精品解析：河北省邢台市卓越联盟NT20名校联合体2025-2026学年高三上学期10月阶段性联考数学试题

邢台市卓越联盟NT20第一学期高三年级10月联考 数学 考试说明： 1．本试卷共150分．考试时间120分钟. 2．请将各题答案填在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知角是第四象限角，且，则角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 3. 若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若，，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 6. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数的导数为，若，，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知全集，集合，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列命题正确的有（ ） A. 若是曲线的一条对称轴，则的最小值为 B. 若在上有且只有一个最小值点，则的取值范围是 C. 将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值为 D. 若在上恰有4个零点，则的范围为 11. 已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 曲线的对称中心为 B. 若关于的方程有三个实数解，则 C. 若在上有两个极值点，则的最小值为2 D. 过点作曲线的切线，切线一共有两条 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数满足，则__________. 13. 若时，函数取得最小值，则________． 14. 已知函数，当时，的图象始终在的图象上方，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数. （1）若，求函数在处的切线方程； （2）若函数有三个零点，求的取值范围. 17. 已知锐角的内角的对边分别为，，． （1）求； （2）若角的平分线交于点，求的取值范围． 18. 已知，函数的最大值为3，最小值为. （1）求的值； （2）若不等式在上有解，求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）讨论函数的极值点个数； （2）当时，证明：； （3）函数有两个零点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邢台市卓越联盟NT20第一学期高三年级10月联考 数学 考试说明： 1．本试卷共150分．考试时间120分钟. 2．请将各题答案填在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合新定义计算即可求解. 【详解】若，， 则可能为，所以的元素个数为3. 故选：C. 2. 已知角是第四象限角，且，则角是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】D 【解析】 【分析】根据角是第四象限角列出不等式计算得出角的范围并结合余弦值求解. 【详解】因为角是第四象限角，所以， 所以，所以角是第二象限角或第四象限角． 又因为，即，所以角是第四象限角． 故选：D． 3. 若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的定义和运算法则即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 4. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数解析式确定函数在上的单调性判断ACD；利用导数确定单调性判断B. 【详解】对于A，当时，，函数在上单调递减，A不是； 对于B，当时，， 函数在上单调递增， 则函数在上单调递增，， 则，函数在上单调递增，B是； 对于C，函数在上单调递减，C不是； 对于D，， 函数在上单调递增， 函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减，D不是. 故选：B 5. 已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若，，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系及正余弦定理即可求出，由两角差的余弦公式和辅助角公式求出，从而可判断的形状. 【详解】， ，即， 由正弦定理及余弦定理得，， ∵，∴， 又，，整理得， 因为，，所以， 所以，为等腰三角形． 故选：C． 6. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数运算，分离“1”之后，结合底数、真数的大小关系，画出图象进行比较即可. 【详解】由，，， 因为，而， 画出的图象， 由图可知，，那么， 则，则，即． 故选：A． 7. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，确定函数的奇偶性，利用导数确定其单调性，进而求出的范围. 【详解】令函数，，则， 因此函数是奇函数，又， 则函数在R上单调递减，不等式 ，于是，即，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 8. 定义在上的函数的导数为，若，，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，利用导数判断单调性，利用单调性比较大小，结合题意对选项逐一分析即可. 【详解】设，则． 已知，所以，则在上单调递增． 设，则． 已知，所以，则在上单调递减． 因为在上单调递增，在上单调递减． 对于A，，所以，， ，， 则，， 即，无法确定，故A错误； 对于B，，所以，，，， 则，即， ，即， 所以，无法确定，故B错误； 对于C，，所以，，，． 则，即， ，即，所以，故C正确； 对于D，，所以， 又因为，则， 所以，无法确定，故D错误. 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知全集，集合，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用集合的运算法则求得集合，再验证各个选项. 【详解】利用集合的运算法则得： ， . 对于 A： ，故正确； 对于 B： ，故错误； 对于 C： ，故正确； 对于 D： ，故错误. 故选：AC 10. 已知函数，则下列命题正确的有（ ） A. 若是曲线的一条对称轴，则的最小值为 B. 若在上有且只有一个最小值点，则的取值范围是 C. 将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值为 D. 若在上恰有4个零点，则的范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先将函数化简为正弦型函数的形式，然后根据正弦函数的图像和性质逐一求解即可. 【详解】由已知． 对于A，若是的一条对称轴，则， 解得． ，当时，有最小值为，故A正确； 对于B，由题意知，当时，， 在上有且只有一个最小值点， 或， 解得或，故B错误； 对于C，向左平移个单位长度后， 得到， 若为偶函数，则，，解得，， ，当时，有最小值为，故C正确； 对于D，时，， 若在上恰有4个零点，则， 解得，故D正确． 故选：ACD． 11. 已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 曲线的对称中心为 B. 若关于的方程有三个实数解，则 C. 若在上有两个极值点，则的最小值为2 D. 过点作曲线的切线，切线一共有两条 【答案】BD 【解析】 【分析】利用中心对称的性质判断A；利用导数求出函数的极值，再结合图象判断B；由函数的极值点判断C；利用导数求出过给定点的切线判断D. 【详解】对于A，恒成立，函数图象的 对称中心为，而，A错误； 对于B，，由，得，由， 得，函数在上单调递减，在和上单调递增， 则的极大值为，极小值为，由关于x的方程有三解， 得两曲线与有三个交点，因此，B正确； 对于C，由在上有两个极值点，且极值点为0和2，得，C错误； 对于D，设切点为，则切线方程为， 由切线过点，得，即， ，解得或，因此切线共有两条，D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数满足，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】令，，联立式子即可求解. 【详解】令得①， 令得， 可得，代入①式得， 解得. 故答案为：2. 13. 若时，函数取得最小值，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，根据最值求出，再利用诱导公式和两角和与差的正弦公式化简求出即可. 【详解】， 其中锐角满足，， 当，时，，因此，， 那么， ， 所以． 故答案为：． 14. 已知函数，当时，的图象始终在的图象上方，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】把问题转化为在上恒成立，再构造函数，利用导数求出的范围. 【详解】函数，由的图象始终在的图象上方， 得在上恒成立，即在上恒成立， 当时，恒有成立，当时，恒成立； 当时，，令， ，函数在上单调递增， 当，且时，， 若，即时，在上恒成立， 函数在上单调递增，当且时，且， 则在上恒成立，因此； 当时，，，则存在唯一的，使， 且当时，，函数在上单调递减， 当时，，不符合题意， 所以a的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由对数函数单调性求出集合，再利用并集的结果列式求解. （2）由（1）的信息，利用交集的结果列式求解 【小问1详解】 由，解得，， 由，得，而， 则，解得，所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 由（1）知，由，即， 当时，，解得； 当时，则，无解， 所以实数的取值范围是. 16. 已知函数. （1）若，求函数在处的切线方程； （2）若函数有三个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）只需求得即可； （2），分离参数得，构造函数，利用导数研究函数的单调性，进一步画图即可求解. 【小问1详解】 若，的导数为，所以， 故所求切线方程为，即； 【小问2详解】 因为，即不是函数的零点，所以， 令，求导得， 令或， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，，，当时，， 由此可作出函数的图象，如图所示， 由题意，函数有三个零点，结合图象可知，的取值范围为. 17. 已知锐角的内角的对边分别为，，． （1）求； （2）若角的平分线交于点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角可求得，由此可得； （2）利用面积可求得，利用正弦定理边化角，结合的范围可求得的范围，进而构造不等式求得的取值范围. 【小问1详解】 ，， 由正弦定理得：， ， ，，，. 【小问2详解】 ； 由正弦定理得：； ，，， ，即， ，解得：，即的取值范围为. 18. 已知，函数的最大值为3，最小值为. （1）求的值； （2）若不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用对数运算法则化简函数，再利用对数函数单调性及二次函数性质列式求出. （2）由（1）求出并化简给定不等式，分离参数并利用对勾函数单调性求出最大值即得. 【小问1详解】 依题意，， 由，得，，又， 因此，， 所以，. 【小问2详解】 由（1）知，则， 即，依题意，不等式在上有解， 因此，不等式成立， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而，，则，于是， 所以k的取值范围是. 19. 已知函数. （1）讨论函数的极值点个数； （2）当时，证明：； （3）函数有两个零点，求证：. 【答案】（1）时，无极值点； 时，有一个极小值点，无极大值点； 时，有一个极小值点，一个极大值点. （2）当时，， 即证， 令，即证，即证， 因为，则函数在上单调递增， 当时，；当时，，所以函数的值域为， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数的减区间为，增区间为，则， 故，即，故原不等式得证； （3）， 因为函数有两个零点、，不妨设， 则，所以， 则，即， 要证，即证， 即证， 令，即证， 令，其中，则， 所以函数在上为增函数，则， 即，即，故原不等式得证． 【解析】 【分析】（1）求导，分、、三种情况讨论其单调性即可； （2）令，利用同构思想求证即可； （3）根据得出，将目标转化为求，再令，进而转化为求证，再构造函数求最值即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， ， 令，， 当，即时，恒成立，则在上单调递增，无极值点； 当时，即或时， 有两个不等的实数根， 当时，，，得；得； 则在上单调递减，在上单调递增， 则函数有一个极小值点，无极大值点； 当时，，得或；得； 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故为极大值点，为极小值点，即函数有两个极值点， 综上，时，无极值点； 时，有一个极小值点，无极大值点； 时，有一个极小值点，一个极大值点. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $