第10讲 周期问题（知识梳理+例题讲解+考点练习）-五年级奥数培优讲义

第10讲 周期问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解概念： 认识周期现象，理解周期、周期长度的含义。 2.发现规律： 能够通过观察、比较，准确找出周期问题中的排列规律和周期长度。 3.掌握方法： 学会运用除法运算解决周期问题，能根据余数确定某个位置上的元素或某种现象。 4.解决问题： 能运用周期规律解决求和、求最值、推断颜色/形状/数字等实际应用问题。 5.提升能力： 培养观察能力、分析能力、归纳能力和逻辑推理能力，感受数学的趣味性和规律性。 知识梳理 知识点一、周期问题的基本认识 1.周期现象： 日常生活中，许多事物的变化都有一定的规律，按照一定的顺序重复出现，这种现象叫做周期现象。 例如：星期几（7天一个周期）、季节变化（4个季节一个周期）、昼夜交替（24小时一个周期）、钟表的指针转动等。 2.周期： 在周期现象中，重复出现的部分叫做周期。 例如：“ABCABCABC…”中，“ABC”就是一个周期。 3.周期长度（周期数）： 一个周期中包含的元素个数叫做周期长度。 例如：上述“ABC”的周期长度是3。 知识点二、解决周期问题的一般步骤 1.观察与判断： 仔细观察题目中给出的排列或现象，判断其是否存在周期性。 2.找出周期： 确定重复出现的固定“一组”内容是什么，即找到周期。 3.确定周期长度： 数出一个周期中元素的个数，即周期长度（用字母 T 表示，通常为正整数）。 4.确定总数： 明确题目中要求研究的总数量或总次数（用字母 N 表示）。 5.计算与分析： 用总数除以周期长度，得到商和余数。 计算公式：总数 (N) ÷ 周期长度 (T) = 商 (Q) …… 余数 (R) （其中 0 ≤ R < T） 6.根据余数判断结果： （1）如果余数 R = 0：表示正好是完整周期的最后一个，结果就是周期中的最后一个元素。 （2）如果余数 R ≠ 0：表示经过 Q 个完整周期后，又多出 R 个元素，结果就是周期中的第 R 个元素。 知识点三、解题技巧与关键点 1.找准周期是前提： 这是解决周期问题的核心。有些题目周期比较明显，有些则需要仔细观察和分析才能发现。 2.确定周期的起点： 注意周期是从哪个位置开始的，避免因起点错误导致整个解题出错。 3.理解商和余数的意义： （1）商 (Q)： 表示总数量中包含完整周期的个数。 （2）余数 (R)： 表示除去完整周期后，剩余的元素个数，它决定了我们要找的位置在周期中的具体位置。 4.“去头留尾”或“从头开始”： 对于一些不是从第一个元素就开始循环的问题，需要先排除前面非周期性的部分，再对剩下的部分应用周期规律。 5.复杂周期问题： 对于周期不明显、周期长度较长或存在多个周期叠加的问题，要耐心细致，可通过列表、画图等方式帮助寻找规律。 知识点四、常见周期问题类型举例 1.图形排列周期： 例：一串珠子按“红、黄、蓝、绿、红、黄、蓝、绿…”的顺序排列，第20颗是什么颜色？前30颗珠子中有几颗红色？ 2.数字排列周期： 例：一列数按“1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3…”排列，第100个数是几？前100个数的和是多少？ 3.文字或符号周期： 例：“我爱数学我爱数学我爱数学…”依次排列，第28个字是什么？ 4.星期几问题（非常典型）： 例：今天是星期一，再过30天是星期几？（周期为7，“日、一、二、三、四、五、六”或“一、二、三、四、五、六、日”，注意起点） 5.日期中的周期： 例：某个月有31天，且这个月的1日是星期三，那么这个月的最后一天是星期几？ 6.简单的报数或操作周期： 例：100个小朋友围成一圈，从1号开始按顺时针方向1、2、1、2…报数，报2的小朋友离开，最后剩下的是几号小朋友？（这类问题有时周期会变化，需注意） 例题讲解 一、图形排列周期 【例题1】一串珠子按“2红1黄3蓝”的顺序重复排列（即“红红黄蓝蓝蓝”），第50颗珠子是什么颜色？前80颗珠子中蓝色珠子有多少颗？ 【例题2】一组图形按“△□□○△□□○……”排列，第67个图形是什么？前40个图形中“□”有多少个？ 二、数字排列周期 【例题1】数列“3,1,4,2,3,1,4,2……”第88个数是多少？前100个数的和是多少？ 【例题2】的商是循环小数，小数点后第2023位数字是多少？前100位小数的和是多少？ 三、文字或符号周期 【例题1】“奥数有趣奥数有趣…”第45个字是什么？前60个字中“数”字有多少个？ 【例题2】“Math数学Math数学…”第78个字符是中文还是英文？是什么字符？ 四、星期几问题 【例题1】2023年10月1日（周日），2023年12月25日是星期几？ 【例题2】今天是周三，从今天起第47天是星期几？ 五、日期中的周期 【例题1】2024年6月1日（周六），这个月有多少个星期日？最后一天是星期几？ 【例题2】某月有30天，最后一天是周四，1日是星期几？ 六、简单的报数或操作周期 【例题1】15人围圈报数1-3，报3离开，最后剩下几号？ 【例题2】6个口朝上杯子，每次翻4个，能否全朝下？最少几次？ 考点练习 一、图形排列周期 1.一串珠子前3颗为白色，之后按“红、黄、绿、紫”重复排列，第100颗珠子是什么颜色？ 2.小花按“红、橙、黄、绿、青、蓝、紫”顺序挂彩灯，第100个彩灯是什么颜色？前100个中黄色彩灯有多少个？ 3.一串珠子按“黑、白、灰”顺序重复排列，已知第38颗是白色，第77颗是黑色，周期长度可能是多少？（周期长度>1） 4.外圈图形按“★●★●……”排列，内圈按“■■□■■□……”排列，外圈第30个和内圈第30个图形分别是什么？ 5.珠子按“红、黄、红、蓝、红、绿”重复排列，前100颗中红色比黄色多多少颗？ 二、数字排列周期 1.求的个位数字之和是多少？ 2.数列：5,2,1,3,4,1,3,4…（从第3个数起按“1,3,4”重复），第70个数是多少？前70个数的和是多少？ 3.A列按“1,2,3”重复，B列按“4,5”重复，第100列A、B两数乘积是多少？ 4.数列“2,5,7,0,2,5,7,0…”中，第几个数是第10个0？ 5.按“前两数和的个位”生成数列：1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2,1,3…第2024个数是多少？ 三、文字或符号周期 1.前5个字是“好好学习”，之后按“天天向上”重复，第100个字是什么？ 2.“★我爱★数学★我爱★数学…”第80个字符是什么？ 3.“中华人民共和国…”第3个“国”字在第几个位置？ 4.A列“春夏秋冬”、B列“东南西北”，第25列A、B文字是什么？ 5.文字周期中第10、22、34个字都是“阳”，周期长度可能是多少？（） 四、星期几问题 1.2024年2月10日（周六），2025年2月10日是星期几？ 2.3月1日（周三）开始，周一至五每天学2小时，周六日1小时，第40小时学习是星期几？ 3.某年5月有5个周六和周日，5月1日是星期几？ 4.教师节（9月10日，周二），国庆节（10月1日）是星期几？ 5.2020年2月29日（周六），2024年2月29日是星期几？ 五、日期中的周期 1.某月有5个周三，4个周四，这个月最后一天是星期几？ 2.5月15日（周一）出差18天，结束是几月几日？星期几？ 3.2023年8月1日（周二），这个月第一个星期五是几日？ 4.连续几个月总天数183天，可能是哪些月？ 5.某年2月有5个周一，这一年是平年还是闰年？2月1日是星期几？ 六、简单的报数或操作周期 1.20人站排报数1-3，报3离开，最后剩下最初几号？ 2.灯最初关着，第100次操作（开/关）后灯是开还是关？ 3.200颗棋子，甲先取1-4颗，取最后一颗胜，甲第一次取几颗必胜？ 4.30人围圈报数1-2，报2退出，最后剩下几号？ 5.16张卡片1-16顺时针排列，隔一张拿一张（即取1,3,5…后取剩余第一张），最后剩下几号？ 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 周期问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解概念： 认识周期现象，理解周期、周期长度的含义。 2.发现规律： 能够通过观察、比较，准确找出周期问题中的排列规律和周期长度。 3.掌握方法： 学会运用除法运算解决周期问题，能根据余数确定某个位置上的元素或某种现象。 4.解决问题： 能运用周期规律解决求和、求最值、推断颜色/形状/数字等实际应用问题。 5.提升能力： 培养观察能力、分析能力、归纳能力和逻辑推理能力，感受数学的趣味性和规律性。 知识梳理 知识点一、周期问题的基本认识 1.周期现象： 日常生活中，许多事物的变化都有一定的规律，按照一定的顺序重复出现，这种现象叫做周期现象。 例如：星期几（7天一个周期）、季节变化（4个季节一个周期）、昼夜交替（24小时一个周期）、钟表的指针转动等。 2.周期： 在周期现象中，重复出现的部分叫做周期。 例如：“ABCABCABC…”中，“ABC”就是一个周期。 3.周期长度（周期数）： 一个周期中包含的元素个数叫做周期长度。 例如：上述“ABC”的周期长度是3。 知识点二、解决周期问题的一般步骤 1.观察与判断： 仔细观察题目中给出的排列或现象，判断其是否存在周期性。 2.找出周期： 确定重复出现的固定“一组”内容是什么，即找到周期。 3.确定周期长度： 数出一个周期中元素的个数，即周期长度（用字母 T 表示，通常为正整数）。 4.确定总数： 明确题目中要求研究的总数量或总次数（用字母 N 表示）。 5.计算与分析： 用总数除以周期长度，得到商和余数。 计算公式：总数 (N) ÷ 周期长度 (T) = 商 (Q) …… 余数 (R) （其中 0 ≤ R < T） 6.根据余数判断结果： （1）如果余数 R = 0：表示正好是完整周期的最后一个，结果就是周期中的最后一个元素。 （2）如果余数 R ≠ 0：表示经过 Q 个完整周期后，又多出 R 个元素，结果就是周期中的第 R 个元素。 知识点三、解题技巧与关键点 1.找准周期是前提： 这是解决周期问题的核心。有些题目周期比较明显，有些则需要仔细观察和分析才能发现。 2.确定周期的起点： 注意周期是从哪个位置开始的，避免因起点错误导致整个解题出错。 3.理解商和余数的意义： （1）商 (Q)： 表示总数量中包含完整周期的个数。 （2）余数 (R)： 表示除去完整周期后，剩余的元素个数，它决定了我们要找的位置在周期中的具体位置。 4.“去头留尾”或“从头开始”： 对于一些不是从第一个元素就开始循环的问题，需要先排除前面非周期性的部分，再对剩下的部分应用周期规律。 5.复杂周期问题： 对于周期不明显、周期长度较长或存在多个周期叠加的问题，要耐心细致，可通过列表、画图等方式帮助寻找规律。 知识点四、常见周期问题类型举例 1.图形排列周期： 例：一串珠子按“红、黄、蓝、绿、红、黄、蓝、绿…”的顺序排列，第20颗是什么颜色？前30颗珠子中有几颗红色？ 2.数字排列周期： 例：一列数按“1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3…”排列，第100个数是几？前100个数的和是多少？ 3.文字或符号周期： 例：“我爱数学我爱数学我爱数学…”依次排列，第28个字是什么？ 4.星期几问题（非常典型）： 例：今天是星期一，再过30天是星期几？（周期为7，“日、一、二、三、四、五、六”或“一、二、三、四、五、六、日”，注意起点） 5.日期中的周期： 例：某个月有31天，且这个月的1日是星期三，那么这个月的最后一天是星期几？ 6.简单的报数或操作周期： 例：100个小朋友围成一圈，从1号开始按顺时针方向1、2、1、2…报数，报2的小朋友离开，最后剩下的是几号小朋友？（这类问题有时周期会变化，需注意） 例题讲解 一、图形排列周期 【例题1】一串珠子按“2红1黄3蓝”的顺序重复排列（即“红红黄蓝蓝蓝”），第50颗珠子是什么颜色？前80颗珠子中蓝色珠子有多少颗？ 【答案】红色；39颗 【分析】周期为“红红黄蓝蓝蓝”，周期长度。 第50颗：总数，，余数2对应周期第2个元素“红”。 前80颗：，含13个完整周期，每个周期3颗蓝珠子，余数2无蓝色，共颗。 【详解】周期：红红黄蓝蓝蓝（）。 第50颗：，余数2→“红”。 蓝色珠子：颗。 【例题2】一组图形按“△□□○△□□○……”排列，第67个图形是什么？前40个图形中“□”有多少个？ 【答案】□；20个 【分析】周期为“△□□○”（）。 第67个：，余数3对应周期第3个元素“□”。 前40个：（完整周期），每个周期含2个“□”，共个。 【详解】周期：△□□○（）。 第67个：→“□”。 “□”数量：个。 二、数字排列周期 【例题1】数列“3,1,4,2,3,1,4,2……”第88个数是多少？前100个数的和是多少？ 【答案】2；250 【分析】周期为“3,1,4,2”（，周期和）。 第88个：，余数0对应周期最后一个“2”。 前100个：（完整周期），和。 【详解】周期，88÷4=22→“2”；前100个和：25×10=250。 【例题2】的商是循环小数，小数点后第2023位数字是多少？前100位小数的和是多少？ 【答案】1；447 【分析】，周期“142857”（，周期和）。 第2023位：，余数1对应周期第1个“1”。 前100位：，和。 【详解】周期，2023=6×337+1→“1”；前100位和：16×27+15=447。 三、文字或符号周期 【例题1】“奥数有趣奥数有趣…”第45个字是什么？前60个字中“数”字有多少个？ 【答案】奥；15个 【分析】周期“奥数有趣”（）。 第45个：→“奥”； 前60个：周期，每个周期1个“数”，共15个。 【详解】周期，45=4×11+1→“奥”；前60个15周期→15个“数”。 【例题2】“Math数学Math数学…”第78个字符是中文还是英文？是什么字符？ 【答案】中文；学 【分析】周期“Math数学”（字符：M,a,t,h,数,学，）。 ，余数0对应周期末“学”（中文）。 【详解】周期，78=6×13→周期末“学”（中文）。 四、星期几问题 【例题1】2023年10月1日（周日），2023年12月25日是星期几？ 【答案】星期一 【分析】总天数：10月（31-1=30天，10.2-10.31）+11月30天+12月25天=85天。 ，周日+1天=周一。 【详解】总天数85，85÷7=12…1，周日+1=周一。 【例题2】今天是周三，从今天起第47天是星期几？ 【答案】周日 【分析】周期“周三(1),四(2),五(3),六(4),日(5),一(6),二(7)”。 ，余数5对应“周日”。 【详解】47÷7=6…5→周期第5个“周日”。 五、日期中的周期 【例题1】2024年6月1日（周六），这个月有多少个星期日？最后一天是星期几？ 【答案】5个；周日 【分析】6月30天=4周+2天，余2天为“周六、周日”，故有5个周日，最后一天周日。 【详解】30=7×4+2，余2天周六、周日→5个周日，最后一天周日。 【例题2】某月有30天，最后一天是周四，1日是星期几？ 【答案】周三 【分析】30天=4周+2天，最后一天是周期第2个（周四），则1日是周期第1个“周三”。 【详解】30=7×4+2，最后一天第2个→1日第1个“周三”。 六、简单的报数或操作周期 【例题1】15人围圈报数1-3，报3离开，最后剩下几号？ 【答案】11号 【分析】逐步淘汰：第1轮离开3,6,9,12,15；第2轮离开4,8,13,2,10；第3轮离开1,14,7；剩11号。 【详解】15人围圈，报3淘汰，逐步筛选后剩11号。 【例题2】6个口朝上杯子，每次翻4个，能否全朝下？最少几次？ 【答案】能；2次 【分析】总翻动次数需偶数（6个杯子全朝下需6次奇数翻动，总和偶数）。 第1次翻4个：2上4下；第2次翻2上+2下→全下。 【详解】2次操作可全朝下：第一次翻1-4号，第二次翻1-2、5-6号。 考点练习 一、图形排列周期 1.一串珠子前3颗为白色，之后按“红、黄、绿、紫”重复排列，第100颗珠子是什么颜色？ 【答案】红色 【分析】前3颗为非周期部分，周期从第4颗开始：“红、黄、绿、紫”（）。 有效总数（扣除前3颗），，余数1对应周期第1个元素“红”。 【详解】非周期部分：前3颗白色，周期从第4颗起为“红黄绿紫”（）。 有效总数：，，余数1→“红”。 2.小花按“红、橙、黄、绿、青、蓝、紫”顺序挂彩灯，第100个彩灯是什么颜色？前100个中黄色彩灯有多少个？ 【答案】橙色；14个 【分析】周期为“红橙黄绿青蓝紫”（）。 第100个：，余数2对应周期第2个元素“橙”。 前100个：含14个完整周期，每个周期1个黄灯，余数2无黄灯，共14个。 【详解】周期：红橙黄绿青蓝紫（）。 第100个：→“橙”。 黄灯数量：个。 3.一串珠子按“黑、白、灰”顺序重复排列，已知第38颗是白色，第77颗是黑色，周期长度可能是多少？（周期长度>1） 【答案】2或4 【分析】设周期长度为，周期中白色为第个，黑色为第个。 第38颗白：→； 第77颗黑：→。 若（周期“黑白”）：白是第2个（余数0→第2个），黑是第1个（77÷2=38…1），符合； 若（周期“黑白灰x”）：白是第2个（38=4×9+2），黑是第1个（77=4×19+1），符合。 【详解】时，周期“黑白”，第38颗余0→白，第77颗余1→黑；时，周期“黑白灰x”，第38颗余2→白，第77颗余1→黑。 4.外圈图形按“★●★●……”排列，内圈按“■■□■■□……”排列，外圈第30个和内圈第30个图形分别是什么？ 【答案】●；□ 【分析】 外圈周期“★●”（）：，余数0对应周期最后一个“●”。 内圈周期“■■□”（）：，余数0对应周期最后一个“□”。 【详解】外圈周期，30÷2=15→“●”；内圈周期，30÷3=10→“□”。 5.珠子按“红、黄、红、蓝、红、绿”重复排列，前100颗中红色比黄色多多少颗？ 【答案】33颗 【分析】周期为“红、黄、红、蓝、红、绿”（，含3红、1黄、1蓝、1绿）。 前100颗：，含16个完整周期，余数4对应“红、黄、红、蓝”。 红色总数：；黄色总数：；差：。 【详解】周期，100=6×16+4。红色：16×3+2=50，黄色：16×1+1=17，差50-17=33。 二、数字排列周期 1.求的个位数字之和是多少？ 【答案】246 【分析】的个位数字周期为“2,4,8,6”（，周期和）。 50个数：，含12个周期，余数2对应（个位2）、（个位4）。 总和：。 【详解】个位周期，50=4×12+2。和：12×20+2+4=246。 2.数列：5,2,1,3,4,1,3,4…（从第3个数起按“1,3,4”重复），第70个数是多少？前70个数的和是多少？ 【答案】3；187 【分析】前2个数非周期，周期从第3个数起为“1,3,4”（，周期和）。 有效总数：，，余数2对应周期第2个“3”。 和：前2个数和，周期和，余数和，总。 【详解】非周期部分2个数，有效数68=3×22+2→第70个数“3”；和：7+22×8+4=187。 3.A列按“1,2,3”重复，B列按“4,5”重复，第100列A、B两数乘积是多少？ 【答案】5 【分析】A列周期：→“1”； B列周期：→“5”； 乘积：。 【详解】A列100÷3=33…1→1；B列100÷2=50→5；乘积1×5=5。 4.数列“2,5,7,0,2,5,7,0…”中，第几个数是第10个0？ 【答案】40 【分析】周期为“2,5,7,0”（，每个周期1个0）。第10个0在第10个周期末，位置。 【详解】周期，第10个0在第10周期末，10×4=40。 5.按“前两数和的个位”生成数列：1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2,1,3…第2024个数是多少？ 【答案】7 【分析】数列周期为“1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2”（）。 ，余数8对应周期第8个“7”。 【详解】周期，2024=12×168+8→第8个“7”。 三、文字或符号周期 1.前5个字是“好好学习”，之后按“天天向上”重复，第100个字是什么？ 【答案】向 【分析】前5个字非周期，有效总数，周期“天天向上”（）。 ，余数3对应周期第3个“向”。 【详解】非周期5个字，有效数95=4×23+3→“向”。 2.“★我爱★数学★我爱★数学…”第80个字符是什么？ 【答案】我 【分析】周期“★我爱★数学”（字符：★,我,爱,★,数,学，）。 ，余数2对应周期第2个“我”。 【详解】周期，80=6×13+2→第2个“我”。 3.“中华人民共和国…”第3个“国”字在第几个位置？ 【答案】21 【分析】周期“中华人民共和国”（，“国”是第7个）。第3个“国”在第3周期末，位置。 【详解】周期，第3个“国”在3×7=21位。 4.A列“春夏秋冬”、B列“东南西北”，第25列A、B文字是什么？ 【答案】春；东 【分析】A列周期：→“春”； B列周期：→“东”。 【详解】A列25÷4=6…1→“春”；B列25÷4=6…1→“东”。 5.文字周期中第10、22、34个字都是“阳”，周期长度可能是多少？（） 【答案】2,3,4,6 【分析】位置间隔，，周期长度是12的因数（且），故。 【详解】间隔12，为12的因数且，可能值2,3,4,6。 四、星期几问题 1.2024年2月10日（周六），2025年2月10日是星期几？ 【答案】周一 【分析】2024年2月10日-2025年2月10日共366天（2024是闰年）。 ，周六+2天=周一。 【详解】总天数366，366÷7=52…2，周六+2=周一。 2.3月1日（周三）开始，周一至五每天学2小时，周六日1小时，第40小时学习是星期几？ 【答案】周五 【分析】每周学习时长：小时。 ，3周后剩4小时：周四（2小时）+周五（2小时）→周五。 【详解】每周12小时，40=12×3+4，剩余4小时在周五。 3.某年5月有5个周六和周日，5月1日是星期几？ 【答案】周六 【分析】5月31天=4周+3天，要含5个周六、周日，余3天必为“周六、周日、周一”，故1日是周六。 【详解】31=7×4+3，余3天需含周六、周日→1日周六。 4.教师节（9月10日，周二），国庆节（10月1日）是星期几？ 【答案】周二 【分析】9月10日-10月1日共21天（9月：30-10=20天，+1天10月1日）。 ，周二+0=周二。 【详解】总天数21，21÷7=3→周二。 5.2020年2月29日（周六），2024年2月29日是星期几？ 【答案】周四 【分析】总天数：2020.3-2021.2（365天）+2021.3-2022.2（365天）+2022.3-2023.2（365天）+2023.3-2024.2.29（366天）= 天。 ，周六+5天=周四。 【详解】总天数1461=7×208+5，周六+5=周四。 五、日期中的周期 1.某月有5个周三，4个周四，这个月最后一天是星期几？ 【答案】周三 【分析】5个周三说明最后一个周三是月末，且无周四，故最后一天是周三。 【详解】5个周三且无周四→最后一天周三。 2.5月15日（周一）出差18天，结束是几月几日？星期几？ 【答案】6月2日；周五 【分析】5月剩余天数：31-15=16天，18-16=2→结束6月2日。 18天=2周+4天，周一+4天=周五。 【详解】5月余16天，18-16=2→6月2日；18=7×2+4，周一+4=周五。 3.2023年8月1日（周二），这个月第一个星期五是几日？ 【答案】4日 【分析】1日周二→2日三，3日四，4日五。 【详解】1日周二，+3天=4日周五。 4.连续几个月总天数183天，可能是哪些月？ 【答案】3-8月 【分析】3月（31）+4月（30）+5月（31）+6月（30）+7月（31）+8月（30）=183天。 【详解】31+30+31+30+31+30=183→3-8月。 5.某年2月有5个周一，这一年是平年还是闰年？2月1日是星期几？ 【答案】闰年；周一 【分析】2月有5个周一，需29天（闰年）=4周+1天，余1天必为周一，故1日是周一。 【详解】5个周一需29天（闰年），29=7×4+1→1日周一。 六、简单的报数或操作周期 1.20人站排报数1-3，报3离开，最后剩下最初几号？ 【答案】1号 【分析】直线报数，1号始终在周期前2位，不会报3，最终留下。 【详解】1号位置始终非3的倍数，最后剩下1号。 2.灯最初关着，第100次操作（开/关）后灯是开还是关？ 【答案】关 【分析】周期“开（1次）、关（2次）”（）。 100÷2=50→余数0，对应“关”。 【详解】100次是偶数次→关。 3.200颗棋子，甲先取1-4颗，取最后一颗胜，甲第一次取几颗必胜？ 【答案】4颗 【分析】周期5（1+4），200=5×40，甲取4颗后，乙取n颗甲取5-n颗，始终留5的倍数，必胜。 【详解】200=5×40，甲先取4颗，后续乙n甲5-n→甲取最后一颗。 4.30人围圈报数1-2，报2退出，最后剩下几号？ 【答案】29号 【分析】约瑟夫问题：，最后剩下号。 【详解】→29号。 5.16张卡片1-16顺时针排列，隔一张拿一张（即取1,3,5…后取剩余第一张），最后剩下几号？ 【答案】9号 【分析】第一轮剩1,3,5,7,9,11,13,15；第二轮剩1,5,9,13；第三轮剩1,9；最后剩9号。 【详解】逐步取牌后剩余9号。 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $