第11讲 巧妙求和（知识梳理+例题讲解+考点练习）-四年级奥数培优讲义

第11讲 巧妙求和 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.知识与技能：理解等差数列的定义，掌握“首项、末项、公差、项数”的含义；熟练运用“求末项、求项数、求和”的核心公式解决问题；能结合生活场景分析简单的等差数列问题。 2.过程与方法：通过观察数列规律、举例验证等方式，培养观察能力和逻辑推理能力；学会用“归纳法”推导公式，体会数学规律的形成过程。 3.情感态度：感受等差数列在生活中的应用，激发数学学习兴趣；通过解决问题体验成就感，培养严谨的思维习惯。 知识梳理 知识点一、数列的基本概念 1.定义：按一定顺序排成的一列数叫做数列。 2.基本要素： （1）项：数列中的每一个数； （2）首项：数列的第一项（通常用表示）； （3）末项：数列的最后一项（通常用表示）； （4）项数：数列中共有的项的个数（通常用表示）。 3.常见类型： （1）递增数列：从第二项起，每一项比前一项大（如：2、5、8、11…，每一项比前一项大3）； （2）递减数列：从第二项起，每一项比前一项小（如：100、95、90、85…，每一项比前一项小5）。 知识点二、等差数列与公差 1.等差数列定义：一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都相等，这样的数列叫做等差数列。 2.公差：等差数列中相邻两项的差（通常用表示），递增数列中，递减数列中，各项相等的数列（如3、3、3…）公差。 知识点三、等差数列常用公式 设等差数列的首项为，末项为，项数为，公差为，前项和为。 1. 求和公式 （1）一般形式：等差数列的总和（首项末项）项数，即： （2）奇数项数特殊形式（中项定理）：若项数为奇数，中间项为（，即第项），则总和中间项项数，即： 中项定理补充：项数为奇数时，中间项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半，即。 2. 项数公式 3. 末项公式 （1）递增数列：末项首项公差（项数），即： （2）递减数列：末项首项公差（项数），即： 4. 首项公式 （1）递增数列：首项末项公差（项数），即： （2）递减数列：首项末项公差（项数），即： 5. 公差公式 例题讲解 一、等差数列的基本认识 【例题1】判断下面哪些数列是等差数列，若是，求出公差；若不是，说明理由。 （1）3，6，9，12，15 （2）5，10，15，21，27 （3）8，8，8，8，8 【例题2】等差数列7，13，19，25，…中，第5项是多少？公差是多少？ 二、等差数列求和 【例题1】计算：1+3+5+7+…+19（共10项） 【例题2】一个等差数列共有7项，中间项是12，这个数列的总和是多少？ 三、等差数列的应用 【例题1】小明读一本故事书，第一天读了10页，以后每天比前一天多读2页，读了7天正好读完，这本书共有多少页？ 【例题2】一堆钢管堆成梯形，最上层有4根，最下层有12根，每相邻两层相差1根，这堆钢管共有多少根？ 考点练习 一、等差数列的基本认识 1.一个递减等差数列，首项是80，每相邻两项相差5，第6项是多少？ 2.已知等差数列的首项是5，末项是45，公差是5，这个数列共有多少项？ 3.一个等差数列共有10项，末项是73，公差是7，它的首项是多少？（递增数列） 4.判断数列“1，4，7，11，14”是否为等差数列，若是，求出项数；若不是，说明理由。 5.一个等差数列中，首项是12，第5项是28，它的公差是多少？ 6.数列“5，10，15，20，25，30”中，首项、末项、公差、项数分别是多少？ 二、等差数列求和 1.等差数列首项是2，公差是3，共有8项，它的总和是多少？ 2.计算：100+95+90+…+10（共10项） 3.一个等差数列的和是140，首项是5，末项是23，它共有多少项？ 4.已知一个等差数列有9项，总和是171，它的中间项是多少？ 5.求1到50中所有能被3整除的数的和。 三、等差数列的应用 1.电影院有20排座位，第一排有15个座位，以后每排比前一排多2个座位，这个电影院共有多少个座位？ 2.小红练习跳绳，第一天跳了30下，以后每天比前一天多跳5下，第10天跳了多少下？这10天一共跳了多少下？ 3.一个等差数列的中项是15，项数是5，这个数列的总和是多少？若首项是9，它的公差是多少？ 4.有一堆粗细均匀的圆木，最上面一层有6根，最下面一层有15根，共堆了10层，这堆圆木共有多少根？如果每根圆木重20千克，这堆圆木共重多少千克？ 5.在一条公路旁等距离植树，从头到尾共植了10棵树，第1棵树与第10棵树相距81米，每两棵树之间的距离是多少米？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 巧妙求和 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.知识与技能：理解等差数列的定义，掌握“首项、末项、公差、项数”的含义；熟练运用“求末项、求项数、求和”的核心公式解决问题；能结合生活场景分析简单的等差数列问题。 2.过程与方法：通过观察数列规律、举例验证等方式，培养观察能力和逻辑推理能力；学会用“归纳法”推导公式，体会数学规律的形成过程。 3.情感态度：感受等差数列在生活中的应用，激发数学学习兴趣；通过解决问题体验成就感，培养严谨的思维习惯。 知识梳理 知识点一、数列的基本概念 1.定义：按一定顺序排成的一列数叫做数列。 2.基本要素： （1）项：数列中的每一个数； （2）首项：数列的第一项（通常用表示）； （3）末项：数列的最后一项（通常用表示）； （4）项数：数列中共有的项的个数（通常用表示）。 3.常见类型： （1）递增数列：从第二项起，每一项比前一项大（如：2、5、8、11…，每一项比前一项大3）； （2）递减数列：从第二项起，每一项比前一项小（如：100、95、90、85…，每一项比前一项小5）。 知识点二、等差数列与公差 1.等差数列定义：一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都相等，这样的数列叫做等差数列。 2.公差：等差数列中相邻两项的差（通常用表示），递增数列中，递减数列中，各项相等的数列（如3、3、3…）公差。 知识点三、等差数列常用公式 设等差数列的首项为，末项为，项数为，公差为，前项和为。 1. 求和公式 （1）一般形式：等差数列的总和（首项末项）项数，即： （2）奇数项数特殊形式（中项定理）：若项数为奇数，中间项为（，即第项），则总和中间项项数，即： 中项定理补充：项数为奇数时，中间项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半，即。 2. 项数公式 3. 末项公式 （1）递增数列：末项首项公差（项数），即： （2）递减数列：末项首项公差（项数），即： 4. 首项公式 （1）递增数列：首项末项公差（项数），即： （2）递减数列：首项末项公差（项数），即： 5. 公差公式 例题讲解 一、等差数列的基本认识 【例题1】判断下面哪些数列是等差数列，若是，求出公差；若不是，说明理由。 （1）3，6，9，12，15 （2）5，10，15，21，27 （3）8，8，8，8，8 【答案】（1）是等差数列，公差是3； （2）不是等差数列，因为15到21的差是6，与前两项的差（5）不相等； （3）是等差数列，公差是0。 【分析】本题考查等差数列的定义：从第二项起，每一项与前一项的差都相等。需逐项计算相邻两项的差，判断是否恒定。 【解析】（1）6-3=3，9-6=3，12-9=3，15-12=3，相邻两项差均为3，是等差数列，公差=3。 （2）10-5=5，15-10=5，21-15=6，27-21=6，相邻两项差不相等（5≠6），不是等差数列。 （3）8-8=0，8-8=0，…，相邻两项差均为0，是等差数列，公差=0。 【例题2】等差数列7，13，19，25，…中，第5项是多少？公差是多少？ 【答案】第5项是31，公差是6。 【分析】本题考查公差的定义及末项公式（递增数列）。先通过前两项求公差，再用“末项=首项+公差×（项数-1）”求第5项。 【解析】公差=第二项-首项=13-7=6。 第5项：首项=7，项数=5，公差=6，末项=7+6×（5-1）=7+24=31。 二、等差数列求和 【例题1】计算：1+3+5+7+…+19（共10项） 【答案】和是100。 【分析】本题考查等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2。已知首项1，末项19，项数10。 【解析】首项=1，末项=19，项数=10。 和=（1+19）×10÷2=20×10÷2=100。 【例题2】一个等差数列共有7项，中间项是12，这个数列的总和是多少？ 【答案】总和是84。 【分析】本题考查中项定理：项数为奇数时，总和=中间项×项数。7项的中间项是第4项（（7+1）÷2=4）。 【解析】项数=7（奇数），中间项=12。 总和=12×7=84。 三、等差数列的应用 【例题1】小明读一本故事书，第一天读了10页，以后每天比前一天多读2页，读了7天正好读完，这本书共有多少页？ 【答案】这本书共有112页。 【分析】本题是等差数列应用，每天读的页数构成等差数列：首项10（第一天），公差2，项数7（7天），求和即为总页数。需先求末项（第7天读的页数），再求和。 【解析】首项=10，公差=2，项数=7。 末项（第7天读的页数）=10+2×（7-1）=10+12=22。 总页数=（10+22）×7÷2=32×7÷2=112（页）。 【例题2】一堆钢管堆成梯形，最上层有4根，最下层有12根，每相邻两层相差1根，这堆钢管共有多少根？ 【答案】共有72根。 【分析】钢管层数构成等差数列：首项4（上层），末项12（下层），公差1，先求项数（层数），再用求和公式求总根数。 【解析】首项=4，末项=12，公差=1。 项数（层数）=（12-4）÷1+1=8+1=9。 总根数=（4+12）×9÷2=16×9÷2=72（根）。 考点练习 一、等差数列的基本认识 1.一个递减等差数列，首项是80，每相邻两项相差5，第6项是多少？ 【答案】第6项是55。 【分析】本题考查递减数列的末项公式：末项=首项-公差×（项数-1）。注意递减数列中公差为相邻两项的差（正数）。 【解析】公差=5（递减数列中，相邻两项的差为5），项数=6。 末项=80-5×（6-1）=80-25=55。 2.已知等差数列的首项是5，末项是45，公差是5，这个数列共有多少项？ 【答案】共有9项。 【分析】本题考查项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1（适用于递增数列）。 【解析】首项=5，末项=45，公差=5。 项数=（45-5）÷5+1=40÷5+1=8+1=9。 3.一个等差数列共有10项，末项是73，公差是7，它的首项是多少？（递增数列） 【答案】首项是10。 【分析】本题考查首项公式（递增数列）：首项=末项-公差×（项数-1）。 【解析】末项=73，公差=7，项数=10。 首项=73-7×（10-1）=73-63=10。 4.判断数列“1，4，7，11，14”是否为等差数列，若是，求出项数；若不是，说明理由。 【答案】不是等差数列，因为7到11的差是4，与前两项的差（3）不相等。 【分析】本题考查等差数列的定义：所有相邻两项的差必须相等。需逐项计算差并比较。 【解析】4-1=3，7-4=3，11-7=4，14-11=3，相邻两项差不全部相等（前两个差3，第三个差4），不符合等差数列定义，不是等差数列。 5.一个等差数列中，首项是12，第5项是28，它的公差是多少？ 【答案】公差是4。 【分析】本题考查公差公式的推导。已知首项、项数、末项，可通过末项公式逆推求公差：公差=（末项-首项）÷（项数-1）。 【解析】首项=12，末项=28（第5项），项数=5。 由末项公式：28=12+公差×（5-1），即28-12=公差×4，16=公差×4，公差=16÷4=4。 6.数列“5，10，15，20，25，30”中，首项、末项、公差、项数分别是多少？ 【答案】首项=5，末项=30，公差=5，项数=6。 【分析】本题综合考查等差数列的基本要素：首项（第一项）、末项（最后一项）、公差（相邻两项差）、项数（项的总个数）。 【解析】首项是数列第一项：5；末项是最后一项：30；公差=10-5=5（验证：15-10=5，20-15=5，…，差均为5）；项数：数列共有6个数，项数=6。 二、等差数列求和 1.等差数列首项是2，公差是3，共有8项，它的总和是多少？ 【答案】总和是100。 【分析】本题需先通过末项公式求末项，再用求和公式计算。末项=首项+公差×（项数-1），和=（首项+末项）×项数÷2。 【解析】首项=2，公差=3，项数=8。 末项=2+3×（8-1）=2+21=23。 和=（2+23）×8÷2=25×8÷2=100。 2.计算：100+95+90+…+10（共10项） 【答案】和是550。 【分析】本题是递减等差数列求和，先确定首项100，末项10，项数10，用求和公式：（首项+末项）×项数÷2。 【解析】首项=100，末项=10，项数=10。 和=（100+10）×10÷2=110×10÷2=550。 3.一个等差数列的和是140，首项是5，末项是23，它共有多少项？ 【答案】共有10项。 【分析】本题考查求和公式的逆应用：项数=和×2÷（首项+末项）。 【解析】和=140，首项=5，末项=23。 项数=140×2÷（5+23）=280÷28=10。 4.已知一个等差数列有9项，总和是171，它的中间项是多少？ 【答案】中间项是19。 【分析】本题考查中项定理的逆应用：中间项=总和÷项数（项数为奇数时）。9项的中间项是第5项。 【解析】项数=9（奇数），总和=171。 中间项=171÷9=19。 5.求1到50中所有能被3整除的数的和。 【答案】和是408。 【分析】先确定数列：1到50中能被3整除的数为3,6,9,…,48（首项3，末项48，公差3），再用项数公式求项数，最后求和。 【解析】数列：3,6,9,…,48，首项=3，末项=48，公差=3。 项数=（48-3）÷3+1=45÷3+1=15+1=16。 和=（3+48）×16÷2=51×16÷2=51×8=408。 三、等差数列的应用 1.电影院有20排座位，第一排有15个座位，以后每排比前一排多2个座位，这个电影院共有多少个座位？ 【答案】共有680个座位。 【分析】座位数构成等差数列：首项15（第一排），公差2，项数20（20排），求和即为总座位数。先求末项（第20排座位数），再求和。 【解析】首项=15，公差=2，项数=20。 末项（第20排）=15+2×（20-1）=15+38=53。 总座位数=（15+53）×20÷2=68×20÷2=680（个）。 2.小红练习跳绳，第一天跳了30下，以后每天比前一天多跳5下，第10天跳了多少下？这10天一共跳了多少下？ 【答案】第10天跳了75下，10天共跳了525下。 【分析】第一问求末项（第10天跳的次数），第二问求和。首项30，公差5，项数10。 【解析】第10天跳的次数（末项）=30+5×（10-1）=30+45=75（下）。 10天总次数=（30+75）×10÷2=105×10÷2=525（下）。 3.一个等差数列的中项是15，项数是5，这个数列的总和是多少？若首项是9，它的公差是多少？ 【答案】总和是75，公差是3。 【分析】第一问用中项定理：总和=中项×项数；第二问已知首项、中项（第3项）、项数，用末项公式求公差（中项是第3项，项数5，中间项为第3项）。 【解析】总和=中项×项数=15×5=75。 中项是第3项，首项=9，项数=3（针对求第3项）， 由末项公式：15=9+公差×（3-1），即15-9=公差×2，6=公差×2，公差=3。 4.有一堆粗细均匀的圆木，最上面一层有6根，最下面一层有15根，共堆了10层，这堆圆木共有多少根？如果每根圆木重20千克，这堆圆木共重多少千克？ 【答案】共有105根，共重2100千克。 【分析】第一问：圆木根数构成等差数列，首项6，末项15，项数10，求和；第二问：总重量=根数×每根重量。 【解析】圆木根数=（6+15）×10÷2=21×10÷2=105（根）。 总重量=105×20=2100（千克）。 5.在一条公路旁等距离植树，从头到尾共植了10棵树，第1棵树与第10棵树相距81米，每两棵树之间的距离是多少米？ 【答案】每两棵树之间的距离是9米。 【分析】10棵树之间有9个间隔（间隔数=棵数-1），间隔距离构成等差数列（公差为间隔距离，首项为第一个间隔，末项为第九个间隔，总和为81米），即间距=总距离÷（棵数-1）。 【解析】间隔数=10-1=9（个），总距离=81米。 每两棵树间距=81÷9=9（米）。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $