精品解析：吉林省长春市长春净月高新技术产业开发区四校联考2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

2025—2026学年第一学期 华岳学校八年级月综合练习（数学）试题 本试卷包括三道大题，共24道小题，共8页，满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位下降记作，那么水位上升记作（　　） A. B. C. D. 2. 2024年，华为公司上市的手机采用了制程技术的手机芯片，系列的每颗芯片均具备国产能力，标志着华为手机实现了芯片100%国产化．0.000000007这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确是（ ） A. B. C. D. 4. 满足下列条件时，是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B、E、C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC工程人员这种操作方法的依据是（　　） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 垂线段最短 D. 等腰三角形“三线合一” 6. 如果把中的x与y都扩大为原来的10倍，那么这个分式的值（ ） A. 不变 B. 是原来的50倍 C. 是原来的10倍 D. 是原来的 7. 下列尺规作图求作上点D，使得的周长等于正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在长方形中，．将长方形沿对角线折叠，点D落在了位置，与相交于点E．则的长等于（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 比较大小______3（填“”或“”）． 10. 分解因式：__________． 11. 计算：__________． 12. 如图，社区有一块长为米，宽为米的长方形空地，物业公司计划在空地内修一条底边宽度为米的平行四边形小路，其余部分种植草坪，则草坪面积为______平方米．（用含、的代数式表示） 13. 如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是________． 14. 如图，在中，，、为的角平分线，与相交于点，平分，有下列四个结论：①；②；③；④；⑤若，则，上述结论中，正确结论的序号有__________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 我市为打造百年历史名街——新民大街，通过拆违建绿、见缝插绿等方式在其沿线打造多个小而美的“口袋公园”．在建设过程中需要A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，且用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株，求B种绿植单价． 18. 如图，点在线段上，点在点右侧，，，是等边三角形． （1）求证：； （2）若，求度数． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点在格点上．要求仅用无刻度的直尺作图． （1）在图①中，画出的中点； （2）在图②中，画出线段的垂直平分线，且、在格点上； （3）在图③中，画一个以为腰且面积最大等腰三角形，且在格点上． 20. 某校为落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解八年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了八年级若干名学生进行调查（每人必选且只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次随机调查的学生人数为 人； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中的值为 ． 21. 乌鲁木齐河发源于天山格尔峰一号冰川，全长，流经市区的主要部分叫做和平渠，渠两岸通常是附近居民散步休闲的好去处，为了测量该渠平行两岸的宽度，两个数学研究小组设计了不同的方案，如下表： 课题 测量和平渠某段渠宽 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 测量方案 测量方案观测者在渠南岸找到一点，正好位于对岸树的正南方向；从点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 观测者在渠南岸找到一点，正好位于对岸树的正南方向：从点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程，到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上． 测量示意图 （1）第一小组测得米，则渠宽为______米； （2）第二小组认为只要测得就能得到渠宽．你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由 22. 教材呈现：如图是八年级上册数学教材第96页的部分内容． 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴，如图12.3－4，是的平分线，P是上任一点，作，，垂足分别为点D和点E，将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有： 角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图12.3－4，，点P在上，，，垂足分别D，E，求证：． 定理证明：结合图1，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用：如图2，的周长是12，，分别平分和，点D，若，则的面积为__________． 23. 【阅读理解】 题目：若，求的值． 解：观察发现，与中的与互为相反数， 所以我们不妨设，． ，． ，， ． 我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想． 【理解应用】 （1）若，则__________． （2）若满足，求值． 【拓展应用】 如图，在中，，，点是边上的点，在边上取一点，使，设．分别以、为边在外部作正方形和正方形，连结．若，的面积为，直接写出正方形和正方形的面积和． 24. 如图，在等腰直角三角形中，，点D为中点．点P从点A出发，以每秒2个单位的速度向终点B运动．当点P不与点A、B重合时，过点P作线段的垂线，交折线于点E，以线段为边向右作正方形，设与正方形重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t． （1）用含t的代数式表示线段的长度； （2）当点F落在线段上时，求t的值； （3）用含t的代数式表示重叠部分的面积S； （4）连结，当线段所在直线与的边垂直时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期 华岳学校八年级月综合练习（数学）试题 本试卷包括三道大题，共24道小题，共8页，满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位下降记作，那么水位上升记作（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，正负数是一对具有相反意义的量，若水位下降用“”表示，那么水位上升就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：如果水位下降记作，那么水位上升记作， 故选：B． 2. 2024年，华为公司上市的手机采用了制程技术的手机芯片，系列的每颗芯片均具备国产能力，标志着华为手机实现了芯片100%国产化．0.000000007这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：0.000000007这个数用科学记数法表示为． 故选：C． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方、积的乘方、同底数幂相乘除．熟练掌握幂的乘方和积的乘方、同底数幂乘除运算法则是解题的关键． 幂的乘方、积的乘方、同底数幂乘除法运算法则逐项计算即可求解． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算正确，故此选项符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 4. 满足下列条件时，是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，熟知以上知识是解题的关键． 分别根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一解答即可． 【详解】解：A、， ， 不是直角三角形，故此选项不符合题意； B、，，，， 不是直角三角形，故此选项不符合题意； C、，， ， 不是直角三角形，故此选项不符合题意； D、， ∴设，则， ∴， 是直角三角形，故此选项符合题意， 故选：D． 5. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B、E、C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC工程人员这种操作方法的依据是（　　） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 垂线段最短 D. 等腰三角形“三线合一” 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵AB＝AC，BE＝CE， ∴AE⊥BC， 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”是解题的关键． 6. 如果把中的x与y都扩大为原来的10倍，那么这个分式的值（ ） A. 不变 B. 是原来的50倍 C. 是原来的10倍 D. 是原来的 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，要熟练掌握，解答此题的关键是分别判断出分式的分子、分母的变化情况． 首先分别判断出x与y都扩大为原来的10倍后，分式的分子、分母的变化情况，然后判断出这个代数式的值和原来代数式的值的关系即可． 【详解】解：∵x与y都扩大为原来的10倍， ∴扩大为原来的10倍，扩大为原来的10倍， ∴的值不变， 故选A． 7. 下列尺规作图求作上点D，使得的周长等于正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当的垂直平分交于点D时，，然后证明的周长等于，即可进行判断． 【详解】解：当的垂直平分交于点D时， ∴， ∴的周长． 故选：B． 【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 8. 如图，在长方形中，．将长方形沿对角线折叠，点D落在了位置，与相交于点E．则的长等于（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，勾股定理．设，则，根据题意可证得，可得．在中，根据勾股定理可得到关于x的方程，求解即可得到答案． 【详解】解：设，则． 根据图形折叠的性质得：． ∵四边形为长方形， ∴． ∴． 在和中 ∵， ∴． ∴． 在中， 即． 解得：． ∴． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 比较大小______3（填“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，先估算的大小，即可解答，掌握实数的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： ． 10. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提取公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．先提公因式2，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 11. 计算：__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，二次根式的化简，掌握相关运算法则是解题关键． 先计算零指数幂，负整数指数幂，二次根式的化简，再计算加减法即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，社区有一块长为米，宽为米的长方形空地，物业公司计划在空地内修一条底边宽度为米的平行四边形小路，其余部分种植草坪，则草坪面积为______平方米．（用含、的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用，解题关键是能正确理解题意用、表示出草坪的面积．根据题意用长方形的面积减去平行四边形的面积，表示出草坪的面积再化简即可解答． 【详解】解：（平方米）， 故答案为：． 13. 如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．过点作于点，摆绳与地面的垂点为，由勾股定理可得，进而得到，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂点为， 由题意可知，，，， 在中，， ， 与成角， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即小丽在处时距离地面的高度是， 故答案为： 14. 如图，在中，，、为的角平分线，与相交于点，平分，有下列四个结论：①；②；③；④；⑤若，则，上述结论中，正确结论的序号有__________． 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】根据可对①进行判断；根据三角形全等的判定方法中必须有边的参与可对②进行判断；根据“”证明，，可对③进行判断；根据全等三角形的判定方法可对④进行判断；根据等边三角形的判定及性质得出，，，利用“”证明，结合，，可对⑤进行判断． 【详解】解：，、为的角平分线， ，， ， ，故①正确； 在和中，，但没有相等的边，则和不一定全等， ，故②错误； ，， 平分， ， 和中， ， ， ， 同理可得：， ， ，故③正确； 根据题意不能得到，故④错误； ，， ， ， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， 又，， ， ，故⑤正确； 综上，正确的结论是①③⑤． 故答案为：①③⑤． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的定义，等边三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，掌握相关运算法则是解题关键．先计算同底数幂乘法和幂的乘方，再计算同底数幂除法，即可得解． 【详解】解： ． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．先对括号内通分计算，再将除法化为乘法约分化简，最后代入计算求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 17. 我市为打造百年历史名街——新民大街，通过拆违建绿、见缝插绿等方式在其沿线打造多个小而美的“口袋公园”．在建设过程中需要A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，且用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株，求B种绿植单价． 【答案】B种绿植单价为15元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设B种绿植单价为元，则A种绿植单价为元，根据用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株建立方程求解即可． 【详解】解：设B种绿植单价为元，则A种绿植单价为元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：B种绿植单价为15元． 18. 如图，点在线段上，点在点右侧，，，是等边三角形． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，，根据平行线的性质得出，证明，根据证明三角形全等即可； （2）根据三角形全等的性质得出，根据三角形外角的性质求出． 【小问1详解】 证明：等边三角形， ，， ∵， ， ， 又， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点在格点上．要求仅用无刻度的直尺作图． （1）在图①中，画出的中点； （2）在图②中，画出线段的垂直平分线，且、在格点上； （3）在图③中，画一个以为腰且面积最大的等腰三角形，且在格点上． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题四格点作图题，考查了全等三角形的应用，等腰三角形的定义，勾股定理，根据要求正确作图即可． （1）取格点、，利用全等三角形的性质可得，即点为所求作； （2）取格点、、、，利用全等三角形的性质可得，，即为所求作； （3）利用勾股定理找出与相等的线段或，再取面积最大时的位置即可． 【小问1详解】 解：如图①，点即为所求作； 【小问2详解】 解：如图②，即为所求作； 【小问3详解】 解：如图③，等腰三角形（或）即为所求作； 20. 某校为落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解八年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了八年级若干名学生进行调查（每人必选且只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次随机调查学生人数为 人； （2）补全条形统计图； （3）扇形统计图中的值为 ． 【答案】（1）60 （2）补全条形统计图 （3）25 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图相结合，通过部分实际数据和占比求总量，求条形统计图和扇形统计图中的数据，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）利用园艺的人数除以其百分比即可得出总量； （2）求出电工人数补全条形统计图即可； （3）利用厨艺人数除以总数即可得出百分比． 【小问1详解】 解：（人） ∴本次随机调查的学生人数为60人， 故答案为：60； 【小问2详解】 解：补全条形图如下： 电工人数为：（人）； 【小问3详解】 解：厨艺人数百分比为：， ∴的值为25， 故答案为：25． 21. 乌鲁木齐河发源于天山格尔峰一号冰川，全长，流经市区的主要部分叫做和平渠，渠两岸通常是附近居民散步休闲的好去处，为了测量该渠平行两岸的宽度，两个数学研究小组设计了不同的方案，如下表： 课题 测量和平渠某段渠宽 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 测量方案 测量方案观测者在渠南岸找到一点，正好位于对岸树的正南方向；从点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 观测者在渠南岸找到一点，正好位于对岸树的正南方向：从点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程，到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上． 测量示意图 （1）第一小组测得米，则渠宽为______米； （2）第二小组认为只要测得就能得到渠宽．你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由 【答案】（1）8 （2）可行，证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可得，，然后利用三角形的外角性质可得，从而利用等角对等边可得米，即可解答． （2）根据题意可得，，从而可得，然后利用全等三角形的性质可得，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴米， ∴河宽为米； 【小问2详解】 解：我认为第二小组的方案可行， 证明：由题意得， ∴， ∴， ∴只要测得就能得到河宽． 22. 教材呈现：如图是八年级上册数学教材第96页的部分内容． 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴，如图12.3－4，是的平分线，P是上任一点，作，，垂足分别为点D和点E，将沿对折，我们发现与完全重合．由此即有： 角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图12.3－4，，点P在上，，，垂足分别为D，E，求证：． 定理证明：结合图1，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用：如图2，的周长是12，，分别平分和，点D，若，则的面积为__________． 【答案】定理证明：见解析；定理应用：18． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理是解题的关键； 定理证明：由题意易得，然后可得，进而问题可求证； 定理应用：连接，过点O分别作，垂足分别为E、F，则有，然后根据三角形的面积公式可进行求解． 【详解】定理证明：证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 定理应用：连接，过点O分别作，垂足分别为E、F，如图所示： ∵，分别平分和，点D，， ∴， ∴， ∵的周长是12，即， ∴； 故答案为18． 23. 【阅读理解】 题目：若，求值． 解：观察发现，与中的与互为相反数， 所以我们不妨设，． ，． ，， ． 我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想． 【理解应用】 （1）若，则__________． （2）若满足，求的值． 【拓展应用】 如图，在中，，，点是边上的点，在边上取一点，使，设．分别以、为边在外部作正方形和正方形，连结．若，的面积为，直接写出正方形和正方形的面积和． 【答案】；；拓展应用： 【解析】 【分析】本题考查了换元法、完全平方公式的应用．解决本题的关键是利用完全平方公式把代数式进行变形求值． 【理解应用】设，，从而可得，，根据求出结果； 设，，从而可得，，根据完全平方公式进行变形可得，所以可得，从而可求； 【拓展应用】根据已知可知，，根据的面积为，可得，设，，可得、，利用完全平方公式进行变形可得：． 【详解】【理解应用】解：设，， 则，， ， ， 故答案为：； 设，， 则， ， ， ， ， ， 解得：， ； 【拓展应用】解：，，， ，， ， ， ， 设，， 则，， ． 24. 如图，在等腰直角三角形中，，点D为中点．点P从点A出发，以每秒2个单位的速度向终点B运动．当点P不与点A、B重合时，过点P作线段的垂线，交折线于点E，以线段为边向右作正方形，设与正方形重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t． （1）用含t的代数式表示线段的长度； （2）当点F落在线段上时，求t的值； （3）用含t的代数式表示重叠部分的面积S； （4）连结，当线段所在直线与的边垂直时，直接写出t的值． 【答案】（1）当时，；当时， （2） （3）当时，；当 时，；当时， （4）或2或1 【解析】 【分析】（1）分点在线段和在线段上两种情况进行讨论，利用等腰直角三角形的性质进行求解即可； （2）根据题意，分别用含的代数式表示出，利用进行求解即可； （3）分，，三种情况讨论，利用面积公式进行计算即可； （4）分，三种情况进行讨论，画出相应图形，根据正方形和等腰直角三角形的性质，得到线段之间的等量关系进行求解即可． 【小问1详解】 ∵等腰直角三角形， ∴， ∵，点为中点， ∴， 当时，点在上， ∵，， ∴， 当时，点在上时， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上所述：当时，；当时，； 【小问2详解】 当点上时，点在上，如图： ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 当时，正方形在的内部， ∴； 当时，如图：设交于点， ∵， ∴ ∴， ∴ ； 当时，如图： ， ； 综上所述：当时，；当 时，；当时，； 【小问4详解】 当时，如图： 则：， ∴， ∴， 解得﹔ 当时，此时在线段上，且是正方形的对角线， ∵， 又∵， ∴点与点重合， ∴， ∴； 当时，此时在直线上，与点重合，如图 ∴， ∴， ∴ 综上所述：的值为或2或1． 【点睛】本题考查几何的综合应用．重点考查了等腰直角三角形和正方形的性质，利用分类讨论和数形结合的思想进行求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $