精品解析：江西省上进联考2025-2026学年高二上学期10月阶段检测数学试卷

江西2025-2026学年高二年级10月阶段检测 数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.考查范围：必修第二册第六章占20%，选择性必修第一册第一章占80%. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 坐标原点O到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 2 3. 若直线平分圆周长，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 4. 已知圆与圆交于A，B两点，则直线AB的一般式方程为（ ） A. B. C D. 5. 圆与圆的公切线条数为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 6. 设直线与直线的方向向量共线，则与之间的距离为（ ） A B. 或 C. 或 D. 7. 中国古代的建筑形式多样，如赫赫有名的苏州园林（如图1），其几何模型可以简化为如图2所示的几何体，其中是长方体，且，，是棱台，侧面的梯形均为等腰梯形，，棱台的高为2，则该几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系xOy中，，，则平分线方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 任意一条直线的倾斜角都存在 B. 倾斜角为钝角的直线必过第三象限 C. 两条平行的直线一定有相等的斜率 D. 若直线l的斜率为负数，则其倾斜角为钝角 10. 在正方体中，M，N分别为，的中点，点P是上靠近点M的三等分点，则（ ） A. 四点共面 B. 三点共线 C. 异面直线与所成角的正弦值为 D. 直线与底面所成角的正弦值为 11. 已知直线与圆，则（ ） A. 截的弦长可能为4 B. 截的弦长不可能为3 C. 当时，一定与相交 D. 当时，可能与相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线在轴上的截距为，且过点，则的斜率为_______. 13. 过，，三点的圆的标准方程为_______. 14. 在三棱锥中，平面，，，M，N分别为PA，AB的中点，平面过点M且平行于平面PNC，则截三棱锥所得截面图形的形状为_______，截面图形的周长为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，，，，将沿AC旋转至，使得. （1）求点A到平面PBC的距离； （2）求二面角的余弦值. 16. 在平面直角坐标系中，直线过定点，直线过定点，与交于点. （1）求； （2）求面积的最大值. 17. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，. （1）若两个分别以A，B为圆心的圆相切，设其半径分别为，，讨论，满足的等量关系； （2）若圆心为的圆经过A，B两点，求圆P的方程.（结果用含a的式子表示） 18. 过点的直线与圆交于A，B两点，分别在A，B处作圆O的切线，这两条切线相交于点N. （1）当时，求值； （2）当的斜率为时，求的面积； （3）当时，求的外接圆的周长. 19. 设圆，直线. （1）证明：始终与圆M相交； （2）设与圆M交于A，B两点. （i）求过A，B，且半径为5的圆的圆心N到原点O的距离的最值； （ii）证明：存在唯一的定点P，使为定值，并求出该定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西2025-2026学年高二年级10月阶段检测 数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.考查范围：必修第二册第六章占20%，选择性必修第一册第一章占80%. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一般式可得直线的斜率，进而根据斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】设该直线的倾斜角为，其斜率， 由可知. 故选：A 2. 坐标原点O到直线距离为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由点到直线的距离公式可得. 故选:C. 3. 若直线平分圆的周长，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的对称性可知圆心在直线上，即可代入求解. 【详解】由题意可得圆心位于直线上，即，解得. 故选:D. 4. 已知圆与圆交于A，B两点，则直线AB的一般式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据公共弦直线方程的求解方式，用两圆联立相减即可. 【详解】联立 两式相减可得. 故选：D. 5. 圆与圆的公切线条数为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】判断两圆的位置关系，即可求解. 【详解】将圆化为标准方程为，则圆心和半径分别为 圆的圆心和半径为， 此时圆心距，可知两圆内含，无公切线，故公切线条数为0. 故选：A. 6. 设直线与直线的方向向量共线，则与之间的距离为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意知与的斜率相等，则，解得或2，再利用两平行直线的距离公式求解即可． 【详解】由与的方向向量共线可知与的斜率相等，故， 解得或2，代回得到或， 故与之间距离或． 故选：B． 7. 中国古代的建筑形式多样，如赫赫有名的苏州园林（如图1），其几何模型可以简化为如图2所示的几何体，其中是长方体，且，，是棱台，侧面的梯形均为等腰梯形，，棱台的高为2，则该几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据棱柱棱台的几何特征，求解每个面的面积相加可得结论. 【详解】先求下半部分，表面积为. 再求上半部分， 由于，则， 所以上长方形的面积为. 由已知， 则， 由于棱台侧面为等腰梯形，故， 前后两部分的梯形的高为，， 则这两个梯形的面积之和为. 左右两部分的梯形的高为， 则这两个梯形的面积之和为， 因此总表面积为. 故选：C. 8. 在平面直角坐标系xOy中，，，则平分线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设直线OQ的倾斜角为，直线OP的倾斜角为，可得，，同时可知平分线的倾斜角为，利用两角和的正切公式求出，再利用二倍角公式即可求得，即可求得答案. 【详解】由题意知，， 设直线OQ的倾斜角为，直线OP的倾斜角为，则，， 得平分线的倾斜角为，结合题意知为锐角， ，故， 解得或（舍去）， 即得平分线的斜率为， 故平分线的方程为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 任意一条直线的倾斜角都存在 B. 倾斜角为钝角的直线必过第三象限 C. 两条平行的直线一定有相等的斜率 D. 若直线l的斜率为负数，则其倾斜角为钝角 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】根据倾斜角的定义可知易得A正确， 由于斜率与倾斜角满足，，故时，，D正确； 直线，斜率为负，故倾斜角为钝角，该直线经过二、四象限，不过第三象限，故B错误； 当两条直线不重合，且均与轴垂直，此时这两条直线平行，但它们没有斜率，故C错误. 故选:AD. 10. 在正方体中，M，N分别为，的中点，点P是上靠近点M的三等分点，则（ ） A. 四点共面 B. 三点共线 C. 异面直线与所成角的正弦值为 D. 直线与底面所成角的正弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，证明出，得到四点共面；B选项，由得到四点共面，不妨设与交于点Q，易知，P与Q重合，故P在上，故B正确；C选项，与所成的角等于与所成的角，并求出；D选项，得到该角为，而，故D正确. 【详解】A选项，M，N分别为，的中点，故， 又，故，于是四点共面，故A正确； B选项，注意到，可知四点共面， 不妨设与交于点Q， 易知，且Q在线段上， 故由平面几何知识可知P与Q重合，故P在上，故B正确； C选项，易得异面直线与所成的角等于直线与所成的角， 且，故C错误； D选项，直线与底面所成角即直线与底面所成的角， 由于⊥平面，故直线与底面所成的角为， 而，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知直线与圆，则（ ） A. 截的弦长可能为4 B. 截的弦长不可能为3 C. 当时，一定与相交 D. 当时，可能与相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出圆心和半径，并得到到直线的距离，AB选项，举出实例得到A正确，B错误；C选项，求出圆C与两坐标轴的交点坐标，根据得到点B在线段OM上，或点A在线段ON上，一定与相交；D选项，直线与圆C相切的充要条件是，即，举出实例可得D正确. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为. 由，得和均不为零且符号相同. 到直线的距离. 当直线与圆C相交时，设截得的弦长为，则， A选项，要想弦长为4，需满足，故， 不妨设，，满足，直线过点C，此时弦长为4，故A正确； B选项，令，，此时，解得， 截的弦长可能为3，故B错误； C选项，直线与轴交于点，与轴交于点， 中，令得，令得， 当，时， 圆C与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点， 因为，所以点B在线段OM上，或点A在线段ON上， 即A，B至少有一点在圆C内，所以一定与C相交； 当，时，同理可得，一定与C相交，故C正确； D选项，直线与圆C相切的充要条件是，即， 当时，，此时满足要求，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线在轴上的截距为，且过点，则的斜率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，直线过点、，利用斜率公式可求得直线的斜率. 【详解】因为直线在轴上的截距为，所以直线过点， 又因为过点，故直线的斜率为. 故答案为：. 13. 过，，三点的圆的标准方程为_______. 【答案】. 【解析】 【分析】设圆的标准方程为，代入，，得到的方程组求解即可. 【详解】不妨设圆的标准方程为，由， 可解得于是圆的标准方程为. 故答案为：. 14. 在三棱锥中，平面，，，M，N分别为PA，AB的中点，平面过点M且平行于平面PNC，则截三棱锥所得截面图形的形状为_______，截面图形的周长为_______. 【答案】 ①. 三角形 ②. ## 【解析】 【分析】取AN的中点E，AC的中点D，连接DE，ME，MD.根据线面平行的判定定理证明线面平行，即可证明平面平面PNC，则说明平面即为，可判断截面形状；继而求出相关线段的长，即可求得截面图形的周长. 【详解】如图，取AN的中点E，AC的中点D，连接DE，ME，MD. 显然，而平面PNC，平面PNC，故平面PNC， 同理可得平面PNC，而，平面MDE，平面MDE， 故平面平面PNC，则平面即为， 故截三棱锥所得截面图形即为，故所得截得图形为三角形. 由，知，且相似比为1:2， 由于平面，平面，故， 而，故， 则； ，故， 故，则, 而，故, 故的周长为. 故答案为：三角形； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，，，，将沿AC旋转至，使得. （1）求点A到平面PBC的距离； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定即可得解. （2）取BP的中点D，利用几何法求出二面角的余弦值. 【小问1详解】 在中，由，，，得， 由旋转不改变原图形的性质，，又平面PBC， 则平面PBC，所以点A到平面PBC的距离即. 【小问2详解】 取BP的中点D，连接AD，DC，由（1）知平面PBC，又平面PBC， 则，由，，得，， 因此为二面角的平面角，在等腰中，由，得， 因此， 所以二面角的余弦值为. 16. 在平面直角坐标系中，直线过定点，直线过定点，与交于点. （1）求； （2）求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出点、的坐标，利用平面内两点间的距离公式可求得的值； （2）分析可知，由勾股定理可得出，利用基本不等式可求得面积的最大值. 【小问1详解】 在直线的方程中，由得，可得， 将的方程表示为，由得，可得， 故. 【小问2详解】 由可知，垂足为，故， 故由勾股定理可知， 故的面积， 当且仅当时等号成立，故面积的最大值为. 17. 在平面直角坐标系xOy中，已知点，. （1）若两个分别以A，B为圆心的圆相切，设其半径分别为，，讨论，满足的等量关系； （2）若圆心为的圆经过A，B两点，求圆P的方程.（结果用含a的式子表示） 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用两圆相切圆心距与两圆半径和差关系列式即得. （2）设出圆的标准方程，利用待定系数法列式求解. 【小问1详解】 依题意，两圆圆心距， 当两圆外切时，两圆半径之和等于圆心距，即； 当两圆内切时，两圆半径之差的绝对值等于圆心距，即. 【小问2详解】 设圆P的方程为， 由圆P经过A，B两点，得，将两式相减整理得， 则，解得， 所以圆P的方程为. 18. 过点的直线与圆交于A，B两点，分别在A，B处作圆O的切线，这两条切线相交于点N. （1）当时，求的值； （2）当的斜率为时，求的面积； （3）当时，求的外接圆的周长. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆的切线的性质可判断四边形OANB是正方形，进而利用三角形的边角关系以及锐角三角函数求解， （2）根据勾股定理以及锐角三角函数即可求解长度，进而由面积公式求解， （3）根据圆性质可判断四边形OANB是正方形，即可利用直角三角形的性质求解半径得解. 【小问1详解】 不妨记ON与AB交于点P，由几何关系易知， 由，，可知四边形OANB是矩形， 由可知其为正方形. 于是，而， 故. 【小问2详解】 得，故由和可解得，又，于是， 故的面积. 【小问3详解】 注意到，而，故P为ON的中点，易知P为AB的中点， 故由垂直关系和对角线关系可知四边形OANB是菱形， 由可知其为正方形，且边长， 故的外接圆半径为斜边的一半，由于,故半径为， 故的外接圆的周长为. 19. 设圆，直线. （1）证明：始终与圆M相交； （2）设与圆M交于A，B两点. （i）求过A，B，且半径为5圆的圆心N到原点O的距离的最值； （ii）证明：存在唯一的定点P，使为定值，并求出该定值. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）最大值为，最小值为；（ii）证明见解析，. 【解析】 【分析】（1）求出直线所过定点，再确定点与圆的位置关系即可推理得证. （2）（i）根据给定条件，求出点的轨迹方程，再利用圆的性质求出最值即可；（ii）当与重合时求出，再利用反证法，结合数量积的运算律证明唯一性即得. 【小问1详解】 圆的圆心，半径， 直线，即. 由，解得，即直线过定点， 由， 得位于圆M的内部，因此直线始终过圆内的一个点，它必然会与圆交于两个不同的点， 所以直线始终与圆M相交. 【小问2详解】 （i）依题意，点N到A，B的距离均为5，由到A，B的距离也为5， 得N与M重合，或N是M关于直线的对称点，则， 因此N的轨迹是以为圆心、为半径的圆， 且N的轨迹不过点，又直线表示除之外的所有过点的直线， ，所以ON的最大值为，最小值为. （ii）定点P即为， 先证明存在性：即证明当P为时，为一个定值，取线段AB的中点为， 则， 所以存在定点P，使为定值为； 再证明唯一性：假设存在不同于的定点，使得也是一个与m无关的定值， 由，，得， 也即， 由，且P和都是定点，则也是一个与m无关的定值， 因此， 由，和都是定值，则也是一个定值， 设是弦AB的中点，则，即也是一个定值， 当时，直线为，对应；当时，直线为，对应； 当时，直线为，对应，而， 则，，， 由于恒为定值，则，解得， 即，与重合，假设矛盾，因此定点P是唯一的， 所以存在唯一的定点，使是定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $