第10讲 列方程解应用题（知识梳理+例题讲解+考点练习）-六年级奥数培优讲义

第10讲 列方程解应用题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解概念： 深刻理解方程、方程的解、解方程以及列方程解应用题的含义。 2.掌握步骤： 熟练掌握列方程解应用题的一般步骤：“审、设、找、列、解、验、答”。 3.学会分析： 能够仔细审题，准确找出题目中的已知量、未知量以及它们之间的等量关系。 4.灵活运用： 能根据不同类型的应用题，恰当地设未知数，正确列出方程并求解。 5.提升能力： 培养运用代数方法解决实际问题的能力，体会方程思想的优越性，提高逻辑思维能力和解题技巧。 知识梳理 知识点一、核心概念回顾 1.方程： 含有未知数的等式叫做方程。 2.方程的解： 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 3.解方程： 求方程的解的过程叫做解方程。 4.列方程解应用题： 用字母（如x, y）表示题目中的未知数，根据题目中数量之间的相等关系，列出含有未知数的等式（即方程），然后通过解方程求出未知数的值，从而解决问题的方法。 知识点二、列方程解应用题的一般步骤 1.审（审题）： 认真读题，理解题意，明确题目讲的是什么事情，已知条件有哪些，要求什么问题。找出题目中的关键信息和关键词句。 2.设（设未知数）： 选择一个或几个恰当的未知量用字母（通常用x）表示。 o直接设元法： 问什么设什么。即求什么就设这个量为x。 o间接设元法： 当直接设元列方程有困难时，可以设与所求问题相关的另一个量为x，先求出这个量，再求出要求的问题。 3.找（找等量关系）： 这是列方程解应用题的关键步骤。分析题目中的数量之间的关系，找出能够表示应用题全部含义的一个（或几个）相等关系。常见的等量关系可以从以下几方面寻找： （1）根据题目中的关键句，如“一共”、“比……多/少”、“是……的几倍”、“等于”、“相当于”等。 （2）根据常见的数量关系公式，如：路程=速度×时间，总价=单价×数量，工作总量=工作效率×工作时间，周长、面积公式等。 （3）根据事情发展的经过或不变量来寻找。 4.列（列方程）： 根据找出的等量关系，把题目中的已知数和所设的未知数代入等量关系中，列出方程。 5.解（解方程）： 运用等式的性质或四则运算的关系求出方程中未知数的值。 6.验（检验）： （1）代入方程检验： 把求得的未知数的值代入原方程，看左右两边是否相等。 （2）代入题意检验： 检查求得的结果是否符合题目所给的实际情况和生活常识。 7.答（写答语）： 检验无误后，写出完整的答语。 知识点三、如何寻找等量关系（重点与难点） 1.抓住关键句： 题目中往往有明确表示数量关系的词语，例如： （1）和差关系：“一共”、“……和……”、“比……多/少……”、“……与……的差是……” （2）倍数关系：“……是……的几倍”、“……的几倍是……”、“……比……的几倍多/少……” （3）相等关系：“……相等”、“……同样多”、“……等于……” 2.利用基本数量关系： 如路程=速度×时间，工作总量=工作效率×工作时间，利润=售价-成本等。 3.运用不变量： 在一些应用题中，某个量是固定不变的，以此为等量关系。例如：年龄问题中两人的年龄差不变；溶液稀释或浓缩问题中溶质的质量不变等。 4.借助线段图或示意图： 对于较复杂的题目，可以通过画线段图或其他示意图来帮助理解题意，直观地找出等量关系。 5.根据事情的变化过程分析： 分析题目中描述的事件发展过程，找出变化中的等量关系。 知识点四、常见题型及等量关系示例 1.和差倍分问题： （1）和倍问题： 已知两个数的和及它们之间的倍数关系，求这两个数。 等量关系：较小数 + 较大数 = 和；较大数 = 较小数 × 倍数 （2）差倍问题： 已知两个数的差及它们之间的倍数关系，求这两个数。 等量关系：较大数 - 较小数 = 差；较大数 = 较小数 × 倍数 （3）和差问题： 已知两个数的和与差，求这两个数。 等量关系：大数 + 小数 = 和；大数 - 小数 = 差 2.行程问题： （1）相遇问题： 甲路程 + 乙路程 = 总路程；速度和 × 相遇时间 = 总路程 （2）追及问题： 快者路程 - 慢者路程 = 追及路程；速度差 × 追及时间 = 追及路程 （3）一般行程： 路程 = 速度 × 时间 3.工程问题（一般将工作总量看作单位“1”）： （1）甲工作效率 + 乙工作效率 = 合作工作效率 （2）工作效率 × 工作时间 = 工作总量 4.分数、百分数应用题： （1）（比较量）是（单位“1”的量）的几分之几（百分之几）。 等量关系：单位“1”的量 × 分率 = 比较量 （2）（比较量）比（单位“1”的量）多（少）几分之几（百分之几）。 等量关系：单位“1”的量 × (1 ± 分率) = 比较量 5.鸡兔同笼问题（用方程解思路更直接）： （1）设鸡有x只，兔有y只。 （2）等量关系：鸡头数 + 兔头数 = 总头数；鸡腿数 + 兔腿数 = 总腿数 6.年龄问题：等量关系：年龄差不变；几年后（前）的年龄 = 现在年龄 ± 年数 7.盈亏问题： （1）物品总数不变。 （2）等量关系：按第一种方案分配的物品总数 = 按第二种方案分配的物品总数 知识点五、列方程解应用题的技巧 1.巧设未知数： （1）直接设元： 问什么设什么。 （2）间接设元： 当直接设元列方程困难或所列方程求解复杂时，可设与所求量相关的其他量为未知数。 （3）设“单位1”或份数： 对于分数应用题，有时设单位“1”为x；对于倍数关系明显的题目，可设一份为x。 2.关键在于“找”： 反复读题，圈点关键词句，借助画图等手段，找准等量关系是列方程的核心。 3.规范书写： 解、设、答要完整，解方程步骤要清晰，注意单位统一。 4.多角度思考： 同一道题可能有不同的等量关系，从而列出不同的方程，尝试多种方法可以开阔思路。 5.注重检验： 不仅要检验方程的解是否正确，更要检验解是否符合应用题的实际意义。 例题讲解 一、列方程解和差倍问题 【例题1】商店运回白糖和红糖共127袋，白糖比红糖的5倍还多7袋，运来白糖和红糖各多少袋？ 【例题2】某校师生到工厂实习，原来安排57人到甲车间，63人到乙车间。后来因情况变化，要到乙车间的人数是到甲车间的2倍，那么需要从甲车间的人数调出多少人到乙车间？ 二、列方程解鸡兔同笼问题 【例题1】今有鸡兔同笼，上有49头，下有100脚，问鸡兔各有多少只？ 【例题2】儿童节联欢会上，幼儿园老师为小朋友们准备了巧克力和奶糖共18包，一共280块。巧克力每包12块，奶糖每包20块。巧克力与奶糖分别买了多少包？ 三、列方程解年龄问题 【例题1】父子两人年龄的和是70岁，7年后，父亲的年龄是儿子的2倍，求父亲和儿子的年龄各是多少岁？ 【例题2】祖父、儿子、孙子三人的年龄加在一起正好是100岁。祖父过的年数正好等于孙子过的月数，儿子过的星期数正好等于孙子过的天数，祖父、儿子、孙子各多少岁？（用方程解） 四、列方程解盈亏问题 【例题1】幼儿园小朋友分饼干，如果每人分5块，则少27块饼干；如果每人分4块，则正好分完。有几个小朋友？有几块饼干？ 五、列方程解行程问题 【例题1】两列火车同时从距离536千米的两地相向而行，4小时相遇，慢车每小时行60千米，快车每小时行多少千米？ 【例题2】快、慢两车同时从甲地到乙地，快车每小时行70千米，慢车每小时行55千米。途中快车因故停留3小时，结果两车同时到达乙地。甲、乙两地间的距离是多少千米？ 六、列方程解工程问题 【例题1】师徒两人共同加工一批零件，徒弟每天做30个，师傅因有事只做了6天，比徒弟少做了3天还比徒弟多做12个零件，师傅每天做几个？ 【例题2】某生产小组9个工人要生产1926个零件，每人每小时可生产20个，工作5.5小时后，要求剩下的任务必须在4小时内完成，每人每小时必须生产多少个？ 七、列方程解分数、百分数应用题 【例题1】乙存款比甲的少40元，甲存款比乙多240元。甲乙两人存款各多少元？ 【例题2】某职工大学去年共有学生2700人，今年男生人数比去年的增加9%，女生人数比去年的减少153人，今年共有学生2682人。职工大学去年有男生多少人？ 八、列方程解决稍复杂的实际问题 【例题1】汽车若干辆装运一批货物。如果每辆装3.5吨，这批货物就有2吨不能运走；如果每辆装4吨，装完这批货物后，还可以装其他货物1吨。这批货物有多少吨？ 【例题2】一种商品按定价出售，每个可以获得36元钱的利润。现在按定价打八折出售5个，所能获得的利润与按定价每个减价28元出售10个所能获得的利润相同。这种商品每个定价是多少元？ 考点练习 一、列方程解和差倍问题 1．明明的储蓄罐里有1元、5角硬币共67枚，其中1元硬币比5角硬币多7元。两种硬币各有多少枚？ 2．纺织厂第一车间工人人数是第二车间工人人数的3倍，如果从第一车间调20名工人去第二车间，则两个车间人数相等，那么两个车间原来各有工人多少名？ 3．有两支蜡烛，第一支长19厘米，第二支长11厘米，同时点燃后都是每分钟燃烧掉1厘米。问：多少分钟后第一支蜡烛的长度是第二支长度的3倍？ 4．停车场有三种车，两轮的摩托车、四轮的小轿车和六轮的大卡车，共有424个轮子，已知小轿车的数量比大卡车的4倍还多2辆，停车场共有102辆车，小轿车共有多少辆？ 5．一个长方形操场，长是宽的2.5倍。现需要将它进行扩建，而且长必须是宽的2倍，设计人员发现，如果把原来的长方形操场的长和宽各加长20米，刚好符合要求。那么扩建后这个操场的面积是多少平方米？ 二、列方程解鸡兔同笼问题 1．李老师带47名学生去划船，一共乘坐10只船，每只大船可坐6人，每只小船可坐4人，大船和小船各有几只？ 2．我国明代珠算发明家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完。如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各有几人？ 3．在12张乒乓球桌上有28名运动员同时进行单打和双打乒乓球比赛，单打每桌2人，双打每桌4人。进行双打的一共有多少名运动员？ 4．为了迎接运动会的到来，学校共购买了90个羽毛球，分别装在2大筒和6小筒里，已知每个小筒中羽毛球的个数比每个大筒少5个，每大筒、每小筒各装了多少个羽毛球？ 三、列方程解年龄问题 1．甲、乙、丙三人的平均年龄为42岁，若将甲的岁数增加7岁，乙的岁数增大2倍，丙的年龄缩小2倍，则三人岁数相等，丙的年龄是多少岁？ 2．有一个四口之家，成员为父亲、母亲、女儿和儿子。今年他们的年龄加在一起，总共75岁。其中父亲比母亲大3岁，儿子比女儿大2岁；又知4年前家里所有人的年龄之和是 60岁。请计算，母亲今年多少岁？ 3．小明今年8岁，爸爸今年42岁，若干年后，爸爸的年龄比小明年龄的4倍少11岁，那时爸爸的年龄是多少岁？ 四、列方程解盈亏问题 1．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右。此专著中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一头羊。若每人出5文钱，相差45文钱；若每人出7文钱，则仍然相差3文钱；求买羊的人数和这头羊的价格？ 2．动物园为猴山的猴买来桃，这些桃如果每只猴分5个，还剩32个；如果其中10只小猴分4个，其余的猴分8个，就恰好分完。问猴山有猴多少只？共买来多少个桃？ 3．苹果个数是梨子的2倍，梨子每人分3个，余2个；苹果每人分7个，少6个。那么人数、苹果数和梨数分别是多少？ 五、列方程解行程问题 1．小巧和小亚两人各自从相距4千米的家出发，相向而行，小巧先出发5分钟后，小亚再出发，小亚骑车每分钟行190米，小巧每分钟步行60米，小亚出发几分钟后两人相遇？ 2．大货车时速88千米，小货车时速64千米，两车同地出发，同向而行。已知小货车先行驶1.5小时后大货车再开出，大货车经过多久能追上小货车？ 3．一架飞机所带的燃料最多可以用7时，去时顺风，每时飞行80千米，返回时逆风，每时飞行的路程是顺风的75%，这架飞机最多飞出多少千米就需要往回飞？ 4．某人在去县城途中经过一个山岭，上山时每小时走3200米，下山时每小时走6000米。已知他从上山到下山共用去6小时（不包括休息时间），共走了26200米。该人上山和下山各用了多少时间？上山和下山各走了多少米？ 六、列方程解工程问题 1．甲、乙两组加工一批零件，甲组每天比乙组多加工 100 个，中途乙组因事停工了 5 天，20 天后，甲加工的零件个数正好是乙加工的 2 倍，这时，两组各加工零件多少个？ 2．一项工程，甲独做要30天完成，乙独做要20天完成，若由甲做了若干天后，由乙继续做完，从开始到完工共用了26天，求甲、乙两人各做了多少天？ 3．我国是水资源比较贫乏的国家之一，保护水资源，节约用水是每个公民应尽的责任。为确保农田灌溉水渠安全畅通，张家村准备修一条应急水渠，工程队修路原计划用52人可按预定的期限完成任务，后来采用新技术使得工作效率提高50%，因此少派了12人，结果还提前了6天完成任务，那么如果要提前5天完成，需要派多少人？ 七、列方程解分数、百分数应用题 1．农场有牛羊共160头，卖出羊的10%又买进30头牛，这时牛羊的头数相等。原有牛羊多少头？ 2．有两块地共72亩，第一块地的和第二块地的种西红柿；两块地余下的共39亩种茄子，问第一块地是多少亩？ 3．甲乙两个粮库共存粮180吨，如果从甲仓库调出，乙仓库中调出，共调出50吨，两个粮库原来各存粮多少吨？ 4．甲、乙两人有人民币若干元，其中甲占60%，若乙给甲12元后，乙余下的钱比总数的25%少3元，甲、乙两人共有人民币多少元？ 5．一所学校共有学生700人，二年级比一年级的多12人，三年级比二年级少，四年级人数是三年级的，没有五、六年级。四个年级各有多少人？ 八、列方程解决稍复杂的实际问题 1．元元手上有两张数字卡片，这两个数字的和是13，元元先将这两张数字卡片组成一个两位数，再将这两张数字卡片位置对调，得到的新数比原来的数小9，你知道这两张数字卡片上的数字分别是多少吗？元元组成的第一个数是多少呢？ 2．某百货商店销售一批服装，商店按的利润定价。当卖出这批服装的多30件时不仅收回了全部成本，还获得预计利润的一半。这批服装一共有多少件？ 3．某校在庆六一活动中，六年级有41位同学分别参加小品、朗诵、合唱节目（每位同学只参加一个节目），其中参加小品的同学人数与参加朗诵的同学人数之比是2∶3，参加合唱的同学人数是参加朗诵的同学人数的2倍少3人，求参加小品、朗诵、合唱节目的同学各有多少人？ 4．万达商场某饮料店有一桶奶茶，上午售出其中的25%，下午售出20升，晚上售出剩下的10%，最后剩下的奶茶再减3升刚好半桶，问这桶奶茶共有多少升？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 列方程解应用题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解概念： 深刻理解方程、方程的解、解方程以及列方程解应用题的含义。 2.掌握步骤： 熟练掌握列方程解应用题的一般步骤：“审、设、找、列、解、验、答”。 3.学会分析： 能够仔细审题，准确找出题目中的已知量、未知量以及它们之间的等量关系。 4.灵活运用： 能根据不同类型的应用题，恰当地设未知数，正确列出方程并求解。 5.提升能力： 培养运用代数方法解决实际问题的能力，体会方程思想的优越性，提高逻辑思维能力和解题技巧。 知识梳理 知识点一、核心概念回顾 1.方程： 含有未知数的等式叫做方程。 2.方程的解： 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 3.解方程： 求方程的解的过程叫做解方程。 4.列方程解应用题： 用字母（如x, y）表示题目中的未知数，根据题目中数量之间的相等关系，列出含有未知数的等式（即方程），然后通过解方程求出未知数的值，从而解决问题的方法。 知识点二、列方程解应用题的一般步骤 1.审（审题）： 认真读题，理解题意，明确题目讲的是什么事情，已知条件有哪些，要求什么问题。找出题目中的关键信息和关键词句。 2.设（设未知数）： 选择一个或几个恰当的未知量用字母（通常用x）表示。 o直接设元法： 问什么设什么。即求什么就设这个量为x。 o间接设元法： 当直接设元列方程有困难时，可以设与所求问题相关的另一个量为x，先求出这个量，再求出要求的问题。 3.找（找等量关系）： 这是列方程解应用题的关键步骤。分析题目中的数量之间的关系，找出能够表示应用题全部含义的一个（或几个）相等关系。常见的等量关系可以从以下几方面寻找： （1）根据题目中的关键句，如“一共”、“比……多/少”、“是……的几倍”、“等于”、“相当于”等。 （2）根据常见的数量关系公式，如：路程=速度×时间，总价=单价×数量，工作总量=工作效率×工作时间，周长、面积公式等。 （3）根据事情发展的经过或不变量来寻找。 4.列（列方程）： 根据找出的等量关系，把题目中的已知数和所设的未知数代入等量关系中，列出方程。 5.解（解方程）： 运用等式的性质或四则运算的关系求出方程中未知数的值。 6.验（检验）： （1）代入方程检验： 把求得的未知数的值代入原方程，看左右两边是否相等。 （2）代入题意检验： 检查求得的结果是否符合题目所给的实际情况和生活常识。 7.答（写答语）： 检验无误后，写出完整的答语。 知识点三、如何寻找等量关系（重点与难点） 1.抓住关键句： 题目中往往有明确表示数量关系的词语，例如： （1）和差关系：“一共”、“……和……”、“比……多/少……”、“……与……的差是……” （2）倍数关系：“……是……的几倍”、“……的几倍是……”、“……比……的几倍多/少……” （3）相等关系：“……相等”、“……同样多”、“……等于……” 2.利用基本数量关系： 如路程=速度×时间，工作总量=工作效率×工作时间，利润=售价-成本等。 3.运用不变量： 在一些应用题中，某个量是固定不变的，以此为等量关系。例如：年龄问题中两人的年龄差不变；溶液稀释或浓缩问题中溶质的质量不变等。 4.借助线段图或示意图： 对于较复杂的题目，可以通过画线段图或其他示意图来帮助理解题意，直观地找出等量关系。 5.根据事情的变化过程分析： 分析题目中描述的事件发展过程，找出变化中的等量关系。 知识点四、常见题型及等量关系示例 1.和差倍分问题： （1）和倍问题： 已知两个数的和及它们之间的倍数关系，求这两个数。 等量关系：较小数 + 较大数 = 和；较大数 = 较小数 × 倍数 （2）差倍问题： 已知两个数的差及它们之间的倍数关系，求这两个数。 等量关系：较大数 - 较小数 = 差；较大数 = 较小数 × 倍数 （3）和差问题： 已知两个数的和与差，求这两个数。 等量关系：大数 + 小数 = 和；大数 - 小数 = 差 2.行程问题： （1）相遇问题： 甲路程 + 乙路程 = 总路程；速度和 × 相遇时间 = 总路程 （2）追及问题： 快者路程 - 慢者路程 = 追及路程；速度差 × 追及时间 = 追及路程 （3）一般行程： 路程 = 速度 × 时间 3.工程问题（一般将工作总量看作单位“1”）： （1）甲工作效率 + 乙工作效率 = 合作工作效率 （2）工作效率 × 工作时间 = 工作总量 4.分数、百分数应用题： （1）（比较量）是（单位“1”的量）的几分之几（百分之几）。 等量关系：单位“1”的量 × 分率 = 比较量 （2）（比较量）比（单位“1”的量）多（少）几分之几（百分之几）。 等量关系：单位“1”的量 × (1 ± 分率) = 比较量 5.鸡兔同笼问题（用方程解思路更直接）： （1）设鸡有x只，兔有y只。 （2）等量关系：鸡头数 + 兔头数 = 总头数；鸡腿数 + 兔腿数 = 总腿数 6.年龄问题：等量关系：年龄差不变；几年后（前）的年龄 = 现在年龄 ± 年数 7.盈亏问题： （1）物品总数不变。 （2）等量关系：按第一种方案分配的物品总数 = 按第二种方案分配的物品总数 知识点五、列方程解应用题的技巧 1.巧设未知数： （1）直接设元： 问什么设什么。 （2）间接设元： 当直接设元列方程困难或所列方程求解复杂时，可设与所求量相关的其他量为未知数。 （3）设“单位1”或份数： 对于分数应用题，有时设单位“1”为x；对于倍数关系明显的题目，可设一份为x。 2.关键在于“找”： 反复读题，圈点关键词句，借助画图等手段，找准等量关系是列方程的核心。 3.规范书写： 解、设、答要完整，解方程步骤要清晰，注意单位统一。 4.多角度思考： 同一道题可能有不同的等量关系，从而列出不同的方程，尝试多种方法可以开阔思路。 5.注重检验： 不仅要检验方程的解是否正确，更要检验解是否符合应用题的实际意义。 例题讲解 一、列方程解和差倍问题 【例题1】商店运回白糖和红糖共127袋，白糖比红糖的5倍还多7袋，运来白糖和红糖各多少袋？ 【答案】商店运来白糖107袋，红糖20袋。 【分析】先设出未知数，设商店运来白糖x袋。因为商店运回白糖和红糖共127袋，则可以表示出红糖的数量为：袋。再结合白糖比红糖的5倍还多7袋，即等量关系为：白糖的袋数＝红糖的袋数×5＋7，由此即可列出方程解决问题。 【详解】解：设商店运来白糖x袋，则红糖的数量为袋。 红糖：（袋） 答：商店运来白糖107袋，红糖20袋。 【例题2】某校师生到工厂实习，原来安排57人到甲车间，63人到乙车间。后来因情况变化，要到乙车间的人数是到甲车间的2倍，那么需要从甲车间的人数调出多少人到乙车间？ 【答案】17人 【分析】先设出未知数，需要从甲车间的人数调出x人到乙车间。原来安排57人到甲车间，63人到乙车间，则现在两个车间的人数分别为：人、人。最后再根据乙车间的人数是到甲车间的2倍即可列出方程，由此即可解决。 【详解】解：设需要从甲车间的人数调出x人到乙车间。 答：那么需要从甲车间的人数调出17人到乙车间。 二、列方程解鸡兔同笼问题 【例题1】今有鸡兔同笼，上有49头，下有100脚，问鸡兔各有多少只？ 【答案】鸡有48只，兔有1只。 【分析】根据生活常识可以得出，一只鸡有1颗头和2只脚，1只兔子有1颗头和4只脚，根据“上有49头”得出鸡和兔子一共有49只。可以设鸡有x只，则兔子有（49－x）只。根据“下有100脚”得出数量关系式：鸡的脚＋兔子的脚＝100，列出方程分别计算出鸡兔的只数。 【详解】解：设鸡有x只，兔子有（49－x）只。 2x＋4（49－x）＝100 2x＋196－4x＝100 4x－2x＝196－100 2x＝96 x＝96÷2 x＝48 49－48＝1（只） 答：鸡有48只，兔有1只。 【例题2】儿童节联欢会上，幼儿园老师为小朋友们准备了巧克力和奶糖共18包，一共280块。巧克力每包12块，奶糖每包20块。巧克力与奶糖分别买了多少包？ 【答案】巧克力：10包；奶糖：8包 【分析】设奶糖买了x包，则巧克力买了（18－x）包；奶糖每包20块，x包奶糖有20x块；巧克力每包12块，（18－x）包巧克力有12×（18－x）块；一共280块，列方程：20x＋12×（18－x）＝280，解方程，即可解答。 【详解】解：设奶糖买了x包，则巧克力买了（18－x）包。 20x＋12×（18－x）＝280 20x＋12×18－12x＝280 8x＋216＝280 8x＋216－216＝280－216 8x＝64 8x÷8＝64÷8 x＝8 巧克力：18－8＝10（包） 答：巧克力买了10包，奶糖买了8包。 三、列方程解年龄问题 【例题1】父子两人年龄的和是70岁，7年后，父亲的年龄是儿子的2倍，求父亲和儿子的年龄各是多少岁？ 【答案】父亲年龄是49岁；儿子的年龄是21岁 【分析】根据题意可以设父亲的年龄是x岁，儿子的年龄就是（70－x）。7年后，儿子增长了7岁，此时儿子的年龄＝70－x＋7，父亲也增长了7岁，此时父亲的年龄＝x＋7。根据“父亲的年龄是儿子的2倍”得出数量关系式：儿子的年龄×2＝父亲的年龄。列出方程解得父亲的年龄，再用70减父亲的年龄即可得出儿子的年龄。 【详解】解：设父亲的年龄是x岁，儿子的年龄就是（70－x）。 2（70－x＋7）＝x＋7 2（77－x）＝x＋7 154－2x＝x＋7 x＋2x＝154－7 3x＝147 x＝147÷3 x＝49 70－49＝21（岁） 答：父亲年龄是49岁，儿子的年龄是21岁。 【例题2】祖父、儿子、孙子三人的年龄加在一起正好是100岁。祖父过的年数正好等于孙子过的月数，儿子过的星期数正好等于孙子过的天数，祖父、儿子、孙子各多少岁？（用方程解） 【答案】祖父60岁，儿子35岁，孙子5岁 【分析】根据题意，设孙子岁，那么祖父岁，儿子岁，祖父的年龄＋儿子的年龄＋孙子的年龄＝100，据此列方程求解即可。 【详解】解：设孙子岁，那么祖父岁，儿子岁， 祖父：（岁） 儿子：（岁） 答：祖父60岁，儿子35岁，孙子5岁。 四、列方程解盈亏问题 【例题1】幼儿园小朋友分饼干，如果每人分5块，则少27块饼干；如果每人分4块，则正好分完。有几个小朋友？有几块饼干？ 【答案】27个；108块 【分析】本题可以列方程来解决，设一共有x个小朋友。如果每人分5块，则少27块饼干，由此可知饼干数为（5x－27）块；如果每人分4块，则正好分完，由此可知饼干数为4x块；最后根据饼干数不会发生变化即可列出方程。解方程即可解决。 【详解】解：设一共有x个小朋友。 解得 饼干：（块） 答：一共有27个小朋友，108块饼干。 五、列方程解行程问题 【例题1】两列火车同时从距离536千米的两地相向而行，4小时相遇，慢车每小时行60千米，快车每小时行多少千米？ 【答案】74千米 【分析】本题可以用方程来解决。设快车每小时行x千米。根据“相遇路程＝相遇时间×速度和”即可列出方程，从而求解。 【详解】解：设快车每小时行x千米。 答：快车每小时行74千米。 【例题2】快、慢两车同时从甲地到乙地，快车每小时行70千米，慢车每小时行55千米。途中快车因故停留3小时，结果两车同时到达乙地。甲、乙两地间的距离是多少千米？ 【答案】770千米 【分析】由题意可知，从甲地到乙地快车比慢车少行驶3小时，把慢车的行驶时间设为未知数，快车的行驶时间＝慢车的行驶时间－3小时，等量关系式：快车的速度×快车的时间＝慢车的速度×慢车的时间，据此列方程并求出慢车的行驶时间，最后根据“路程＝速度×时间”求出甲、乙两地间的距离，据此解答。 【详解】解：设从甲地到乙地慢车行驶x小时，则快车行驶（x－3）小时。 70×（x－3）＝55x 70x－70×3＝55x 70x－210＝55x 70x－210－55x＝55x－55x 70x－55x－210＝0 15x－210＝0 15x－210＋210＝0＋210 15x＝210 15x÷15＝210÷15 x＝14 14×55＝770（千米） 答：甲、乙两地间的距离是770千米。 六、列方程解工程问题 【例题1】师徒两人共同加工一批零件，徒弟每天做30个，师傅因有事只做了6天，比徒弟少做了3天还比徒弟多做12个零件，师傅每天做几个？ 【答案】47个 【分析】本题可以用方程来解决。设师傅每天做x个零件。师傅因有事只做了6天，因此师傅的工作量为6x个；徒弟每天做30个，比师傅多做了3天，因此徒弟的工作量为：（个）。最后再根据师傅比徒弟多做12个零件即可列出方程从而求解。 【详解】解：设师傅每天做x个零件。 答：师傅每天做47个零件。 【例题2】某生产小组9个工人要生产1926个零件，每人每小时可生产20个，工作5.5小时后，要求剩下的任务必须在4小时内完成，每人每小时必须生产多少个？ 【答案】26个 【分析】本题可以用方程来解决。设每人每小时必须生产x个。根据每人每小时可生产20个可以知道9个工人工作5.5小时可以完成的零件数为：（个）。要求剩下的任务必须在4小时内完成，即这4小时的可以完成的零件数为个。再根据一共要生产1926个零件即可列出方程从而解决问题。 【详解】解：设每人每小时必须生产x个。 答：每人每小时必须生产26个。 七、列方程解分数、百分数应用题 【例题1】乙存款比甲的少40元，甲存款比乙多240元。甲乙两人存款各多少元？ 【答案】300元；60元 【分析】本题可以用方程来解决。设甲的存款为x元，则乙的存款为元。再根据甲存款比乙多240元，即可用甲的钱数减去乙的钱数等于240元列出方程。由此即可解决。 【详解】解：设甲的存款为x元，则乙的存款为元。 300－240＝60（元） 答：甲有存款300元，乙有存款60元。 【例题2】某职工大学去年共有学生2700人，今年男生人数比去年的增加9%，女生人数比去年的减少153人，今年共有学生2682人。职工大学去年有男生多少人？ 【答案】1500人 【分析】假设去年有男生x人，则今年男生比去年增加9%x人，去年总共的学生数＋今年男生比去年增加的人数－今年女生比去年减少的人数＝今年总共的学生数，据此列方程即可解答。 【详解】解：设去年有男生x人。 2700＋9%x－153＝2682 2547＋9%x＝2682 9%x＝2682－2547 9%x＝135 x＝1500 答：职工大学去年有男生1500人。 八、列方程解决稍复杂的实际问题 【例题1】汽车若干辆装运一批货物。如果每辆装3.5吨，这批货物就有2吨不能运走；如果每辆装4吨，装完这批货物后，还可以装其他货物1吨。这批货物有多少吨？ 【答案】23吨 【分析】等量关系为：3.5×汽车辆数＋2＝4×汽车辆数﹣1，设汽车有x辆，把相关数值代入后可求得汽车辆数，然后3.5乘汽车辆数，再加上不能运走的2吨即等于这批货物的吨数，据此即可解答。 【详解】解：设汽车有x辆。 3.5x＋2＝4x﹣1 3.5x＋3＝4x 4x－3.5x＝3 0.5x＝3 x＝6（辆） 3.5×6＋2 ＝21＋2 ＝23（吨） 答：这批货物有23吨。 【例题2】一种商品按定价出售，每个可以获得36元钱的利润。现在按定价打八折出售5个，所能获得的利润与按定价每个减价28元出售10个所能获得的利润相同。这种商品每个定价是多少元？ 【答案】100元 【分析】根据题意可以设这种商品每个定价是x元，根据每个可以获得36元钱的利润得出每个商品的成本是（x－36）元。现在按定价打八折，每个商品的利润＝按照80%出售的售价－成本＝[80%x－（x－36）]，再乘5即可得出5个利润。 按定价每个减价28元，也就是在成本获得利润36的基础上少28元，即每个的利润就是8元，再乘10就是10个的利润。 两种利润相同，列出方程得出定价。 【详解】解：设这种商品每个定价是x元。 [80%x－（x－36）]×5＝10×（36－28） [80%x－x＋36]×5＝10×8 （36－20%x）×5＝80 180－x＝80 x＝180－80 x＝100 答：这种商品每个定价是100元。 考点练习 一、列方程解和差倍问题 1．明明的储蓄罐里有1元、5角硬币共67枚，其中1元硬币比5角硬币多7元。两种硬币各有多少枚？ 【答案】1元硬币27枚；5角硬币40枚 【分析】本题考查和差问题，1元、5角硬币共67枚，可设1元硬币有x枚，则5角硬币有（67－x）枚。1元硬币共有：1×x＝x元；5角硬币共有：（67－x）×0.5（元）。根据等量关系：1元硬币的钱数－5角硬币的钱数＝7，列式解答即可。 【详解】解：设1元硬币有x枚，则5角硬币有（67－x）枚。 x－（67－x）×0.5＝7 x－67×0.5＋x×0.51 1.5x－33.5＝7 1.5x＝7＋33.5 1.5x＝40.5 x＝27 67－x＝67－27＝40 答：1元硬币27枚；5角硬币40枚。 2．纺织厂第一车间工人人数是第二车间工人人数的3倍，如果从第一车间调20名工人去第二车间，则两个车间人数相等，那么两个车间原来各有工人多少名？ 【答案】第一车间60名；第二车间20名 【分析】如果从第一车间调20名工人去第二车间，则两个车间人数相等，可得等量关系：第一车间的人数－20＝第二车间人数＋20，设第二车间工人原来有x名，则第一车间工人原来有3x名，代入等量关系式列方程即可解答。 【详解】解：设第二车间工人有x名，则第一车间工人有3x名。 3x－20＝x＋20 3x＝x＋40 3x－x＝40 2x＝40 x＝20 20×3＝60（人） 答：第一车间原来有工人60名，第二车间原来有工人20名。 3．有两支蜡烛，第一支长19厘米，第二支长11厘米，同时点燃后都是每分钟燃烧掉1厘米。问：多少分钟后第一支蜡烛的长度是第二支长度的3倍？ 【答案】7分钟 【分析】先设出未知数，设分钟后第一支蜡烛的长度是第二支长度的3倍。已知原来第一支长19厘米，第二支长11厘米，每分钟燃烧掉1厘米，则现在第一支蜡烛的长度为厘米，第二支蜡烛的长度为厘米。最后只需要根据第一支蜡烛的长度是第二支长度的3倍即可找到等量关系列出方程。 【详解】解：设分钟后第一支蜡烛的长度是第二支长度的3倍。 答：分钟后第一支蜡烛的长度是第二支长度的3倍。 4．停车场有三种车，两轮的摩托车、四轮的小轿车和六轮的大卡车，共有424个轮子，已知小轿车的数量比大卡车的4倍还多2辆，停车场共有102辆车，小轿车共有多少辆？ 【答案】74辆 【分析】本题可以用方程来解决。先设卡车为x辆，已知小轿车的数量比大卡车的4倍还多2辆，停车场共有102辆车，因此可以表示出轿车为（4x＋2）辆，摩托车为（102－x－4x－2）辆。再根据共有424个轮子即可列出方程并求解。 【详解】解：设卡车为x辆，则小轿车为（4x＋2）辆，摩托车为（102－x－4x－2）辆。 2（102－x－4x－2）＋4（4x＋2）＋6x＝424 2（100－5x）＋4（4x＋2）＋6x＝424 200－10x＋16x＋8＋6x＝424 208＋12x＝424 12x＝216 x＝18 小轿车：4×18＋2＝74（辆） 答：小轿车共有74辆。 5．一个长方形操场，长是宽的2.5倍。现需要将它进行扩建，而且长必须是宽的2倍，设计人员发现，如果把原来的长方形操场的长和宽各加长20米，刚好符合要求。那么扩建后这个操场的面积是多少平方米？ 【答案】7200平方米 【分析】先设出未知数，长是宽的2.5倍，设原来的宽为米，则原来的长为米。如果把原来的长方形操场的长和宽各加长20米，则此时长方形的宽为米，长为米。最后再结合长必须是宽的2倍即可列出方程解决问题。 【详解】解：设原来的宽为米，则原来的长为米。 面积： （平方米） 答：扩建后这个操场的面积是7200平方米。 二、列方程解鸡兔同笼问题 1．李老师带47名学生去划船，一共乘坐10只船，每只大船可坐6人，每只小船可坐4人，大船和小船各有几只？ 【答案】大船有4只，小船有6只。 【分析】先设出未知数，设大船有x只。因为一共乘坐10只船，则可以表示出小船有只。每只大船可坐6人，每只小船可坐4人，因此可以用大船的只数乘6，小船的只数乘4，相加即可求出一共可以坐多少人。最后结合有47名学生1名老师即可列出方程，解决问题。 【详解】解：设大船有x只，则小船有只。 小船：（只） 答：大船有4只，小船有6只。 2．我国明代珠算发明家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完。如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各有几人？ 【答案】大和尚：25人；小和尚：75人 【分析】根据题中熟练关系：大和尚吃馒头数量＋小和尚吃馒头数量＝100；设大和尚有x人，则小和尚有（100－x）人；大和尚1人分3个馒头，x人分3x个馒头；小和尚每3人分一个馒头，（100－x）人分得（100－x）÷3个馒头；一共100个，列方程：3x＋（100－x）÷3＝100，解方程，即可解答。 【详解】解：设大和尚有x人，小和尚有（100－x）人。 3x＋（100－x）÷3＝100 3x×3＋（100－x）＝100×3 9x＋100－x＝300 8x＝300－100 8x＝200 x＝200÷8 x＝25 小和尚：100－25＝75（人） 答：大和尚有25人，小和尚有75人。 3．在12张乒乓球桌上有28名运动员同时进行单打和双打乒乓球比赛，单打每桌2人，双打每桌4人。进行双打的一共有多少名运动员？ 【答案】8名 【分析】由于一共12张球桌，可以设双打比赛的乒乓球桌有x张，则单打比赛乒乓球桌有（12－x）张，单打每桌2人，双打每桌4人，用单打、双打每桌的人数乘它们各自的桌数，分别求出单打、双打的人数，再根据等量关系：“单打的人数＋双打的人数＝28人”列方程解答求出双打比赛的乒乓球桌的张数，再用双打比赛的乒乓球桌的张数乘4即可解答。 【详解】解：设双打比赛的乒乓球桌有x张。 （12－x）×2＋4x＝28 24－2x＋4x＝28 24＋2x＝28 24＋2x－24＝28－24 2x＝4 2x÷2＝4÷2 x＝2 2×4＝8（名） 答：进行双打的一共有8名运动员。 4．为了迎接运动会的到来，学校共购买了90个羽毛球，分别装在2大筒和6小筒里，已知每个小筒中羽毛球的个数比每个大筒少5个，每大筒、每小筒各装了多少个羽毛球？ 【答案】大筒装15个；小筒装10个 【分析】设每大筒装了个羽毛球，则每小筒装了个羽毛球，根据等量关系：每大筒装羽毛球的个数大筒的个数每小筒装羽毛球的个数小筒的个数个，列方程解答即可得出答案。 【详解】解：设每大筒装了个羽毛球，则每小筒装了个羽毛球。 则小筒有：（个） 答：每大筒装了15个羽毛球，每小筒装了10个羽毛球。 三、列方程解年龄问题 1．甲、乙、丙三人的平均年龄为42岁，若将甲的岁数增加7岁，乙的岁数增大2倍，丙的年龄缩小2倍，则三人岁数相等，丙的年龄是多少岁？ 【答案】76岁 【分析】若将甲的岁数增加7岁，乙的岁数增大2倍，丙的年龄缩小2倍，则三人岁数相等，说明：丙的年龄是乙的4倍；并且甲的年龄加7岁等于乙的2倍。甲、乙、丙三人的平均年龄为42岁，可以知道三人的年龄和是42×3＝126岁。根据分析的题意列出方程解答即可。 【详解】解：设乙的年龄是x岁，则甲的年龄是2x－7岁，丙的年龄是4x岁。由甲、乙、丙三人的平均年龄为42岁可得： x＋（2x－7）＋4x＝42×3 x＋2x－7＋4x＝126 7x＝126＋7 7x＝133 x＝19 则丙的年龄是4x＝4×19＝76（岁） 答：丙的年龄是76岁。 2．有一个四口之家，成员为父亲、母亲、女儿和儿子。今年他们的年龄加在一起，总共75岁。其中父亲比母亲大3岁，儿子比女儿大2岁；又知4年前家里所有人的年龄之和是 60岁。请计算，母亲今年多少岁？ 【答案】32岁 【分析】根据年龄问题可知，现在全家年龄之和比四年前应该多16岁，但75－60＝15，说明四年前儿子没出生，由此再根据“今年他们的年龄加在一起，总共75岁”，列出方程解决问题。 【详解】现在全家年龄之和比四年前应该多16岁，但75－60＝15（岁），说明四年前儿子没出生，所以儿子今年3岁，女儿就是3＋2＝5岁。 解：设母亲今年的年龄为x岁，则父亲今年的年龄为（x＋3）岁。 由题意得：x＋（x＋3）＋5＋3＝75 2x＋11＝75 2x＝75－11 2x＝64 x＝32 答：母亲今年的年龄是32岁。 3．小明今年8岁，爸爸今年42岁，若干年后，爸爸的年龄比小明年龄的4倍少11岁，那时爸爸的年龄是多少岁？ 【答案】49岁 【分析】根据题意，爸爸今年比小明大42－8＝34（岁），那么若干年后，爸爸仍然比小明大34岁。设若干年后小明x岁，则爸爸（4x－11）岁，根据“爸爸的年龄－小明的年龄＝34岁”列方程求出若干年后小明的年龄，再求出爸爸那时的年龄。 【详解】解：设若干年后小明x岁，则爸爸（4x－11）岁。 4x－11－x＝42－8 3x－11＝34 3x＝45 x＝45÷3 x＝15 爸爸：15×4－11 ＝60－11 ＝49（岁） 答：那时爸爸的年龄是49岁。 四、列方程解盈亏问题 1．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右。此专著中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一头羊。若每人出5文钱，相差45文钱；若每人出7文钱，则仍然相差3文钱；求买羊的人数和这头羊的价格？ 【答案】买羊的人数为21人；这头羊的价格是150文 【分析】设买羊的人数为x人，则这头羊的价格是（7x＋3）文，根据羊的价格不变，即可得出关于x的方程，即可解答。 【详解】解：设买羊的人数为x人，则这头羊的价格是（7x＋3）文， 根据题意得：5x＋45＝7x＋3 解得：x＝21 ∴7x＋3＝7×21＋3＝150（文） 答：买羊的人数为21人，这头羊的价格是150文。 2．动物园为猴山的猴买来桃，这些桃如果每只猴分5个，还剩32个；如果其中10只小猴分4个，其余的猴分8个，就恰好分完。问猴山有猴多少只？共买来多少个桃？ 【答案】24只；152个 【分析】设出猴子的总数，表示出桃子的数量，根据两次分配桃子的数量不变，列方程求解。 【详解】解：设猴山上有x只猴； 答：猴山上有24只猴；共买来152个桃。 3．苹果个数是梨子的2倍，梨子每人分3个，余2个；苹果每人分7个，少6个。那么人数、苹果数和梨数分别是多少？ 【答案】10个人；32个梨；64个苹果 【分析】设人数为未知数，根据梨子和苹果的分配情况表示出各自的总数，根据数量关系列方程求解。 【详解】解：设总共有x个人； 答：有10个人；有32个梨；有64个苹果。 五、列方程解行程问题 1．小巧和小亚两人各自从相距4千米的家出发，相向而行，小巧先出发5分钟后，小亚再出发，小亚骑车每分钟行190米，小巧每分钟步行60米，小亚出发几分钟后两人相遇？ 【答案】14.8分钟 【分析】根据“速度×时间＝路程”，求出小巧先出发5分钟所走的路程。再根据“小巧先出发5分钟所走的路程＋两人速度和×相遇时间＝4千米”列方程解出相遇时间即可解答。 【详解】解：设小亚出发x分钟后两人相遇 4千米＝4000米 5×60＋（60＋190）x＝4000 300＋250x＝4000 300＋250x－300＝4000－300 250x＝3700 250x÷250＝3700÷250 x＝14.8 答：小亚出发14.8分钟后两人相遇。 2．大货车时速88千米，小货车时速64千米，两车同地出发，同向而行。已知小货车先行驶1.5小时后大货车再开出，大货车经过多久能追上小货车？ 【答案】4小时 【分析】设大货车经过x小时追上小货车；根据路程＝速度×时间，大货车时速88千米，大货车x小时行驶88x千米；用64×1.5，先求出小货车1.5小时行驶的路程，小货车x小时行驶64x千米，再求出小货车x小时行驶的路程。根据等量关系式：小货车1.5小时行驶的路程＋x小时行驶的路程＝大货车行驶的路程，列出方程：88x＝64x＋64×1.5，解方程，即可解答。 【详解】解：设大货车经过x小时追上小货车。 88x＝64x＋64×1.5 88x＝64x＋96 88x－64x＝96 24x＝96 x＝96÷24 x＝4 答：大货车经过4小时追上小货车。 3．一架飞机所带的燃料最多可以用7时，去时顺风，每时飞行80千米，返回时逆风，每时飞行的路程是顺风的75%，这架飞机最多飞出多少千米就需要往回飞？ 【答案】240千米 【分析】因为飞机往返的路程相等，所以飞机飞行的速度与时间成反比例。可根据等量关系列方程解答。设飞机最多飞出小时需返回，则返回时间为小时。顺风速度为80千米/时，逆风速度为80×75%＝60千米/时。根据往返路程相等，列方程，解方程求出，再计算最远距离。 【详解】解：设飞机最多飞出小时需返回。 （千米/时） 答：这架飞机最多飞出240千米就需要往回飞。 4．某人在去县城途中经过一个山岭，上山时每小时走3200米，下山时每小时走6000米。已知他从上山到下山共用去6小时（不包括休息时间），共走了26200米。该人上山和下山各用了多少时间？上山和下山各走了多少米？ 【答案】上山3.5小时；下山用了2.5小时；上山走了11200米；下山走了15000米 【分析】先设出未知数，根据已知他从上山到下山共用去6小时，可以设上山时间为小时，则下山时间为小时。已知上山时每小时走3200米，下山时每小时走6000米，根据“路程＝速度×时间”即可表示出上山和下山各走过的路程。最后再结合共走了26200米即可列出方程解决问题。 【详解】解：设上山时间为小时，则下山时间为小时。 下上时间：（小时） 上山路程：（米） 下山路程：（米） 答：该人上山用了3.5小时，下山用了2.5小时；上山走了11200米，下山走了15000米。 六、列方程解工程问题 1．甲、乙两组加工一批零件，甲组每天比乙组多加工 100 个，中途乙组因事停工了 5 天，20 天后，甲加工的零件个数正好是乙加工的 2 倍，这时，两组各加工零件多少个？ 【答案】甲组6000个，乙组3000个 【详解】解：设甲每天加工x个零件，乙每天加工x-100个，根据题意列方程： 20x=2×(x-100) ×15 解得，x=300 甲加工的数量：300×20=6000（个） 乙加工的数量：200×15=3000（个） 答：甲组加工零件6000个，乙组加工3000个。 2．一项工程，甲独做要30天完成，乙独做要20天完成，若由甲做了若干天后，由乙继续做完，从开始到完工共用了26天，求甲、乙两人各做了多少天？ 【答案】18天；8天 【分析】甲独做要30天完成，乙独做要20天完成，因此甲的效率为，乙的效率为。若由甲做了若干天后，由乙继续做完，从开始到完工共用了26天，因此可以设甲做了x天，则乙做了（26－x）天，然后根据“工作量＝工作效率×工作时间”即可表示出甲乙的工作量，由此即可列出方程来解决。 【详解】解：设甲做了x天，则乙做了（26－x）天。 26－18＝8（天） 答：甲做了18天，乙做了8天。 3．我国是水资源比较贫乏的国家之一，保护水资源，节约用水是每个公民应尽的责任。为确保农田灌溉水渠安全畅通，张家村准备修一条应急水渠，工程队修路原计划用52人可按预定的期限完成任务，后来采用新技术使得工作效率提高50%，因此少派了12人，结果还提前了6天完成任务，那么如果要提前5天完成，需要派多少人？ 【答案】39人 【分析】本题可以用方程来解决，设预定完成任务的期限为x天。将每人每天完成的工作量当成1份，根据工作量不会发生变化可以列出方程：。据此即可求出预定完成任务的天数。再用预定完成任务的天数乘52，可以求出总工作量的份数。最后再用总工作量的份数除以提高后的工作效率，再除以如果要提前5天完成任务需要的时间，即可求出需要派多少人。 【详解】解：设预定完成任务的期限为x天。 （人） 答：如果要提前5天完成，需要派39人。 七、列方程解分数、百分数应用题 1．农场有牛羊共160头，卖出羊的10%又买进30头牛，这时牛羊的头数相等。原有牛羊多少头？ 【答案】原有羊100头，牛60头。 【分析】本题可以用方程来解决。设羊有x头，则牛有（160－x）头。卖出羊的10%又买进30头牛，此时羊的数量为：，牛的数量为：。根据这时牛羊的头数相等即可列出方程并求解。 【详解】解：设羊有x头，则牛有（160－x）头。 牛：（头） 答：原有羊100头，牛60头。 2．有两块地共72亩，第一块地的和第二块地的种西红柿；两块地余下的共39亩种茄子，问第一块地是多少亩？ 【答案】45亩 【分析】可以设第一块地是x亩，根据有两块地共72亩，得出第二块地是（72－x）亩。根据一个数的几分之几用乘法，得出数量关系式：第一块地的亩数×＋第二块地亩数×＋39＝两块地的总亩数。列出方程得出解。 【详解】解：设第一块地是x亩。 x＝45 答：第一块地是45亩。 3．甲乙两个粮库共存粮180吨，如果从甲仓库调出，乙仓库中调出，共调出50吨，两个粮库原来各存粮多少吨？ 【答案】甲粮库有存量千克，则乙粮库有存量千克。 【分析】本题可以利用方程来解决。甲乙两个粮库共存粮180吨，因此可以设甲粮库有存量千克，则乙粮库有存量千克。从甲仓库调出，乙仓库中调出，则可以分别表示出两个粮仓调出的粮食数量，即甲仓库调出：千克，乙仓库调出为：千克。根据两个仓库一共调出50吨即可列出方程解决问题。 【详解】解：设甲粮库有存量千克，则乙粮库有存量千克。 乙：（吨） 答：甲粮库有存量千克，则乙粮库有存量千克。 4．甲、乙两人有人民币若干元，其中甲占60%，若乙给甲12元后，乙余下的钱比总数的25%少3元，甲、乙两人共有人民币多少元？ 【答案】60元 【分析】本题可以列方程来解决，设甲、乙两人共有人民币x元。甲占两人总钱数的60%，则乙占两人总钱数的（1－40%），根据“乙给甲12元后，乙余下的钱比总数的25%少3元”可得到等量关系：乙的钱数－12元＝总钱数×25%－3元，因此可以列出方程：（1－60%）•x－12＝25%•x－3，然后解方程求出x＝60，即甲、乙两人共有人民币60元。 【详解】解：设甲、乙两人共有人民币x元。 （1－60%）•x－12＝25%•x－3 0.4x－12＝0.25x－3 0.4x＝0.25x＋9 0.15x＝9 x＝60 答：甲、乙两人共有人民币60元。 5．一所学校共有学生700人，二年级比一年级的多12人，三年级比二年级少，四年级人数是三年级的，没有五、六年级。四个年级各有多少人？ 【答案】一年级有192人；二年级有180人；三年级有144人；四年级有184人 【分析】本题可以用方程来解决。设一年级的人数为x人，则二年级的人数为：人，三年级的人数为：人，四年级的人数为：人。最后再根据共有学生700人即可列出方程并求解。 【详解】解：设一年级的人数为x人。 二年级：（人） 三年级：（人） 四年级：（人） 答：一年级有192人，二年级有180人，三年级有144人，四年级有184人。 八、列方程解决稍复杂的实际问题 1．元元手上有两张数字卡片，这两个数字的和是13，元元先将这两张数字卡片组成一个两位数，再将这两张数字卡片位置对调，得到的新数比原来的数小9，你知道这两张数字卡片上的数字分别是多少吗？元元组成的第一个数是多少呢？ 【答案】7和6；76 【分析】根据题意可知，两张数字卡片上的数都是一位数，两个数字之和是13，设较大的数字为x，则较小的数字为13－x，组成的较大的两位数为10x＋（13－x），组成的较小两位数为10（13－x）＋x，再根据等量关系：较大的两位数＝较小的两位数＋9列方程，先求两个卡片上的数是多少，再作进一步解答。 【详解】解：设较大的数字为x，则较小的数字为13－x。 10x＋（13－x）＝ 10（13－x）＋x＋9 9x＋13＝139－9x 18x＋13＝139 18x＝126 x＝7 13－7＝6 10×7＋（13－7） ＝70＋6 ＝76 答：两张数字卡片上的数字分别是7和6；元元组成的第一个数是76。 2．某百货商店销售一批服装，商店按的利润定价。当卖出这批服装的多30件时不仅收回了全部成本，还获得预计利润的一半。这批服装一共有多少件？ 【答案】180件 【分析】可以假设每件服装的成本是100元，商店按20%的利润定价，就是每件的利润是成本的20%，求一个数的百分之几是多少用乘法得出每件服装的利润是20元，此时预计的利润＝每件利润×件数。售价＝成本＋利润，也就是120元。 根据当卖出这批服装的多30件时不仅收回了全部成本，还获得预计利润的一半，可以设这批服装一共有x件，此时卖出的件数是（75%x＋30），总的销售额＝卖出的件数×每件的售价＝120（75%x＋30）＝全部的成本＋预计利润的一半＝100x＋20x÷2，列出方程得出件数。 【详解】解：设每件服装的成本是100元。 每件利润：100×20%＝20（元） 100＋20＝120（元） 设这批服装一共有x件。 120（75%x＋30）＝100x＋20x÷2 120×75%x＋120×30＝100x＋10x 90x＋3600＝110x 110x－90x＝3600 20x＝3600 x＝3600÷20 x＝180 答：这批服装一共有180件。 3．某校在庆六一活动中，六年级有41位同学分别参加小品、朗诵、合唱节目（每位同学只参加一个节目），其中参加小品的同学人数与参加朗诵的同学人数之比是2∶3，参加合唱的同学人数是参加朗诵的同学人数的2倍少3人，求参加小品、朗诵、合唱节目的同学各有多少人？ 【答案】小品8人；朗诵12人；合唱21人 【分析】根据“参加合唱的同学人数是参加朗诵的同学人数的2倍少3人”，可以设参加朗诵的同学有人，则参加合唱的同学有（2－3）人； 已知参加小品的同学人数与参加朗诵的同学人数之比是2∶3，即参加小品的同学人数是参加朗诵的同学人数的，因为参加朗诵的同学有人，那么参加小品的同学有人。 根据“六年级有41位同学分别参加小品、朗诵、合唱节目”可得出等量关系：参加小品的同学人数＋参加朗诵的同学人数＋参加合唱的同学人数＝参加节目的总人数，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设参加朗诵的同学有人，则参加合唱的同学有（2－3）人，参加小品的同学有人。 ＋＋2－3＝41 －3＝41 －3＋3＝41＋3 ＝44 ÷＝44÷ ＝44× ＝12 合唱：12×2－3 ＝24－3 ＝21（人） 小品：12×＝8（人） 答：参加小品的同学有8人，参加朗诵的同学有12人，参加合唱的同学有21人。 4．万达商场某饮料店有一桶奶茶，上午售出其中的25%，下午售出20升，晚上售出剩下的10%，最后剩下的奶茶再减3升刚好半桶，问这桶奶茶共有多少升？ 【答案】120升 【分析】把这桶奶茶的总升数看作单位“1”， 设这桶奶茶共有x升，则上午售出25%x升，还剩下（x－25%x）升，下午售出20升，晚上售出剩下的10%x，即晚上售出后还剩下的总升数为（x－25%x－20）×（1－10%），根据等量关系：最后剩下的奶茶再减3升刚好半桶列方程解答即可。 【详解】解：设这桶奶茶共有x升。 （x－25%x－20）×（1－10%）－3＝50%x （0.75x－20）×0.9－3＝0.5x 0.675x－18－3＝0.5x 0.675x－21＝0.5x 0.675x－21＋21＝0.5x＋21 0.675x＝0.5x＋21 0.675x－0.5x＝0.5x＋21－0.5x 0.175x＝21 0.175x÷0.175＝21÷0.175 x＝120 答：这桶奶茶共有120升。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 $