精品解析：辽宁省沈阳市第十中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试题

2025-2026学年度（上）沈阳市第十中学高一第一阶段考试 数学 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 5. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 若不等式的解集是，则实数a、b的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数，且恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的不得分） 9. 下列命题中假命题有（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“不等式在上恒成立”的充要条件 C. 的最小值是2 D. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是. 10. （多选）已知不等式，下列说法正确的是（    ） A. 若，则不等式的解为 B. 若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D. 若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 11. 已知关于的方程的解集共有2个子集，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 若不等式的解集为，则 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 不等式的解集为_____________. 13. 已知，则__________．（填“＞”“＜”或“＝”） 14. 已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为_____________. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 求下列不等式的解集 （1）； （2）； （3）. 16. 设集合，不等式的解集为. （1）当时，求集合. （2）当时，求实数的取值范围. 17. （1）设为实数，比较与的值的大小； （2）已知，，求的取值范围； （3）已知正数满足，求的最小值． 18. 近日，随着暑期来临，莆田市政府积极制定政策，决定政企联动，为某制衣有限公司在暑假期间加班追产提供（万元）的专项补贴.某制衣有限公司在收到莆田市政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）.同时某制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额＋政府专项补贴－成本. （1）求某制衣有限公司暑假期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式； （2）莆田市政府的专项补贴为多少万元时，某制衣有限公司暑假期间加班追产所获收益（万元）最大？最大收益为多少？ 19. 对于二次函数，若存在，使成立，则称为该二次函数的不动点. （1）已知函数，求该函数的不动点； （2）若对于任意的，二次函数，恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围； （3）若二次函数有两个不相等的不动点，，且，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度（上）沈阳市第十中学高一第一阶段考试 数学 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义即可得到答案. 【详解】由已知得. 故选：A. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题，即可表达. 【详解】命题“，”的否定是“,”, 故选：B. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对ABC举反例即可，对D利用不等式性质即可判断. 【详解】对A，，，则，错误； 对B，，，，可知B不正确； 对C，，，，故C不正确； 对D，根据不等式同向可加性可知D正确. 故选：D 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据充分性和必要性的定义判断即可． 【详解】若，得， 若，则，解得或， 所以“”是“”的充分非必要条件． 故选：A． 5. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把不等式组化简为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由题意，不等式组，可化为， 解得，可得，即不等式的解集为. 故选：A. 6. 若不等式的解集是，则实数a、b的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】借助解集是可得，计算即可得解. 【详解】由不等式的解集是，故， 且， 即，. 故选：D. 7. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方法一：分、、讨论去绝对值可得答案；方法二：利用绝对值的几何意义求解数形结合可得答案. 【详解】方法一 ：零点分段法 当时，原不等式可以化为，解得； 当时，原不等式可以化为，即，无解； 当时，原不等式可以化为，解得， 综上所述，原不等式的解集为； 方法二： 数形结合法 如图，设数轴上与，1对应的点分别为， 那么点之间的点到两点的距离和为2， 因此区间上的数都不是不等式的解． 设在点左侧有一点到两点的距离之和为3，则对应数轴上的． 由，得．设点右侧有一点到两点的距离之和为3， 则对应数轴上的，由，得． 从数轴上可看到，点之间（不包含）的点到的距离之和都小于3， 点的左侧或点的右侧的任何点到的距离之和都大于3， 所以原不等式的解集为． 故选：D. 【点睛】方法点睛：形如和型不等式的两种求解方法 （1）令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根，把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间，然后利用区间分段讨论法去绝对值符号求解，这种方法体现了分类讨论的思想，是解绝对值不等式最常用的方法．（2）利用绝对值的几何意义求解，这种方法体现了数形结合的思想，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题的关键． 8. 已知实数，且恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用乘“1”法并结合基本不等式可求得的最小值，从而可得实数m的取值范围. 【详解】由，可得：， 又因为，， 则， 当且仅当，即时取等号，所以， 由恒成立，可得，即实数m的取值范围为. 故选：A. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的不得分） 9. 下列命题中假命题有（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“不等式在上恒成立”的充要条件 C. 的最小值是2 D. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质可对A判断求解；根据一元二次不等式的性质，以及充要条件的判定，可对B判断；利用基本不等式取等条件可对C判断；分离参数求出最值，即可对D判断. 【详解】A：当时，若，则， 则“”不是“”的必要条件，故A为假命题； B：充分性：当时，不等式恒成立，故充分性成立； 必要性：当不等式在上恒成立，即，得，故必要性成立， 综上所述：“”是“不等式在上恒成立”的充要条件，故B为真命题； C：因为，所以， 当且仅当，即时取等号，但，所以等号取不到， 故最小值不是，故C为假命题； D：由，即，因为，则， 则对恒成立，则，则D为假命题. 故选：ACD. 10. （多选）已知不等式，下列说法正确的是（    ） A. 若，则不等式的解为 B. 若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D. 若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】解一元二次不等式判断A；按照和分类讨论，利用一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式求解判断B；由题意对恒成立，利用一次型函数恒成立列不等式组求解判断C；由题意不等式的唯一整数解为，结合二次函数性质列不等式组求解判断D. 【详解】当时，， 所以，解得，故选项A错误. 若不等式对恒成立，则当时，不等式成立， 当时， ，解得，综上，， 则整数的取值集合为.故选项B正确. 若不等式对恒成立，则即对恒成立， 所以，解得，故选项C正确. 若恰有一个整数使得不等式成立，则，即，令， 因为，所以整数， 由题意，解得，故选项D正确. 故选：BCD 11. 已知关于的方程的解集共有2个子集，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 若不等式的解集为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据题意得出；再由二次函数的最值的求法可判断选项A，根据基本不等式可判断选项B，由三个二次之间的关系可判断选项C，由三个二次之间的关系及韦达定理可判断选项D. 【详解】因为关于的方程的解集共有2个子集，则有且只有一个零点， 所以，即. 对于选项A，因为， 所以 ，故选项A正确； 对于选项B，因为.则，当且仅当时，等号成立，故选项错误； 对于选项C，因为， 所以不等式的解集为，故选项C正确； 对于选项D，因为不等式的解集为， 所以方程的两根为，且， 所以，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 不等式的解集为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】化分式不等式为，令，再利用穿根法即可得到答案. 【详解】由，即， 令，解得或或， 利用穿根法得或， 则其解集为， 故答案为：. 13. 已知，则__________．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】 【解析】 【分析】将两式分别平方，作差，根据不等式的基本性质，判断符号，得到大小关系. 【详解】，因为，所以，，所以，， 又因为，， 所以. 故答案为：. 14. 已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】换元令，可得，分类讨论结合基本不等式求得，结合恒成立问题可得，运算求解即可. 【详解】因为，， 令，则， 可得， 若，则， 当且仅当，即时等号成立； 若，则； 若，则； 综上所述：，当且仅当时等号成立， 因为不等式对任意恒成立， 可得，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 求下列不等式的解集 （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）移项作差转化为一元二次不等式求解即可； （2）两边同平方，再解出一元二次不等式，最后结合被开方数大于等于0的条件即可得到答案； （3）先分解因式，再根据两根大小，结合不等式的形式，即可求解. 【小问1详解】 ，即，则，解得. 则其解集为. 【小问2详解】 ，两边同平方得，解得或， 又因为，则或， 则其解集为. 【小问3详解】 ，得， 显然，所以不等式解集为. 16. 设集合，不等式的解集为. （1）当时，求集合. （2）当时，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求解出集合，代入值得到集合，再根据并集含义即可得到答案； （2）分和讨论即可. 【小问1详解】 当时，， 不等式即为，解得：， ∴， 则. 【小问2详解】 由（1）知，则由可得可知： 当时，，解得，满足； 当时，即时，则由可得：， 解得：，又，所以； 综上知，实数的取值范围是. 17. （1）设为实数，比较与的值的大小； （2）已知，，求的取值范围； （3）已知正数满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）利用作差法判断即可； （2）根据不等式的性质计算可得； （3）依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】（1）因为，当时等号成立， 所以，当时等号成立； （2）因为, 又，，所以， 所以， 所以； （3）因为正数满足，所以， 所以 ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 18. 近日，随着暑期来临，莆田市政府积极制定政策，决定政企联动，为某制衣有限公司在暑假期间加班追产提供（万元）的专项补贴.某制衣有限公司在收到莆田市政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）.同时某制衣有限公司生产（万件）产品需要投入成本为（万元），并以每件元的价格将其生产的产品全部售出.注：收益=销售金额＋政府专项补贴－成本. （1）求某制衣有限公司暑假期间，加班追产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的表达式； （2）莆田市政府的专项补贴为多少万元时，某制衣有限公司暑假期间加班追产所获收益（万元）最大？最大收益为多少？ 【答案】（1）， （2）当莆田市政府的专项补贴为6万元时，所获收益最大，最大值为30万元. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出函数关系式，化简得到； （2）在（1）的基础上，变形后利用基本不等式求出答案. 【小问1详解】 ， 因为，所以， 【小问2详解】 ， 因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， ， 故当莆田市政府的专项补贴为6万元时，所获收益取得最大值30万元. 19. 对于二次函数，若存在，使成立，则称为该二次函数的不动点. （1）已知函数，求该函数的不动点； （2）若对于任意的，二次函数，恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围； （3）若二次函数有两个不相等的不动点，，且，，求的最小值. 【答案】（1），3； （2）； （3）6. 【解析】 【分析】（1）根据不动点定义得，解该方程即可得解； （2）根据题设结合一元二次方程的判别式即可计算得解； （3）根据题意，转化为有两个不相等的正实数根，结合根与系数的关系，得到，且，化简，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 设为不动点，因此， 解得或， 所以，3为函数的不动点. 【小问2详解】 设， 则方程，即，即， 于是由题意可得一元二次方程有两个不等实根， 即判别式，且， 即，则该不等式对恒成立， 则，且，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 二次函数有两个不相等的不动点，且， 则方程有两个不相等的正实数根， 即方程有两个不相等的正实数根， 所以， 解得，可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $