培优01 投影与视图（7大题型）（专项训练）数学北师大版九年级上册

培优01 投影与视图（7大题型） 题型1 正投影  解题关键在于理解“平行且垂直”的投影规律。当物体的某个面平行于投影面时，其正投影反映实形；当它倾斜时，投影会变形（如线段缩短、形状改变）；当它垂直于投影面时，投影可能积聚为一条线。解题时，需先分析物体各表面与投影面的相对位置关系。 1．（24-25九年级下·全国·随堂练习）下列说法正确的有（   ） ①线段a垂直于投影面P，则线段a在投影面P上的正投影是一个点；②长方形的对角线垂直于投影面，则长方形在投影面上的正投影是平行四边形；③正方体的一侧面与投影面平行，则该正方体有4个面的正投影是线段；④圆锥的轴截面与投影面平行，则圆锥在投影面上的正投影是等腰三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是投影的含义，由投影的含义结合图形的形状逐一分析判断即可． 【详解】解：①线段a垂直于投影面P，则线段a在投影面P上的正投影是一个点，正确； ②当长方形的对角线垂直于投影面时，其正投影是一条线段；错误； ③正方体的一侧面与投影面平行，则该正方体有4个面的正投影是线段；正确； ④圆锥的轴截面与投影面平行，则圆锥在投影面上的正投影是等腰三角形．正确； 故选：C 2．（2024九年级·全国·竞赛）某同学身高，那么这名同学的正投影的长（    ）． A．小于 B．等于 C．大于 D．小于或等于 【答案】D 【分析】本题考查了正投影的定义，在物体的平行投影中，投影线垂直于投影面，则该平行投影称为正投影，分两种情况：当投影线垂直于地面时，当投影线平行于地面时，即可得出答案，熟练掌握正投影的定义是解此题的关键． 【详解】解：当投影线垂直于地面时，此时这名同学的正投影的长为小于， 当投影线平行于地面时，此时这名同学的正投影的长为等于， 综上所述，某同学身高，那么这名同学的正投影的长小于或等于， 故选：D． 3．（2023九年级下·浙江·专题练习）如图，正方形纸板在投影面上的正投影为，其中边与投影面平行，与投影面不平行．若正方形的边长为5厘米，，求其投影的面积． 【答案】 【分析】先根据求出投影的各个边长，再求面积 【详解】解：过B点作于H，如图， ∵， ∴， ∵正方形纸板在投影面上的正投影为， ∴，， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查等腰直角三角形在投影中的应用，掌握计算方法是关键． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，正方体上面放着一个圆柱，已知正方体的一个侧面平行于投影面，圆柱下底面的中心正对正方体上底面的中心，圆柱的高等于，底面圆的直径为，若． (1)画出该立体图形在投影面P上的正投影； (2)计算正投影的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了立体图形的有关知识，正投影的面积等于正方形和长方形的面积和是解本题的关键． （1）根据题中说明，画出立体图形在投影面上的正投影即可； （2）正投影的面积是由正方形和长方形组成，计算它们的面积和即可． 【详解】（1）如图所示： （2）正投影的面积正方形面积长方形面积． 题型2 平行投影 识别特征是“所有投影线都互相平行”。其投影大小与物体和投影面的距离无关，只与它们的相对角度有关。在阳光下，不同时刻物体的影长和方向变化就是典型的平行投影。解题时，常利用“同一时刻，不同物体的高度与其影长成比例”这一核心性质来解决测量问题。 5．（2025·河北唐山·三模）如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点的影子落在台阶上（包含两个端点）．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似的应用，根据台阶在地面上的影子及树梢的影子落在台阶上包含端点取极值分别计算找出范围即可． 【详解】解： 如图，令延长光线可与交于点，过台阶交点与垂直于点，由平行光可知， ， 当的影子落在左边端点时， ， ， ， 当的影子落在右边端点时， ， ， 满足条件的为． 故选：C． 6．（21-22九年级上·云南文山·期末）如图，阳光下，小亮的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，线段表示旗杆的高，线段表示一堵高墙． (1)请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下形成的影子； (2)如果小亮的身高，他的影子，旗杆的高，旗杆的高与墙的距离，请求出旗杆的影子落在墙上的长度． 【答案】(1)见解析 (2)旗杆的影子落在墙上的长度为 【分析】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是正确地构造直角三角形． （1）连接，过点作的平行线即可； （2）过作于，利用相似三角形列出比例式求出旗杆的高度即可． 【详解】（1）解：如图：线段和就表示旗杆在阳光下形成的影子． （2）过作于， 设旗杆的影子落在墙上的长度为，由题意得：， ∴， 又∵，， ， ∴， 解得：， 答：旗杆的影子落在墙上的长度为米． 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，某数学兴趣小组利用树影测量树高．已测出树的影长为，并测出此时太阳光线与地面成角（计算结果精确到，参考数据：）． (1)求树的高度． (2)因水土流失，此时树沿太阳光线方向倾倒．在倾倒过程中，树影长度发生了变化．假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，已知，根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可设，，通过勾股定理得到关于的方程，进行求解即可； （2）过点A作太阳光线于点D，根据树与光线垂直时，树影最长即可求解． 【详解】解：（1）在中，． 设，则． 由勾股定理，得， 即， 解得（负值已舍去）． 故树的高度约为． （2）当树与光线垂直时，树影最长， 过点A作太阳光线于点D，且， 如图．在中，． 故树影的最大长度为． 【点睛】此题考查了平行投影；通过作高线转化为直角三角形的问题，当树与光线垂直时，树影最长，是解题的关键． 8．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，小明与同学合作利用太阳光线测量旗杆的高度，身高的小明（）落在地面上的影长为． (1)请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子； (2)若小明测得此刻旗杆落在地面的影长，请求出旗杆的高度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行投影的原理，连接小明头顶和影子顶端并延长，与过旗杆顶端的水平线相交，确定旗杆影子位置． （2）通过证明两个直角三角形相似，利用相似三角形对应边成比例来计算旗杆高度． 【详解】（1）解：影子如图所示. （2）解： 又 即 解得 ∴旗杆DE的高度为. 9．（2025·河北邯郸·二模）如图1是某风力发电机实物图，图2是它在某一时刻太阳光线下的平面示意图，其中，，表示三个风叶，每个风叶长均为米，任意两风叶之间的夹角相等，风力发电机的柱高为米，，为太阳光线，表示三个风叶在太阳光线下的影长．（其中所有点、线均在同一平面内，，，在同一条直线上） (1)当地面时，求的长； (2)若太阳光线与地面的夹角与（1）相同，则的最大值是________米． 【答案】(1)米 (2) 【分析】（1）根据题意得到，，如解图①，延长交于点，米，过点作于点，得，由含30度角的直角三角形的性质即可求解； （2）当与太阳光线平行，即太阳光线时，太阳光线照射风叶的范围最大，即最大，结合（1）得米，由此得到，此时最大，最大值为，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 米， ， 地面， ，， 如解图①，延长交于点， ， ， 米， 米， 过点作于点， ， ∴，则， ∴四边形是矩形， ， （米）； （2）解：， 由（1）知，要求的最大值，即求的最大值，如解图②，连接， 当与太阳光线平行，即太阳光线时，太阳光线照射风叶的范围最大，即最大，由（1）得米， ∴米， ∴，此时最大，最大值为． 【点睛】本题主要考查平行投影，含30度角的直角三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握以上知识，合理作出辅助线，数形结合分析是关键． 10．（24-25九年级上·四川成都·期末）周末小明同学与父亲爬山，在停车场附近看到了一棵银杏树，垂直于地面，满树金灿灿的叶子非常好看，小明同学想测量这棵树的高度，他发现阳光下树的影子恰好落在地面和一斜坡上（如图所示），此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米，斜坡与水平地面所成的锐角为，同一时刻，一根长为1米垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米．（参考数据） (1)求点D到水平地面的距离； (2)求树的高度（结果精确到0.1米）． 【答案】(1)2米 (2)树高7.7米 【分析】此题考查了平行投影，平行四边形的性质和判定，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）过D作于H，根据含角直角三角形的性质求解即可； （2）过H作交AB于E，证明出四边形为平行四边形，得到米，然后勾股定理求出，然后根据求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：过D作于H， 在中，， ∴（米）； （2）解：过H作交AB于E， ∵，， ∴ ∴四边形为平行四边形 ∴米 在中，， （米） （米） ∴，即 解得 ∴（米）． 答：树高7.7米． 11．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）（1）如图1，在直角坐标系中，的顶点都在长度为1的网格纸的格点上，以原点为位似中心，在点的右侧画一个，使它与位似，且相似比为，并直接写出点，的坐标； （2）①如图，婷婷在太阳光下的影子如图所示，在图2-2中，已知为婷婷的影子，请画出小高的影子在墙上部分； ②在图中，已知婷婷的身高为1.5米，她在太阳下的影子长为1米，米，米，直接写出小高的身高为______米． 【答案】（1）图见解析，点的坐标为，点的坐标为 （2）①图见解析；②1.8 【分析】（1）连接交格线于、连接、连接交格线 于，过点作交于，连接、，再根据点、的位置写出其坐标即可； （2）①过点A、E作直线，再过点C作直线交墙于F即可；②作交直线于H，根据平行投影的性质得，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； 点的坐标为，点的坐标为； （2）①如图，即为所求， ②延长交直线于H，如图， ∴ ∴ ∴，， 故答案为：1.8． 【点睛】本题考查了位似变换，点的坐标，平行投影．解题关键是（1）熟练掌握画位似图形的一般步骤（先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形）．（2）平行投影的性质：物长与影长成正比． 12．（24-25九年级上·山东青岛·期末）数学实验小组学习了投影后，分别利用阳光和灯光下的影子进行了如下活动：    (1)如图①所示，阳光下在某一时刻，身高的小军刚好站在路灯影子的顶端点处，并做了标记．经测量发现、、三点在同一直线上，此时小军的影子长是，且点距离路灯底端为．求路灯的高； (2)夜晚小军沿所在直线从点走13.5米到点，请在图②中分别画出小军在的灯光照射下、两点处的影子，并说明小军影子的长度变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 【答案】(1) (2)画图见解析，小军影子的长度变短了 【分析】本题考查了平行投影和中心投影，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）证明，然后根据相似三角形的性质求解即可； （2）先根据中心投影画出图形，然后证明，，根据相似三角形的性质，，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，知，，，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 答：路灯的高为； （2）解：如图，    由题意，知，，，，， ∴，， ∴，， ∴，， 解得，， ∵ ∴小军影子的长度变短了． 13．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）为测量学校旗杆的高度，九年级各班运用了多种测量方法． (1)如图1，一班小明在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为__________； (2)如图2，二班小颖站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆消费消费顶部A．小组同学测得小颖的眼睛距地面高度，小颖到镜面距离，镜面到旗杆的距离．据此可得旗杆高度为__________； (3)如图3，三班小亮在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端观测到旗杆顶部A．小组同学测得小亮的眼睛距地面高度，标杆，小王到标杆距离，标杆到旗杆距离，求旗杆的高度． 【答案】(1) (2) (3)旗杆的高度为 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行投影以及等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形判定和性质是解题的关键． （1）影长恰好等于自己的身高，可知是等腰直角三角形，由平行投影性质可知，是等腰直角三角形，即可求得答案； （2）利用已知判定，结合相似三角形的性质进行求解即可； （3）过作于，交于，先求出，再证，利用相似三角形的性质得，即可得出． 【详解】（1）解：∵影长恰好等于自己的身高， ∴是等腰直角三角形， 由平行投影性质可知，是等腰直角三角形， 则， 故答案为∶； （2）解：如图 ， 由反射定律可知， 又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 则旗杆高度为米， 故答案为：； （3）如图：过作于，交于， 则，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 答：旗杆的高度为． 14．（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． (3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 【答案】(1)见解析； (2)纪念碑的高度为． (3)小红的结果误差较大，理由见解析 【分析】本题考查了平行投影，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据平行投影的性质可得，即可证明结论； （2）令与的交点为，则四边形和是矩形，设，证明，得到，求出的值即可； （3）比较纪念碑的实际高度与小红和（2）中的结果，得到误差较大的一方，再分析可能的原因即可． 【详解】（1）解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处， ， 标杆的影子的长和标杆的长相等，即， ； （2）解：如图，令与的交点为， 则四边形和是矩形， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得：， 答：纪念碑的高度为． （3）解：纪念碑的实际高度为，小红求出纪念碑的高度约为，（2）中纪念碑的高度为， 则小红的结果误差较大， 理由是：纪念碑位于有台阶的平台上，点的位置无法正确定位，使得的长存在误差，影响计算结果． 题型3 中心投影  识别特征是“所有投影线相交于一点（光源）”。其投影大小会受物体与光源、投影面之间距离的影响，即“近大远小”。路灯、台灯下的影子是典型例子。解题核心是利用相似三角形，因为物体及其投影和光源构成了相似模型，通过比例关系可计算物体高度或影长。 15．（2025九年级·浙江金华·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，光源位于点处．木杆两端的坐标分别为，，则木杆在x轴上的影长为（　　） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影、坐标与图形、相似三角形的判定和性质，利用中心投影，过作轴于，交于，证明，然后利用相似三角形的对应边成比例可求出结果．熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：过作轴于，交于，如图，    ∵，A，B． ∴，，，轴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 16．（2025·广东深圳·二模）如图，在一间黑屋子里，用一盏白炽灯照射直角三角板形成影子，三角板始终保持与地面平行，它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），下列说法正确的是（   ）    A．越来越大 B．影子不是直角三角形 C．影子越来越小 D．影子越来越大 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质． 利用位似图形的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A.根据位似图形的性质可得，，大小始终保持不变，该选项错误，故不符合题意； B. 根据位似图形的性质可得，影子是直角三角形，该选项错误，故不符合题意； C. 根据位似图形的性质可得，影子越来越大，该选项错误，故不符合题意； D. 根据位似图形的性质可得，影子越来越大，该选项正确，故符合题意； 故选：D． 17．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为 ． 【答案】80 【分析】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，证明，推出，构建方程求出EF即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：80． 18．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，木杆和与地面垂直，木杆在路灯O下的影子为，木杆在路灯O下的影子为，已知点D，G，F，H在一条直线上，，，请在图中画出路灯O． 【答案】作图见详解 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质在中心投影问题中的应用．通过连接物体顶端与影子顶端的光线，找到路灯位置． 【详解】解：如图，路灯O为所求， 作法：连接，，延长，交与点O，此时点O即路灯为所求． 19．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，晚上，王叔叔走在大街上，他发现：当他站在大街两边甲、乙两盏路灯（路灯足够亮）之间，并且自己被两边的路灯照在水平干燥地面上的影子成一直线时，甲灯照射的影子长，乙灯照射的影子长，又王叔叔的身高为，两盏路灯的高度相同，路灯相距，求路灯的高． 【答案】 【分析】根据题意，得，，继而得到，，列比例式，解答即可． 本题考查了中心投影，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得， 答：路灯高为． 20．（2025·山西长治·二模）某天晚上，同学们带上竹竿和卷尺到马路的人行道上测量路对面路灯的高度．因路上设有隔离带，同学们无法直接到达路灯下面．同学们在人行道上将1米长的竹竿直立，并不断移动竹竿的位置，当竹竿在路灯下的影长米时停止移动，并标记为点，然后沿着方向直行2米，即米，在点处直立竹竿，测得此时竹竿的影长米，求路灯的高度．（结果精确到0.1米） 【答案】路灯的高度约为7.7米． 【分析】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用．由题意可知，推出，求得，求得，再由相似三角形的对应边成比例即可得出答案． 【详解】解：设米， 由题意得， 米， ， ， ， 米，米，米， ∴(米）， 米， ， ， ， ， ， 解得． 答：路灯的高度约为7.7米． 21．（24-25九年级下·江西赣州·阶段练习）如图，小树在路灯的照射下形成投影． (1)此光源（路灯）形成的投影属于________．（填“平行投影”或“中心投影”） (2)已知树高为，树影为，树与路灯的水平距离为，求路灯的高度． 【答案】(1)中心投影 (2)路灯的高度为米 【分析】本题考查了中心投影，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由中心投影的定义确定答案即可； （2）先判断相似三角形，再利用相似三角形的性质求解． 【详解】（1）解：此光源属于点光源， 此光源下形成的投影属于中心投影； （2）解：，， ， ， ， ∵树高为，树影为，树与路灯的水平距离为， ∴， 解得：， 路灯的高度为米． 22．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影． 【数学思考】 如图①，夜晚，小明从点经过路灯的正下方沿直线走到点，他的影长随他与点之间的距离的变化而变化，那么表示与之间函数关系的图象大致为______； A． B． C． D． 【解决问题】 如图②，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点处测得自己的影长，沿方向前进到达点处测得自己的影长．已知小明的身高为，求灯杆的高度． 【答案】[数学思考]D；[解决问题] 【分析】本题主要考查中心投影，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． [数学思考]等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长，即可得到答案； [解决问题]根据题意可得出，得到，，进而得到，即可求出的长，即可求出的长． 【详解】解：[数学思考]等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长， D符合题意， 故答案为：D； [解决问题]， ，， ，， 又， ， ，，，， ， ，， ， 解得：； 灯杆的高度为． 23．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，三根木杆、、竖直立于地平面，点、、在同一条直线上，且每两根木杆之间的距离为6米，即米，木杆、的影子分别为、． (1)在图1、图2两个示意图中，反映阳光下情形的是图 ，反映灯光下情形的是图 ；（填图形序号） (2)请在图1中画出表示木杆的影长的线段； (3)已知木杆长为3.6米，木杆长为2.25米，木杆长为1.5米，在图1中测得木杆、的影长米，求木杆的影长． 【答案】(1)2，1 (2)见解析 (3)3.6米 【分析】 本题考查了作图-应用与设计作图、相似三角形的判定和性质、平行投影、中心投影，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题． （1）根据图形以及中心投影，平行投影的定义判断即可； （2）根据中心投影的定义画出图形； （3）利用相似三角形的性质构建方程组求解． 【详解】 解：（1）由图1，图2可知，图1是中心投影，图2是平行投影． 故答案为：，； （2）如图1中，线段即为所求； （3）如图1，过点作于点，设米，O米． ∵，， ∴∽△， ∴， ∴①， 同法可得， ∴②， 由①②解得， 经检验是分式方程组的解， 同法可得， ∴， 解得， 经检验是分式方程的解． 即的影长为米． 24．（2025·广东揭阳·三模）综合与实践  主题：利用投影生成轴对称图形． 素材：一根5米长的木棍倾斜固定在半空，点离地面高度为4米，，之间的水平宽度为4米．如图（1），白天的某一时刻，阳光下（图中虚线为太阳光线）木棍在地面上投影为（点，的对应点分别为，）．如图（2），点的正上方有一路灯，夜晚在路灯的照射下木棍在地面上的投影为（点，的对应点分别为，）． 操作与探究： (1)分别在图（1）、图（2）中画出木棍在地面上的投影和；（用直尺作图，线条用实线） (2)在（1）的条件下，测得米，为验证木棍，投影线，，影长组成的四边形是轴对称图形，请你帮助证明； (3)在（1）的条件下，发现图（2）中木棍，投影线，，影长组成的四边形也是轴对称图形，请求出路灯距地面的高度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)路灯距地面高度为米 【分析】（1）分别根据平行投影和中心投影作图即可； （2）过点作交于点，证明四边形为平行四边形可得，即可证明； （3）由题意可知，，三点在同一直线上，且，过点作于点，于点，可知四边形是矩形，根据轴对称图形得到米，证明，进而求出，求出的长即可. 【详解】（1）解：如图，线段与线段为所求作图形； （2）证明：如图，过点作交于点． 则， 依题意 四边形为平行四边形． 米， 又米， ， ，即 （3）解：如图，路灯在点正上方． ，，三点在同一直线上，且， 过点作于点，于点， 则四边形是矩形． 米，米 米，米． 四边形是轴对称图形， （米）． ， 米 （米） 答：路灯距地面高度为米. 【点睛】本题考查了投影作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键. 题型4简单几何体的三视图  遵循“主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等”的投影规律。画图时，先定位主视图，再根据规律逐次画出俯视图和左视图。注意观察几何体的特征，如棱柱的棱线、圆柱的轮廓等，并确保所有可见轮廓线用实线，被遮挡但存在的轮廓线用虚线。 25．（2025·河南新乡·模拟预测）西周青铜凤纹尊，为西周中期吴国的青铜器，1976年12月于江苏丹阳司徒公社窖藏出土，现收藏于镇江博物馆．西周青铜凤纹尊是所见吴国早期铸造最为华丽的青铜器．如图为一件凤纹尊，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A．左视图与俯视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与主视图相同 D．三种视图都不相同 【答案】C 【分析】此题主要考查了简单组合体的三视图，根据三视图的定义求解即可，正确记忆相关知识点解题关键． 【详解】解：由实物图，可知凤纹尊的主视图和左视图相同， 故选：C． 26．（2025·安徽淮北·三模）某几何体如图所示，下列各图不是该几何体的三视图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，熟记三视图是解题关键． 根据三视图的定义求解即可． 【详解】解：A、是主视图，故不符合题意； B、是俯视图，故不符合题意； C、是左视图，故不符合题意； D、不是该几何体的三视图，故符合题意， 故选：D． 27．（2025·广东深圳·二模）数学实验课上，同学们通过下列方式从一个几何体中得到平面图形，其中得到的平面图形是圆形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立体图形的三视图，截几何体，掌握立体图形的特点是关键． 根据立体图形的特点，确定截面，三视图的特点即可求解． 【详解】解：A、圆锥侧面展开式扇形，不符合题意； B、圆柱俯视图是长方形，不符合题意； C、球体的截面是圆，符合题意； D、正方体的投影是正方形，不符合题意； 故选：C ． 28．（24-25九年级上·全国·假期作业）将一个长方体粉笔盒子去掉一角的图形如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是（   ） A．右视图 B．主视图 C．俯视图 D．左视图 【答案】B 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图．熟练掌握三视图的定义是解题的关键．当我们从某一方向观察物体时，所看到的平面图形，叫做物体的一个视图．在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图叫做左视图． 根据三视图定义逐一判断，可得答案． 【详解】解：A、长方体粉笔盒的右视图为， ∴A选项不正确； B、长方体粉笔盒的主视图为， ∴B选项正确； C、长方体粉笔盒的俯视图为， ∴C选项不正确； D、长方体粉笔盒的左视图为， ∴D选项不正确； 故选：B． 29．（2019·天津和平·二模）如图所示几何体的俯视图是(    )．    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据几何体三视图的判断方法，确定出俯视图即可． 【详解】解：根据题意得：几何体的俯视图为   ， 故选：C． 【点睛】此题考查了简单组合体的三视图，熟练掌握几何体三视图的画法是解本题的关键． 30．（19-20九年级上·广东深圳·期末）如图是一段空心的钢管，则它的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据主视图的画法解答即可. 【详解】A.不是三视图,故本选项错误; B是主视图,故本选项正确; C.不是三视图,故本选项错误; D.是俯视图，故本选项错误 故选:B. 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体,解题的关键是根据主视图的画法判断. 31．（2025·山西朔州·一模）如图1，这是四张除了正面图案不同外，其他都相同的卡片． (1)卡片中图形的俯视图的形状为___________． (2)卡片中图形的主视图如图2所示，求该圆柱的侧面积． (3)将这四张卡片背面朝上混匀，从中随机抽出一张后放回，混匀后再随机抽出一张，求两次抽出的卡片中，主视图都是矩形的概率 【答案】(1)圆 (2) (3) 【分析】本题考查了物体的三视图，圆柱侧面积，用列表法求概率，熟练利用列表法求概率是解题的关键． （1）根据球的俯视图为圆，即可解答； （2）根据圆柱的侧面积为底面周长乘以高，即可解答； （3）根据主视图为矩形的是，用列表法求概率即可解答． 【详解】（1）解：卡片中图形为球，它的俯视图的形状为圆， 故答案为：圆； （2）解：， 故该圆柱的侧面积为； （3）解：主视图为矩形的是， 列表如下： A B C D A B C D 总共有种等可能情况，符合条件的有4中， 求两次抽出的卡片中，主视图都是矩形的概率为． 32．（23-24七年级上·全国·期末）补全下列几何体的三视图： 【答案】见解析 【分析】此题考查了画三视图． 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；观察实物图，按照三视图的要求画图即可． 【详解】解：如图所示： 题型5简单组合体的三视图  采用“先分解，再组合，逐层画”的方法。先将组合体分解成几个基本几何体，从主视图开始，分别画出每个部分的三视图，注意它们之间的位置关系。尤其关注相邻形体交界处的投影变化，以及是否存在遮挡，正确使用实线和虚线是得分关键。 33．（2024·安徽·模拟预测）由大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图与其他三个不同的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图，分别画出四个选项中简单组合体的左视图即可． 【详解】解：选项A的左视图为一列两个小正方形，选项B、C、D的左视图为两列，小正方形的个数分别为2，1， ∴左视图与其他三个不同的是选项A． 故选：A． 34．（2021·黑龙江·一模）由五个相同的正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图.根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案． 【详解】解：从上方观察这个由五个相同正方体搭成的几何体，底层有个正方体,其俯视图呈现的形状是： 第一行有个正方形，第二行最右边有个正方形，与选项A的图形一致． 故选：A． 35．（20-21七年级上·贵州·期末）如图所示的几何体，由4个大小相同的小正方体构成． (1)下面五个平面图形中有三个是从三个方向看到的图形，把看到的图形与正确的观测位置连接起来； (2)已知小正方体的边长为，求这个几何体的表面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了平面图形，以及求几何体的表面积，掌握主视图、左视图、俯视图是从哪个角度所得到的图形是解题的关键． （1）根据从物体不同方向看图的定义求解； （2）几何体的表面积为三视图图形面积和的2倍求解． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：这个几何体的表面积是：． 36．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）一个几何体由多个大小相同的小正方体搭成，看到这个几何体俯视图的形状图如图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数．      (1)请在网格内分别画出这个几何体的主视图和左视图； (2)若小正方体的棱长为，请计算该几何体的体积． 【答案】(1)见解析； (2)该几何体的体积为． 【分析】（）根据主视图和左视图画图即可； （）根据体积等于立方体的个数单个的体积即可； 本题考查了从不同方向看物体，几何体体积，正确理解确定小正方体的个数是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， （2）解：该几何体的体积为 ， 答：该几何体的体积为． 37．（24-25七年级上·全国·期中）如图是由棱长都为1cm的6块小立方块组成的简单几何体． (1)请在方格中画出该几何体从三个方向看到的图形； (2)如果在这个几何体上再添加一些小立方块，并保持从正面看的图和从上面看的图不变，最多可以再添加________块小立方块． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题考查从三个方向看几何体． （1）根据从三个方向看到的图形的画法画出相应的图形即可； （2）在从左面看的图上相应位置备注出相应摆放的数目即可． 【详解】（1）解：如图： （2）在备注数字的位置加摆相应数量的小正方体， 故答案为：1． 38．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）一个几何体由几个相同的小立方块搭成，从上面和从正面看到的形状如图所示，从上面看到的形状图中，小正方形中的字母表示在该位置小立方块的个数． (1)填空：________，________，________； (2)这个几何体最少由________个小立方块搭成，最多由________个小立方块搭成； (3)当，时，请画出从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】(1)2，1，1； (2)8，10； (3)见解析 【分析】本题考查由从不同方向看几何体，解题的关键是理解从不同方向看几何体得出的图形． （1）根据从正面和上面看到的形状判断即可； （2）根据从正面和上面看到的形状判断即可； （3）根据从左面看到的形状图画出图形． 【详解】（1）解：观察从正面看到的图可知，． 故答案为：2，1，1； （2）解：这个几何体最少由个小立方块搭成，最多由个小立方块搭成． 故答案为：8，10； （3）解：从左面看到的图形如图所示： 39．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）如图是由一些相同的小正方体按一定规律组成的立体图形． (1)用含n的代数式表示第n个图形中小正方体的个数； (2)当时，画出所组成的立体图形的三视图； (3)若小正方体的棱长为，请计算第3个图中的立体图形的表面积． 【答案】(1) (2)图见解析 (3) 【分析】本题考查了图形规律的探究、三视图的画法以及正方体的表面积公式等，掌握这些是解题的关键． （1）观察图形得出每个图形中小正方体的个数，从而得出第n个图形中小正方体的个数； （2）根据三视图的定义，按第三个图画出来即可； （3）根据正方体的表面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由图知，每个图的小正方体个数为： 第一个图：， 第二个图：， 第三个图：，               第n个图：， 所以第n个图形中有个小正方体； （2）当时，图形的三视图如下： （3）因为小正方体的棱长为， 所以第3个图中的立体图形的表面积为：． 40．（25-26七年级上·山东济南·阶段练习）在平整的地面上，有一个由个完全相同的小正方体搭成的几何体，如图所示． (1)请画出这个几何体从三个方向看到的形状图； (2)如果在这个几何体上再摆放一个相同的小正方体，并保持这个几何体从上面看和从左面看到的形状图不变，请在图中画出两种添加小正方体后，从正面看到的几何体的形状图． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，具有较强的空间想象能力是解答本题的关键． （1）由已知条件可知，从正面看有4列，每列小正方形数目分别为1，3，1，1；从左面看有2列，每列小正方形数目分别为3，2；从上面看有4列，每列小正方形数目分别为1，2，1，2．据此画出图形即可； （2）根据从上面看和从左面看到的形状图不变解答即可； 【详解】（1）解：画出这个几何体从三个方向看到的形状图如下： （2）解：添加如图所示， 题型6 由三视图进行计算  此类题考查空间想象与推理能力。首先需根据三视图在脑中还原出几何体的实际形状，特别是“长对正、高平齐、宽相等”所对应的实际尺寸。然后，利用还原出的几何体信息，套用相应的面积或体积公式进行计算。关键是准确地将二维视图信息转化为三维尺寸。 41．（2024·浙江金华·模拟预测）如图是一个直三棱柱的立体图和左视图，则左视图中的值为（    ）． A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体、勾股数的应用等知识点，根据左视图的形状，求得左视图的宽成为解题的关键． 根据主视图、俯视图，根据立体图上的尺寸标注，求得左视图为长方形，其长为6，再根据底面运用等面积法求得长方形的长即可． 【详解】解：如图所示，根据俯视图中三角形的三边分别为3，4，5， ∴俯视图为直角三角形，且斜边为5， ∴斜边上的高为 ∴左视图为长方形，其长为6，宽为，即． 故选：Ａ． 42．（2025·山东烟台·一模）小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出如图所示的三视图，则该工件体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由三视图判断几何体和圆柱的计算，解题的关键是正确地得到几何体的形状，这样才可以求体积．根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起，体积是两个圆柱体的体积的和． 【详解】解：根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起， 底面直径分别是和， 高分别是和， 体积为：． 该工件的体积是． 故选：A 43．（2025·广东东莞·一模）如图①，一个三阶魔方由27个棱长为2的正方体组成．如图②，把魔方的中间一层转动了．如图③，是魔方转动后的俯视图，则图中线段的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了俯视图，勾股定理，等腰直角三角形性质，解题的关键在于根据题意得出为等腰直角三角形．根据题意得到为等腰直角三角形， 设，进而得到，再结合建立等式求解，即可解题． 【详解】解：由题意得， 即为等腰直角三角形，且， 设，则， ， 解得， 则图中线段的长度为， 故答案为：． 44．（23-24九年级上·山西运城·期中）在一节数学课上，小红画出了某四棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为等腰梯形，已知该四棱柱的侧面积为． (1)三视图中，有一图未画完，请在图中补全； (2)根据图中给出的数据，俯视图中的长度为________； (3)左视图中矩形的面积为________； (4)这个四棱柱的体积为________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据所在的面在前，所在的面在后，得到主视图中应补充两条虚线，画出图形即可； （2）由俯视图为等腰梯形，可得，再根据四棱柱的侧面积为，计算即可得出答案； （3）作于，于，则四边形是矩形，证明得到，由勾股定理计算出，由此即可得出答案； （4）先由梯形的面积公式计算出底面积，再乘以高即可得到答案． 【详解】（1）解：所在的面在前，所在的面在后， 主视图中应补充两条虚线， 补充完整如图所示： （2）解：俯视图为等腰梯形， ， 该四棱柱的侧面积为， ， ， 故答案为：； （3）解：如图，作于，于， ，俯视图为等腰梯形， ，， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 左视图中矩形的面积为：， 故答案为：8； （4）解：由题意得： 这个四棱柱的体积为， 故答案为：32． 【点睛】本题考查了几何体的三视图、矩形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、等腰梯形的性质、求几何体的体积等知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键． 45．（2025·宁夏银川·二模）随着户外露营的兴起，人们对户外帐篷的需求也越来越大．某工厂要制作一批无底帐篷，如图为  设计师设计的帐篷三视图，则该帐篷所需布料的面积为 （结果保留，门也用布料制作 ，接口处损耗不计）． 【答案】 【分析】本题考查了由几何体的三视图确定该几何体的形状，几何体的表面积，根据题意列出算式，然后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：该帐篷所需布料的面积为， ， 故答案为：． 46．（20-21九年级下·福建龙岩·阶段练习）一透明的敞口正方体容器装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α，（∠CBE＝α，如图1所示），此时液面刚好过棱CD，并与棱BB'交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，三视图及尺寸如图2所示，求当正方体平放（正方形ABCD在桌面上）时，液体的深度． 【答案】1.5dm 【分析】从三视图中了解到的长度，根据正方体的性质，知,再结合勾股定理计算得出，从而求得液体的体积，当正方体平放时，底面积为正方形的面积，从而求得液体的深度． 【详解】解：∵CQ＝5dm，AB＝4dm， 是正方体 ∴BQ＝＝＝3（dm）， ∴液体的体积为：V液＝×3×4×4＝24（dm3）， 正方形的面积为 ∴液体的深度是24÷16＝1.5（dm）． 【点睛】本题考查了三视图的基本概念，勾股定理，体积计算公式，求得是解题的关键． 47．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）某一个周末张明去爸爸的工作室玩，张明发现爸爸桌面上设计的某个零件三视图如下图所示，爸爸见张明对设计图纸如此感兴趣就考了张明如下几个问题，你能帮张明解决这些问题吗？ (1)此物体是 ； (2)请你求出此物体的表面积； (3)如果这个零件是用来支撑圆桌的，在圆桌的正上方有一盏吊灯，在灯光下，圆桌在地板上的投影是面积为的圆．已知圆桌的高度为，圆桌面的半径为，求吊灯距地面的高度． 【答案】(1)圆柱 (2) (3) 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，中心投影，相似三角形的判定与性质等知识． （1）根据三视图判断即可； （2）根据圆柱的表面积公式计算即可； （3）先根据投影面积求得半径的长，再依题意可以得到，然后由它们的对应边成比例即可求得结果． 【详解】（1）解：∵主视图恶化左视图是矩形，俯视图是圆， ∴此物体是圆柱． 故答案为：圆柱； （2）解； （3）解：如图， ∵圆桌在地板上的投影是面积为的圆 ∴， ∴（负值舍去）． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 48．（25-26七年级上·四川达州·阶段练习）长方体的主视图与俯视图如图所示， (1)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是___________（填序号）； ①三角形；②四边形；③六边形；④七边形； (2)根据图中标注的数据，求该几何体的体积． 【答案】(1)①②③ (2) 【分析】本题主要考查长方体的三视图、体积的计算方法及用平面截几何体的方法，熟练掌握长方体的基本性质是解题关键． （1）根据长方体有六个面，用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形即可得出结果； （2）由三视图确定长方体的长、宽、高，利用长方体的表面积计算公式及体积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵长方体有六个面， ∴用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形， ∴用一个平面去截长方体，截面的形状可能是三角形、四边形、六边形． 故答案为：①②③ （2）解：由主视图可知长方体的长为，高为， 由俯视图可知长方体的宽为， ∴该几何体的体积为． 49．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，十分巧妙．如图1，这是一种简单的鲁班锁，由三根完全相同的四棱柱木条，挖去中间部分，使其内部凹凸啮合，组成外观严丝合缝的十字型几何体，其上下、左右、前后分别对称． (1)图2是这个鲁班锁的主视图、左视图和俯视图的一部分，请将它们补充完整． (2)①若这些四棱柱木条的高为6，底面正方形的边长为2，求这个鲁班锁的体积； ②若这些四棱柱木条的高为，底面正方形的边长为，求这个鲁班锁的表面积．（用含的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)①这个鲁班锁的体积为56；②这个鲁班锁的表面积 【分析】本题主要考查的是三视图，主视图的面积和组合体的表面积，熟练掌握三视图的定义是解题的关键； （1）按照主视图、左视图和俯视图的定义补充完整即可． （2）①所求的体积为7个棱长为2的正方体的体积，求解即可； ②先求解从正面看到的图形的面积，再乘以6即可得到表面积． 【详解】（1）解：（1）补全图形如图所示： （2）解：①． 答：这个鲁班锁的体积为56． ②这个鲁班锁从正面看得到的平面图形的面积为， 这个鲁班锁的表面积为． 答：这个鲁班锁的表面积． 50．（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图是一个几何体的三视图（单位：），根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由三视图识别几何体及圆锥表面积的计算，解题的关键是根据三视图确定几何体为圆锥，并准确求出底面半径和母线长． 先确定几何体为圆锥，由直径可知半径，再根据勾股定理求得母线长，最后利用表面积 侧面积底面积即可求解． 【详解】解：该几何体为圆锥． 底面半径，圆锥的高． 由勾股定理，母线长． ∴表面积 侧面积 底面积 故答案为：． 题型7由视图确定立方体的个数  常用方法是“俯视图建基，主左视图定高”。以俯视图为基础，在其每个方格内标出该位置可能的最高小立方体个数，这个最高值由主视图和左视图在该方向的层数共同决定。最后，在满足所有视图约束的条件下，通过枚举法确定最多或最少的个数。 51．（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）用小立方块搭成的几何体，从正面看和从上面看如下，这样的几何体最多要个小立方块，最少要个小立方块，则等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三视图；根据从正面看和从上面看的视图，分析得出最多和最少的情况，然后可得答案． 【详解】解：要使小立方体数量最多： ∵左边列:从正面看有层， ∴左边的个底层位置，每个位置都放层，共个， ∵中间列:从正面看有层， ∴中间的个底层位置，每个位置都放层，共个， ∵右边列:从正面看有层， ∴右边的个底层位置，每个位置都放层，共个， 因此，最多需要的小立方体数量为:个， ∴; 要使小立方体数量最少： ∵左边列:从正面看有层， ∴最少需要在左边的个底层位置中，有个位置放层， 另外个位置放层(只要保证有一列达到层即可)，共个， ∵中间列:从正面看有层， ∴最少需要在中间的个底层位置中，有个位置放层， 另外个位置放层，共个， ∵右边列:从正面看有层， ∴最少需要在右边的个底层位置中，有个位置放层， 另外个位置放层，共个， 因此，最少需要的小立方体数量为:个， ∴； ∴个． 故选：A． 52．（25-26七年级上·山东济南·阶段练习）由若干个相同的小正方体搭建而成的几何体从三个方向看到的形状图如图所示，则这个几何体共有小正方体 个． 【答案】 【分析】本题考查从三个方面看组合体，借助空间想象能力，由三个方面看到的平面图还原成立体图形是解决问题的关键． 从上面看到的图确定底层小立方块个数及形状；从正面看到的图确定行列小立方块的个数及形状；从左面看到的图确定行列小立方块的个数及形状，综合起来即可得到答案． 【详解】解：如图，这个几何体的小正方体的个数为：． 故答案为：． 53．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)这个几何体是由_____个小正方体组成，请画出这个几何体从三个方向看的图形； (2)如果在这个几何体露在外面的表面喷上红色的漆，每平方厘米用2克，则共需_____克漆； (3)若你手头还有一些相同的小正方体，如果保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加_____个小正方体． 【答案】(1)8，图形见解析 (2)200 (3)3 【分析】本题考查作图—三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示，注意涂色面积是组成几何体的表面面积． （1）先数出这个几何体中小正方体的个数，由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方体数目分别为1，2，3，左视图有2列，每列小正方体数目分别为3，1，俯视图有3列，每列小正方体数目分别为1，2，2，据此可画出图形； （2）求出不含底面的表面积即可求解； （3）保持从上面看和从左面看到的图形不变，可往第一列上面的几何体上放2个小正方体， 第二列上面的几何体上放1个小正方体，即可． 【详解】（1）解：这个几何体是由个小正方体组成， 这个几何体从三个方向看的图形，如下图： 故答案为：8 （2）解：克， 即共需200克漆； 故答案为：200 （3）解：保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加个小正方体． 【点睛】故答案为：3． 54．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在平整的地面上，用多个棱长都为的小正方体堆成一个几何体． (1)共有______个小正方体； (2)若在几何体表面露出部分不含底面喷漆，求这个几何体喷漆的面积； (3)如果现在你还有一些棱长都为的小正方体，要求保持俯视图和左视图都不变，最多可以再添加______个小正方体． 【答案】(1)11 (2) (3)4 【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单三视图的画法是正确解答的关键． （1）根据拼图可直接得出答案； （2）求出主视图、左视图、俯视图的面积，再根据表面积的意义进行计算即可； （3）根据题意，结合俯视图和左视图，从左面看的图将多余的小正方体补进去即可． 【详解】（1）解：根据拼图可知，共有11个小正方体； 故答案为：11； （2）解∶分析这个图形的三视图可得：主视图面积为，左视图为，俯视图的面积为， ， 答：这个几何体喷漆的面积为； （3）解∶如果现在你还有一些棱长都为的小正方体，要求保持俯视图和左视图都不变，最多可以再添加4个小正方体． 故答案为： 55．（24-25七年级上·内蒙古包头·阶段练习）在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)这个几何体是由______个小正方体组成，该几何体的体积是______，请用阴影画出这个几何体从三个方向看的图形； (2)如果在这个几何体露在外面的表面喷上红色的漆，每平方厘米用2克，则共需______克漆； (3)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加______个小正方体． 【答案】(1)10，，见解析； (2)256； (3)4． 【分析】本题考查作图-三视图．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．注意涂色面积指组成几何体的外表面积． （1）先数出这个几何体中小正方体的个数，再计算体积，由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，1，2；左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1；俯视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，据此可画出图形； （2）求出不含底面的表面积即可求解； （3）保持俯视图和左视图不变，可往第二列前面的几何体上放一个小正方体，后面的几何体上放2个小正方体；第3列后面的几何体上放1个小正方体． 【详解】（1）解：这个几何体是由10个小正方体组成， 体积为：， 三视图如图所示： 故答案为：10，； （2）解：这个几何体的表面有38个正方形，去掉地面上的6个，32个面需要喷上红色的漆， ∴表面积为，（克） ∴共需256克漆． 故答案为：256； （3）解：如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加个． 故答案为：4． 56．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图是由一些棱长都为1cm的小正方体组合成的简单几何体． (1)请在如图的方格中画出该几何体的俯视图和左视图； (2)该几何体的表面积（含下底面）是______； (3)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持俯视图和左视图不变，那么最多可以再添加____个小立方块． 【答案】(1)见解析 (2) (3)3 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，关键是掌握在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的三视图时应注意小正方形的数目及位置． （1）根据俯视图是从上面看到的图形，左视图是从左面看到的图形进行画图即可； （2）分别找到前后左右上下六个面中露在外面的小正方体的面的个数，再根据每个面的面积为1进行求解即可； （3）若使该几何体俯视图和左视图不变，可在从左数第1列后排和中间一排的小正方体上分别添加1，2块小正方体． 【详解】（1）解：如图， （2）解：表面积为， 故答案为：30； （3）解：要使俯视图不变，可以在左边一列前排和后排添加无数个小正方体，在中间一列的后排都添上无数个正方体，在右边一列后排添加无数个小正方体，要想左视图不变，则可以在左边一列的后排添上一个正方体，中间一排添加两个小正方体， ∴要同时保证左视图和俯视图不变，则最多可以添加个小正方体， 故答案为：3． 57．（25-26七年级上·山西太原·阶段练习）问题情境：李老师给同学们布置了一项综合实践任务，利用所学知识为班级制作一些纸盒，用来收纳讲台上的粉笔等物品． (1)同学们就如何制作纸盒展开激烈的讨论，其中小华、小君、小霞分别给出了三种设计方案．你觉得图案____________（填序号）经过折叠能围成正方体纸盒； (2)小颖所在的综合实践小组得到了10个边长都为的正方体纸盒，将它们摆成如图所示的几何体．请在方格中分别画出它的主视图、左视图、俯视图： (3)这个几何体的表面积（含底面）是____________； (4)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图都不变，那么最多可以再添加____________个小正方体． 【答案】(1)②③； (2)见解析 (3) (4)4 【分析】此题考查了正方体的展开图、三视图等知识，熟练掌握三视图是关键． （1）根据正方体展开图的特征进行分析即可； （2）根据从正面、左面和上面看到的平面图形即可解答； （3）根据小正方体的排列方式进行解答即可； （4）根据保持这个几何体的左视图和俯视图都不变进行适当的添加即可． 【详解】（1）解：根据正方体的展开图，可知：图案②③经过折叠能围成正方体纸盒， 故答案为：②③； （2）如图即为所求： （3）这个几何体的表面积（含底面）是， 故答案为： （4）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图都不变，那么最多可以再添加4个小正方体． 故答案为：4 58．（21-22七年级上·山西运城·期中）（1）一个几何体由一些大小相同的小正方体搭成，如图是从上面看这个几何体的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，请在网格中画出从正面和左面看到的几何体的形状图． （2）用小立方块搭一几何体，使它从正面看，从左面看，从上面看得到的图形如图所示．请在从上面看到的图形的小正方形中填入相应的数字，使得小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．其中，图1填入的数字表示最多组成该几何体的小立方块的个数，图2填入的数字表示最少组成该几何体的小立方块的个数． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【分析】本题考查根据俯视图画主视图与左视图，根据主视图与左视图确定组成图形的正方体的个数，从立体图形到平面图形的转化三视图，由平面图形三视图到立体图形还原几何体空间想象能力，本题难度较大，培养空间想象力，掌握相关知识是解题关键． （1）根据俯视图中小正方体的个数结合主视图，主视图是从前面向后看得到的图形，从正面看分左中右三列，左边列有2个正方形，中间列有3个正方形，右边列有4个正方形画出图形，根据俯视图中小正方体的个数结合左视图，左视图是从左边向右看得到的图形，从左边看分左中右三列，左边列1个正方形，中间列4个正方形，右边列2个正方形画出图形即可； （2）根据俯视图的图形两行三列，中间列一行，从正面看分左中右三例，左边列3个正方形，中间列1个正方形，右边列2个正方形，从左面看，分两行，前行后行，前行2个正方形，后行3个正方形，左列前行可以是1个正方体或2个正方体，左列后行3个正方体，中间列只有前行1个正方体，右边列前行2个正方体，右边列后行可以1个或2个正方体，最多10个正方体如图1，最少8个正方体如图2在俯视图中标出个数即可． 【详解】解：（1）从正面看分左中右三列，左边列有2个正方形，中间列有3个正方形，右边列有4个正方形，如图 从左边看分左中右三列，左边列1个正方形，中间列4个正方形，右边列2个正方形， 如图所示： （2）从正面看分左中右三例，左边列3个正方形，中间列1个正方形，右边列2个正方形， 从左面看，分两行，前行后行，前行2个正方形，后行3个正方形， 左列前行可以是1个正方体或两个正方体，，左列后行3个正方体，中间列只有前行1个正方体，右边列前行2个正方体，后列可以1个或2个正方体，最多10个正方体如图1，最少8个正方体如图2． 根据题意，填图如下： 培优综合练 59．（25-26六年级上·山东淄博·阶段练习）一个几何体，是由许多规格相同的小正方体堆积而成的，从左面、上面看到的图如图所示，要摆成这样的图形至少需用 块正方体，最多需用 块正方体． 【答案】 6 7 【分析】本题考查从不同方向看，掌握相关知识是解决问题的关键．结合两个图形，可得该几何体有前后两排，上下两层，由从左面看的图形可得只有后面一排有上层，分层确定所需小正方体的个数，下层共五个小正方体，上层有2个或1个小正方块，即可求得题目． 【详解】解：通过两个图形，可得该几何体有前后两排，上下两层，由从左面看的图形可得只有后面一排有上层，故下层共五个小正方体，上层有2个或1个小正方体，所以至少需用6块正方体，最多需用7块小正方体． 故答案为：6，7． 60．（19-20九年级上·山东青岛·期末）如图是由若干个小正方体组成的．阴影部分是空缺的通道，一直通到对面．这个立体图形由 个小正方体组成． 【答案】38 【分析】本题考查几何体的展开图，由题意，阴影部分是空缺的通道，一直通到对面，即中间有重复，因此可分层计数，从前往后分为4层，画出每层的示意图进行计数即可． 【详解】解：从前往后分层数，如图所示： 共有个， 答：这个立体图形由38个小正方体组成． 故答案为：38． 61．（2021·浙江温州·二模）如图1是一种浴室壁挂式圆形镜面折叠镜，AB，CD，EF可在水平面上转动，连接轴BD分别垂直AB和CD，EF过圆心，点C在EF的中垂线上，且CD＝EF， cm， 如图2是折叠镜俯视图，墙面PI与PQ互相垂直，在折叠镜转动过程中，EF与墙面PI始终保持平行，当点E落在PQ上时，AE＝30cm，此时A，B，F三点共线，则EF＝ cm；将AB绕点A逆时针旋转至AB′，当B'C⊥AB′时，测得点B′与E′到PQ的距离之比B'G：E′H=16：11，则B'G＝ cm． 【答案】 【分析】连接BE，BF，过点作于J．首先证明∠EBF=90°，利用勾股定理求出EB，再利用相似三角形的性质求出BF，利用勾股定理可得EF．设=16k cm，=11k cm，利用相似三角形的性质以及勾股定理构建方程求出k即可． 【详解】解：连接BE，BF，过点作于J． 由题意，CE=CF=CB， ∴∠EBF=90°， ∵AB=24cm，AE=30cm， ∴EB=（cm）， ∵∠AEB+∠FEB=90°，∠F+∠FEB=90°， ∴∠AEB=∠F， ∵∠ABE=∠EBF=90°， ∴△ABE∽△EBF， ∴ ， ∴， ∴FB=， ∴EF=（cm）， ∵， ∴设=16k cm，=11k cm， ∵四边形是矩形， ∴=16k（cm）， ∴16k-11k=5k（cm）， ∵（cm）， ∴cm， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（cm）， 在Rt△中，则有， 解得，（不合题意的根已舍去） ∴（cm）． 故答案为： ． 【点睛】本题考查三视图的应用，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 62．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）如图是由8个小正方体搭成的几何体． (1)网格中已画出从正面看到的形状图，请你利用右边的两个网格画出这个几何体从左面看和从上面看得到的形状图； (2)增加大小相同的小正方体，使得它从上面和左面看到的形状图与原几何体从上面和左面看到的形状图相同，则最多可以增加________个小正方体． (3)若每个小正方形的边长均为2，则上述几何体的体积为________． 【答案】(1)图象见解析 (2)4 (3)64 【分析】本题考查从不同方向看几何体的图象： （1）分别从左面看和从上面看，画出看到的方格即可； （2）画出满足条件，最终从上面看，每个位置最多放的小正方体数量的图象，用总的小正方体数量减去已有的8个即可得到增加的数量； （3）每个小正方体的体积乘以总数8即可得到该几何体的体积． 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）增加小正方体后，若要满足条件，则最终从上面看，每个位置最多放的小正方体数量如图： 则最多增加个小立方块， 故答案为：4； （3）解：上述几何体的体积为， 故答案为：64． 63．（2024·江苏南京·中考真题）如图（1），夜晚，小明从路灯的正下方处出发，先沿平路走到处，再上坡到达处．已知小明的身高为m，他在道路上的影长（单位：m）与行走的路程（单位：m）之间的函数关系如图（2）所示，其中，是线段，是曲线． (1)结合的位置，解释点的横坐标、纵坐标的实际意义． (2)路灯的高度是____________m． (3)设的坡角为． ①通过计算：比较线段与线段的倾斜程度． ②当取不同的值时，下列关于曲线的变化趋势的描述； 随的增大而增大；随的增大而减小；随的增大先增大后减小；随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 【答案】(1)横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处 (2)6 (3)①线段的倾斜程度更大；② 【分析】（1）横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处； （2）根据题意列出方程，求得路灯的高度是； （3）①根据，得出，根据三角函数，得出，再进行比较即可； ②：小明走到灯下处，影子正好顶端在处，：小明走到灯下处，到达，当取不同的值时，影长可能随的增大而增大或随的增大而减小或随的增大先增大后减小． 本题考查了解直角三角形的应用，函数的图象等，掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：， 横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处． （2）解：由题意得：， 解得：， ∴路灯的高度是， 故答案为：6． （3）①解：∵，设直线的解析式为， 把代入，得， ∴． 为小明在坡上任意一点， ∴此时m，影长m，m， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， 整理得：， ∴， ∵， ∴， ∴线段的倾斜程度更大； ②如图， ：小明走到灯下处，影子正好顶端在处，则， ：小明走到灯下处，到达，则， 对应图2中曲线的起点，，表示小明的高度， 设，其中，，表示小明在间，影长， 依题意，，则 ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴， 同理可得 ∴ 由（2）可得，， 即 ∴ ∴ 设，其中， 当接近时，，则，则随的增大而增大 当接近时，，则，则随的增大而减小， 当取不同的值时，可能出现随的增大先减小后增大． 综上所述，当取不同的值时，可能出现的情况， 故答案为：． 64．（2025·山西·模拟预测）在数学课上，张老师提出了一个生活中常见的问题，如何将物品搬过直角过道？下课后，数学兴趣小组的成员们就这个问题展开了一系列探究实践，具体如下： 【问题】如何将物品搬过直角过道？ 【情境】如图是一直角过道示意图，、为直角顶点，过道宽度都是，矩形是某物品经过该过道时的俯视图，宽为． 【操作】： 步骤 动作 目标 靠边 将如图中矩形的一边靠在上 推移 矩形沿方向推移一定距离，使点在边上 转弯 如图，将矩形绕点旋转，当线段、线段长度都不大于过道宽度时，可以顺利转弯． 推移 将矩形沿方向继续推移 【探究】： (1)如图，若，，则 ______． (2)在的条件下，思思同学认为该物品可以顺利转过这条直角过道，你赞同思思同学的结论吗？请通过计算说明． (3)如图，物品转弯时被卡住、分别在墙面与上，若，求的长． (4)请直接写出过道可以通过的物品最大长度，即求的最大值______结果保留根号 【答案】(1)1 (2)不赞同思思同学的结论，计算见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据勾股定理，即可求解； （2）连接，根据勾股定理求出，然后与过道的宽度进行比较，即可得出答案； （3）过点作于，交于点，设，则，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案； （4）若求该过道可以通过的物品最大长度，此时点为的中点，，，根据勾股定理求出此时的长度即可． 【详解】（1）解：如图，四边形是矩形， ，， ， ∴； （2）解：不赞同思思同学的结论，理由如下： 如图，连接， 由可求得， ，， ， ， ， 过道宽度都是， 该物品不能顺利通过直角过道， 不赞同思思的结论； （3）解：如图，过点作于，交于点， 中，， ， ， ， ， ， ， ， 中，， 设，则， 由勾股定理得：， ， 负值舍， ； 答：的长是； （4）解：若求该过道可以通过的物品最大长度，此时点为的中点，，，且， ∴， ， 的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质以及物体的三视图等知识，充分理解题意正确列式是解题的关键． 65．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）（1）一个由小正方体摆成的几何体，无论从正面，还是从左面都可以看到如图所示的图形，那么，最多可以用 个小正方体，最少可以用 个小正方体． （2）一个正方体截去一角后，剩下的几何体有 条棱， 个面， 个顶点．（说明：截去部分的边长都不超过正方体的边长．） （3）如图1，一个边长为2大正方体上截去一个小正方体后，可得到图2的几何体． ①所得几何体的表面积为 ． ②如果图1中大正方体各棱的长度之和比图2中几何体各棱的长度之和少3，那么，所得几何体的体积是 ． 【答案】（1）13，5；（2）15，7，10；（3）①24；② 【分析】本题主要考查了三视图、认识几何体等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）观察图形，可知该几何体是三行三列两层，其中中间一列、一行都是一层；要使摆成几何体的小正方体最少，则第一层最少3个小正方体，第二层最少2个；要使摆成几何体的小正方体最多，则第一层最多9个小正方体，第二层最多4个，据此即可获得答案； （2）一个正方体截去一角后，剩下的几何体增加1个面、3条棱和2个顶点，据此即可获得答案； （3）①②结合图形可知，图2中几何体的各棱的长度之和比图1中几何体的各棱的长度之和多出6条小正方体的棱长的和，进而求得被截去的小正方体的棱长，然后利用大正方体的体积减去小正方体的体积，即可获得答案． 【详解】解：（1）分别画出最多和最少正方体时从上面看到的形状图，如图所示（其中小正方形中的数字代表该位置上的小正方体的数目）， 由所画的图形可以作出判断， 最多可以用（块），最少可以用（块）． 故答案为：13，5； （2）一个正方体截去一角后，剩下的几何体有15条棱，7个面，10个顶点． 故答案为：15，7，10； （3）①一个边长为2大正方体上截去一个小正方体后，可得到图2的几何体， 所得几何体的表面积与原几何体的表面积相同， 所以，此时所得几何体的表面积为：； ②结合图形可知，图2中几何体的各棱的长度之和比图1中几何体的各棱的长度之和多出6条小正方体的棱长的和， 则被截去的小正方体的棱长为， 所以，所得几何体的体积是． 故答案为：①24；②． 66．（2023九年级·全国·专题练习）甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一些信息： 甲组：如图①，测得一根直立于平地、长为80cm的竹竿的影长为60cm． 乙组：如图②，测得学校旗杆的影长为900cm． 丙组：如图③，测得校园景灯？（灯罩视为圆柱体，灯杆粗细忽略不计）的灯罩部分影长为90cm，灯杆被阳光照射到的部分长为50cm，未被照射到的部分长为32cm． (1)请你根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度． (2)请根据甲、丙两组得到的信息，解答下列问题： ①求灯罩底面半径的长； ②求从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积． 【答案】(1)学校旗杆的高度为12m (2)①灯罩底面半径的长为24cm；②从正面看灯罩得到的图形面积为2688(cm2)，从上面看灯罩得到的图形面积为576π(cm2) 【分析】（1）根据平行投影的性质，得到三角形相似，列式计算即可； （2）①易得：，得到，即可得解；②易得：，得到，证明，求出，进而求出的长，进而求出从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积即可． 【详解】（1）解：由题意，可知：， ∴，即：， ∴； 答：学校旗杆的高度为． （2）解：①根据题意可知，， ∴，即． ∴， ∴灯罩底面半径的长为24 cm． ②∵太阳光为平行光， ∴， ∴， 由题意，可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴从正面看灯罩为矩形，面积为：， 从上面看灯罩为圆形，面积为：． 【点睛】本题考查平行投影，相似三角形的判定和性质，以及三视图．熟练掌握平行投影的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键． 67．（20-21九年级上·山东青岛·期末）小明是魔方爱好者，他擅长玩各种魔方，从二阶魔方到九阶魔方，他都能成功复原．有一天，小明突然想到一个问题，在九阶魔方中，到底含有多少个长方体呢？为此，我们先来解决这样一个数学问题：如图，图1是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．这个几何体中一共包含多少个长方体（包括正方体）？（参考公式：1+2+3…+n）． 问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论． 探究一：如图2，该几何体有1个小立方体组成，显然，该几何体共有1个长方体．如图3，该几何体有2个小立方体组成，那么它一共包含1+2＝3个长方体．如图4，该几何体有3个小立方体组成，那么它一共包含 　 　个长方体．如图5，该几何体﹣共包含210个长方体，那么该几何体共有 　 　个小立方体组成． 探究二：如图6，该几何体有4个小立方体组成，那么它一共包含（1+2）×（1+2）＝9个长方体．如图7，该几何体有6个小立方体组成，那么它一共包含 　 　个长方体．如图8，该几何体共有2m个小立方体组成，那么该几何体一共有 　 　个长方体． 探究三：如图1，该几何体共有个a×b×c小立方体组成，那么该几何体共有 　 　个长方体． 探究四：我们现在可以解决小明开始的问题了．在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有 　 　个长方体． 探究五：聪明的小明在学习了三种视图后，又提出一个新的问题：在图1中，若a＝6，b＝4，c＝5，如果拿走一些小立方体后，剩下几何体的三种视图与原图1的三种视图完全一样，那么最多可以拿走 　 　个小立方体；此时，剩下的几何体的表面积是 　 　． 【答案】探究一：6，20；探究二：18；探究三：；探究四：；探究五：72，124或142或158或164 【分析】探究一：先输出图4的长方体个数，然后得出规律有n小正方体组成的几何体有个长方体，由此求解即可； 探究二：由探究一可知图6中长一共有1+2=3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，那么它一共包含（1+2）×（1+2）×1＝9个长方体，图7中长一共有1+2+3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，图7中它一共包含（1+2+3）×（1+2）×1＝18个长方体， 探究三：该几何体共有个a×b×c小立方体组成，该几何体有长有条线段，宽有条线段，宽有条线段，由此求解即可； 探究四：由探究三可知，在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有个长方体； 探究五：拿走前后的三视图需要一样，只需要保留三视图三个面的几何体图形一样即可如图所示求解即可．保留底层24个正方体不变，再将每4个一组共6组正方体的摆放顺序进行变化，分类讨论即可. 【详解】解：探究一：由题意得图4一共有：1+2+3=6个长方体， ∵有1个小正方体组成的几何体有个长方体，有2个小正方体组成的几何体有个长方体，有3个小正方体组成的几何体有个长方体．．．．．． ∴可以得出规律有n小正方体组成的几何体有个长方体， ∴，即， 解得或（舍去）， 故答案为：6，20； 探究二：图6中长一共有1+2=3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段， ∴那么它一共包含（1+2）×（1+2）×1＝9个长方体， 图7中长一共有1+2+3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段， ∴图7中它一共包含（1+2+3）×（1+2）×1＝18个长方体， 故答案为：18； 探究三：∵该几何体共有个a×b×c小立方体组成， ∴该几何体有长有条线段，宽有条线段，宽有条线段， ∴图1中一共包含个长方体， 故答案为：； 探究四：由探究三可知，在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有个长方体； 探究五：∵拿走前后的三视图需要一样， ∴只需要保留三视图三个面的几何体图形一样即可， 如图小方格内的数字表示此处一共有多少个小正方体，此时一共有48个小正方体，即为所求， ∴一共最多可以拿走6×5×4-48=72个小正方体， ①当剩下正方体按如下俯视图摆放时， 表面积为：6×5×2+（3+5）×2+6×4×2=124 ②当正方体如图摆放时， 相对于①，此时面积增加16，表面积为124+16=142 ③同理，当正方体如图摆放时， 相对于①，此时面积增加32，表面积为124+32=158 ④当正方体如图摆放时， 相对于①，此时面积增加40，表面积为124+40=164 故答案为：124或142或158或164 【点睛】本题主要考查了图形类的规律，几何体的表面积等等，解题的关键在于能够准确读懂题意． 试卷第20页，共79页 1 / 78 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优01 投影与视图（7大题型） 题型1 正投影  解题关键在于理解“平行且垂直”的投影规律。当物体的某个面平行于投影面时，其正投影反映实形；当它倾斜时，投影会变形（如线段缩短、形状改变）；当它垂直于投影面时，投影可能积聚为一条线。解题时，需先分析物体各表面与投影面的相对位置关系。 1．（24-25九年级下·全国·随堂练习）下列说法正确的有（   ） ①线段a垂直于投影面P，则线段a在投影面P上的正投影是一个点；②长方形的对角线垂直于投影面，则长方形在投影面上的正投影是平行四边形；③正方体的一侧面与投影面平行，则该正方体有4个面的正投影是线段；④圆锥的轴截面与投影面平行，则圆锥在投影面上的正投影是等腰三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024九年级·全国·竞赛）某同学身高，那么这名同学的正投影的长（    ）． A．小于 B．等于 C．大于 D．小于或等于 3．（2023九年级下·浙江·专题练习）如图，正方形纸板在投影面上的正投影为，其中边与投影面平行，与投影面不平行．若正方形的边长为5厘米，，求其投影的面积． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，正方体上面放着一个圆柱，已知正方体的一个侧面平行于投影面，圆柱下底面的中心正对正方体上底面的中心，圆柱的高等于，底面圆的直径为，若． (1)画出该立体图形在投影面P上的正投影； (2)计算正投影的面积． 题型2 平行投影 识别特征是“所有投影线都互相平行”。其投影大小与物体和投影面的距离无关，只与它们的相对角度有关。在阳光下，不同时刻物体的影长和方向变化就是典型的平行投影。解题时，常利用“同一时刻，不同物体的高度与其影长成比例”这一核心性质来解决测量问题。 5．（2025·河北唐山·三模）如图，在大树的右侧有三个台阶，每个台阶的高、宽分别是和．某一时刻，测得台阶在地面上的影子，此时树梢顶点的影子落在台阶上（包含两个端点）．已知大树的底部到台阶的距离，则大树的高度可能是（   ） A． B． C． D． 6．（21-22九年级上·云南文山·期末）如图，阳光下，小亮的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，线段表示旗杆的高，线段表示一堵高墙． (1)请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下形成的影子； (2)如果小亮的身高，他的影子，旗杆的高，旗杆的高与墙的距离，请求出旗杆的影子落在墙上的长度． 7．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，某数学兴趣小组利用树影测量树高．已测出树的影长为，并测出此时太阳光线与地面成角（计算结果精确到，参考数据：）． (1)求树的高度． (2)因水土流失，此时树沿太阳光线方向倾倒．在倾倒过程中，树影长度发生了变化．假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度． 8．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图，小明与同学合作利用太阳光线测量旗杆的高度，身高的小明（）落在地面上的影长为． (1)请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子； (2)若小明测得此刻旗杆落在地面的影长，请求出旗杆的高度． 9．（2025·河北邯郸·二模）如图1是某风力发电机实物图，图2是它在某一时刻太阳光线下的平面示意图，其中，，表示三个风叶，每个风叶长均为米，任意两风叶之间的夹角相等，风力发电机的柱高为米，，为太阳光线，表示三个风叶在太阳光线下的影长．（其中所有点、线均在同一平面内，，，在同一条直线上） (1)当地面时，求的长； (2)若太阳光线与地面的夹角与（1）相同，则的最大值是________米． 10．（24-25九年级上·四川成都·期末）周末小明同学与父亲爬山，在停车场附近看到了一棵银杏树，垂直于地面，满树金灿灿的叶子非常好看，小明同学想测量这棵树的高度，他发现阳光下树的影子恰好落在地面和一斜坡上（如图所示），此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米，斜坡与水平地面所成的锐角为，同一时刻，一根长为1米垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米．（参考数据） (1)求点D到水平地面的距离； (2)求树的高度（结果精确到0.1米）． 11．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）（1）如图1，在直角坐标系中，的顶点都在长度为1的网格纸的格点上，以原点为位似中心，在点的右侧画一个，使它与位似，且相似比为，并直接写出点，的坐标； （2）①如图，婷婷在太阳光下的影子如图所示，在图2-2中，已知为婷婷的影子，请画出小高的影子在墙上部分； ②在图中，已知婷婷的身高为1.5米，她在太阳下的影子长为1米，米，米，直接写出小高的身高为______米． 12．（24-25九年级上·山东青岛·期末）数学实验小组学习了投影后，分别利用阳光和灯光下的影子进行了如下活动：    (1)如图①所示，阳光下在某一时刻，身高的小军刚好站在路灯影子的顶端点处，并做了标记．经测量发现、、三点在同一直线上，此时小军的影子长是，且点距离路灯底端为．求路灯的高； (2)夜晚小军沿所在直线从点走13.5米到点，请在图②中分别画出小军在的灯光照射下、两点处的影子，并说明小军影子的长度变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 13．（24-25九年级上·河南平顶山·期中）为测量学校旗杆的高度，九年级各班运用了多种测量方法． (1)如图1，一班小明在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为__________； (2)如图2，二班小颖站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆消费消费顶部A．小组同学测得小颖的眼睛距地面高度，小颖到镜面距离，镜面到旗杆的距离．据此可得旗杆高度为__________； (3)如图3，三班小亮在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端观测到旗杆顶部A．小组同学测得小亮的眼睛距地面高度，标杆，小王到标杆距离，标杆到旗杆距离，求旗杆的高度． 14．（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． (3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 题型3 中心投影  识别特征是“所有投影线相交于一点（光源）”。其投影大小会受物体与光源、投影面之间距离的影响，即“近大远小”。路灯、台灯下的影子是典型例子。解题核心是利用相似三角形，因为物体及其投影和光源构成了相似模型，通过比例关系可计算物体高度或影长。 15．（2025九年级·浙江金华·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，光源位于点处．木杆两端的坐标分别为，，则木杆在x轴上的影长为（　　） A．5 B．8 C．10 D．12 16．（2025·广东深圳·二模）如图，在一间黑屋子里，用一盏白炽灯照射直角三角板形成影子，三角板始终保持与地面平行，它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），下列说法正确的是（   ）    A．越来越大 B．影子不是直角三角形 C．影子越来越小 D．影子越来越大 17．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为 ． 18．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，木杆和与地面垂直，木杆在路灯O下的影子为，木杆在路灯O下的影子为，已知点D，G，F，H在一条直线上，，，请在图中画出路灯O． 19．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，晚上，王叔叔走在大街上，他发现：当他站在大街两边甲、乙两盏路灯（路灯足够亮）之间，并且自己被两边的路灯照在水平干燥地面上的影子成一直线时，甲灯照射的影子长，乙灯照射的影子长，又王叔叔的身高为，两盏路灯的高度相同，路灯相距，求路灯的高． 20．（2025·山西长治·二模）某天晚上，同学们带上竹竿和卷尺到马路的人行道上测量路对面路灯的高度．因路上设有隔离带，同学们无法直接到达路灯下面．同学们在人行道上将1米长的竹竿直立，并不断移动竹竿的位置，当竹竿在路灯下的影长米时停止移动，并标记为点，然后沿着方向直行2米，即米，在点处直立竹竿，测得此时竹竿的影长米，求路灯的高度．（结果精确到0.1米） 21．（24-25九年级下·江西赣州·阶段练习）如图，小树在路灯的照射下形成投影． (1)此光源（路灯）形成的投影属于________．（填“平行投影”或“中心投影”） (2)已知树高为，树影为，树与路灯的水平距离为，求路灯的高度． 22．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影． 【数学思考】 如图①，夜晚，小明从点经过路灯的正下方沿直线走到点，他的影长随他与点之间的距离的变化而变化，那么表示与之间函数关系的图象大致为______； A． B． C． D． 【解决问题】 如图②，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点处测得自己的影长，沿方向前进到达点处测得自己的影长．已知小明的身高为，求灯杆的高度． 23．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，三根木杆、、竖直立于地平面，点、、在同一条直线上，且每两根木杆之间的距离为6米，即米，木杆、的影子分别为、． (1)在图1、图2两个示意图中，反映阳光下情形的是图 ，反映灯光下情形的是图 ；（填图形序号） (2)请在图1中画出表示木杆的影长的线段； (3)已知木杆长为3.6米，木杆长为2.25米，木杆长为1.5米，在图1中测得木杆、的影长米，求木杆的影长． 24．（2025·广东揭阳·三模）综合与实践  主题：利用投影生成轴对称图形． 素材：一根5米长的木棍倾斜固定在半空，点离地面高度为4米，，之间的水平宽度为4米．如图（1），白天的某一时刻，阳光下（图中虚线为太阳光线）木棍在地面上投影为（点，的对应点分别为，）．如图（2），点的正上方有一路灯，夜晚在路灯的照射下木棍在地面上的投影为（点，的对应点分别为，）． 操作与探究： (1)分别在图（1）、图（2）中画出木棍在地面上的投影和；（用直尺作图，线条用实线） (2)在（1）的条件下，测得米，为验证木棍，投影线，，影长组成的四边形是轴对称图形，请你帮助证明； (3)在（1）的条件下，发现图（2）中木棍，投影线，，影长组成的四边形也是轴对称图形，请求出路灯距地面的高度． 题型4简单几何体的三视图  遵循“主俯长对正，主左高平齐，俯左宽相等”的投影规律。画图时，先定位主视图，再根据规律逐次画出俯视图和左视图。注意观察几何体的特征，如棱柱的棱线、圆柱的轮廓等，并确保所有可见轮廓线用实线，被遮挡但存在的轮廓线用虚线。 25．（2025·河南新乡·模拟预测）西周青铜凤纹尊，为西周中期吴国的青铜器，1976年12月于江苏丹阳司徒公社窖藏出土，现收藏于镇江博物馆．西周青铜凤纹尊是所见吴国早期铸造最为华丽的青铜器．如图为一件凤纹尊，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A．左视图与俯视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与主视图相同 D．三种视图都不相同 26．（2025·安徽淮北·三模）某几何体如图所示，下列各图不是该几何体的三视图的是（    ） A． B． C． D． 27．（2025·广东深圳·二模）数学实验课上，同学们通过下列方式从一个几何体中得到平面图形，其中得到的平面图形是圆形的是（   ） A． B． C． D． 28．（24-25九年级上·全国·假期作业）将一个长方体粉笔盒子去掉一角的图形如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是（   ） A．右视图 B．主视图 C．俯视图 D．左视图 29．（2019·天津和平·二模）如图所示几何体的俯视图是(    )．    A．   B．   C．   D．   30．（19-20九年级上·广东深圳·期末）如图是一段空心的钢管，则它的主视图是（     ） A． B． C． D． 31．（2025·山西朔州·一模）如图1，这是四张除了正面图案不同外，其他都相同的卡片． (1)卡片中图形的俯视图的形状为___________． (2)卡片中图形的主视图如图2所示，求该圆柱的侧面积． (3)将这四张卡片背面朝上混匀，从中随机抽出一张后放回，混匀后再随机抽出一张，求两次抽出的卡片中，主视图都是矩形的概率 题型5简单组合体的三视图  采用“先分解，再组合，逐层画”的方法。先将组合体分解成几个基本几何体，从主视图开始，分别画出每个部分的三视图，注意它们之间的位置关系。尤其关注相邻形体交界处的投影变化，以及是否存在遮挡，正确使用实线和虚线是得分关键。 33．（2024·安徽·模拟预测）由大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图与其他三个不同的是（  ） A． B． C． D． 34．（2021·黑龙江·一模）由五个相同的正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 35．（20-21七年级上·贵州·期末）如图所示的几何体，由4个大小相同的小正方体构成． (1)下面五个平面图形中有三个是从三个方向看到的图形，把看到的图形与正确的观测位置连接起来； (2)已知小正方体的边长为，求这个几何体的表面积． 36．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）一个几何体由多个大小相同的小正方体搭成，看到这个几何体俯视图的形状图如图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数．      (1)请在网格内分别画出这个几何体的主视图和左视图； (2)若小正方体的棱长为，请计算该几何体的体积． 37．（24-25七年级上·全国·期中）如图是由棱长都为1cm的6块小立方块组成的简单几何体． (1)请在方格中画出该几何体从三个方向看到的图形； (2)如果在这个几何体上再添加一些小立方块，并保持从正面看的图和从上面看的图不变，最多可以再添加________块小立方块． 38．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）一个几何体由几个相同的小立方块搭成，从上面和从正面看到的形状如图所示，从上面看到的形状图中，小正方形中的字母表示在该位置小立方块的个数． (1)填空：________，________，________； (2)这个几何体最少由________个小立方块搭成，最多由________个小立方块搭成； (3)当，时，请画出从左面看到的这个几何体的形状图． 39．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）如图是由一些相同的小正方体按一定规律组成的立体图形． (1)用含n的代数式表示第n个图形中小正方体的个数； (2)当时，画出所组成的立体图形的三视图； (3)若小正方体的棱长为，请计算第3个图中的立体图形的表面积． 40．（25-26七年级上·山东济南·阶段练习）在平整的地面上，有一个由个完全相同的小正方体搭成的几何体，如图所示． (1)请画出这个几何体从三个方向看到的形状图； (2)如果在这个几何体上再摆放一个相同的小正方体，并保持这个几何体从上面看和从左面看到的形状图不变，请在图中画出两种添加小正方体后，从正面看到的几何体的形状图． 题型6 由三视图进行计算  此类题考查空间想象与推理能力。首先需根据三视图在脑中还原出几何体的实际形状，特别是“长对正、高平齐、宽相等”所对应的实际尺寸。然后，利用还原出的几何体信息，套用相应的面积或体积公式进行计算。关键是准确地将二维视图信息转化为三维尺寸。 41．（2024·浙江金华·模拟预测）如图是一个直三棱柱的立体图和左视图，则左视图中的值为（    ）． A． B．3 C．4 D．5 42．（2025·山东烟台·一模）小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出如图所示的三视图，则该工件体积为（    ） A． B． C． D． 43．（2025·广东东莞·一模）如图①，一个三阶魔方由27个棱长为2的正方体组成．如图②，把魔方的中间一层转动了．如图③，是魔方转动后的俯视图，则图中线段的长度为 ． 44．（23-24九年级上·山西运城·期中）在一节数学课上，小红画出了某四棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为等腰梯形，已知该四棱柱的侧面积为． (1)三视图中，有一图未画完，请在图中补全； (2)根据图中给出的数据，俯视图中的长度为________； (3)左视图中矩形的面积为________； (4)这个四棱柱的体积为________． 45．（2025·宁夏银川·二模）随着户外露营的兴起，人们对户外帐篷的需求也越来越大．某工厂要制作一批无底帐篷，如图为  设计师设计的帐篷三视图，则该帐篷所需布料的面积为 （结果保留，门也用布料制作 ，接口处损耗不计）． 46．（20-21九年级下·福建龙岩·阶段练习）一透明的敞口正方体容器装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α，（∠CBE＝α，如图1所示），此时液面刚好过棱CD，并与棱BB'交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，三视图及尺寸如图2所示，求当正方体平放（正方形ABCD在桌面上）时，液体的深度． 47．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）某一个周末张明去爸爸的工作室玩，张明发现爸爸桌面上设计的某个零件三视图如下图所示，爸爸见张明对设计图纸如此感兴趣就考了张明如下几个问题，你能帮张明解决这些问题吗？ (1)此物体是 ； (2)请你求出此物体的表面积； (3)如果这个零件是用来支撑圆桌的，在圆桌的正上方有一盏吊灯，在灯光下，圆桌在地板上的投影是面积为的圆．已知圆桌的高度为，圆桌面的半径为，求吊灯距地面的高度． 48．（25-26七年级上·四川达州·阶段练习）长方体的主视图与俯视图如图所示， (1)用一个平面去截该几何体，截面形状可能是___________（填序号）； ①三角形；②四边形；③六边形；④七边形； (2)根据图中标注的数据，求该几何体的体积． 49．（24-25九年级上·河北廊坊·期末）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，十分巧妙．如图1，这是一种简单的鲁班锁，由三根完全相同的四棱柱木条，挖去中间部分，使其内部凹凸啮合，组成外观严丝合缝的十字型几何体，其上下、左右、前后分别对称． (1)图2是这个鲁班锁的主视图、左视图和俯视图的一部分，请将它们补充完整． (2)①若这些四棱柱木条的高为6，底面正方形的边长为2，求这个鲁班锁的体积； ②若这些四棱柱木条的高为，底面正方形的边长为，求这个鲁班锁的表面积．（用含的代数式表示） 50．（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图是一个几何体的三视图（单位：），根据图中所示数据计算这个几何体的表面积是 ． 题型7由视图确定立方体的个数  常用方法是“俯视图建基，主左视图定高”。以俯视图为基础，在其每个方格内标出该位置可能的最高小立方体个数，这个最高值由主视图和左视图在该方向的层数共同决定。最后，在满足所有视图约束的条件下，通过枚举法确定最多或最少的个数。 51．（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）用小立方块搭成的几何体，从正面看和从上面看如下，这样的几何体最多要个小立方块，最少要个小立方块，则等于（    ）． A． B． C． D． 52．（25-26七年级上·山东济南·阶段练习）由若干个相同的小正方体搭建而成的几何体从三个方向看到的形状图如图所示，则这个几何体共有小正方体 个． 53．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)这个几何体是由_____个小正方体组成，请画出这个几何体从三个方向看的图形； (2)如果在这个几何体露在外面的表面喷上红色的漆，每平方厘米用2克，则共需_____克漆； (3)若你手头还有一些相同的小正方体，如果保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加_____个小正方体． 54．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在平整的地面上，用多个棱长都为的小正方体堆成一个几何体． (1)共有______个小正方体； (2)若在几何体表面露出部分不含底面喷漆，求这个几何体喷漆的面积； (3)如果现在你还有一些棱长都为的小正方体，要求保持俯视图和左视图都不变，最多可以再添加______个小正方体． 55．（24-25七年级上·内蒙古包头·阶段练习）在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)这个几何体是由______个小正方体组成，该几何体的体积是______，请用阴影画出这个几何体从三个方向看的图形； (2)如果在这个几何体露在外面的表面喷上红色的漆，每平方厘米用2克，则共需______克漆； (3)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加______个小正方体． 56．（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图是由一些棱长都为1cm的小正方体组合成的简单几何体． (1)请在如图的方格中画出该几何体的俯视图和左视图； (2)该几何体的表面积（含下底面）是______； (3)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持俯视图和左视图不变，那么最多可以再添加____个小立方块． 57．（25-26七年级上·山西太原·阶段练习）问题情境：李老师给同学们布置了一项综合实践任务，利用所学知识为班级制作一些纸盒，用来收纳讲台上的粉笔等物品． (1)同学们就如何制作纸盒展开激烈的讨论，其中小华、小君、小霞分别给出了三种设计方案．你觉得图案____________（填序号）经过折叠能围成正方体纸盒； (2)小颖所在的综合实践小组得到了10个边长都为的正方体纸盒，将它们摆成如图所示的几何体．请在方格中分别画出它的主视图、左视图、俯视图： (3)这个几何体的表面积（含底面）是____________； (4)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图都不变，那么最多可以再添加____________个小正方体． 58．（21-22七年级上·山西运城·期中）（1）一个几何体由一些大小相同的小正方体搭成，如图是从上面看这个几何体的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，请在网格中画出从正面和左面看到的几何体的形状图． 培优综合练 59．（25-26六年级上·山东淄博·阶段练习）一个几何体，是由许多规格相同的小正方体堆积而成的，从左面、上面看到的图如图所示，要摆成这样的图形至少需用 块正方体，最多需用 块正方体． 60．（19-20九年级上·山东青岛·期末）如图是由若干个小正方体组成的．阴影部分是空缺的通道，一直通到对面．这个立体图形由 个小正方体组成． 61．（2021·浙江温州·二模）如图1是一种浴室壁挂式圆形镜面折叠镜，AB，CD，EF可在水平面上转动，连接轴BD分别垂直AB和CD，EF过圆心，点C在EF的中垂线上，且CD＝EF， cm， 如图2是折叠镜俯视图，墙面PI与PQ互相垂直，在折叠镜转动过程中，EF与墙面PI始终保持平行，当点E落在PQ上时，AE＝30cm，此时A，B，F三点共线，则EF＝ cm；将AB绕点A逆时针旋转至AB′，当B'C⊥AB′时，测得点B′与E′到PQ的距离之比B'G：E′H=16：11，则B'G＝ cm． 62．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）如图是由8个小正方体搭成的几何体． (1)网格中已画出从正面看到的形状图，请你利用右边的两个网格画出这个几何体从左面看和从上面看得到的形状图； (2)增加大小相同的小正方体，使得它从上面和左面看到的形状图与原几何体从上面和左面看到的形状图相同，则最多可以增加________个小正方体． (3)若每个小正方形的边长均为2，则上述几何体的体积为________． 63．（2024·江苏南京·中考真题）如图（1），夜晚，小明从路灯的正下方处出发，先沿平路走到处，再上坡到达处．已知小明的身高为m，他在道路上的影长（单位：m）与行走的路程（单位：m）之间的函数关系如图（2）所示，其中，是线段，是曲线． (1)结合的位置，解释点的横坐标、纵坐标的实际意义． (2)路灯的高度是____________m． (3)设的坡角为． ①通过计算：比较线段与线段的倾斜程度． ②当取不同的值时，下列关于曲线的变化趋势的描述； 随的增大而增大；随的增大而减小；随的增大先增大后减小；随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 64．（2025·山西·模拟预测）在数学课上，张老师提出了一个生活中常见的问题，如何将物品搬过直角过道？下课后，数学兴趣小组的成员们就这个问题展开了一系列探究实践，具体如下： 【问题】如何将物品搬过直角过道？ 【情境】如图是一直角过道示意图，、为直角顶点，过道宽度都是，矩形是某物品经过该过道时的俯视图，宽为． 【操作】： 步骤 动作 目标 靠边 将如图中矩形的一边靠在上 推移 矩形沿方向推移一定距离，使点在边上 转弯 如图，将矩形绕点旋转，当线段、线段长度都不大于过道宽度时，可以顺利转弯． 推移 将矩形沿方向继续推移 【探究】： (1)如图，若，，则 ______． (2)在的条件下，思思同学认为该物品可以顺利转过这条直角过道，你赞同思思同学的结论吗？请通过计算说明． (3)如图，物品转弯时被卡住、分别在墙面与上，若，求的长． (4)请直接写出过道可以通过的物品最大长度，即求的最大值______结果保留根号 65．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）（1）一个由小正方体摆成的几何体，无论从正面，还是从左面都可以看到如图所示的图形，那么，最多可以用 个小正方体，最少可以用 个小正方体． （2）一个正方体截去一角后，剩下的几何体有 条棱， 个面， 个顶点．（说明：截去部分的边长都不超过正方体的边长．） （3）如图1，一个边长为2大正方体上截去一个小正方体后，可得到图2的几何体． ①所得几何体的表面积为 ． ②如果图1中大正方体各棱的长度之和比图2中几何体各棱的长度之和少3，那么，所得几何体的体积是 ． 66．（2023九年级·全国·专题练习）甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一些信息： 甲组：如图①，测得一根直立于平地、长为80cm的竹竿的影长为60cm． 乙组：如图②，测得学校旗杆的影长为900cm． 丙组：如图③，测得校园景灯？（灯罩视为圆柱体，灯杆粗细忽略不计）的灯罩部分影长为90cm，灯杆被阳光照射到的部分长为50cm，未被照射到的部分长为32cm． (1)请你根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度． (2)请根据甲、丙两组得到的信息，解答下列问题： ①求灯罩底面半径的长； ②求从正面看灯罩得到的图形的面积和从上面看灯罩得到的图形的面积． 67．（20-21九年级上·山东青岛·期末）小明是魔方爱好者，他擅长玩各种魔方，从二阶魔方到九阶魔方，他都能成功复原．有一天，小明突然想到一个问题，在九阶魔方中，到底含有多少个长方体呢？为此，我们先来解决这样一个数学问题：如图，图1是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．这个几何体中一共包含多少个长方体（包括正方体）？（参考公式：1+2+3…+n）． 问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论． 探究一：如图2，该几何体有1个小立方体组成，显然，该几何体共有1个长方体．如图3，该几何体有2个小立方体组成，那么它一共包含1+2＝3个长方体．如图4，该几何体有3个小立方体组成，那么它一共包含 　 　个长方体．如图5，该几何体﹣共包含210个长方体，那么该几何体共有 　 　个小立方体组成． 探究二：如图6，该几何体有4个小立方体组成，那么它一共包含（1+2）×（1+2）＝9个长方体．如图7，该几何体有6个小立方体组成，那么它一共包含 　 　个长方体．如图8，该几何体共有2m个小立方体组成，那么该几何体一共有 　 　个长方体． 探究三：如图1，该几何体共有个a×b×c小立方体组成，那么该几何体共有 　 　个长方体． 探究四：我们现在可以解决小明开始的问题了．在九阶魔方（即a＝b＝c＝9）中，含有 　 　个长方体． 探究五：聪明的小明在学习了三种视图后，又提出一个新的问题：在图1中，若a＝6，b＝4，c＝5，如果拿走一些小立方体后，剩下几何体的三种视图与原图1的三种视图完全一样，那么最多可以拿走 　 　个小立方体；此时，剩下的几何体的表面积是 　 　． 试卷第20页，共79页 28 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $