第16讲 假设法解题（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-五年级奥数培优讲义

五年级奥数培优讲义：第16讲 假设法解题 知识点梳理 一、核心概念与思路 1.基本概念 假设法是通过对题中未知量作出假设（如假设未知量为某一具体值，或假设全部是某一种量），将复杂数量关系转化为简单关系，再根据假设与实际的差异进行调整，从而求解未知量的解题方法。 2.关键量 假设量：假设的未知量数值（如假设全是鸡的数量）； 实际量：题目已知的总量（如总头数、总脚数、总钱数等）； 差异量：假设情况下的总量与实际总量的差； 单量差异：单个未知量在假设与实际情况下的差（如每只兔比鸡多的脚数）。 3. 核心思路 假设：根据题意假设某一未知量为特定值（或假设全部是某一种量）； 比较：计算假设总量与实际总量的差异； 调整：用“总差异÷单量差异”求出被假设量的实际数量； 求解：根据求出的量计算其他未知量。 二、核心题型与技巧 题型1：鸡兔同笼型（已知总头数和总脚数） 技巧：假设全是鸡（或全是兔），计算假设脚数与实际脚数的差异，用“总差异÷单只脚数差异”求另一量数量。 若假设全是鸡：兔数=（实际总脚数-假设总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）； 若假设全是兔：鸡数=（假设总脚数-实际总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）。 例：鸡兔同笼，头共35个，脚共94只。假设全是鸡，脚数=35×2=70只，总差异=94-70=24只，单只差异=4-2=2只，兔数=24÷2=12只，鸡数=35-12=23只。 题型2：盈亏问题型（分配物品，盈或亏） 技巧：假设分配标准统一，根据“总差异÷两次分配差=份数（人数或分配对象数）”求解。 一次盈、一次亏：份数=（盈+亏）÷两次分配差； 两次盈：份数=（大盈-小盈）÷两次分配差； 两次亏：份数=（大亏-小亏）÷两次分配差。 例：小朋友分糖果，每人分5颗多10颗，每人分7颗少6颗。总差异=10+6=16颗，分配差=7-5=2颗，人数=16÷2=8人，糖果数=5×8+10=50颗。 题型3：和差倍问题中的假设（已知和差与倍数关系） 技巧：假设倍数关系成立（如假设乙数是甲数的3倍），计算假设和（或差）与实际和（或差）的差异，用“差异÷（倍数-1）”求出一倍数。 例：甲、乙两数和是30，甲数比乙数的2倍多3。假设甲数是乙数的2倍，则和=30-3=27，乙数=27÷(2+1)=9，甲数=30-9=21。 题型4：年龄问题中的假设（年龄差不变） 技巧：假设两人年龄按题目倍数关系增长，利用“年龄差不变”列等式求解（实际年龄差=假设年龄差）。 例：今年爸爸40岁，儿子10岁。假设x年后爸爸年龄是儿子的3倍，则40+x=3×(10+x)，解得x=5（即5年后）。 题型5：行程问题中的假设（速度或时间假设） 技巧：假设速度或时间为已知量，根据“路程=速度×时间”及路程差异列等式求解。 例：甲、乙从A地到B地，甲每小时行10km，乙每小时行8km，甲比乙早到1小时。假设乙行完全程时间为t小时，则10×(t-1)=8t，解得t=5，A、B距离=8×5=40km。 题型6：两种量的假设（如不同价格的商品） 技巧：假设全是某一种商品（如单价低的），计算总价差异，用“总差异÷单价比差=另一商品数量”。 例：买5元钢笔和3元圆珠笔共10支，花了42元。假设全是圆珠笔，总价=3×10=30元，总差异=42-30=12元，单价比差=5-3=2元，钢笔数=12÷2=6支，圆珠笔=10-6=4支。 三、常见错误提醒 1.差异计算错误：如鸡兔同笼中假设全是鸡，实际脚数比假设多，误算为“假设比实际多”，导致差异符号错误； 2.忘记调整差异：只计算假设与实际的差异，未用“总差异÷单量差异”求未知量，直接将假设量当作结果； 3.混淆假设对象：假设全是A，却用差异求A的数量（正确应为求B的数量）； 4.盈亏问题分配差错误：如“每人分5颗多10颗，每人分7颗少6颗”，误将分配差算为7+5=12（正确应为7-5=2）； 5.年龄问题忽略年龄差不变：假设年龄增长时，误将年龄倍数当作固定值，未考虑年龄差始终不变。 例题讲解 一、鸡兔同笼型 例题1：鸡兔同笼，共有头48个，脚132只，求鸡和兔各有多少只？ 答案：鸡30只，兔18只 解析：假设全是鸡，则脚数=48×2=96只，实际脚数比假设多132-96=36只。每只兔比鸡多4-2=2只脚，故兔数=36÷2=18只，鸡数=48-18=30只。 跟踪练习1：动物园里有龟和鹤共20只，龟的腿和鹤的腿共56条，龟和鹤各有多少只？ 答案：龟8只，鹤12只 解析：假设全是鹤，腿数=20×2=40条，差异=56-40=16条，每只龟比鹤多2条腿，龟数=16÷2=8只，鹤数=20-8=12只。 二、盈亏问题型 例题2：学校给新生分配宿舍，若每个房间住12人，则34人没有位置；若每个房间住14人，则空出4个房间。求学生人数和宿舍间数。 答案：学生574人，宿舍45间 解析：“空出4个房间”即少14×4=56人（亏56人），属于“盈34，亏56”。总差异=34+56=90，分配差=14-12=2，宿舍间数=90÷2=45间，学生人数=12×45+34=574人。 跟踪练习2：老师分练习本，每人分4本多8本，每人分6本少4本，求学生人数和练习本数。 答案：学生6人，练习本32本 解析：盈8本，亏4本，总差异=8+4=12本，分配差=6-4=2本，学生人数=12÷2=6人，练习本数=4×6+8=32本。 三、和差倍问题中的假设 例题3：甲、乙两数之和是80，甲数比乙数的3倍少4，求甲、乙两数各是多少？ 答案：甲59，乙21 解析：假设甲数是乙数的3倍，则两数和=80+4=84，乙数=84÷(3+1)=21，甲数=80-21=59。 跟踪练习3：果园里苹果树和梨树共150棵，苹果树比梨树的2倍多15棵，苹果树和梨树各多少棵？ 答案：苹果树105棵，梨树45棵 解析：假设苹果树是梨树的2倍，则和=150-15=135棵，梨树=135÷(2+1)=45棵，苹果树=150-45=105棵。 四、年龄问题中的假设 例题4：今年爸爸45岁，儿子15岁，几年前爸爸的年龄是儿子的4倍？ 答案：5年前 解析：年龄差=45-15=30岁（不变）。假设x年前爸爸年龄是儿子的4倍，则儿子年龄=15-x，爸爸年龄=45-x，45-x=4×(15-x)，解得x=5（即5年前）。 跟踪练习4：今年爷爷64岁，孙子12岁，几年后爷爷年龄是孙子的5倍？ 答案：1年后 解析：年龄差=64-12=52岁，假设x年后爷爷年龄是孙子的5倍，12+x=(64+x)÷5，解得x=1（即1年后）。 五、行程问题中的假设 例题5：一辆汽车从A地到B地，原计划每小时行60千米，实际每小时行75千米，结果提前2小时到达，求A、B两地的距离。 答案：600千米 解析：假设原计划时间为t小时，实际时间=t-2小时，路程相等：60t=75(t-2)，解得t=10小时，距离=60×10=600千米。 跟踪练习5：小明从家到学校，若每分钟走50米则迟到3分钟，若每分钟走60米则提前2分钟，求家到学校的距离。 答案：1500米 解析：假设准时到校时间为t分钟，50(t+3)=60(t-2)，解得t=27分钟，距离=50×(27+3)=1500米。 六、两种量的假设 例题6：商店购进5角和1元的邮票共40张，总价值32元，求5角和1元的邮票各多少张？ 答案：5角16张，1元24张 解析：假设全是5角邮票，总价=0.5×40=20元，差异=32-20=12元，单张差异=1-0.5=0.5元，1元邮票数=12÷0.5=24张，5角邮票数=40-24=16张。 跟踪练习6：学校买篮球和足球共12个，花了540元，篮球每个50元，足球每个40元，篮球和足球各买了多少个？ 答案：篮球6个，足球6个 解析：假设全是足球，总价=40×12=480元，差异=540-480=60元，单价比差=50-40=10元，篮球数=60÷10=6个，足球数=12-6=6个。 提升练习 1.： 鸡、兔、三脚猫共40只，共有脚118只。已知鸡的数量是兔子的2倍，求鸡、兔、三脚猫各有多少只？ 答案： 鸡4只，兔2只，三脚猫34只。 解析： 核心思路： 由于鸡的数量是兔子的2倍，可将2只鸡和1只兔看作一组“组合动物”。 假设： 设兔子有x只，则鸡有2x只，三脚猫有(40 - x - 2x) = (40 - 3x)只。 计算总脚数： 鸡脚数 + 兔脚数 + 三脚猫脚数 = 22x + 4x + 3*(40 - 3x) = 4x + 4x + 120 - 9x = 120 - x。 根据实际总脚数列方程： 120 - x = 118 → x = 2。 求解： 兔子数量 x = 2 只。 鸡的数量 2x = 4 只。 三脚猫数量 40 - 3x = 40 - 6 = 34 只。 检验： 42 + 24 + 34*3 = 8 + 8 + 102 = 118 只脚。正确。 2.： 蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现有三种昆虫共20只，共有腿128条，翅膀22对。问：蜘蛛、蜻蜓、蝉各有多少只？ 答案： 蜘蛛4只，蜻蜓6只，蝉10只。 解析： 第一步：区分腿，求出蜘蛛数量（假设法）。 蜻蜓和蝉都有6条腿，可看作“6腿昆虫”。蜘蛛有8条腿。 假设20只全是“6腿昆虫”，总腿数应为：20×6 = 120条。 实际腿数128条，比假设多：128 - 120 = 8条。 每只蜘蛛比“6腿昆虫”多：8 - 6 = 2条腿。 蜘蛛数量为：8 ÷ 2 = 4只。 蜻蜓和蝉共有：20 - 4 = 16只。 第二步：区分翅膀，求出蜻蜓和蝉数量（假设法）。 假设16只全是蝉（1对翅膀），总翅膀数应为：16×1 = 16对。 实际总翅膀数22对，比假设多：22 - 16 = 6对。 每只蜻蜓比蝉多：2 - 1 = 1对翅膀。 蜻蜓数量为：6 ÷ 1 = 6只。 蝉的数量为：16 - 6 = 10只。 检验： 腿数：4×8 + 6×6 + 10×6 = 32 + 36 + 60 = 128条。翅膀数：6×2 + 10×1 = 12 + 10 = 22对。正确。 3.： 若干个小朋友分苹果。每人分2个，则苹果多10个；若每人分3个，则苹果少4个。求小朋友的人数和苹果的个数。 答案： 小朋友14人，苹果38个。 解析： 假设： 设小朋友人数为x人。 根据苹果总数不变列方程： 2x + 10 = 3x - 4。 求解： 10 + 4 = 3x - 2x → x = 14（人）。 苹果个数： 2×14 + 10 = 28 + 10 = 38（个）。 算术假设法： 总差异 = 盈 + 亏 = 10 + 4 = 14个。 分配差 = 3 - 2 = 1个/人。 人数 = 总差异 ÷ 分配差 = 14 ÷ 1 = 14人。苹果数 = 2×14 + 10 = 38个。 4.： 用一根绳子测量一口井的深度。如果把绳子对折来量，井外余9米；如果把绳子三折来量，井外余2米。求井深和绳长。 答案： 井深12米，绳长42米。 解析： 假设： 设井深为x米。 绳长不变： 对折时绳长 = 2(x + 9)；三折时绳长 = 3(x + 2)。 列方程： 2(x + 9) = 3(x + 2)。 求解： 2x + 18 = 3x + 6 → 18 - 6 = 3x - 2x → x = 12（米）。 绳长： 2×(12 + 9) = 2×21 = 42米 或 3×(12 + 2) = 3×14 = 42米。 算术假设法（将绳长看作“总物品”）： 对折量，每段长度 = 井深 + 9米，共2段。 三折量，每段长度 = 井深 + 2米，共3段。 总差异（以井深为基准，绳长的不同表示）：2×9 - 3×2 = 18 - 6 = 12米。 段数差：3 - 2 = 1段。 井深 = 总差异 ÷ 段数差 = 12 ÷ 1 = 12米。绳长 = 2×(12 +9) =42米。 5.： 甲、乙、丙三个数的和是228。甲数比乙数的2倍多10，乙数比丙数的3倍多6。求甲、乙、丙三个数各是多少？ 答案： 甲142，乙66，丙20。 解析： 假设： 设丙数为x，则乙数为3x + 6，甲数为2×(3x + 6) + 10 = 6x + 12 + 10 = 6x + 22。 根据三数之和列方程： x + (3x + 6) + (6x + 22) = 228。 求解： 10x + 28 = 228 → 10x = 200 → x = 20。 丙数 x = 20。 乙数 = 3x + 6 = 3×20 + 6 = 66。 甲数 = 6x + 22 = 6×20 + 22 = 142。 检验： 20 + 66 + 142 = 228。正确。 6.： 甲、乙两数之差是20，甲数的3倍比乙数的5倍少10。求甲、乙两数。 答案： 甲55，乙35。 解析： 假设： 设甲数为x，乙数为y。根据题意： x - y = 20 (甲数比乙数大) 5y - 3x = 10 由第一个方程得： x = y + 20。代入第二个方程： 5y - 3(y + 20) = 10 → 5y - 3y - 60 = 10 → 2y = 70 → y = 35。 甲数： x = 35 + 20 = 55。 算术假设法： 假设乙数增加20就和甲数相等。设甲数为1份，则乙数为1份 - 20。 根据“甲数的3倍比乙数的5倍少10”：3×1份 = 5×(1份 - 20) - 10 → 3份 = 5份 - 100 - 10 → 2份 = 110 → 1份 = 55（甲数）。乙数 = 55 - 20 = 35。 7.： 今年父亲的年龄是儿子的4倍，20年后父亲的年龄是儿子的2倍。今年父子各多少岁？ 答案： 今年儿子10岁，父亲40岁。 解析： 假设： 设今年儿子年龄为x岁，则父亲年龄为4x岁。 20年后： 儿子(x+20)岁，父亲(4x+20)岁。 列方程： 4x + 20 = 2(x + 20)。 求解： 4x + 20 = 2x + 40 → 4x - 2x = 40 - 20 → 2x = 20 → x = 10。 儿子今年10岁，父亲今年4×10 = 40岁。 检验： 20年后儿子30岁，父亲60岁，60是30的2倍。正确。 8.： 哥哥对弟弟说：“当我像你这么大时，你才5岁。”弟弟对哥哥说：“当我像你这么大时，你就29岁了。”今年哥哥和弟弟各多少岁？ 答案： 哥哥21岁，弟弟13岁。 解析： 核心： 年龄差不变，设为d岁。设弟弟今年y岁，哥哥今年x岁，x > y，d = x - y。 哥哥像弟弟这么大时（d年前）： 弟弟年龄 y - d = 5 → y - (x - y) = 5 → 2y - x = 5 ...(1)。 弟弟像哥哥这么大时（d年后）： 哥哥年龄 x + d = 29 → x + (x - y) = 29 → 2x - y = 29 ...(2)。 联立方程(1)(2)： 由(1)得：x = 2y - 5。代入(2)： 2(2y -5) - y = 29 → 4y - 10 - y = 29 → 3y = 39 → y = 13。 哥哥年龄： x = 2×13 -5 = 21岁。 检验： 年龄差8岁。哥哥13岁时，弟弟13-8=5岁；弟弟21岁时，哥哥21+8=29岁。正确。 9.： 甲、乙两人从A、B两地同时出发相向而行，甲的速度是乙的1.5倍。两人相遇后，甲继续前行，到达B地后立即返回；乙也继续前行，到达A地后立即返回。已知两人第二次相遇点距第一次相遇点20千米。求A、B两地的距离。 答案： A、B两地相距50千米。 解析： 假设： 设乙的速度为v，则甲的速度为1.5v；A、B两地距离为S。 第一次相遇： 共行S，时间t1 = S/(v + 1.5v) = S/(2.5v)。 甲行路程：1.5v * t1 = 1.5v * S/(2.5v) = 0.6S (距A地0.6S)。 第二次相遇： 共行3S，时间t总 = 3S/(2.5v)。 甲行总路程：1.5v * t总 = 1.5v * 3S/(2.5v) = 1.8S。 甲位置：1.8S - S = 0.8S (从B地往A地0.8S，即距A地S - 0.8S = 0.2S)。 两次相遇点距离： |0.6S - 0.2S| = 0.4S = 20千米 → S = 20 ÷ 0.4 = 50千米。 10.： 一辆汽车从甲地开往乙地，如果每小时行45千米，就要迟到0.5小时；如果每小时行50千米，就可提前0.5小时到达。求甲、乙两地的距离及原计划行驶的时间。 答案： 甲、乙两地距离450千米，原计划行驶9.5小时。 解析： 假设： 设原计划行驶时间为t小时，两地距离为S千米。 根据题意列方程： S = 45(t + 0.5) (迟到，时间增多) S = 50(t - 0.5) (提前，时间减少) 联立： 45(t + 0.5) = 50(t - 0.5)。 求解： 45t + 22.5 = 50t - 25 → 22.5 + 25 = 50t - 45t → 47.5 = 5t → t = 9.5小时。 距离S： 45×(9.5 + 0.5) = 45×10 = 450千米。 算术假设法（盈亏思想）： 按原计划时间，每小时45千米，少走45×0.5=22.5千米（亏）。 每小时50千米，多走50×0.5=25千米（盈）。 总差异=22.5+25=47.5千米，速度差=50-45=5千米/时。 原计划时间=总差异÷速度差=47.5÷5=9.5小时。距离=45×(9.5+0.5)=450千米。 11.： 某班同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人；如果减少一条船，正好每条船坐9人。这个班共有多少同学？原计划租几条船？ 答案： 36名同学，原计划租5条船。 解析： 假设： 设原计划租x条船。 同学总数不变： 6(x + 1) = 9(x - 1)。 求解： 6x + 6 = 9x - 9 → 6 + 9 = 9x - 6x → 15 = 3x → x = 5条。 同学总数： 6×(5 + 1) = 6×6 = 36人。 算术假设法（盈亏）： “增加一条船，每条船坐6人” → 原船数，每船6人，多6人（盈6）。 “减少一条船，每条船坐9人” → 原船数，每船9人，少9人（亏9）。 总差异=6+9=15，分配差=9-6=3。 原船数=15÷3=5条。人数=6×(5+1)=36人。 12.： 学校购买单价为3元和5元的两种笔记本共20本，用来奖励优秀学生，共用去84元。问两种笔记本各买了多少本？ 答案： 3元的8本，5元的12本。 解析： 假设全是3元笔记本： 总价应为：20×3 = 60元。 实际多花：84 - 60 = 24元。 每本5元比3元多：5 - 3 = 2元。 5元笔记本数量：24 ÷ 2 = 12本。 3元笔记本数量：20 - 12 = 8本。 检验： 8×3 + 12×5 = 24 + 60 = 84元。正确。 13.： 某次数学竞赛共20道题，评分标准是：每做对一题得5分，每做错或不做一题扣1分。小华参加了这次竞赛，得了64分。问小华做对了几道题？ 答案： 做对14道题。 解析： 假设全做对： 应得：20×5 = 100分。 实际少得：100 - 64 = 36分。 每错或不做一题，少得：5 + 1 = 6分（少得5分并倒扣1分）。 错题（含不做）数：36 ÷ 6 = 6道。 对题数：20 - 6 = 14道。 检验： 14×5 - 6×1 = 70 - 6 = 64分。正确。 14.： 一辆卡车运矿石，晴天每天可运20次，雨天每天可运12次。它一共运了112次，平均每天运14次。这几天中有几天是雨天？ 答案： 6天雨天。 解析： 总天数： 112次 ÷ 14次/天 = 8天。 假设全是晴天： 可运：20×8 = 160次。 比实际多：160 - 112 = 48次。 雨天比晴天每天少运：20 - 12 = 8次。 雨天天数：48 ÷ 8 = 6天。 检验： 晴天8-6=2天。2×20 + 6×12 = 40 + 72 = 112次。正确。 15.： 甲、乙两种商品的单价之和为100元。因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价5%，调价后，甲、乙两种商品的单价之和比原单价之和提高了2%。求甲、乙两种商品原来的单价各是多少元？ 答案： 甲商品原价20元，乙商品原价80元。 解析： 假设： 设甲商品原价x元，则乙商品原价(100 - x)元。 调价后总价： x(1 - 10%) + (100 - x)(1 + 5%) = 100(1 + 2%)。 展开： 0.9x + 1.05(100 - x) = 102 → 0.9x + 105 - 1.05x = 102。 求解： -0.15x = 102 - 105 → -0.15x = -3 → x = 20元。 乙商品原价： 100 - 20 = 80元。 检验： 甲调价后18元，乙调价后84元。18+84=102元。102-100=2元，2/100=2%。正确。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 五年级奥数培优讲义：第16讲 假设法解题 知识点梳理 一、核心概念与思路 1.基本概念 假设法是通过对题中未知量作出假设（如假设未知量为某一具体值，或假设全部是某一种量），将复杂数量关系转化为简单关系，再根据假设与实际的差异进行调整，从而求解未知量的解题方法。 2.关键量 假设量：假设的未知量数值（如假设全是鸡的数量）； 实际量：题目已知的总量（如总头数、总脚数、总钱数等）； 差异量：假设情况下的总量与实际总量的差； 单量差异：单个未知量在假设与实际情况下的差（如每只兔比鸡多的脚数）。 3. 核心思路 假设：根据题意假设某一未知量为特定值（或假设全部是某一种量）； 比较：计算假设总量与实际总量的差异； 调整：用“总差异÷单量差异”求出被假设量的实际数量； 求解：根据求出的量计算其他未知量。 二、核心题型与技巧 题型1：鸡兔同笼型（已知总头数和总脚数） 技巧：假设全是鸡（或全是兔），计算假设脚数与实际脚数的差异，用“总差异÷单只脚数差异”求另一量数量。 若假设全是鸡：兔数=（实际总脚数-假设总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）； 若假设全是兔：鸡数=（假设总脚数-实际总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）。 例：鸡兔同笼，头共35个，脚共94只。假设全是鸡，脚数=35×2=70只，总差异=94-70=24只，单只差异=4-2=2只，兔数=24÷2=12只，鸡数=35-12=23只。 题型2：盈亏问题型（分配物品，盈或亏） 技巧：假设分配标准统一，根据“总差异÷两次分配差=份数（人数或分配对象数）”求解。 一次盈、一次亏：份数=（盈+亏）÷两次分配差； 两次盈：份数=（大盈-小盈）÷两次分配差； 两次亏：份数=（大亏-小亏）÷两次分配差。 例：小朋友分糖果，每人分5颗多10颗，每人分7颗少6颗。总差异=10+6=16颗，分配差=7-5=2颗，人数=16÷2=8人，糖果数=5×8+10=50颗。 题型3：和差倍问题中的假设（已知和差与倍数关系） 技巧：假设倍数关系成立（如假设乙数是甲数的3倍），计算假设和（或差）与实际和（或差）的差异，用“差异÷（倍数-1）”求出一倍数。 例：甲、乙两数和是30，甲数比乙数的2倍多3。假设甲数是乙数的2倍，则和=30-3=27，乙数=27÷(2+1)=9，甲数=30-9=21。 题型4：年龄问题中的假设（年龄差不变） 技巧：假设两人年龄按题目倍数关系增长，利用“年龄差不变”列等式求解（实际年龄差=假设年龄差）。 例：今年爸爸40岁，儿子10岁。假设x年后爸爸年龄是儿子的3倍，则40+x=3×(10+x)，解得x=5（即5年后）。 题型5：行程问题中的假设（速度或时间假设） 技巧：假设速度或时间为已知量，根据“路程=速度×时间”及路程差异列等式求解。 例：甲、乙从A地到B地，甲每小时行10km，乙每小时行8km，甲比乙早到1小时。假设乙行完全程时间为t小时，则10×(t-1)=8t，解得t=5，A、B距离=8×5=40km。 题型6：两种量的假设（如不同价格的商品） 技巧：假设全是某一种商品（如单价低的），计算总价差异，用“总差异÷单价比差=另一商品数量”。 例：买5元钢笔和3元圆珠笔共10支，花了42元。假设全是圆珠笔，总价=3×10=30元，总差异=42-30=12元，单价比差=5-3=2元，钢笔数=12÷2=6支，圆珠笔=10-6=4支。 三、常见错误提醒 1.差异计算错误：如鸡兔同笼中假设全是鸡，实际脚数比假设多，误算为“假设比实际多”，导致差异符号错误； 2.忘记调整差异：只计算假设与实际的差异，未用“总差异÷单量差异”求未知量，直接将假设量当作结果； 3.混淆假设对象：假设全是A，却用差异求A的数量（正确应为求B的数量）； 4.盈亏问题分配差错误：如“每人分5颗多10颗，每人分7颗少6颗”，误将分配差算为7+5=12（正确应为7-5=2）； 5.年龄问题忽略年龄差不变：假设年龄增长时，误将年龄倍数当作固定值，未考虑年龄差始终不变。 例题讲解 一、鸡兔同笼型 例题1：鸡兔同笼，共有头48个，脚132只，求鸡和兔各有多少只？ 跟踪练习1：动物园里有龟和鹤共20只，龟的腿和鹤的腿共56条，龟和鹤各有多少只？ 二、盈亏问题型 例题2：学校给新生分配宿舍，若每个房间住12人，则34人没有位置；若每个房间住14人，则空出4个房间。求学生人数和宿舍间数。 跟踪练习2：老师分练习本，每人分4本多8本，每人分6本少4本，求学生人数和练习本数。 三、和差倍问题中的假设 例题3：甲、乙两数之和是80，甲数比乙数的3倍少4，求甲、乙两数各是多少？ 跟踪练习3：果园里苹果树和梨树共150棵，苹果树比梨树的2倍多15棵，苹果树和梨树各多少棵？ 四、年龄问题中的假设 例题4：今年爸爸45岁，儿子15岁，几年前爸爸的年龄是儿子的4倍？ 跟踪练习4：今年爷爷64岁，孙子12岁，几年后爷爷年龄是孙子的5倍？ 五、行程问题中的假设 例题5：一辆汽车从A地到B地，原计划每小时行60千米，实际每小时行75千米，结果提前2小时到达，求A、B两地的距离。 跟踪练习5：小明从家到学校，若每分钟走50米则迟到3分钟，若每分钟走60米则提前2分钟，求家到学校的距离。 六、两种量的假设 例题6：商店购进5角和1元的邮票共40张，总价值32元，求5角和1元的邮票各多少张？ 跟踪练习6：学校买篮球和足球共12个，花了540元，篮球每个50元，足球每个40元，篮球和足球各买了多少个？ 提升练习 1.： 鸡、兔、三脚猫共40只，共有脚118只。已知鸡的数量是兔子的2倍，求鸡、兔、三脚猫各有多少只？ 2.： 蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现有三种昆虫共20只，共有腿128条，翅膀22对。问：蜘蛛、蜻蜓、蝉各有多少只？ 3.： 若干个小朋友分苹果。每人分2个，则苹果多10个；若每人分3个，则苹果少4个。求小朋友的人数和苹果的个数。 4.： 用一根绳子测量一口井的深度。如果把绳子对折来量，井外余9米；如果把绳子三折来量，井外余2米。求井深和绳长。 5.： 甲、乙、丙三个数的和是228。甲数比乙数的2倍多10，乙数比丙数的3倍多6。求甲、乙、丙三个数各是多少？ 6.： 甲、乙两数之差是20，甲数的3倍比乙数的5倍少10。求甲、乙两数。 7.： 今年父亲的年龄是儿子的4倍，20年后父亲的年龄是儿子的2倍。今年父子各多少岁？ 8.： 哥哥对弟弟说：“当我像你这么大时，你才5岁。”弟弟对哥哥说：“当我像你这么大时，你就29岁了。”今年哥哥和弟弟各多少岁？ 9.： 甲、乙两人从A、B两地同时出发相向而行，甲的速度是乙的1.5倍。两人相遇后，甲继续前行，到达B地后立即返回；乙也继续前行，到达A地后立即返回。已知两人第二次相遇点距第一次相遇点20千米。求A、B两地的距离。 10.： 一辆汽车从甲地开往乙地，如果每小时行45千米，就要迟到0.5小时；如果每小时行50千米，就可提前0.5小时到达。求甲、乙两地的距离及原计划行驶的时间。 11.： 某班同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人；如果减少一条船，正好每条船坐9人。这个班共有多少同学？原计划租几条船？ 12.： 学校购买单价为3元和5元的两种笔记本共20本，用来奖励优秀学生，共用去84元。问两种笔记本各买了多少本？ 13.： 某次数学竞赛共20道题，评分标准是：每做对一题得5分，每做错或不做一题扣1分。小华参加了这次竞赛，得了64分。问小华做对了几道题？ 14.： 一辆卡车运矿石，晴天每天可运20次，雨天每天可运12次。它一共运了112次，平均每天运14次。这几天中有几天是雨天？ 15.： 甲、乙两种商品的单价之和为100元。因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价5%，调价后，甲、乙两种商品的单价之和比原单价之和提高了2%。求甲、乙两种商品原来的单价各是多少元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $