第11讲 盈亏问题 （知识点梳理+例题讲解+提升练习）-五年级奥数培优讲义

五年级奥数培优讲义：第11讲 盈亏问题 知识点梳理 一、核心概念与公式 1. 基本概念 盈亏问题是研究“分配物品时，按不同标准分配产生盈余或亏损”的问题。 关键量： 分配对象数量（如人数、组数等，记为）； 被分配物品总数（如糖果、树苗等，记为）； 分配标准（每人/每组分得的物品数量，记为，两次分配标准可不同，记为、）； 盈数（分配后多余的物品数量，记为）； 亏数（分配后缺少的物品数量，记为）。 2. 核心公式 （注：“两次分配差”指两次分配标准的差，即，假设） 类型 公式（分配对象数量） 物品总数（以为例） 一盈一亏 （或） 两盈（大盈、小盈） （或） 两亏（大亏、小亏） （或） 单盈（一次正好，一次盈） （或，为正好分配的标准） 单亏（一次正好，一次亏） （或，为正好分配的标准） 二、核心题型与技巧 题型1：基础型（一盈一亏） 技巧：直接套用“”，再求物品总数。 例：每人分个多个（盈），每人分个少个（亏），则人数（假设），物品总数。 题型2：两盈型 技巧：两次分配均有盈余，用“”。 例：每人分个多个（小盈），每人分个多个（大盈，），则人数（），物品总数。 题型3：两亏型 技巧：两次分配均有亏损，用“”。 例：每人分个少个（小亏），每人分个少个（大亏，），则人数（），物品总数。 题型4：单盈或单亏型（一次正好） 技巧：一次分配正好分完，一次盈余或亏损，用“”。 例：每人分个多个（盈），每人分个正好分完（），则人数，物品总数。 题型5：分配对象数量变化型 技巧：当分配对象数量增加或减少（如“增加2人”“减少1组”），需先统一分配对象数量，转化为标准盈亏问题。 例：原计划每人分个，若增加3人则每人分个正好，此时可将“增加3人”转化为“原人数每人分个，多个”（即盈），再用单盈公式。 题型6：含多余条件型 技巧：从题目数据中筛选有效条件（分配对象、两次分配标准、盈/亏数），忽略无关数据（如物品颜色、单价、形状等）。 题型7：综合应用型（结合实际场景） 技巧：将实际问题（如分房间、租船、植树、发工资等）转化为盈亏问题，明确“分配对象”（如房间数、船数、人数）、“被分配物品”（如人数、人数、树的棵数）、“盈/亏数”（如多几人、少几间等），再套用公式。 例题讲解 一、基础型（一盈一亏） 例题1：小朋友分糖果，每人分5颗，还多10颗；每人分7颗，还差4颗。求有多少个小朋友？糖果有多少颗？ 答案：7个小朋友，45颗糖果 解析： 分配对象：小朋友人数（设为）；被分配物品：糖果总数（设为）； 第一次分配：每人5颗（），盈10颗（）； 第二次分配：每人7颗（），亏4颗（）； 两次分配差：（颗/人）； 套用一盈一亏公式：（人）； 糖果总数：（颗）。 跟踪练习1：同学们去植树，每人植3棵，剩20棵；每人植5棵，少10棵。求人数和树的棵数。 答案：15人，65棵树 解析： 两次分配差：（棵/人）； 人数：（人）； 树的棵数：（棵）。 二、两盈型 例题2：学校给学生发练习本，每人发8本，还多50本；每人发10本，还多10本。求学生人数和练习本总数。 答案：20名学生，210本练习本 解析： 分配对象：学生人数（）；被分配物品：练习本总数（）； 第一次分配：每人8本（），盈50本（大盈，）； 第二次分配：每人10本（），盈10本（小盈，）； 两次分配差：（本/人）； 套用两盈公式：（名）； 练习本总数：（本）。 跟踪练习2：老师分钢笔给优秀学生，每人分3支多15支，每人分4支多6支。求优秀学生人数和钢笔总数。 答案：9名学生，42支钢笔 解析： 两次分配差：（支/人）； 人数：（名）； 钢笔总数：（支）。 三、两亏型 例题3：小朋友分苹果，每人分4个，少6个；每人分6个，少22个。求小朋友人数和苹果总数。 答案：8个小朋友，26个苹果 解析： 分配对象：小朋友人数（）；被分配物品：苹果总数（）； 第一次分配：每人4个（），亏6个（小亏，）； 第二次分配：每人6个（），亏22个（大亏，）； 两次分配差：（个/人）； 套用两亏公式：（人）； 苹果总数：（个）。 跟踪练习3：同学们排队做操，每排站8人，少12个位置；每排站10人，少32个位置。求有多少排？一共有多少名同学？ 答案：10排，68名同学 解析： 分配对象：排数（）；被分配物品：同学总数（）； 两次分配差：（人/排）； 排数：（排）； 同学总数：（名）。 四、单盈或单亏型（一次正好） 例题4：把一些笔记本分给学生，如果每人分3本，正好分完；如果每人分2本，还多5本。求有多少名学生？笔记本有多少本？ 答案：5名学生，15本笔记本 解析： 分配对象：学生人数（）；被分配物品：笔记本总数（）； 第一次分配：每人3本（），正好分完（无盈无亏）； 第二次分配：每人2本（），盈5本（）； 两次分配差：（本/人）； 套用单盈公式：（名）； 笔记本总数：（本）（或本）。 跟踪练习4：老师给班级分书，每人分4本，少8本；每人分5本，正好分完。求班级人数和书的总数。 答案：8人，40本书 解析： 两次分配差：（本/人）； 人数：（人）； · 的总数：（本）。 五、分配对象数量变化型 例题5：原计划把一些糖果分给若干个小朋友，每人分5颗正好分完。如果增加3个小朋友，每人分4颗也正好分完。求原来有多少个小朋友？糖果有多少颗？ 答案：12个小朋友，60颗糖果 解析： 关键：“增加3个小朋友”转化为“原人数每人分4颗，多颗”（即盈12颗）； 分配对象：原来小朋友人数（）；被分配物品：糖果总数（）； 第一次分配（原计划）：每人5颗（），正好分完； 第二次分配（增加3人后）：每人4颗（），盈12颗（）； 两次分配差：（颗/人）； 套用单盈公式：（人）； 糖果总数：（颗）。 跟踪练习5：同学们去划船，原计划每条船坐6人，正好坐满；如果减少1条船，每条船坐8人，也正好坐满。求原计划有多少条船？一共有多少名同学？ 答案：4条船，24名同学 解析： “减少1条船”转化为“原船数每条坐8人，少人”（即亏8人）； 两次分配差：（人/船）； 原船数：（条）； 同学总数：（名）。 六、含多余条件型 例题6：幼儿园老师分饼干给小朋友，已知饼干有奶油味和巧克力味两种，共80块。如果每人分5块，多15块；每人分7块，少5块。求有多少个小朋友？（奶油味饼干30块，巧克力味50块） 答案：10个小朋友 解析： 筛选有效条件：分配对象（小朋友人数）、两次分配标准（每人5块、每人7块）、盈15块、亏5块； 无关条件：饼干口味（奶油味、巧克力味）、每种口味数量（30块、50块），因求人数只需盈/亏和分配差，与口味无关； 两次分配差：（块/人）； 人数：（个）。 跟踪练习6：学校组织学生参加夏令营，带了矿泉水和果汁共120瓶，其中矿泉水65瓶，果汁55瓶。如果每人分4瓶，多20瓶；每人分5瓶，少10瓶。求参加夏令营的学生人数。 答案：30人 解析： 有效条件：每人4瓶盈20瓶，每人5瓶亏10瓶，分配差瓶/人； 人数：（人）（忽略矿泉水和果汁的具体数量）。 七、综合应用型（结合实际场景） 例题7：用绳子测井深，把绳子三折来量，井外余1米；把绳子四折来量，井外余0.2米。求井深多少米？绳子长多少米？ 答案：井深2.2米，绳子长9.6米 解析： 转化为盈亏问题：分配对象为井深（设为米），被分配物品为绳子长度（设为米）； “三折来量”：绳子长度 = 3×(井深 + 井外余绳)，即，可理解为“每折长度为米，盈米”； “四折来量”：，即“每折长度为米，盈米”； 两次分配差：（折）； 套用两盈公式：井深（米）； 绳子长：（米）。 跟踪练习7：某学校安排学生住宿，若每间住4人，则有18人没地方住；若每间住6人，则有2间空房。求有多少间宿舍？学生有多少人？ 答案：15间宿舍，78人 解析： “2间空房”转化为“少人”（即亏12人）； 两次分配差：（人/间）； 宿舍数：（间）； 学生人数：（人）。 提升练习 1．有一堆螺丝和螺母。如果一个螺丝配两个螺母，则多10个螺母；如果一个螺丝配三个螺母，则少6个螺母，螺丝、螺母各多少个？ 【答案】螺丝有16个，螺母有42个。 【分析】如果一个螺丝配两个螺母，则多10个螺母；如果一个螺丝配三个螺母，则少6个螺母；对比两次的分配方法，盈10，亏6，两次分配的螺母数量差为3－2＝1，则螺丝有（10＋6）÷（3－2）＝16个，螺母有16×2＋10＝42个。 【详解】（10＋6）÷（3－2） ＝16÷1 ＝16（个） 16×2＋10 ＝32＋10 ＝42（个） 答：螺丝有16个、螺母有42个。 【点睛】对比两次分配方法计算出盈与亏是解决本题的关键。解决这类问题要弄清楚分配的对象是谁。 2．实验小学进行团体操表演。如果每行排8人，则多出7人；如果每行排14人，则有一排少5人。问排成多少排？有多少学生？ 【答案】排成2排，有同学23人。 【分析】根据题意对比两次分配方法可知，如果每排人数增加14－8＝6人，则人数由多出7人变成少5人，即每排增加6人，人数增加7＋5＝12人，用“增加的人数÷每排多出的人数”即可算得排数，再用“排数×每排人数＋多出（或－少）的人数”即可算得总人数。 【详解】（7＋5）÷（14－8） ＝12÷6 ＝2（排） 2×8＋7 ＝16＋7 ＝23（人） 答：排成2排，有同学23人。 【点睛】本题主要考查盈亏问题的应用，根据题目已知算出盈与亏是解决本题的关键。 3．老师将一批练习本发给班上的学生。如果每人发6本，则少94本；如果每人发4本，则少2本。问有多少个学生？有多少练习本。 【答案】有学生46人，练习本182本。 【分析】根据题目信息分析可知，第二次分配比第一次分配每人少分配6－4＝2本，则练习本就少94－2＝92本，用“少分配的练习本数÷平均每人少分配的联系本数”即可算得人数，用“人数×每人分得的联系本数－少分的练习本数”即可算得总的练习本数。 【详解】（94－2）÷（6－4） ＝92÷2 ＝46（人） 46×6－94 ＝276－94 ＝182（本） 答：有学生46人，练习本182本。 【点睛】本题主要考查了盈亏问题的应用，注意本题中两次分配都是“亏”。也可以使用方程法解决此题。 4．某商店从深圳运来一批水果，运费花了1000元，水果报损了100千克，若按2元1千克卖出，则要亏损300元；若按3元1千克买出，则可盈利500元。问原来进货多少千克？水果进货的金额是多少元？ 【答案】900千克；1900元 【分析】两种出售方式，可出售水果的重量和水果总价是不变的，两次的单价差1元，总售价差800元，先求出可出售水果的重量，再求出总的水果的重量和进货金额。 【详解】 答：原来进货900千克；水果进货的金额是1900元。 【点睛】本题是盈亏问题中的“盈亏型”，但要注意题目根据两次销售的情况首先求出的可出售的重量，并不是题目所求。 5．同学们到阶梯教室听科技报告，如每张长椅坐8人，则剩下50人没有座位；如果每张长椅坐12人，则空出10个座位。如果每张长椅上坐7人，还剩下多少学生无座位？ 【答案】65名 【分析】将人分给长椅，根据前两次的分配情况，先求出长椅数和人数，再求最后的问题。 【详解】 答：还剩下65名学生无座位。 【点睛】本题的关键是利用盈亏问题求出总人数和长椅的数量，最后的问题是比较简单的。 6．“烛光”读书活动小组在学校图书馆借来的科技书是故事书的2倍，平均每人看6本科技书，则余12本；每人看故事书4本，则差3本，读书活动小组有几人？借来的科技书和故事书各多少本？ 【答案】科技书有66本，故事书有33本。 【分析】科技书是故事书的2倍，平均每人看6本科技书，则余12本，根据科技书与故事书的倍数关系，把科技书转换成故事书，则平均每人看3本故事书，则余6本，即平均每人看3本故事书，则多出6本；每人看故事书4本，则差3本，即每人看故事书4本，则少3本；对比两次分配方法可以看出：如果每人多看1本故事书，则就要多看6＋3＝9本，用多看的故事书的本数÷每人多看的故事书的本数即可计算出学生人数，然后用学生人数×每人看的本数＋多（或－少）的本数，即可求得科技书与故事书的本数。 【详解】解：6÷2＝3（本） 12÷2＝6（本） （6＋3）÷（4－3） ＝9÷1 ＝9（人） 9×6＋12 ＝66（本） 9×4－3 ＝36－3 ＝33（本） 答：科技书有66本，故事书有33本。 【点睛】本题两次分配方法中的分配对象不一样，如何根据科技书与故事书的倍数关系，将两次分配的对象统一，再计算出盈与亏是解决本题的关键。本题也可以使用方程法求解。 7．动物园为猴山的猴买来桃，这些桃如果每只猴分5个，还剩32个；如果其中10只小猴分4个，其余的猴分8个，就恰好分完。问猴山有猴多少只？共买来多少个桃？ 【答案】24只；152个 【分析】设出猴子的总数，表示出桃子的数量，根据两次分配桃子的数量不变，列方程求解。 【详解】解：设猴山上有x只猴； 答：猴山上有24只猴；共买来152个桃。 【点睛】本题是盈亏问题中较为复杂的类型，第二次分配，大猴和小猴所分到的数量不一样，用算术方法求解不是很方便，可以考虑列方程求解。 8．人民路小学三、四、五年级的同学乘汽车去春游，如果每车坐45人，有10人不能坐车；如果每车多坐5人，又多出一辆汽车。一共有多少辆汽车？有多少名同学去春游？ 【答案】12辆；550名 【分析】将人分给车辆，第二次分配，每车坐50人，“多出一辆汽车”可以看成少50人，这样第二次多用了60人，每辆车多坐5人，先求出车的数量，再求总人数。 【详解】 答：一共有12辆汽车；有550名同学去春游。 【点睛】盈亏问题的变形形式，第二次分配少用一辆车，即少了一辆车所能够乘坐的人数。 9．幼儿园老师给小朋友分糖果，每个小朋友分5个糖果，就多出22个糖果；每个小朋友分7个糖果，就少18个糖果，求小朋友的个数和糖果的数量是多少? 【答案】20个小朋友；122颗糖果 【分析】两次分配，小朋友的数量和糖果的数量都不变，第二次分配，每人多分了2个，总共多用了40个，先求出人数，再求出糖果数。 【详解】 答：有20个小朋友；有122颗糖果。 【点睛】盈亏问题中最基础的“盈亏型”，人数=（盈+亏）÷两次分配的数量差。 10．四年级学生搬砖，有12人每人各搬7块，有20人每人各搬5块，这样最后余下148块；如果有30人每人各搬8块，有8人每人搬9块，其余的每人搬10块，这样分配最后余下20块。学生共有多少人？共有砖多少块？ 【答案】38人；332块 【分析】可以先根据第一种情况求出砖的数量，再利用第二种情况求出余下的人数，然后求出总人数。 【详解】 ＝332（块） ＝0（块） 30＋8＝38（人） 答：学生有38人，共有332块砖。 【点睛】本题看似麻烦，实则简单，直接计算出总数，接下来就变成了一般的应用题，直接求解即可。 11．少先队员在校园里栽的苹果树苗是梨树苗的2倍。如果每人栽3棵梨树苗，还余2棵，如果每人栽7棵梨树苗，少6棵。问有多少少先队员？准备栽多少棵苹果树和梨树苗？ 【答案】2名少先队员，8棵梨树苗，16棵苹果树苗 【分析】看似有苹果树和梨树，但是题目只是将梨树分配给少先队员，第二次每人多分4棵，总共多用了8棵，可以先求出少先队员的数量，再求出梨树的棵数，再求苹果树的棵数。 【详解】 答：有2名少先队员，准备栽8棵梨树苗和16棵苹果树苗。 【点睛】本题具有迷惑性，看似有梨树和苹果树，但其实两次分配只与梨树有关。 12．小华从家到学校，他先用每分钟50米的速度走了2分钟。如果这样走下去，他就要迟到8分钟，后来他改用每分钟60米的速度前进，结果早到5分钟。求小华家到学校的路。 【答案】4000 【分析】将前面行走的100米撇开，先求出后面剩余的距离，最后加上100米，对于后面剩余的距离，按50米/分钟的速度要比按60米/分钟的速度多用13分钟，可以假设以60米/分钟的速度走到学校后继续走13分钟，求出路程差，利用路程差、速度差求出时间，进而求路程。 【详解】 答：小华家到学校距离是4000米。 【点睛】本题也可以考虑列方程求解，设出小华离家时距离上课所剩余的时间，根据两种情况的路程相等列方程求解。 13．上级规定上午9点应把传令售从军营交到指挥部。一通讯兵如果每分钟走到100米可提早10分钟到达，如果每分钟走80米，可提早6分钟到达。求这个通讯兵在路上应用多长时间？他几点从军营出发刚好9点到达？军营离指挥部有多远？ 【答案】这个通讯兵在路上应用26分，他8点34分从军营出发刚好9点到达，军营离指挥部有1600米。 【分析】每分钟走到100米可提早10分钟到达，即若每分钟走到100米，按原定时间走可以多走10×100＝1000米；如果每分钟走80米，可提早6分钟到达，即若每分钟走到80米，按原定时间走可以多走6×80＝480米；对比两次行驶方法，路程差为1000－480＝520米，速度差为100－80＝20米/分，则原定时间为520÷20＝26分，军营离指挥部的路程为（26－6）×80＝1600米。 【详解】10×100＝1000（米） 6×80＝480（米） （1000－480）÷（100－80） ＝520÷20 ＝26（分） 9点－26分＝8点34分 （26－6）×80 ＝20×80 ＝1600（米） 答：这个通讯兵在路上应用26分，他8点34分从军营出发刚好9点到达，军营离指挥部有1600米。 【点睛】用题目中提早到达的时间乘速度得到多走的路程，用路程差除以速度差得到原定路上走的时间是解决本题的关键。 14．六一儿童节，老师给班上的同学发糖果，如果每人发10粒糖果，则还差32粒糖果，如果每人发6粒糖果，则糖果刚好分完。那么班上一共有多少名同学？老师一共有多少粒糖果？ 【答案】8名同学；48粒 【分析】盈亏问题，注意两次分配时，人数和糖果数量不变，套用公式进行求解，第一次差32粒，第二次刚好分完，可认为差0粒，当做“亏亏型”盈亏问题求解。 【详解】具体算式如下： 答：班上一共有8名同学，老师一共有48粒糖果。 【点睛】本题主要考查盈亏问题，人数与糖果数量不变是本题的关键。 15．班级有一些明信片要分发给班里的同学，如果每人分3 张，还剩5张，如果每人4张，就缺10张，请问：有多少个同学？一共有多少张明信片？ 【答案】15个；50张 【分析】盈亏问题，第一次剩5张，第二次缺10张，当做“盈亏型”盈亏问题求解。 【详解】具体算式如下： 答：一共有15 同学；50张明信片。 【点睛】盈亏问题的三种形式，“盈亏型”、“盈盈型”、“亏亏型”，注意三者的联系与区别，合理套用公式进行求解。 16．李明的妈妈去超市买洗衣粉，雕牌和碧浪的单价分别为8元和10元，李妈妈带的钱买雕牌洗衣粉比买碧浪洗衣粉可多买3袋，并且没有剩余的钱．问：李妈妈带了多少钱？ 【答案】120元 【详解】（法1）“李妈妈带的钱买雕牌洗衣粉比买碧浪洗衣粉可多买3袋”，这三袋洗衣粉多花8×3＝24（元），又因为花的钱总数一样多，所以在买碧浪洗衣粉的时候要把这些钱补上，而碧浪比雕牌每袋贵2元，所以要买碧浪洗衣粉袋数24÷2＝12（件）．这样李妈妈带的钱数是10×12＝120（元）． （法2）如果买雕牌与碧浪洗衣粉数量一样多，则买雕牌洗衣粉以后还剩3×8＝24（元），根据普通的盈亏问题解法，买碧浪洗衣粉的数量是：24÷（10－8）＝24÷2＝12（件），所以李妈妈带的钱数是：12×10＝120（元）． 17．六年级学生出去划船．老师算了一下，如果每船坐6人，那么还剩下22人没船坐．安排时发现有3条船坏了，于是改为每船坐8人，结果还剩下6人没地方坐，请问：一共有多少学生？ 【答案】142人 【详解】如果3条船没有坏，每船坐8人，那么多余了个座位．根据盈亏问题公式，有船条，学生人数为人． 18．王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的2倍.桔子每人分3个，多4个；苹果每人分7个，少5个.问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？ 【答案】13个小朋友86个苹果和43个桔子 【详解】因为桔子每人分3个多4个，而苹果是桔子的2倍，因此苹果每人分6个就多8个.又已知苹果每人分7个少5个，所以应有（8+5）÷（6-5）=13（人）. 苹果个数为13×7-5=86（个）. 桔子数为13×3+4=43（个）. 答：有13个小朋友，86个苹果和43个桔子. 19．学而思学校买来一批小足球分给各班：如果每班分4个，就差66个，如果每班分2个，则正好分完，学而思小学一共有多少个班？买来多少个足球？ 【答案】33个 66个 【详解】第一种分配方案亏66个球，第二种方案不盈不亏，所以盈亏总和是66个，两次分配之差是（个），由盈亏问题公式得，朝阳小学有：（个）班，买来足球（个）. 20．学而思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，分给同学们，每组分乒乓球拍5副，余乒乓球拍15副，每组分羽毛球拍14副，则差30副，问：学而思学校买来羽毛球拍、乒乓球拍各多少副？ 【答案】乒乓球拍有90副，羽毛球拍180副 【详解】因为羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，如果每次分羽毛球拍5×2=10（副），最后应余下15×2=30（副），因为14-5×2=4（副），分到最后还差30副，所以比每次分10副总共差30+30=60（副），所以有小组：60÷4=15（组），乒乓球拍有：5×15+15=90（副），羽毛球拍90×2=180（副）. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 五年级奥数培优讲义：第11讲 盈亏问题 知识点梳理 一、核心概念与公式 1. 基本概念 盈亏问题是研究“分配物品时，按不同标准分配产生盈余或亏损”的问题。 关键量： 分配对象数量（如人数、组数等，记为）； 被分配物品总数（如糖果、树苗等，记为）； 分配标准（每人/每组分得的物品数量，记为，两次分配标准可不同，记为、）； 盈数（分配后多余的物品数量，记为）； 亏数（分配后缺少的物品数量，记为）。 2. 核心公式 （注：“两次分配差”指两次分配标准的差，即，假设） 类型 公式（分配对象数量） 物品总数（以为例） 一盈一亏 （或） 两盈（大盈、小盈） （或） 两亏（大亏、小亏） （或） 单盈（一次正好，一次盈） （或，为正好分配的标准） 单亏（一次正好，一次亏） （或，为正好分配的标准） 二、核心题型与技巧 题型1：基础型（一盈一亏） 技巧：直接套用“”，再求物品总数。 例：每人分个多个（盈），每人分个少个（亏），则人数（假设），物品总数。 题型2：两盈型 技巧：两次分配均有盈余，用“”。 例：每人分个多个（小盈），每人分个多个（大盈，），则人数（），物品总数。 题型3：两亏型 技巧：两次分配均有亏损，用“”。 例：每人分个少个（小亏），每人分个少个（大亏，），则人数（），物品总数。 题型4：单盈或单亏型（一次正好） 技巧：一次分配正好分完，一次盈余或亏损，用“”。 例：每人分个多个（盈），每人分个正好分完（），则人数，物品总数。 题型5：分配对象数量变化型 技巧：当分配对象数量增加或减少（如“增加2人”“减少1组”），需先统一分配对象数量，转化为标准盈亏问题。 例：原计划每人分个，若增加3人则每人分个正好，此时可将“增加3人”转化为“原人数每人分个，多个”（即盈），再用单盈公式。 题型6：含多余条件型 技巧：从题目数据中筛选有效条件（分配对象、两次分配标准、盈/亏数），忽略无关数据（如物品颜色、单价、形状等）。 题型7：综合应用型（结合实际场景） 技巧：将实际问题（如分房间、租船、植树、发工资等）转化为盈亏问题，明确“分配对象”（如房间数、船数、人数）、“被分配物品”（如人数、人数、树的棵数）、“盈/亏数”（如多几人、少几间等），再套用公式。 例题讲解 一、基础型（一盈一亏） 例题1：小朋友分糖果，每人分5颗，还多10颗；每人分7颗，还差4颗。求有多少个小朋友？糖果有多少颗？ 跟踪练习1：同学们去植树，每人植3棵，剩20棵；每人植5棵，少10棵。求人数和树的棵数。 二、两盈型 例题2：学校给学生发练习本，每人发8本，还多50本；每人发10本，还多10本。求学生人数和练习本总数。 跟踪练习2：老师分钢笔给优秀学生，每人分3支多15支，每人分4支多6支。求优秀学生人数和钢笔总数。 三、两亏型 例题3：小朋友分苹果，每人分4个，少6个；每人分6个，少22个。求小朋友人数和苹果总数。 跟踪练习3：同学们排队做操，每排站8人，少12个位置；每排站10人，少32个位置。求有多少排？一共有多少名同学？ 四、单盈或单亏型（一次正好） 例题4：把一些笔记本分给学生，如果每人分3本，正好分完；如果每人分2本，还多5本。求有多少名学生？笔记本有多少本？ 跟踪练习4：老师给班级分书，每人分4本，少8本；每人分5本，正好分完。求班级人数和书的总数。 五、分配对象数量变化型 例题5：原计划把一些糖果分给若干个小朋友，每人分5颗正好分完。如果增加3个小朋友，每人分4颗也正好分完。求原来有多少个小朋友？糖果有多少颗？ 跟踪练习5：同学们去划船，原计划每条船坐6人，正好坐满；如果减少1条船，每条船坐8人，也正好坐满。求原计划有多少条船？一共有多少名同学？ 六、含多余条件型 例题6：幼儿园老师分饼干给小朋友，已知饼干有奶油味和巧克力味两种，共80块。如果每人分5块，多15块；每人分7块，少5块。求有多少个小朋友？（奶油味饼干30块，巧克力味50块） 跟踪练习6：学校组织学生参加夏令营，带了矿泉水和果汁共120瓶，其中矿泉水65瓶，果汁55瓶。如果每人分4瓶，多20瓶；每人分5瓶，少10瓶。求参加夏令营的学生人数。 七、综合应用型（结合实际场景） 例题7：用绳子测井深，把绳子三折来量，井外余1米；把绳子四折来量，井外余0.2米。求井深多少米？绳子长多少米？ 跟踪练习7：某学校安排学生住宿，若每间住4人，则有18人没地方住；若每间住6人，则有2间空房。求有多少间宿舍？学生有多少人？ 提升练习 1．有一堆螺丝和螺母。如果一个螺丝配两个螺母，则多10个螺母；如果一个螺丝配三个螺母，则少6个螺母，螺丝、螺母各多少个？ 2．实验小学进行团体操表演。如果每行排8人，则多出7人；如果每行排14人，则有一排少5人。问排成多少排？有多少学生？ 3．老师将一批练习本发给班上的学生。如果每人发6本，则少94本；如果每人发4本，则少2本。问有多少个学生？有多少练习本。 4．某商店从深圳运来一批水果，运费花了1000元，水果报损了100千克，若按2元1千克卖出，则要亏损300元；若按3元1千克买出，则可盈利500元。问原来进货多少千克？水果进货的金额是多少元？ 5．同学们到阶梯教室听科技报告，如每张长椅坐8人，则剩下50人没有座位；如果每张长椅坐12人，则空出10个座位。如果每张长椅上坐7人，还剩下多少学生无座位？ 6．“烛光”读书活动小组在学校图书馆借来的科技书是故事书的2倍，平均每人看6本科技书，则余12本；每人看故事书4本，则差3本，读书活动小组有几人？借来的科技书和故事书各多少本？ 7．动物园为猴山的猴买来桃，这些桃如果每只猴分5个，还剩32个；如果其中10只小猴分4个，其余的猴分8个，就恰好分完。问猴山有猴多少只？共买来多少个桃？ 8．人民路小学三、四、五年级的同学乘汽车去春游，如果每车坐45人，有10人不能坐车；如果每车多坐5人，又多出一辆汽车。一共有多少辆汽车？有多少名同学去春游？ 9．幼儿园老师给小朋友分糖果，每个小朋友分5个糖果，就多出22个糖果；每个小朋友分7个糖果，就少18个糖果，求小朋友的个数和糖果的数量是多少? 10．四年级学生搬砖，有12人每人各搬7块，有20人每人各搬5块，这样最后余下148块；如果有30人每人各搬8块，有8人每人搬9块，其余的每人搬10块，这样分配最后余下20块。学生共有多少人？共有砖多少块？ 11．少先队员在校园里栽的苹果树苗是梨树苗的2倍。如果每人栽3棵梨树苗，还余2棵，如果每人栽7棵梨树苗，少6棵。问有多少少先队员？准备栽多少棵苹果树和梨树苗？ 12．小华从家到学校，他先用每分钟50米的速度走了2分钟。如果这样走下去，他就要迟到8分钟，后来他改用每分钟60米的速度前进，结果早到5分钟。求小华家到学校的路。 13．上级规定上午9点应把传令售从军营交到指挥部。一通讯兵如果每分钟走到100米可提早10分钟到达，如果每分钟走80米，可提早6分钟到达。求这个通讯兵在路上应用多长时间？他几点从军营出发刚好9点到达？军营离指挥部有多远？ 14．六一儿童节，老师给班上的同学发糖果，如果每人发10粒糖果，则还差32粒糖果，如果每人发6粒糖果，则糖果刚好分完。那么班上一共有多少名同学？老师一共有多少粒糖果？ 15．班级有一些明信片要分发给班里的同学，如果每人分3 张，还剩5张，如果每人4张，就缺10张，请问：有多少个同学？一共有多少张明信片？ 16．李明的妈妈去超市买洗衣粉，雕牌和碧浪的单价分别为8元和10元，李妈妈带的钱买雕牌洗衣粉比买碧浪洗衣粉可多买3袋，并且没有剩余的钱．问：李妈妈带了多少钱？ 17．六年级学生出去划船．老师算了一下，如果每船坐6人，那么还剩下22人没船坐．安排时发现有3条船坏了，于是改为每船坐8人，结果还剩下6人没地方坐，请问：一共有多少学生？ 18．王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的2倍.桔子每人分3个，多4个；苹果每人分7个，少5个.问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？ 19．学而思学校买来一批小足球分给各班：如果每班分4个，就差66个，如果每班分2个，则正好分完，学而思小学一共有多少个班？买来多少个足球？ 20．学而思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，分给同学们，每组分乒乓球拍5副，余乒乓球拍15副，每组分羽毛球拍14副，则差30副，问：学而思学校买来羽毛球拍、乒乓球拍各多少副？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $