，使它与的相似比为，变换后点A、B的对应点分别为点、，点在第一象限； (2)若为线段上的任一点，则变换后点P的对应点的坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出对应点坐标即可． 【解析】（1）如图所示，即为所求； （2）∵为线段上的任一点， ∴变换后点P的对应点的坐标为． 题型十一 解答综合题 例题 49．如图，在中，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键．三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例；由平行可得，结合已知条件和比例的性质即可得证． 【解析】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 巩固训练 50．如图，在中，，，． (1)尺规作图：作菱形，使，，分别在，，上．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求（1）中所作菱形的边长． 【答案】(1)见详解 (2)2.4 【分析】（1）作的平分线，交于点，再作线段的垂直平分线，分别交，于点，，连接，即可； （2）设菱形的边长为，则，，再证明，根据相似三角形的性质，对应边成比例求出即可． 本题考查了作图复杂作图，菱形的判定与性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【解析】（1）解：如图，作的平分线，交于点，再作线段的垂直平分线，分别交，于点，，连接，， 则四边形即为所求； （2）解：设菱形的边长为，则，， 四边形为菱形， ， ， ， ， 解得， 菱形的边长为2.4． 51．如图，已知矩形中，是上的一点，过点作交边于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，矩形的周长为32，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明以及是解题关键． （1）证明，由全等三角形的性质即可证明结论； （2）设，结合矩形的周长解得的值，易得，，再证明，由相似三角形的性质即可获得答案． 【解析】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：设， 由（1）可知，， ∴， ∵矩形的周长为32， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 52．如图，在平面直角坐标系中，已知直线分别与x轴、y轴交于点A、B，直线BC与x轴交于点，点D在x轴的负半轴上且． (1)求证：； (2)已知点E在x轴上，点F在坐标平面内，如果以C、B、F、E为顶点的四边形是菱形，直接写出符合条件的点E坐标； (3)在直线上是否存在一点G，使与相似？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)点E的坐标为或或 (3)点G的坐标为或 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）先求出，，的长，然后根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； （2）根据菱形的性质，分为为菱形的边和为菱形的对角线，两种情况分别解题计算即可； （3）设G点坐标为，然后可以得到，分为和两种情况，根据相似三角形的对应边成比例求出的长，再利用勾股定理解题即可． 【解析】（1）解：∵， ∴， 当时，， ∴点B的坐标为，即， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵点B的坐标为，， ∴， 若为菱形的边，则， ∴点E的坐标为或； 当为菱形的对角线时，设点E的坐标为， ∵， ∴， 解得：， ∴点E的坐标为， 综上所述，点E的坐标为或或； （3）解：存在，如图，当时 设G点坐标为， 令，则，解得， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴点D的坐标为， ∵， ∴，， ∴，， 则， 则，即，解得：， 过点G作轴于点P， 即，即， 解得：（舍去），， ∴点G的坐标为； 当时，则， 则，即，解得：， 过点G作轴于点P， 即，即， 解得，（舍去） ∴点G的坐标为， 综上所述，点G的坐标为或． 53．综合与实践 (1)【操作发现】如图①，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与重合，折痕为，则的度数为 ； (2)【拓展探究】如图②，在（1）的条件下，继续将正方形纸片沿折叠，点C的对应点恰好落在折痕上的点N处，若，求线段的长； (3)【迁移应用】如图③，在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿，折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若点F为的三等分点，，，请求出线段的长． 【答案】(1)45° (2) (3)或2 【分析】（1）由正方形的性质得，再由折叠的性质得：，即可求解； （2）证是等腰直角三角形，得，则，进一步求出，由含角的直角三角形的性质结合勾股定理再求出，最后根据线段的和差关系求解即可． （3）分两种情形：当，当，分别求解即可． 【解析】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 即， 故答案为：； （2）∵四边形是正方形， ， 由折叠的性质得：， ， 由（1）得：， 是等腰直角三角形， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）如图3中，在上取一点，使得，过点作于点，交于点，连接，得正方形，    当时，， ， ∴， ∴， ∴， ， 由（1）可知， 设，则， ， ， ． 当时，同法可得． 综上所述，满足条件的的值为或2． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、翻折变换的性质、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质，证出是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 图形的相似 知识归纳与题型突破（十一类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、相似图形及比例线段 1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 要点：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等； 2.相似多边形 如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 要点：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比. 3. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 要点：（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（d也叫第四比例项） （2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）． 4.平行线分线段成比例： 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 二、相似三角形 1. 相似三角形的判定: 判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似.　 要点：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（三）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 要点：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似. 2.相似三角形的性质： （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； （2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比； 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. (3) 相似三角形周长的比等于相似比； （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 3.相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似多边形的周长比等于相似比． （3）相似多边形的面积比等于相似比的平方． 三、位似 1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 2.位似图形的性质: （1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 要点： (1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形. （2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点 为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k. 03 题型归纳 题型一 成比例线段 比例的性质 例题 1．下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 巩固训练 2．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A． B． C． D． 3．若，则下列式子不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若，则的值为 ． 5．若，则 ． 6．若，且，则的值为 ． 题型二 黄金分割 例题 7．如图，点P是线段的黄金分割点，且，若，则的长度是（    ） A． B． C． D．1 巩固训练 8．已知点是线段的黄金分割点，且，，则 ． 9．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，如果AP1，那么AB＝ ． 10．已知，点P、Q是线段的两个黄金分割点，若，则的长是 ． 11．点是线段的黄金分割点，且，则下列等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 题型三 平行线分线段成比例 例题 12．如图，，，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．10 巩固训练 13．如图，已知，那么（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 14．已知，如图，点、和、分别在的边、上，且，若，则 ． 15．如图，直线，直线和被，，所截，如果 则 的长是 ． 16．如图，，，，，则 ．    题型四 平行线分线段成比例的几何应用 例题 17．如图，点是矩形的对角线的中点，交于点，若，则的长为 ． 巩固训练 18．如图，已知为等腰三角形，且，延长至D，使得，连接，E是边上的中点，连接，并延长交与点F，连接，则 ．    19．如图，正方形的边长为，是的中点，是射线上一点（不与点重合），且，则的长为 ． 题型五 相似多边形 例题 20．下列说法中正确的是（   ） A．各角分别相等的两个多边形一定是相似多边形 B．各边成比例的两个多边形是相似多边形 C．边数相同的两个多边形是相似多边形 D．边数相同、各角分别相等、各边成比例的两个多边形是相似多边形 巩固训练 21．下列说法中，错误的是（   ） A．全等图形一定是相似图形 B．两面大小不等的标准国旗一定相似 C．两个等腰直角三角形一定相似 D．两个直角三角形一定相似 22． 五边形五边形，相似比为，若，则 ． 23．两个相似多边形的面积之比为，则它们的对应边之比为（    ） A． B． C． D． 24．如图，取一张长为a，宽为b的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片，若要使小矩形纸片与原矩形纸片相似，则 ． 题型六 相似三角形的判定 例题 25．如图，下列条件中，不能判定的是(　　)    A． B． C． D． 巩固训练 26．和符合下列条件，其中使与不相似的是（    ） A．，， B．，，，，， C．，，，， D．，，，，， 27．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中相似的是（　　） A． B． C． D． 28．如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（    ） A． B． C．平分 D． 29．如图，若，请再添加一个条件，使得，你添加的条件是 ．（写出一个即可）    30．如图，不等长的两条对角线相交于点，且将四边形分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有 ． 题型七 相似三角形的性质 例题 31．如果两个相似三角形对应边上的高之比是，那么它们的周长之比等于 . 巩固训练 32．若两个相似三角形的面积比为，则这两个三角形的周长比为 ． 33．如果两个相似三角形的面积之比为，那么这两个三角形一组对边上的中线之比为 34．已知的三边长分别为2、3、4，与相似，且周长为54，那么的最短边的长是 ． 35．如图，已知点分别是边上的点，且，相似比为交于点，则 ． 题型八 相似三角形的判定与性质综合 例题 36．如图，D，E 两点分别在的边上，且，，若的面积是3，则四边形的面积是（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 巩固训练 37．如图，四边形中，，若，则 ． 38．如图，在矩形中，，点分别在边上，交于点，若是的中点，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 39．如图，在四边形中，，，为对角线，若，，，则的面积为 ． 题型九 利用相似三角形的判定测高 例题 40．小明和他的同学在太阳下行走，小明身高米，他的影长为米，他同学的身高为米，则此时他的同学的影长为 米． 巩固训练 41．学校教学楼前面有一根高是4.2米的旗杆，在某时刻太阳光下的影子长是6.3米，与此同时， 在旗杆周边的一棵大树在地面上投影出的影子长是9米，则此大树的高度是（      ） A．4.8米 B．8.4米 C．6米 D．9米 42．如图，晓波拿着一根笔直的小棍，站在距某建筑物约30米的点N处（即米），把手臂向前伸直且让小棍竖直，，晓波看到点B和建筑物顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上．已知晓波的臂长约为60厘米，小棍的长为24厘米，，，．求这个建筑物的高度． 43．如图，苏海和苏洋很想知道射阳日月岛上“生态守护者——徐秀娟”雕像的高度AB，于是，他们带着测量工具来到雕像前进行测量，测量方案如下：如图，首先，苏海在C处放置一平面镜，他从点C沿后退，当退行0.9米到E处时，恰好在镜子中看到雕像顶端A的像，此时测得苏海眼睛到地面的距离为1.2米；然后，苏海沿的延长线继续后退到点G，用测倾器测得雕像的顶端A的仰角为，此时，测得米，测倾器的高度米．已知点B、C、E、G在同一水平直线上，且、、均垂直于，求雕像的高度．    题型十 图形的位似 例题 44．如图，与是位似图形，且位似中心为，，若的面积为9，则的面积为（    ）． A．4 B．6 C．8 D．9 巩固训练 45．如图，在平面直角坐标系中的两个矩形和矩形是位似图形，对应点和的坐标分别为，，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 46．如图，中A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，且与的位似比为．设点B的对应点的横坐标是a，则点B的横坐标是（　　） A． B． C． D． 47．在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点E的对应点的坐标是（ ） A． B． C．或 D．或 48．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，画，使它与的相似比为，变换后点A、B的对应点分别为点、，点在第一象限； (2)若为线段上的任一点，则变换后点P的对应点的坐标为 ． 题型十一 解答综合题 例题 49．如图，在中，，，，求证：． 巩固训练 50．如图，在中，，，． (1)尺规作图：作菱形，使，，分别在，，上．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求（1）中所作菱形的边长． 51．如图，已知矩形中，是上的一点，过点作交边于点，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，矩形的周长为32，求的长． 52．如图，在平面直角坐标系中，已知直线分别与x轴、y轴交于点A、B，直线BC与x轴交于点，点D在x轴的负半轴上且． (1)求证：； (2)已知点E在x轴上，点F在坐标平面内，如果以C、B、F、E为顶点的四边形是菱形，直接写出符合条件的点E坐标； (3)在直线上是否存在一点G，使与相似？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 53．综合与实践 (1)【操作发现】如图①，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与重合，折痕为，则的度数为 ； (2)【拓展探究】如图②，在（1）的条件下，继续将正方形纸片沿折叠，点C的对应点恰好落在折痕上的点N处，若，求线段的长； (3)【迁移应用】如图③，在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿，折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若点F为的三等分点，，，请求出线段的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 一 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $$