第10讲 间隔问题（知识梳理+例题讲解+考点练习）-四年级奥数培优讲义

第10讲 间隔问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解概念： 认识“间隔”的含义，理解并掌握“物体个数”与“间隔数”之间的基本关系。 2.掌握类型： 重点掌握植树问题、排队问题、方阵问题和上楼问题这四类典型间隔问题的特点及解题规律。 3.学会方法： 能通过画图、分析等方法，准确判断间隔问题的类型，并运用相应的数量关系解决实际问题。 4.提升能力： 培养观察能力、分析能力和逻辑思维能力，感受数学与生活的密切联系，提高解决实际问题的能力。 知识梳理 知识点一、间隔问题的基本认识 1.什么是间隔？ 两个物体之间的空隙或距离称为“间隔”。例如：两棵树之间的距离，锯木头时每段木头之间的缝隙，楼梯的台阶之间等。 2.物体数与间隔数： （1）物体数： 指被排列的物体的总个数（如树的棵数、人数、钟点数等）。 （2）间隔数： 指物体之间空隙的数量。 知识点二、植树问题 (最核心、最基础) 植树问题是间隔问题的基础，主要研究在一定长度的线路上，按一定的距离种植树木时，树木棵数与间隔数之间的关系。 1.直线型植树 (非封闭线路) （1）两端都植树： 线路起点和终点都种有树。数量关系： 棵数 = 间隔数 + 1 间隔数 = 总长度 ÷ 间距 总长度 = 间距 × 间隔数 （2）两端都不植树： 线路起点和终点都不种树（例如：两栋楼之间植树）。数量关系： 棵数 = 间隔数 - 1 间隔数 = 总长度 ÷ 间距 总长度 = 间距 × 间隔数 （3）一端植树，另一端不植树： 线路只有一端种树。数量关系： 棵数 = 间隔数 间隔数 = 总长度 ÷ 间距 2.封闭型植树 (如：圆形、正方形、长方形等闭合线路)： 线路是封闭的，首尾相连。 （1）数量关系： 棵数 = 间隔数 (相当于“一端植树，另一端不植树”的直线型) 间隔数 = 总长度 (周长) ÷ 间距 总长度 (周长) = 间距 × 间隔数 知识点三、排队问题 排队问题可以看作是“植树问题”的变形，人或物体相当于“树”，人与人（或物体与物体）之间的空隙相当于“间隔”。 1.间隔数 = 人数 (或物体数) - 1 (类似于“两端都植树”的情况，因为队伍的第一个人和最后一个人相当于两端的“树”) 2.队伍长度 = 间距 × 间隔数 知识点四、方阵问题 (与封闭图形植树相关) 方阵问题研究的是正方形队列，每边的人数相等。这里主要涉及最外层的点数（或人数）计算，与封闭图形植树问题有相通之处。 1.实心方阵（简单了解最外层）： 最外层人数 = 每边人数 × 4 - 4 (减去4是因为四个角的人被重复计算了一次) 最外层人数 = (每边人数 - 1) × 4 (把每个角的人看作一个间隔的起点) 每边人数 = 最外层人数 ÷ 4 + 1 知识点五、上楼问题 (爬楼梯问题) 上楼问题的关键在于理解：从1楼到N楼，所走的楼梯段数（间隔数）是 (N-1) 段，而不是N段。因为1楼是不需要爬楼梯的。 1.核心关系： 楼梯段数 (间隔数) = 到达楼层 - 起始楼层 总台阶数 = 每段楼梯台阶数 × 楼梯段数 知识点六、解题技巧与注意事项 1.画图辅助： 对于间隔问题，画图是理解题意、找出数量关系最有效的方法。可以用简单的符号（如 "○" 代表树或人，"|" 代表间隔）来绘制示意图。 2.明确“物体”与“间隔”： 清楚题目中什么是“树”（物体），什么是“间隔”（物体之间的空隙）。 3.判断类型： 准确判断题目属于哪种类型的间隔问题（如植树问题的哪种情况，是排队还是上楼等），这是正确运用公式的前提。 4.抓住关键词： 如“两端都栽”、“两端不栽”、“一旁”、“两旁”、“之间”、“周围”、“从...到...”等，这些词语往往提示了问题的类型和计算方式。 5.单位统一： 计算时注意长度单位、时间单位等是否统一。 6.逆向思维： 不仅要会根据“总长度、间距”求“棵数”，也要会根据“棵数、间距”求“总长度”，或根据“总长度、棵数”求“间距”。 例题讲解 一、植树问题 【例题1】王伯伯沿教室走廊一侧放花盆，每隔2米放一盆，一共放了18盆。从第一盆到最后一盆的距离有多远？ 【例题2】运动场上有一条长45米的跑道，跑道两边每隔5米插一面彩旗。如果两端都插，需要多少面彩旗？ 【例题3】一条线段上最初有100个点（包含端点），第一次在每相邻的两点之间增加一个点，第二次同样在每相邻的两点之间增加一个点。这时线段上共有( )个点。 二、排队问题 【例题1】15个小朋友排成一队做游戏，每两人之间相距2米，这个队伍长多少米？ 【例题2】同学们排队去食堂，队伍长24米，每两人之间相距3米，这一队一共有多少名同学？ 三、方阵问题 【例题1】在体操表演上，四年级共组成了4个方阵，每个方阵排成8行，每行8人。最外围的同学戴红色太阳帽，其余同学戴黄色太阳帽，一共要准备( )顶红色太阳帽。 【例题2】为了准备学校的集体舞比赛，四年级的学生在排队形。如果排成3层空心的方阵则多10人，如果在中间空心的部分接着增加一层又少6人。问一共有多少个学生参加排练呢？ 【例题3】如图是某个农场的地形图，将整个农场划分为相同的4块正方形，每个正方形的边长为100米，隔道的宽为6米，现在要在所有的隔道两边每隔4米种一棵树，每个拐角都要种树，这个农场一共要种多少棵树？ 四、上楼问题 【例题1】小红家住在5楼，她从1楼走到5楼需要走80级台阶，每两层楼之间的台阶数相同，每两层楼之间有多少级台阶？ 【例题2】小明从1楼爬到3楼用了6分钟，照这样的速度，他从1楼爬到6楼需要多少分钟？ 考点练习 一、植树问题 1．一条长180米的小路的一边共栽了37棵树（两端都栽），那么这条小路旁每相邻两棵树之间的距离是多少米？ 2．园林工人沿一条笔直的公路一侧植树，每隔6米种一棵，一共种了36棵。从第一棵到最后一棵的距离有多远？ 3．在两栋教学楼之间每隔5米栽一棵树，共栽了10棵，这两栋教学楼之间的距离是( )米。 4．公园小路的一侧栽有一行柏树（两端都有），从起点到终点一共60棵，每两棵之间相距5米。这条小路长( )米。 5．名学生组成一列队伍去春游，每人组成一行（每行视为一条线），每相邻两行间隔米。如果这个队伍以每分钟米的速度行进，那么通过一座长米的桥，需要( )分钟。 6．路边每隔6米种着一棵树，树的种类依次为一棵松树、两棵杨树、三棵柳树、一棵松树、两棵杨树、三棵柳树某人从第一棵松树起，以每秒2米的速度沿着路边走，经过多少秒后，他会遇到第100棵柳树？ 二、排队问题 1．同学们做操，排成一个正方形的队伍，从前，后，左，右数，小红都是第5个，问一共有（   ）人。 A．81 B．25 C．32 D．120 2．同学们做操，小林站在左起第5列，右起第3列；从前数前面有4个同学，从后数后面有6个同学。每行每列的人数同样多，做操的同学一共有多少人？ 3. 20名小朋友排成两列纵队（每列人数相同）做操，每列中每两人之间相距1米，每列队伍长多少米？ 4. 在一次运动会入场式中，从队伍的排头数，小明是第6个；从队伍的排尾数，小明是第7个。这个队伍一共有多少人？ 5. 一排书架上摆放着故事书，从左边数《西游记》是第4本，从右边数《西游记》是第5本，这一排书架上共有多少本故事书？ 6. 校门口摆放了一排菊花，共10盆，每两盆菊花之间相距1米，从第一盆到最后一盆菊花的距离是多少米？ 7. 同学们排成一个长方形队伍进行表演，每行有8人，每列有5人，每行中每两人之间相距2米，每行队伍长多少米？ 8. 一个圆形花坛周围摆放了12盆月季花，每两盆月季花之间相距4米，这个圆形花坛的周长是多少米？ 三、方阵问题 1．学校艺术节开幕式方阵表演，要求每行8人，排成8行，最外面一层的同学穿黄衣服，其余的穿红衣服。一个方阵中穿黄衣服的有( )人，穿红衣服的有( )人。 2．运动会上，四年级同学组成4个表演方阵，每个方阵排成6行，每行6人，最外面一圈是男生，其余是女生。四年级参加表演的男生有多少人？女生呢？ 3．国庆70周年大阅兵，受阅方阵中共有15个徒步方阵，每个方阵2个领队，有14排，每排25人，共有多少人参加了徒步方阵？ 4．如图，边长为60米的大正方形农田被分为9个小正方形农田，农民在农田四周种了许多桑树：图中每一个交点处都种有一棵桑树，线段上每4米种一棵桑树。围绕这块大正方形农田种了多少棵桑树？总共种了多少棵桑树？ 5．四年级同学参加学校运动会开幕式表演，共排成4个方队，每个方队排成6行，每行6人。最外圈的同学举彩旗，其余同学举花束。举彩旗的同学一共有多少人？举花束的呢？（先画图表示一个方队的队列，再计算） 6．啦啦队排成方阵进行表演，最外围的一圈队员有64人，如果在外围再增加一圈队员，需要增加多少人？增加一圈后方阵里一共有多少人？ 7．一队战士排成三层空心方阵多出人，如果空心部分再加一层又少人，这队战士共有多少人？如果他们改成实心方阵，每边应有多少人？ 四、上楼问题 1．小明家住在6楼，小华家住在4楼，每层楼之间楼梯的级数都相同，小华回家共要走 48 级楼梯，问小明回家要走多少级楼梯？ 2．阿呆和阿瓜比赛走楼梯，他们都从第1层开始走，当阿呆走到第4层的时候阿瓜刚走到第3层，那么，当阿呆走到第16层时候，阿瓜走到第几层？ 3. 小华家住在4楼，每层楼之间有18级台阶，他从家走到1楼，一共要走多少级台阶？ 4. 小刚从2楼爬到6楼，共走了48级台阶，每两层楼之间的台阶数相同，每两层楼之间有多少级台阶？ 5. 小芳从1楼到4楼需要9分钟，照这样计算，她从3楼到7楼需要多少分钟？ 6. 每两层楼之间有20级台阶，小亮从1楼开始向上走，走了60级台阶后到达了几楼？ 7. 小丽从家出发，走了36级台阶到达5楼，每两层楼之间有12级台阶，小丽家住在几楼？ 8. 一栋楼每层楼之间有15级台阶，王老师从3楼走到8楼，李老师从1楼走到4楼，谁走的台阶多？多多少级？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 间隔问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解概念： 认识“间隔”的含义，理解并掌握“物体个数”与“间隔数”之间的基本关系。 2.掌握类型： 重点掌握植树问题、排队问题、方阵问题和上楼问题这四类典型间隔问题的特点及解题规律。 3.学会方法： 能通过画图、分析等方法，准确判断间隔问题的类型，并运用相应的数量关系解决实际问题。 4.提升能力： 培养观察能力、分析能力和逻辑思维能力，感受数学与生活的密切联系，提高解决实际问题的能力。 知识梳理 知识点一、间隔问题的基本认识 1.什么是间隔？ 两个物体之间的空隙或距离称为“间隔”。例如：两棵树之间的距离，锯木头时每段木头之间的缝隙，楼梯的台阶之间等。 2.物体数与间隔数： （1）物体数： 指被排列的物体的总个数（如树的棵数、人数、钟点数等）。 （2）间隔数： 指物体之间空隙的数量。 知识点二、植树问题 (最核心、最基础) 植树问题是间隔问题的基础，主要研究在一定长度的线路上，按一定的距离种植树木时，树木棵数与间隔数之间的关系。 1.直线型植树 (非封闭线路) （1）两端都植树： 线路起点和终点都种有树。数量关系： 棵数 = 间隔数 + 1 间隔数 = 总长度 ÷ 间距 总长度 = 间距 × 间隔数 （2）两端都不植树： 线路起点和终点都不种树（例如：两栋楼之间植树）。数量关系： 棵数 = 间隔数 - 1 间隔数 = 总长度 ÷ 间距 总长度 = 间距 × 间隔数 （3）一端植树，另一端不植树： 线路只有一端种树。数量关系： 棵数 = 间隔数 间隔数 = 总长度 ÷ 间距 2.封闭型植树 (如：圆形、正方形、长方形等闭合线路)： 线路是封闭的，首尾相连。 （1）数量关系： 棵数 = 间隔数 (相当于“一端植树，另一端不植树”的直线型) 间隔数 = 总长度 (周长) ÷ 间距 总长度 (周长) = 间距 × 间隔数 知识点三、排队问题 排队问题可以看作是“植树问题”的变形，人或物体相当于“树”，人与人（或物体与物体）之间的空隙相当于“间隔”。 1.间隔数 = 人数 (或物体数) - 1 (类似于“两端都植树”的情况，因为队伍的第一个人和最后一个人相当于两端的“树”) 2.队伍长度 = 间距 × 间隔数 知识点四、方阵问题 (与封闭图形植树相关) 方阵问题研究的是正方形队列，每边的人数相等。这里主要涉及最外层的点数（或人数）计算，与封闭图形植树问题有相通之处。 1.实心方阵（简单了解最外层）： 最外层人数 = 每边人数 × 4 - 4 (减去4是因为四个角的人被重复计算了一次) 最外层人数 = (每边人数 - 1) × 4 (把每个角的人看作一个间隔的起点) 每边人数 = 最外层人数 ÷ 4 + 1 知识点五、上楼问题 (爬楼梯问题) 上楼问题的关键在于理解：从1楼到N楼，所走的楼梯段数（间隔数）是 (N-1) 段，而不是N段。因为1楼是不需要爬楼梯的。 1.核心关系： 楼梯段数 (间隔数) = 到达楼层 - 起始楼层 总台阶数 = 每段楼梯台阶数 × 楼梯段数 知识点六、解题技巧与注意事项 1.画图辅助： 对于间隔问题，画图是理解题意、找出数量关系最有效的方法。可以用简单的符号（如 "○" 代表树或人，"|" 代表间隔）来绘制示意图。 2.明确“物体”与“间隔”： 清楚题目中什么是“树”（物体），什么是“间隔”（物体之间的空隙）。 3.判断类型： 准确判断题目属于哪种类型的间隔问题（如植树问题的哪种情况，是排队还是上楼等），这是正确运用公式的前提。 4.抓住关键词： 如“两端都栽”、“两端不栽”、“一旁”、“两旁”、“之间”、“周围”、“从...到...”等，这些词语往往提示了问题的类型和计算方式。 5.单位统一： 计算时注意长度单位、时间单位等是否统一。 6.逆向思维： 不仅要会根据“总长度、间距”求“棵数”，也要会根据“棵数、间距”求“总长度”，或根据“总长度、棵数”求“间距”。 例题讲解 一、植树问题 【例题1】王伯伯沿教室走廊一侧放花盆，每隔2米放一盆，一共放了18盆。从第一盆到最后一盆的距离有多远？ 【答案】34米 【分析】根据间隔数＝棵树－1，总长＝间隔数×间隔长，代数解答即可。 【详解】（18－1）×2 ＝17×2 ＝34（米） 答：从第一盆到最后一盆的距离有34米。 【例题2】运动场上有一条长45米的跑道，跑道两边每隔5米插一面彩旗。如果两端都插，需要多少面彩旗？ 【答案】20面 【分析】由题可知，跑道总长45米，每段长度是5米，即已知跑道的总长和段长，求整条跑道一共可以分成多少段（段数），段数＝总长÷段长；两端都插，则旗数比段数多1，求出一侧的彩旗数还要乘才求出一共需要的彩旗数量，据此解答。 【详解】段数：45÷5＝9（段） 9＋1＝10（面） 10×2＝20（面） 答：需要插20面彩旗。 【例题3】一条线段上最初有100个点（包含端点），第一次在每相邻的两点之间增加一个点，第二次同样在每相邻的两点之间增加一个点。这时线段上共有( )个点。 【答案】397 【分析】一条线段上最初有100个点，共有100－1＝99（个）间隔，所以第一次在每相邻的两点之间增加一个点，共增加99个点，此时共有100＋99＝199（个）点；199个点共有199－1＝198（个）间隔，所以第二次共增加198个点，此时共有198＋199＝397（个）点；据此即可解答。 【详解】100－1＝99（个） 100＋99－1＝198（个） 100＋99＋198 ＝199＋198 ＝397（个） 这时线段上共有397个点。 二、排队问题 【例题1】15个小朋友排成一队做游戏，每两人之间相距2米，这个队伍长多少米？ 【答案】28米 【分析】属于排队问题，关键关系：间隔数=人数-1，队伍长度=间距×间隔数。 【详解】间隔数=人数-1=15-1=14（个） 队伍长度=间距×间隔数=2×14=28（米） 【例题2】同学们排队去食堂，队伍长24米，每两人之间相距3米，这一队一共有多少名同学？ 【答案】9名 【分析】属于排队问题，关键关系：人数=间隔数+1，间隔数=队伍长度÷间距。 【详解】间隔数=队伍长度÷间距=24÷3=8（个） 人数=间隔数+1=8+1=9（名） 三、方阵问题 【例题1】在体操表演上，四年级共组成了4个方阵，每个方阵排成8行，每行8人。最外围的同学戴红色太阳帽，其余同学戴黄色太阳帽，一共要准备( )顶红色太阳帽。 【答案】112 【分析】每个方阵最外层有4边，每个方阵最外围有4×（8－1）＝28人，4个方阵最外围有4×28＝112人。即要准备112顶红色太阳帽。 【详解】（8－1）×4×4 ＝7×4×4 ＝28×4 ＝112（顶） 则一共要准备112顶红色太阳帽。 【例题2】为了准备学校的集体舞比赛，四年级的学生在排队形。如果排成3层空心的方阵则多10人，如果在中间空心的部分接着增加一层又少6人。问一共有多少个学生参加排练呢？ 【答案】人 【分析】在内部增加一层，人数由多出10人变为反而少6人，所以这一层人数为（10＋6）人，据此即可求出每层每边人数，再求出这个四层方阵的总人数，减去6，就是学生人数。 【详解】中间空心部分加一层，每边有： （10＋6）÷4＋1 ＝16÷4＋1 ＝4＋1 ＝5（人） 四层方阵有： （4＋6＋8＋10）×4 ＝28×4 ＝112（人）； 一共有学生： 112－6＝106（人） 答：一共有106个学生参加排练。 【例题3】如图是某个农场的地形图，将整个农场划分为相同的4块正方形，每个正方形的边长为100米，隔道的宽为6米，现在要在所有的隔道两边每隔4米种一棵树，每个拐角都要种树，这个农场一共要种多少棵树？ 【答案】618棵 【分析】农场是正方形的，且周边是封闭图形，根据“棵数＝段数＝周长÷株距”，求大正方形内侧及4个小正方形外侧所植树木的和即可。 【详解】大正方形内侧四周的树木棵树： （100×2＋6×3）×4÷4 ＝（200＋18）×4÷4 ＝218×4÷4 ＝218（棵） 小正方形外侧四周的树木棵树： 100×4÷4 ＝400÷4 ＝100（棵） 218＋100×4 ＝218＋400 ＝618（棵） 答：这个农场一共要种618棵树。 四、上楼问题 【例题1】小红家住在5楼，她从1楼走到5楼需要走80级台阶，每两层楼之间的台阶数相同，每两层楼之间有多少级台阶？ 【答案】20级 【分析】关键关系：楼梯段数=到达楼层-起始楼层，每段台阶数=总台阶数÷楼梯段数。 【详解】楼梯段数=5-1=4（段） 每段台阶数=80÷4=20（级） 【例题2】小明从1楼爬到3楼用了6分钟，照这样的速度，他从1楼爬到6楼需要多少分钟？ 【答案】15分钟 【分析】先求每段楼梯用时，关键关系：楼梯段数=到达楼层-起始楼层，总时间=每段时间×楼梯段数。 【详解】1楼到3楼段数=3-1=2（段） 每段时间=6÷2=3（分钟/段） 1楼到6楼段数=6-1=5（段） 总时间=5×3=15（分钟） 考点练习 一、植树问题 1．一条长180米的小路的一边共栽了37棵树（两端都栽），那么这条小路旁每相邻两棵树之间的距离是多少米？ 【答案】5米 【分析】这条小路两端都栽树，则树的棵数比间隔数多1，间隔数是（37－1）个。用这条小路的总长度除以间隔数，求出每相邻两棵树之间的距离。 【详解】180÷（37－1） ＝180÷36 ＝5（米） 答：每相邻两棵树之间的距离是5米。 2．园林工人沿一条笔直的公路一侧植树，每隔6米种一棵，一共种了36棵。从第一棵到最后一棵的距离有多远？ 【答案】210米 【分析】本题是两端都栽的植树问题，一侧的植树棵数－1＝间隔数，已知每两棵树的间隔是6米，用间隔数乘间隔距离即可求出从第一棵到最后一棵的距离。 【详解】6×（36－1） ＝6×35 ＝210（米） 答：从第一棵到最后一棵的距离是210米。 3．在两栋教学楼之间每隔5米栽一棵树，共栽了10棵，这两栋教学楼之间的距离是( )米。 【答案】55 【分析】两栋教学楼之间种树，属于两端都不植树问题，间隔数＝树的棵树＋1，总长度＝间隔数×间隔长度。 【详解】5×（10＋1） ＝5×11 ＝55（米） 这两栋教学楼之间的距离为55米。 4．公园小路的一侧栽有一行柏树（两端都有），从起点到终点一共60棵，每两棵之间相距5米。这条小路长( )米。 【答案】295 【分析】要想知道小路有多长，我们先得知道有多少个间隔（两棵树之间有1个间隔），而从起点到终点两端都栽了树，所以间隔数＝棵数－1，用间隔数乘间隔距就是小路的长度了。 【详解】间隔数：60－1＝59（个） 小路的长度：59×5＝295（米） 这条小路长295米。 5．名学生组成一列队伍去春游，每人组成一行（每行视为一条线），每相邻两行间隔米。如果这个队伍以每分钟米的速度行进，那么通过一座长米的桥，需要( )分钟。 【答案】10 【分析】名学生组成一列队伍去春游，每人组成一行，因此每一行的人数为：244÷4＝61（人）。每相邻两行间隔米，因此队伍的总长度为：（61－1）×2＝120（米）。这个队伍通过一座长米的桥，则总路程为桥长加上队伍长，最后再根据“时间＝路程÷速度”即可求出过桥时间。 【详解】队伍的总长度：（244÷4－1）×2 ＝（61－1）×2 ＝60×2 ＝120（米） 时间：（120＋280）÷40 ＝400÷40 ＝10（分钟） 因此通过一座长米的桥，需要10分钟。 6．路边每隔6米种着一棵树，树的种类依次为一棵松树、两棵杨树、三棵柳树、一棵松树、两棵杨树、三棵柳树某人从第一棵松树起，以每秒2米的速度沿着路边走，经过多少秒后，他会遇到第100棵柳树？ 【答案】603秒 【分析】根据题意可知树的种植规律为一棵松树、两棵杨树、三棵柳树……周期为6依次有规律的种植，把这6棵树看作一组，当遇到第100棵柳树时，每一个周期里面有3棵柳树，即有33组余1棵。这一棵树的前面有33组周期和一棵松树、两棵杨树，则遇到100棵柳树时一共有202棵树。 根据“间隔数＝棵数－1”即可求出间隔数，用间隔数乘间隔距离即可求出从第1棵树走到第100棵柳树的距离，根据“时间＝路程÷速度”即可解答本题。 【详解】100÷3＝33（组）……1（棵） 1＋2＋3＝6（棵） 33×6＋1＋2＋1 ＝198＋4 ＝202（棵） （202－1）×6 ＝201×6 ＝1206（米） 1206÷2＝603（秒） 答：经过603秒后，他会遇到第100棵柳树。 二、排队问题 1．同学们做操，排成一个正方形的队伍，从前，后，左，右数，小红都是第5个，问一共有（   ）人。 A．81 B．25 C．32 D．120 【答案】A 【详解】方阵问题 解：每边人数是：5×2﹣1=9（人）， 共有：9×9=81（人）， 答：一共有81人． 故选A． 因为从前、后、左、右数，小红都是第5个，所以每行都有：5×2﹣1=9人，由此利用方阵问题中：总人数=每边人数×每边人数，即可解答． 2．同学们做操，小林站在左起第5列，右起第3列；从前数前面有4个同学，从后数后面有6个同学。每行每列的人数同样多，做操的同学一共有多少人？ 【答案】77人 【分析】根据题意先分别算出每行和每列的人数，即是做操队列的列数和行数，再相乘，就是做操的同学共有的人数。 【详解】4＋6＋1＝11（人） 5＋3－1＝7（人） 11×7＝77（人） 答：做操的同学一共有77人。 3. 20名小朋友排成两列纵队（每列人数相同）做操，每列中每两人之间相距1米，每列队伍长多少米？ 【答案】9米 【分析】先求每列人数，再用“队伍长度=间距×间隔数”，间隔数=每列人数-1。 【详解】每列人数=20÷2=10（人） 间隔数=每列人数-1=10-1=9（个） 每列队伍长度=1×9=9（米） 4. 在一次运动会入场式中，从队伍的排头数，小明是第6个；从队伍的排尾数，小明是第7个。这个队伍一共有多少人？ 【答案】12人 【分析】属于排队重叠问题，关键关系：总人数=排头数+排尾数-1（小明被重复数1次）。 【详解】总人数=6+7-1=12（人） 5. 一排书架上摆放着故事书，从左边数《西游记》是第4本，从右边数《西游记》是第5本，这一排书架上共有多少本故事书？ 【答案】8本 【分析】属于物体排队重叠问题，关键关系：总本数=左边数的位置+右边数的位置-1（《西游记》被重复数1次）。 【详解】总本数=4+5-1=8（本） 6. 校门口摆放了一排菊花，共10盆，每两盆菊花之间相距1米，从第一盆到最后一盆菊花的距离是多少米？ 【答案】9米 【分析】属于物体排队问题，关键关系：距离=间距×间隔数，间隔数=盆数-1。 【详解】间隔数=盆数-1=10-1=9（个） 距离=1×9=9（米） 7. 同学们排成一个长方形队伍进行表演，每行有8人，每列有5人，每行中每两人之间相距2米，每行队伍长多少米？ 【答案】14米 【分析】只需求每行长度，与列数无关，关键关系：每行长度=间距×（每行人数-1）。 【详解】每行间隔数=8-1=7（个） 每行队伍长度=2×7=14（米） 8. 一个圆形花坛周围摆放了12盆月季花，每两盆月季花之间相距4米，这个圆形花坛的周长是多少米？ 【答案】48米 【分析】属于封闭型排队问题（类似封闭植树），关键关系：周长=间距×盆数（间隔数=盆数）。 【详解】周长=间距×盆数=4×12=48（米） 三、方阵问题 1．学校艺术节开幕式方阵表演，要求每行8人，排成8行，最外面一层的同学穿黄衣服，其余的穿红衣服。一个方阵中穿黄衣服的有( )人，穿红衣服的有( )人。 【答案】 28 36 【分析】每行8人，排成8行，说明红衣服和黄衣服的人数一共是（8×8）人；最外面一层的同学穿黄衣服，其余的穿红衣服，说明穿红衣服的每行（8－2）人，排成（8－2）行，穿红衣服的一共有（8－2）乘（8－2）人，最后用减法计算出穿黄衣服的人数；据此解答。 【详解】根据分析： 一共：8×8＝64（人） 红衣服： （8－2）×（8－2） ＝6×6 ＝36（人） 黄衣服：64－36＝28（人） 所以一个方阵中穿黄衣服的有28人，穿红衣服的有36人。 2．运动会上，四年级同学组成4个表演方阵，每个方阵排成6行，每行6人，最外面一圈是男生，其余是女生。四年级参加表演的男生有多少人？女生呢？ 【答案】80人；64人； 【分析】（1）计算每个方阵男生人数：对于一个每行6人，共6行的方阵，四条边的人数如果直接按6×4计算，四个角上的人会被重复计算一次。所以每个方阵最外圈男生人数为6×4－4＝20人； （2）计算4个方阵男生总人数：已知每个方阵有20个男生，一共有4个方阵，所以男生总人数为20×4＝80人。 （3）计算每个方阵女生人数：方阵去掉最外圈后，里面组成的还是一个小方阵。去掉最外圈一行一列后，小方阵每行每列的人数是6－2＝4人。那么每个方阵女生人数为4×4＝16人。 （4）计算4个方阵女生总人数：每个方阵有16个女生，4个方阵女生总人数为16×4 ＝ 64人。 【详解】（6×4－4）×4 ＝（24－4）×4 ＝20×4 ＝80（人） （6－2）×4×4 ＝4×4×4 ＝16×4 ＝64（人） 答：四年级参加表演的男生有80人，女生有64人。 3．国庆70周年大阅兵，受阅方阵中共有15个徒步方阵，每个方阵2个领队，有14排，每排25人，共有多少人参加了徒步方阵？ 【答案】5280人 【分析】用每排的人数乘排数，再加上2，求出一共方阵的人数，再乘方阵的个数即可。 【详解】（25×14＋2）×15 ＝（350＋2）×15 ＝352×15 ＝5280（人） 答：共有5280人参加了徒步方阵。 4．如图，边长为60米的大正方形农田被分为9个小正方形农田，农民在农田四周种了许多桑树：图中每一个交点处都种有一棵桑树，线段上每4米种一棵桑树。围绕这块大正方形农田种了多少棵桑树？总共种了多少棵桑树？ 【答案】60棵；112棵 【分析】根据题意，大正方形的边长为60米，大正方形的周长为60×4＝240（米），每隔4米种一棵桑树，所以农田四周种了240÷4＝60（棵）桑树；农田里面由4条线段把大正方形分成9个相同的小正方形，每条线段的长度为60米，每条线段（两端除外）上有60÷4－1＝14（棵）桑树，4条线段就有14×4＝56（棵）桑树，减去中间交点上重复计算的4棵桑树，农田中间有56－4＝52（棵），再加四周的60棵，即等于总共种桑树的棵数，据此即可解答。 【详解】60×4÷4 ＝240÷4 ＝60（棵） （60÷4－1）×4－4＋60 ＝（15－1）×4－4＋60 ＝14×4－4＋60 ＝56－4＋60 ＝52＋60 ＝112（棵） 答：围绕这块大正方形农田种了60棵桑树，总共种了112棵桑树。 5．四年级同学参加学校运动会开幕式表演，共排成4个方队，每个方队排成6行，每行6人。最外圈的同学举彩旗，其余同学举花束。举彩旗的同学一共有多少人？举花束的呢？（先画图表示一个方队的队列，再计算） 【答案】见详解 【分析】最外圈上下两行各6人，共12人；左右两列各剩4人，共8人。 1个方队举彩旗的同学＝12个人＋8个人＝20个人，4个方队举彩旗的同学＝20×4； 1个方队举花束的同学＝里圈正方形的边长×边长＝16人，4个方队举花束的同学＝16×4。 【详解】如图： 举彩旗：（6×2＋4×2）×4 ＝（12＋8）×4 ＝20×4 ＝80（人） 举花束：4×4×4＝64（人） 答：举彩旗的同学一共有80人，举花束的有64人。 6．啦啦队排成方阵进行表演，最外围的一圈队员有64人，如果在外围再增加一圈队员，需要增加多少人？增加一圈后方阵里一共有多少人？ 【答案】72人；361人 【分析】根据四周人数＝（每边人数－1）×4，即每边人数＝四周人数÷4＋1，代入数值求出原来每边的人数，在外围再增加一圈队员，也就是外圈比里面的一圈每边增加2人，即用算出的每边人数加上2，为再增加一圈后的外围单边人数，根据四周人数＝（每边人数－1）×4可求出这时最外圈的人数，即为新增加的人数；该方阵为实心方阵，所以总人数＝每边人数×每边人数，代入数据即可。 【详解】由分析可得： 64÷4＋1 ＝16＋1 ＝17（人） 17＋2＝19（人） （19－1）×4 ＝18×4 ＝72（人） 19×19＝361（人） 答：需要增加72人，增加一圈后方阵里一共有361人。 7．一队战士排成三层空心方阵多出人，如果空心部分再加一层又少人，这队战士共有多少人？如果他们改成实心方阵，每边应有多少人？ 【答案】人；人 【分析】把多余的人放在方阵内部还少人，可见方阵内部增加一层，需要：（人），因此向外三层的每层人数都可以求出。从内向外每层人数依次是：第一层：（人），第二层：（人），第三层：（人），总人数：（人），因为，所以排成实心方阵每边有人。 【详解】（16＋28＋8）＋（16＋28＋2×8）＋（16＋28＋3×8）＋16 ＝52＋（16＋28＋16）＋（16＋28＋24）＋16 ＝52＋60＋68＋16 ＝196（人） 196＝14×14 答：这队战士共有196人，如果他们改成实心方阵，每边应有14人。 四、上楼问题 1．小明家住在6楼，小华家住在4楼，每层楼之间楼梯的级数都相同，小华回家共要走 48 级楼梯，问小明回家要走多少级楼梯？ 【答案】80级 【分析】小华住4楼，回家要走3层楼梯，共走了48级楼梯，那么每层楼梯的级数为48÷3＝16（级），小明住6楼，回家要走5层楼梯，16×5＝80级，由此计算即可。 【详解】每层楼梯级数：48÷（4－1）＝16（级） 6楼楼梯级数：16×（6－1）＝80（级） 答：小明回家要走80级楼梯. 2．阿呆和阿瓜比赛走楼梯，他们都从第1层开始走，当阿呆走到第4层的时候阿瓜刚走到第3层，那么，当阿呆走到第16层时候，阿瓜走到第几层？ 【答案】11层 【分析】两人所走过的是层间距，当阿呆走过3个层间距的时候，阿瓜走过2个层间距，然后求出阿呆走15个层间距的时候，阿瓜走的层间距个数，进而求出楼层。 【详解】， ， ， 答：阿瓜走到第11层。 3. 小华家住在4楼，每层楼之间有18级台阶，他从家走到1楼，一共要走多少级台阶？ 【答案】54级 【分析】关键关系：楼梯段数=起始楼层-到达楼层（下楼与上楼段数相同）。 【详解】楼梯段数=4-1=3（段） 总台阶数=18×3=54（级） 4. 小刚从2楼爬到6楼，共走了48级台阶，每两层楼之间的台阶数相同，每两层楼之间有多少级台阶？ 【答案】12级 【分析】关键关系：楼梯段数=到达楼层-起始楼层。 【详解】楼梯段数=6-2=4（段） 每段台阶数=48÷4=12（级） 5. 小芳从1楼到4楼需要9分钟，照这样计算，她从3楼到7楼需要多少分钟？ 【答案】12分钟 【分析】先求每段时间，再算3楼到7楼的段数。 【详解】1楼到4楼段数=4-1=3（段） 每段时间=9÷3=3（分钟/段） 3楼到7楼段数=7-3=4（段） 总时间=4×3=12（分钟） 6. 每两层楼之间有20级台阶，小亮从1楼开始向上走，走了60级台阶后到达了几楼？ 【答案】4楼 【分析】关键关系：到达楼层=起始楼层+楼梯段数，楼梯段数=总台阶数÷每段台阶数。 【详解】楼梯段数=60÷20=3（段） 到达楼层=1+3=4（楼） 7. 小丽从家出发，走了36级台阶到达5楼，每两层楼之间有12级台阶，小丽家住在几楼？ 【答案】2楼 【分析】关键关系：起始楼层=到达楼层-楼梯段数，楼梯段数=总台阶数÷每段台阶数。 【详解】楼梯段数=36÷12=3（段） 起始楼层=5-3=2（楼） 8. 一栋楼每层楼之间有15级台阶，王老师从3楼走到8楼，李老师从1楼走到4楼，谁走的台阶多？多多少级？ 【答案】王老师多，多30级 【分析】分别计算两人楼梯段数，再求台阶数差。 【详解】王老师段数=8-3=5（段），台阶数=5×15=75（级） 李老师段数=4-1=3（段），台阶数=3×15=45（级） 75-45=30（级），王老师多，多30级。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $