精品解析：河南省华师联盟2025-2026学年高三上学期10月质量检测数学试题

2026届高三华师联盟10月质量检测考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. （－1，5） B. C. D. 2. 已知命题p：“”，则的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 以下函数是奇函数且在单调递减的是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数在处取得极大值，则实数（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 5. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 5 6. 若命题，为真命题，则实数x取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则“”是“”成立的（ ） A 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数（，且）在上为单调函数，则取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列正确是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的定义域为，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数是奇函数 C. 若，则 D. 当时，，则在上单调递增 11. 设是函数的三个零点，则（ ） A. B. C 若成等差数列，则成等比数列 D. 若成等差数列，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 13. 已知，，则的取值范围为________． 14. 已知函数有唯一的零点，则实数________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 设全集，已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数a的取值范围． 16. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并证明； （2）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 17. 已知二次函数． （1）若的解集为，分别求a，b的值； （2）解关于x的不等式． 18. 设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若是增函数，求的值； （3）当时，设为的极大值点，证明：． 19. 已知函数的定义域为，其导函数为，且. （1）求的单调区间与最大值； （2）已知关于的方程恰有两个实数根，若，求的取值范围； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三华师联盟10月质量检测考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. （－1，5） B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式可化简集合A，由正弦函数值域可化简集合B，然后由交集定义可得答案. 【详解】由解得，则， 又由，可得， 所以. 故选：B． 2. 已知命题p：“”，则的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由全称量词命题否定定义可得答案. 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，所以的否定为，. 故选：C． 3. 以下函数是奇函数且在单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】逐项判断函数单调性与奇偶性即可得. 【详解】对A：的定义域为，不为奇函数，故A错误； 对B：令，则，故， 又定义域为，故为偶函数，故B错误； 对C：当时，， 则在上单调递增，故C错误； 对D：令，则， 有，又定义域为，故为奇函数， 当时，，单调递减符合题意，故D正确. 故选：D. 4. 若函数在处取得极大值，则实数（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先计算导函数，利用极大值的定义得出参数，再验证即可. 【详解】将原函数求导得， 因函数在处取得极大值，则，解得或． 当时，． 令，得或；令，得． 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，满足题意． 当时，． 令，得或；令，得． 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极小值，不满足题意，故， 故选:B． 5. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】应用“1”的代换化将目标式化为，再由基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】由题意得， 由基本不等式得， 当且仅当，即，联立可得时取等号， 故的最小值为5． 故选：D 6. 若命题，为真命题，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，所以是关于a的一次函数，根据一次函数的性质，列出不等式组，即可得答案. 【详解】令，所以是关于a的一次函数， 因为，都成立， 所以，解得． 故选：D 7. 已知，则“”是“”成立的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由题意上式等价于，设，求出，所以在区间上单调递增，可知，再结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】因为，因为，上式等价于， 设，则， 当时，，所以在区间上单调递增，所以， 所以能推出，必要性成立， 已知， 当时，因为函数在区间上单调递增， 所以，所以，所以， 故能推出，充分性成立. 故“”是“”成立的充要条件. 故选：A. 8. 已知函数（，且）在上为单调函数，则取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性结合二次函数的单调性、复合函数的单调性列式求出的范围，结合对数运算即可求解. 【详解】因为的对称轴为直线，且开口向上， 所以当时，必单调递增，有，可得， 又在上为单调函数，所以在时单调递增， 因为函数在时单调递减， 所以在单调递减； 所以，解得， 又由， 又由，有，有． 故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质逐项判断即可. 【详解】对于A选项，由，有，故A选项错误； 对于B选项，由，有，故B选项正确； 对于C选项，由，有，故C选项正确； 对于D选项，由，有，有，故D选项错误． 故选：BC． 10. 已知函数的定义域为，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数是奇函数 C. 若，则 D. 当时，，则在上单调递增 【答案】AD 【解析】 【分析】利用赋值法可判断；利用赋值法可得，取，结合奇函数、偶函数的定义可判断；利用赋值法可判断；设，则，利用单调性定义可判断； 【详解】对于：取得，解得，故正确； 对于：取得，解得， 取得，故是偶函数， 所以且定义域关于原点对称， 所以是偶函数，故错误； 对于：由，故错误； 对于：设，则， ， 所以在上单调递增，故正确； 故选：. 11. 设是函数的三个零点，则（ ） A. B. C. 若成等差数列，则成等比数列 D. 若成等差数列，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】参变分离后构造函数，结合导数研究其单调性后可得A、B；结合等差、等比数列性质与指数运算性质计算可得C、D. 【详解】对A、B：令，则，设， 则，故当时，， 当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 又时，，时，，时，， 且，故，且，故A、B正确； 对C、D：由题意可得，所以， 由于成等差数列，则，故， 则，所以，故成等比数列，故C正确； 则，化简有，则， 解得或， 又，则，故，则， 又，故舍去， 故，又， 所以，故D错误 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 【答案】27 【解析】 【分析】由指对互换可得，再由指数幂的运算性质即可得出答案. 【详解】易知， 所以，所以. 故答案为：. 13. 已知，，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用不等式的性质，即可求解. 【详解】因为，又，， 则，所以， 故答案为：． 14. 已知函数有唯一的零点，则实数________． 【答案】1 【解析】 【分析】换元，根据偶函数，可得零点为0，进而得或，分别代入或到检验即可求解. 【详解】令，有， 由函数，所以是偶函数， 若函数有唯一的零点，可得函数也唯一的零点，这个零点为，有，解得或． 当时，，当时，单调递增，且，而对勾函数在上单调递增故在时单调递增，又函数单调递增，故在时单调递增，因此函数的减区间为，增区间为，可知符合题意． 当时，，又由，，可得函数在区间上还有一个零点，不符合题意．故． 故答案为：1 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 设全集，已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的补集、并集运算即可求解； （2）分和来讨论，结合题意列式求解即可. 【小问1详解】 由，有， 又由，有 【小问2详解】 由， 则①当时，由，解得； ②当时，或， 解得． 由上知，若，则实数a的取值范围为． 16. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并证明； （2）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）是奇函数，证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）应用奇偶性的定义判定证明函数的奇偶性即可； （2）根据解析式判断函数的单调性，再利用奇偶性、单调性得对一切成立，最后应用分类讨论及二次函数的性质列不等式求参数范围. 【小问1详解】 是奇函数，证明如下， 的定义域为，关于原点对称， ， 是奇函数； 【小问2详解】 是增函数， 是上的减函数， 原不等式可化， 即对一切成立， ①当时，恒成立，符合题意； ②当时，则有，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 17. 已知二次函数． （1）若的解集为，分别求a，b的值； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1）， （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由题可得，b是方程的根，结合题意列式即可求解； （2）由题可得，分类讨论两根的大小关系，根据含参一元二次不等式的解法求解即可. 【小问1详解】 由的解集为，则，b是方程的根，且． 由，解得；又由，解得． 所以，． 【小问2详解】 由二次函数，知， 不等式整理得，即， 当时，不等式等价于， 当，即时，解得或； 当，即时，解得； 当，即时，解得或； 当时，不等式等价于，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 18. 设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若是增函数，求的值； （3）当时，设为的极大值点，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出函数在时的导数，进而得到切线斜率，再结合切点坐标求出切线方程； （2）根据函数是增函数得出其导数恒大于等于，通过构造新函数求出的值； （3）先求出函数的导数，根据导数的零点确定极大值点，再通过极大值点的性质证明. 【小问1详解】 当时，， 易知， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． 【小问2详解】 ，不妨设， 若是增函数，即，则，解得， 当时，， 所以在单调递减，在单调递增，， 当时，单调递增， 当时，单调递增， 所以单调递增，所以． 【小问3详解】 ， 因为在上单调递增，所以存在唯一， 使得， 所以， 不妨设， 所以单调递减，所以， 所以． 19. 已知函数的定义域为，其导函数为，且. （1）求的单调区间与最大值； （2）已知关于的方程恰有两个实数根，若，求的取值范围； （3）证明：. 【答案】（1）在单调递增，在单调递减，最大值为 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对求导，得出的单调性，结合最值的定义即可得出答案； （2）设，代入，可将化简为，设，对求导，得出的单调性，证得，即可求出答案； （3）设，求，研究的单调性和最值可得，再结合的单调性即可证明. 【小问1详解】 ，令，解得， 所以当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以当时，取得最大值， 所以在单调递增，在单调递减，的最大值为. 小问2详解】 依题意，，两式相除可得，， 不妨设，所以，所以， 所以， 设，则， 设，则， 所以单调递增，所以， 所以单调递增，所以. 所以的取值范围为. 【小问3详解】 设 设，则， 设，则， 所以单调递减，， 所以单调递减， 因为， 所以在单调递增，在单调递减， 所以， 由（1）知，，所以函数单调递减， 所以，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $