精品解析：江西省余干中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试卷

余干中学2025级高一上学期第一次月考 数学试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，，，则这三个集合间的关系是（    ） A. B. C. D. 4. 如图所示，两个大圆和一个小圆分别表示集合、、，它们是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 5. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 命题为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 已知实数满足，且，①；②；③；④.上述不等式正确的有（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若关于的不等式的解集为，则 D. 若，则“”是“”的必要不充分条件 10. 已知集合A=，B，下列说法正确的是（ ） A. 不存在实数使得 B. 当时，. C. 当时，的取值范围是 D. 当时， 11. 已知表示不超过的最大整数，例如：，，下列说法正确的是（ ） A. 集合 B. 集合的非空真子集的个数是30个 C. 若“”是“”的充分不必要条件，则 D. 若，则 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集是______． 13. 若，使得成立是假命题，则实数取值范围为____________. 14. 已知关于x的不等式组的整数解的集合为,则实数k的取值范围是______． 四､解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设全集为，，： （1）； （2）. 16. 设全集，集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，则”是假命题，求实数的取值范围． 17. 已知二次函数（）． （1）若二次函数的图像与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，且的面积为3，求实数a的值； （2）求关于x的不等式的解集． 18. 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知米，米． （1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？ （2）当AN的长度是多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积． 19. 已知二次函数. （1）若的解集为，解关于的不等式； （2）若不等式对恒成立，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 余干中学2025级高一上学期第一次月考 数学试卷 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的交集、补集的定义即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：A. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的含义即可得到答案. 【详解】由题意得，又因为， 则， 故选：A. 3. 若，，，则这三个集合间的关系是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合A,B,C,再结合集合的包含关系判断集合间关系即可. 【详解】依题意，，， ，而，{偶数}， 因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一个元素都是集合中的元素，即， 所以. 故选：C. 4. 如图所示，两个大圆和一个小圆分别表示集合、、，它们是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题图中的阴影部分是的子集，但该子集中不含集合中的元素，且该子集包含于集合的补集，用关系式表示出来即可． 【详解】由图知，首先阴影部分是的子集，其次不含集合中的元素且在集合的补集中， 可得阴影部分所表示的集合是或. 故选：C. 5. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题求解. 【详解】解得或， 命题“，”为全称命题， 所以其否定是“，”， 故选：D. 6. 命题为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出命题为真命题时a的值，再结合充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】若命题“”为真命题， 则，恒成立. 令，则函数在上单调递增，所以在当时，取得最大值4， 可得， 所以各选项中只有是的真子集， 即是“”为真命题的一个充分不必要条件. 故选：B 7. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得到关于的表达式，再利用换元法与基本不等式即可得解. 【详解】因为，， 所以，则， 由，得，令，则，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 则的最小值为. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用表示，从而将转化为关于的表达式，由此利用基本不等式即可得解. 8. 已知实数满足，且，①；②；③；④.上述不等式正确的有（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】对于①，可举出反例；对于②，，故或；对于③，，故；对于④，变形得到，④正确，得到答案. 【详解】对于①，当时，满足且， 但，，①错误； 对于②，因为，故，故，②错误； 对于③，因为，所以，， 故， 所以，③错误； 对于④， ， 因为，，所以，， 故，④正确，正确个数为1. 故选：B 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若关于的不等式的解集为，则 D. 若，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】BC 【解析】 【分析】A令判断即可；B作差法比较大小；C由一元二次不等式解集及根与系数关系求参数a、b即可；D令判断必要性是否成立. 【详解】A：时，错误； B：， 而，则，故， 所以，即，正确； C：由题设，可得，故，正确； D：当时，而不成立，必要性不成立，错误. 故选：BC 10. 已知集合A=，B，下列说法正确的是（ ） A. 不存在实数使得 B. 当时，. C. 当时，的取值范围是 D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】逐个分析判断即可 【详解】对于A，若，则，解得，所以A错误， 对于B，当时，，则 ，所以B正确， 对于C，因为A=，所以或，当时，，得，此时，当时，或，解得，所以当时，的取值范围是，所以C正确， 对于D，由上面可知，当时，，此时，所以当时，成立，所以D正确， 故选：BCD 11. 已知表示不超过的最大整数，例如：，，下列说法正确的是（ ） A. 集合 B. 集合的非空真子集的个数是30个 C. 若“”是“”的充分不必要条件，则 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】A选项，根据定义判断；B选项，根据集合中的元素个数计算；C选项，根据“”是“”的充分不必要条件得到是的真子集，然后求的范围即可；D选项，分和两种情况分析即可. 【详解】时，时，， 时，，时，， 时，，时，， ，集合的非空真子集有个，所以A，B错误． 又若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，所以，C正确． 若，则时，； 时，， 综上，D正确． 故选：CD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式化为求解集即可. 【详解】由题设，则，解得. 故答案为： 13. 若，使得成立是假命题，则实数取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】变换得到在上恒成立，即，利用均值不等式计算最值得到答案. 【详解】若，使得成立是假命题， 即在上恒成立，即， ，当且仅当，即时等号成立，故. 故答案为： 14. 已知关于x的不等式组的整数解的集合为,则实数k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】解出不等式组中的不含参数的一元二次方程，对k进行分类讨论，使不等式组的整数解的集合为，根据数轴即可得出结果. 【详解】由，解得或， 由，即， 当时，的解为， 故不等式组的解集为， 因为，不符合不等式组的解集中有整数，故舍去； 当时，不等式为 ，即， 所以不等式无解，不符合题意，故舍去； 当时，的解为， 若需不等式组的整数解的集合为， 由数轴可知只需，解得， 综上，实数k的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设全集为，，： （1）； （2）. 【答案】（1）或；（2）或. 【解析】 【分析】(1) 结合数轴，根据并集的定义求出，再根据补集的定义可得到；（2）利用集合补集的定义求出，再根据交集的定义即可求出. 【详解】（1）由画出数轴： 由图得， 或. （2）得， 或， 或. 【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，以及子集的定义的应用，借助于数轴来求解更直观,熟练掌握交、并、补集的运算是解题的关键. 在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点. 16. 设全集，集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，则”是假命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将充分条件转化为子集关系，利用子集的定义即可列出不等式求解． （2）将真命题转化成是的子集，然后分情况讨论集合为空集和非空集合，即可求解． 【小问1详解】 由题意可知：集合是集合的真子集， 因此或，解得， 所以实数的取值范围为． 【小问2详解】 若命题“，则”是真命题，则有， 当时，，解得，符合题意，因此； 当时，而，， 则，无解， 所以“，则”是真命题，实数的取值范围． 那“，则”是假命题时， 17. 已知二次函数（）． （1）若二次函数的图像与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，且的面积为3，求实数a的值； （2）求关于x的不等式的解集． 【答案】（1）或 （2）①当时，不等式的解集为或，②当时，不等式的解集为，③当时，不等式的解集为，④当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）令得两点的横坐标分别为，令得点的坐标为，代入三角形面积公式列式计算即可； （2）根据、、和分类讨论解不等式即可. 【小问1详解】 令，则有，得两点的横坐标分别为， 令，得点的坐标为， 故的面积为，解得或. 【小问2详解】 不等式可化为， ①当时，不等式的解集为或， ②当时，不等式的解集为， ③当时，不等式的解集为， ④当时，不等式的解集为. 18. 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知米，米． （1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？ （2）当AN的长度是多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积． 【答案】（1） （2）AN长为4米时，矩形的面积最小，最小为24平方米 【解析】 【分析】（1）由题意设出AN的长为x米，因为三角形三角形，则对应线段成比例可知AM，表示出矩形的面积令其大于32得到关于x的一元二次不等式，求出解集即可； （2）解法1：利用当且仅当时取等号的方法求出S的最大值即可； 解法2：讨论函数的增减性得出函数的最大值即可． 【小问1详解】 设的长为x米， 由题意可知：∵，∴，∴， ∴， 由，得， ∵， ∴，即, 解得：或， 即长的取值范围是； 【小问2详解】 解法一：∵， ∴ ， 当且仅当，即时，取“=”号， 即的长为4米，矩形的面积最小，最小为24平方米． 解法二：∵∴， 令得， 当时，，当时， 当时，S取极小值，且为最小值， 即长为4米时，矩形的面积最小，最小为24平方米． 19. 已知二次函数. （1）若的解集为，解关于的不等式； （2）若不等式对恒成立，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的解求得的关系式，再解一元二次不等式求得正确答案. （2）根据判别式列不等式，利用基本不等式求得正确答案. 【小问1详解】 由于的解集为， 所以，则， 所以不等式可化为， ，解得， 所以不等武的解集为. 【小问2详解】 依题意，不等式对恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立，显然， 所以，即，则， 则， 若，则，此时. 所以，则， 所以， 所以，则， 当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $