第11讲 盈亏问题（知识梳理+例题讲解+考点练习）-五年级奥数培优讲义

第11讲 盈亏问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解“盈”和“亏”的含义，以及盈亏问题的基本特点。 2.能够识别盈亏问题中的关键量：如“每人分得的数量”、“剩余（盈）的数量”、“缺少（亏）的数量”、“参与分配的人数或单位数”和“物品的总数量”。 3.掌握盈亏问题的几种基本类型及其解题思路和方法，并能熟练运用公式解决问题。 4.培养分析问题、解决问题的能力，以及运用数学知识解决实际生活中简单问题的能力。 知识梳理 知识点一、基本概念 1.盈： 指分配物品时，每份分得同样多后，还剩余（多出来）的部分。 2.亏： 指分配物品时，每份分得同样多后，不够分（还差）的部分。 3.盈亏问题： 把一定数量的物品平均分给一定数量的人（或单位），如果按某种标准分配，会产生“盈”；按另一种标准分配，会产生“亏”。要求出物品总数和参与分配的人数（或单位数），这类问题叫做盈亏问题。 4.核心特点： 有两次分配方案，且参与分配的“人数”和“物品总数”是固定不变的。两次分配的结果不同（一盈一亏，或两盈，或两亏）。 知识点二、解决盈亏问题的关键 找出两次分配中： 1.总差额： 即两次分配结果（盈与亏）的相差总数。 2.每份差额（两次分配的差）： 即两次分配中，平均每份所分得的数量的相差数。 3.根据“总差额 ÷ 每份差额 = 参与分配的份数（人数或单位数）”，先求出参与分配的份数，再求出物品的总数量。 知识点三、基本类型及解题方法 1.类型一：一盈一亏 （1）特点： 第一次分配有剩余（盈），第二次分配不够分（亏）。 （2）数量关系式： ①总差额 = 盈数 + 亏数 (因为一次多出来，一次少了，两次的差距是两者之和) ②参与分配的份数（人数/单位数）= 总差额 ÷ 两次分配每份的差额 ③物品总数量 = 第一次每份分得的数量 × 份数 + 盈数 ④或 = 第二次每份分得的数量 × 份数 - 亏数 （3）解题步骤： ①确定题目中的“盈数”和“亏数”。 ②计算“两次分配每份的差额”（通常是第二次每份数量减去第一次每份数量，注意顺序，保证差额为正数以便理解）。 ③计算“总差额”（盈数 + 亏数）。 ④利用“参与分配的份数 = 总差额 ÷ 两次分配每份的差额”求出份数（人数或单位数）。 ⑤利用求出的份数和任意一次分配情况，求出物品总数量。 2.类型二：两盈 （1）特点： 两次分配都有剩余（盈），但剩余的数量不同。 （2）数量关系式： ①总差额 = 大盈数 - 小盈数 (两次都多，差距是多出来的部分相减) ②参与分配的份数（人数/单位数）= 总差额 ÷ 两次分配每份的差额 ③物品总数量 = 第一次每份分得的数量 × 份数 + 小盈数 (或 + 大盈数，对应第一次或第二次分配) ④或 = 第二次每份分得的数量 × 份数 + 小盈数 (同上) （3）解题步骤： ①确定题目中的“大盈数”和“小盈数”。 ②计算“两次分配每份的差额”。 ③计算“总差额”（大盈 - 小盈）。 ④求出份数。 ⑤求出物品总数量。 3.类型三：两亏 （1）特点： 两次分配都不够分（亏），但缺少的数量不同。 （2）数量关系式： ①总差额 = 大亏数 - 小亏数 (两次都少，差距是少的部分相减) ②参与分配的份数（人数/单位数）= 总差额 ÷ 两次分配每份的差额 ③物品总数量 = 第一次每份分得的数量 × 份数 - 大亏数 (或 - 小亏数，对应第一次或第二次分配) ④或 = 第二次每份分得的数量 × 份数 - 小亏数 (同上) （3）解题步骤： ①确定题目中的“大亏数”和“小亏数”。 ②计算“两次分配每份的差额”。 ③计算“总差额”（大亏 - 小亏）。 ④求出份数。 ⑤求出物品总数量。 4.类型四：一次盈（余），一次正好分完 （1）特点： 第一次分配有剩余（盈），第二次分配正好分完（没有剩余也不缺少）。 （2）数量关系式： ①总差额 = 盈数 (因为一次多，一次正好，差距就是盈数) ②参与分配的份数（人数/单位数）= 总差额 ÷ 两次分配每份的差额 ③物品总数量 = 第一次每份分得的数量 × 份数 + 盈数 ④或 = 第二次每份分得的数量 × 份数 (因为正好分完) 5.类型五：一次亏（缺），一次正好分完 （1）特点： 第一次分配不够分（亏），第二次分配正好分完。 （2）数量关系式： ①总差额 = 亏数 (因为一次少，一次正好，差距就是亏数) ②参与分配的份数（人数/单位数）= 总差额 ÷ 两次分配每份的差额 ③物品总数量 = 第一次每份分得的数量 × 份数 - 亏数 ④或 = 第二次每份分得的数量 × 份数 (因为正好分完) 知识点四、解题口诀 一盈一亏： （盈 + 亏）÷ 两次分配差 = 份数 两 盈： （大盈 - 小盈）÷ 两次分配差 = 份数 两 亏： （大亏 - 小亏）÷ 两次分配差 = 份数 一盈一平（正好）： 盈 ÷ 两次分配差 = 份数 一亏一平（正好）： 亏 ÷ 两次分配差 = 份数 求出份数后，再求总数量： 总数量 = 每份数量 × 份数 + 盈 总数量 = 每份数量 × 份数 - 亏 例题讲解 一、一盈一亏型 【例题1】小朋友分糖果，如果每人分5颗，还剩12颗；如果每人分8颗，就缺3颗。有多少个小朋友？共有多少颗糖果？ 【答案】小朋友：5人；糖果：37颗。 【分析】典型的一盈一亏问题。盈数是12颗，亏数是3颗。两次分配中，每人分得的糖果数相差(8-5)颗。 【解析】 两次分配的差：8 - 5 = 3 (颗/人) 总差额（盈+亏）：12 + 3 = 15 (颗) 小朋友人数（份数）：15 ÷ 3 = 5 (人) 糖果总数：5 × 5 + 12 = 25 + 12 = 37 (颗) 或 8 × 5 - 3 = 40 - 3 = 37 (颗) 【例题2】学校安排学生住宿，如果每间宿舍住4人，则有14人没有床位；如果每间宿舍住6人，则多出4个空床位。问：学校有多少间宿舍？住宿的学生有多少人？ 【答案】宿舍：9间；学生：50人。 【分析】一盈一亏问题。“14人没有床位”是盈14人；“多出4个空床位”是亏4人。两次每间宿舍住的人数相差(6-4)人。 【解析】 两次分配的差：6 - 4 = 2 (人/间) 总差额（盈+亏）：14 + 4 = 18 (人) 宿舍间数（份数）：18 ÷ 2 = 9 (间) 学生人数：4 × 9 + 14 = 36 + 14 = 50 (人) 或 6 × 9 - 4 = 54 - 4 = 50 (人) 二、两盈型 【例题1】学校买来一批书奖励三好学生，如果每人奖5本，则多了23本；如果每人奖7本，则多了7本。有多少名三好学生？这批书有多少本？ 【答案】三好学生：8名；书：63本。 【分析】两盈问题。大盈数是23本，小盈数是7本。两次每人奖励的本数差(7-5)本。 【解析】 两次分配的差：7 - 5 = 2 (本/人) 总差额（大盈 - 小盈）：23 - 7 = 16 (本) 三好学生人数（份数）：16 ÷ 2 = 8 (名) 书的总数：5 × 8 + 23 = 40 + 23 = 63 (本) 或 7 × 8 + 7 = 56 + 7 = 63 (本) 【例题2】同学们去种树，如果每人种4棵，还剩16棵树苗；如果每人种6棵，还剩4棵树苗。问：有多少名同学？一共有多少棵树苗？ 【答案】同学：6名；树苗：40棵。 【分析】两盈问题。大盈16棵，小盈4棵。两次每人种树棵数差(6-4)棵。 【解析】 两次分配的差：6 - 4 = 2 (棵/人) 总差额（大盈 - 小盈）：16 - 4 = 12 (棵) 同学人数（份数）：12 ÷ 2 = 6 (名) 树苗总数：4 × 6 + 16 = 24 + 16 = 40 (棵) 或 6 × 6 + 4 = 36 + 4 = 40 (棵) 三、两亏型 【例题1】同学们去划船，如果每条船坐4人，则少2条船；如果每条船坐6人，则少1条船。问：有多少条船？多少名同学？ 【答案】船：1条；同学：12名。 【分析】两亏问题。“少2条船（每船4人）” → 亏 4×2=8人（大亏）。“少1条船（每船6人）” → 亏 6×1=6人（小亏）。 【解析】 “少2条船（每船4人）”转化为亏数：4 × 2 = 8 (人) (大亏) “少1条船（每船6人）”转化为亏数：6 × 1 = 6 (人) (小亏) 两次分配的差：6 - 4 = 2 (人/条) 总差额（大亏 - 小亏）：8 - 6 = 2 (人) 船的条数（份数）：2 ÷ 2 = 1 (条) 同学人数：4 × (1 + 2) = 4 × 3 = 12 (名) 或 6 × (1 + 1) = 6 × 2 = 12 (名) 【例题2】小明从家到学校，如果每分钟走50米，就要迟到3分钟；如果每分钟走60米，就要迟到1分钟。问：小明家到学校的距离是多少米？ 【答案】距离：600米。 【分析】两亏问题。“迟到”意味着在规定时间内，小明还没走到学校，还差的路程就是“亏”。“迟到3分钟（每分钟50米）” → 亏 50×3=150米（大亏）。“迟到1分钟（每分钟60米）” → 亏 60×1=60米（小亏）。 【解析】 “迟到3分钟”转化为亏数：50 × 3 = 150 (米) (大亏) “迟到1分钟”转化为亏数：60 × 1 = 60 (米) (小亏) 两次速度的差：60 - 50 = 10 (米/分钟) 总差额（大亏 - 小亏）：150 - 60 = 90 (米) 规定到校时间（份数）：90 ÷ 10 = 9 (分钟) 家到学校的距离：50 × (9 + 3) = 50 × 12 = 600 (米) 或 60 × (9 + 1) = 60 × 10 = 600 (米) 四、一次盈，一次正好型 【例题1】老师给学生发练习本，每人发5本，还剩20本；如果每人发7本，正好发完。有多少名学生？练习本有多少本？ 【答案】学生：10名；练习本：70本。 【分析】一次盈，一次正好型。盈数20本。两次每人发的本数差(7-5)本。 【解析】 两次分配的差：7 - 5 = 2 (本/人) 总差额（盈数）：20 (本) 学生人数（份数）：20 ÷ 2 = 10 (名) 练习本总数：5 × 10 + 20 = 70 (本) 或 7 × 10 = 70 (本) 【例题2】某工厂要生产一批零件，原计划每天生产50个，可按期完成任务，实际每天生产75个，结果提前4天完成任务。问：这批零件共有多少个？原计划多少天完成？ 【答案】零件：600个；原计划：12天。 【分析】一次盈，一次正好型（需转化）。“提前4天完成任务（每天75个）”意味着如果按原计划天数生产，每天75个，则会多生产 75×4=300个（盈300个）。“原计划每天生产50个，可按期完成”意味着正好。 【解析】 “提前4天（每天75个）”转化为盈数：75 × 4 = 300 (个) 两次每天生产的差：75 - 50 = 25 (个/天) 总差额（盈数）：300 (个) 原计划天数（份数）：300 ÷ 25 = 12 (天) 零件总数：50 × 12 = 600 (个) 或 75 × (12 - 4) = 75 × 8 = 600 (个) 五、一次亏，一次正好型 【例题1】小朋友分饼干，如果每人分3块，则少12块；如果每人分2块，则正好分完。有多少个小朋友？有多少块饼干？ 【答案】小朋友：12个；饼干：24块。 【分析】一次亏，一次正好型。亏数12块。两次每人分的饼干数差(3-2)块。 【解析】 两次分配的差：3 - 2 = 1 (块/人) 总差额（亏数）：12 (块) 小朋友人数（份数）：12 ÷ 1 = 12 (个) 饼干总数：3 × 12 - 12 = 36 - 12 = 24 (块) 或 2 × 12 = 24 (块) 【例题2】小明计划在规定时间内完成一批口算题。如果每分钟做10道，则还差12道没完成；如果每分钟做8道，则正好完成。问：小明计划几分钟完成？这批口算题共有多少道？ 【答案】计划：6分钟；题：48道。 【分析】一次亏，一次正好型。亏数12道。两次每分钟做的题数差(10-8)道。 【解析】 两次分配的差：10 - 8 = 2 (道/分钟) 总差额（亏数）：12 (道) 计划时间（份数）：12 ÷ 2 = 6 (分钟) 口算题总数：10 × 6 - 12 = 60 - 12 = 48 (道) 或 8 × 6 = 48 (道) 考点练习 一、一盈一亏型 1.老师给同学们发练习本，如果每人发7本，则多出24本；如果每人发9本，则少12本。问：有多少名同学？老师一共有多少本练习本？ 【答案】同学：18名；练习本：150本。 【分析】一盈一亏问题。盈数24本，亏数12本。两次每人发的本数差(9-7)本。 【解析】 两次分配的差：9 - 7 = 2 (本/人) 总差额（盈+亏）：24 + 12 = 36 (本) 同学人数（份数）：36 ÷ 2 = 18 (名) 练习本总数：7 × 18 + 24 = 126 + 24 = 150 (本) 或 9 × 18 - 12 = 162 - 12 = 150 (本) 2.同学们去划船，如果每条船坐5人，则有14人没有船可坐；如果每条船坐7人，则有一条船还可再坐4人。问：有多少条船？多少名同学？ 【答案】船：9条；同学：59名。 【分析】一盈一亏问题。“14人没有船可坐”是盈14人；“有一条船还可再坐4人”意味着少4人，是亏4人。两次每条船坐的人数差(7-5)人。 【解析】 两次分配的差：7 - 5 = 2 (人/条) 总差额（盈+亏）：14 + 4 = 18 (人) 船的条数（份数）：18 ÷ 2 = 9 (条) 同学人数：5 × 9 + 14 = 45 + 14 = 59 (名) 或 7 × 9 - 4 = 63 - 4 = 59 (名) 3.某班同学去植树，如果每人种3棵，还有12棵树没人种；如果每人种5棵，就有2人没树可种。问：这个班有多少名同学？一共要种多少棵树？ 【答案】同学：11名；树：45棵。 【分析】一盈一亏问题。关键在于理解“有2人没树可种”，即如果每人种5棵，那么树的总数就少了5×2=10棵（亏10棵）。“还有12棵树没人种”是盈12棵。 【解析】 “有2人没树可种”转化为亏数：5 × 2 = 10 (棵) 两次分配的差：5 - 3 = 2 (棵/人) 总差额（盈+亏）：12 + 10 = 22 (棵) 同学人数（份数）：22 ÷ 2 = 11 (名) 树的总数：3 × 11 + 12 = 33 + 12 = 45 (棵) 或 5 × (11 - 2) = 5 × 9 = 45 (棵) 4.幼儿园老师给小朋友分苹果，如果每个小朋友分4个苹果，则多出10个苹果；如果每个小朋友分6个苹果，则有一个小朋友只能分到2个苹果。问：有多少个小朋友？有多少个苹果？ 【答案】小朋友：7个；苹果：38个。 【分析】一盈一亏问题。“有一个小朋友只能分到2个苹果”意味着如果每个小朋友分6个，那么总共少了6 - 2 = 4个苹果（亏4个）。“多出10个苹果”是盈10个。 【解析】 “有一个小朋友只能分到2个苹果”转化为亏数：6 - 2 = 4 (个) 两次分配的差：6 - 4 = 2 (个/人) 总差额（盈+亏）：10 + 4 = 14 (个) 小朋友人数（份数）：14 ÷ 2 = 7 (个) 苹果总数：4 × 7 + 10 = 28 + 10 = 38 (个) 或 6 × 7 - 4 = 42 - 4 = 38 (个) 5.用一根绳子绕树三圈，余3米；如果绕树四圈，则差4米。树的周长是多少米？绳子长多少米？ 【答案】树周长：7米；绳子长：24米。 【分析】一盈一亏问题。这里“份数”是树的周长。绕三圈余3米（盈3米），绕四圈差4米（亏4米）。两次绕的圈数差1圈。 【解析】 两次绕圈数的差：4 - 3 = 1 (圈) 总差额（盈+亏）：3 + 4 = 7 (米) 树的周长（每份长度，即份数对应的“每份数量”）：7 ÷ 1 = 7 (米) 绳子长度：3 × 7 + 3 = 21 + 3 = 24 (米) 或 4 × 7 - 4 = 28 - 4 = 24 (米) 6.某班同学去公园划船，如果增加一条船，正好每条船坐6人；如果减少一条船，正好每条船坐9人。问：这个班共有多少名同学？ 【答案】同学：36名。 【分析】一盈一亏问题。需要转化条件。“增加一条船，正好每条船坐6人”意味着如果船数不变，每条船坐6人，则多出6人（盈6人）。“减少一条船，正好每条船坐9人”意味着如果船数不变，每条船坐9人，则少9人（亏9人）。 【解析】 “增加一条船，每条船坐6人”转化为盈数：6 × 1 = 6 (人) “减少一条船，每条船坐9人”转化为亏数：9 × 1 = 9 (人) 两次分配的差（每条船人数差）：9 - 6 = 3 (人/条) 总差额（盈+亏）：6 + 9 = 15 (人) 原有船数（份数）：15 ÷ 3 = 5 (条) 同学人数：6 × (5 + 1) = 6 × 6 = 36 (名) 或 9 × (5 - 1) = 9 × 4 = 36 (名) 二、两盈型 1.若干个小朋友分一堆苹果，如果每人分3个，就多18个；如果每人分5个，就多6个。问：有多少个小朋友？有多少个苹果？ 【答案】小朋友：6个；苹果：36个。 【分析】两盈问题。大盈18个，小盈6个。两次每人分的苹果数差(5-3)个。 【解析】 两次分配的差：5 - 3 = 2 (个/人) 总差额（大盈 - 小盈）：18 - 6 = 12 (个) 小朋友人数（份数）：12 ÷ 2 = 6 (个) 苹果总数：3 × 6 + 18 = 18 + 18 = 36 (个) 或 5 × 6 + 6 = 30 + 6 = 36 (个) 2.一群猴子分桃，如果每只猴子分10个桃，则多出6个桃；如果每只猴子分12个桃，则多出2个桃。问：有多少只猴子？多少个桃？ 【答案】猴子：2只；桃：26个。 【分析】两盈问题。大盈6个，小盈2个。两次每只猴子分的桃子数差(12-10)个。 【解析】 两次分配的差：12 - 10 = 2 (个/只) 总差额（大盈 - 小盈）：6 - 2 = 4 (个) 猴子只数（份数）：4 ÷ 2 = 2 (只) 桃子总数：10 × 2 + 6 = 20 + 6 = 26 (个) 或 12 × 2 + 2 = 24 + 2 = 26 (个) 3.某工厂要生产一批零件，如果每天生产100个，则可以提前3天完成任务；如果每天生产80个，则可以提前1天完成任务。问：原计划多少天完成任务？这批零件共有多少个？ 【答案】原计划：11天；零件：800个。 【分析】两盈问题。“提前完成任务”意味着在计划天数内，生产的零件会有剩余（盈）。“提前3天”，如果按原计划天数生产，每天100个，则会多生产 100×3=300个（大盈）。“提前1天”，则会多生产 80×1=80个（小盈）。 【解析】 “提前3天（每天100个）”转化为盈数：100 × 3 = 300 (个) (大盈) “提前1天（每天80个）”转化为盈数：80 × 1 = 80 (个) (小盈) 两次每天生产的差：100 - 80 = 20 (个/天) 总差额（大盈 - 小盈）：300 - 80 = 220 (个) 原计划天数（份数）：220 ÷ 20 = 11 (天) 零件总数：100 × (11 - 3) = 100 × 8 = 800 (个) 或 80 × (11 - 1) = 80 × 10 = 800 (个) 三、两亏型 1.幼儿园给小朋友分苹果，如果每人分4个，则少18个苹果；如果每人分3个，则少6个苹果。问：有多少个小朋友？有多少个苹果？ 【答案】小朋友：12个；苹果：30个。 【分析】两亏问题。大亏18个，小亏6个。两次每人分的苹果数差(4-3)个。 【解析】 两次分配的差：4 - 3 = 1 (个/人) 总差额（大亏 - 小亏）：18 - 6 = 12 (个) 小朋友人数（份数）：12 ÷ 1 = 12 (个) 苹果总数：4 × 12 - 18 = 48 - 18 = 30 (个) 或 3 × 12 - 6 = 36 - 6 = 30 (个) 2.学校将一批图书分给各班，如果每班分10本，则少24本；如果每班分8本，则少4本。问：有多少个班级？这批图书共有多少本？ 【答案】班级：10个；图书：76本。 【分析】两亏问题。大亏24本，小亏4本。两次每班分的图书本数差(10-8)本。 【解析】 两次分配的差：10 - 8 = 2 (本/班) 总差额（大亏 - 小亏）：24 - 4 = 20 (本) 班级数（份数）：20 ÷ 2 = 10 (个) 图书总数：10 × 10 - 24 = 100 - 24 = 76 (本) 或 8 × 10 - 4 = 80 - 4 = 76 (本) 3.同学们去植树，如果每人植5棵，则少20棵树苗；如果每人植3棵，则少4棵树苗。问：有多少名同学？一共要植多少棵树？ 【答案】同学：8名；树：20棵。 【分析】两亏问题。大亏20棵，小亏4棵。两次每人植树棵数差(5-3)棵。 【解析】 两次分配的差：5 - 3 = 2 (棵/人) 总差额（大亏 - 小亏）：20 - 4 = 16 (棵) 同学人数（份数）：16 ÷ 2 = 8 (名) 树的总数：5 × 8 - 20 = 40 - 20 = 20 (棵) 或 3 × 8 - 4 = 24 - 4 = 20 (棵) 4.某班同学去参加劳动，如果每人搬5块砖，则少27块砖；如果每人搬3块砖，则少3块砖。问：有多少名同学？要搬多少块砖？ 【答案】同学：12名；砖：33块。 【分析】两亏问题。大亏27块，小亏3块。两次每人搬砖数差(5-3)块。 【解析】 两次分配的差：5 - 3 = 2 (块/人) 总差额（大亏 - 小亏）：27 - 3 = 24 (块) 同学人数（份数）：24 ÷ 2 = 12 (名) 砖的总数：5 × 12 - 27 = 60 - 27 = 33 (块) 或 3 × 12 - 3 = 36 - 3 = 33 (块) 5.学校安排学生参加社会实践活动，如果每辆车坐50人，则有30个空位；如果每辆车坐40人，则有10个空位。问：有多少辆车？有多少名学生？ 【答案】车：2辆；学生：70名。 【分析】两亏问题。“有30个空位”意味着少30人（亏30人，大亏）。“有10个空位”意味着少10人（亏10人，小亏）。 【解析】 大亏数：30人，小亏数：10人。 两次分配的差（每车人数差）：50 - 40 = 10 (人/辆) 总差额（大亏 - 小亏）：30 - 10 = 20 (人) 车的辆数（份数）：20 ÷ 10 = 2 (辆) 学生人数：50 × 2 - 30 = 100 - 30 = 70 (名) 或 40 × 2 - 10 = 80 - 10 = 70 (名) 6.工人铺一条路，如果每天铺260米，铺完全路就会延期8天；如果每天铺300米，铺完全路就会延期4天。问：这条路全长多少米？原计划多少天铺完？ 【答案】全长：7800米；原计划：22天。 【分析】两亏问题。“延期完成”意味着在计划天数内，没有铺完，还差（亏）一部分。“延期8天（每天260米）” → 亏 260×8=2080米（大亏）。“延期4天（每天300米）” → 亏 300×4=1200米（小亏）。 【解析】 “延期8天（每天260米）”转化为亏数：260 × 8 = 2080 (米) (大亏) “延期4天（每天300米）”转化为亏数：300 × 4 = 1200 (米) (小亏) 两次每天铺路的差：300 - 260 = 40 (米/天) 总差额（大亏 - 小亏）：2080 - 1200 = 880 (米) 原计划天数（份数）：880 ÷ 40 = 22 (天) 路的全长：260 × (22 + 8) = 260 × 30 = 7800 (米) 或 300 × (22 + 4) = 300 × 26 = 7800 (米) 四、一次盈，一次正好型 1.学校买来一批跳绳，分给各班。如果每班分6根，则多12根；如果每班分8根，则正好分完。问：学校有多少个班？共买来多少根跳绳？ 【答案】班：6个；跳绳：48根。 【分析】一次盈，一次正好型。盈数12根。两次每班分的跳绳数差(8-6)根。 【解析】 两次分配的差：8 - 6 = 2 (根/班) 总差额（盈数）：12 (根) 班级数（份数）：12 ÷ 2 = 6 (个) 跳绳总数：6 × 6 + 12 = 36 + 12 = 48 (根) 或 8 × 6 = 48 (根) 2.小朋友分苹果，如果每人分3个，则多18个；如果每人分4个，则正好分完。问：有多少个小朋友？有多少个苹果？ 【答案】小朋友：18个；苹果：72个。 【分析】一次盈，一次正好型。盈数18个。两次每人分的苹果数差(4-3)个。 【解析】 两次分配的差：4 - 3 = 1 (个/人) 总差额（盈数）：18 (个) 小朋友人数（份数）：18 ÷ 1 = 18 (个) 苹果总数：3 × 18 + 18 = 54 + 18 = 72 (个) 或 4 × 18 = 72 (个) 3.一批货物，如果用大卡车运，每辆车装10吨，就会余下15吨；如果用同样数量的小卡车运，每辆车正好装7吨。问：有多少辆小卡车？这批货物有多少吨？ 【答案】小卡车：5辆；货物：35吨。 【分析】一次盈，一次正好型。这里“同样数量的小卡车”是份数。盈数15吨。两次每辆车装货的差(10-7)吨？不，这里大卡车和小卡车是不同的分配方式，但车辆数相同。可以理解为：每辆车装10吨（大卡车），盈15吨；每辆车装7吨（小卡车），正好。 【解析】 两次每辆车装货的差：10 - 7 = 3 (吨/辆) 总差额（盈数）：15 (吨) 卡车数量（份数）：15 ÷ 3 = 5 (辆) 货物总吨数：7 × 5 = 35 (吨) 或 10 × 5 - 15 = 50 - 15 = 35 (吨) 4.某班同学去划船，如果每条船坐5人，则有10人没船坐；如果每条船坐7人，则正好坐满所有船。问：有多少条船？多少名同学？ 【答案】船：5条；同学：35名。 【分析】一次盈，一次正好型。盈数10人。两次每条船坐的人数差(7-5)人。 【解析】 两次分配的差：7 - 5 = 2 (人/条) 总差额（盈数）：10 (人) 船的条数（份数）：10 ÷ 2 = 5 (条) 同学人数：5 × 5 + 10 = 25 + 10 = 35 (名) 或 7 × 5 = 35 (名) 5.学校为新生分配宿舍，如果每间住4人，则多出20人；如果每间住6人，则正好住满。问：有多少间宿舍？新生有多少人？ 【答案】宿舍：10间；新生：60人。 【分析】一次盈，一次正好型。盈数20人。两次每间住的人数差(6-4)人。 【解析】 两次分配的差：6 - 4 = 2 (人/间) 总差额（盈数）：20 (人) 宿舍间数（份数）：20 ÷ 2 = 10 (间) 新生人数：4 × 10 + 20 = 40 + 20 = 60 (人) 或 6 × 10 = 60 (人) 五、一次亏，一次正好型 1.学校买来一批钢笔奖给三好学生，如果每人奖5支，则缺18支；如果每人奖3支，则正好分完。问：有多少名三好学生？学校共买了多少支钢笔？ 【答案】三好学生：9名；钢笔：27支。 【分析】一次亏，一次正好型。亏数18支。两次每人奖的钢笔数差(5-3)支。 【解析】 两次分配的差：5 - 3 = 2 (支/人) 总差额（亏数）：18 (支) 三好学生人数（份数）：18 ÷ 2 = 9 (名) 钢笔总数：5 × 9 - 18 = 45 - 18 = 27 (支) 或 3 × 9 = 27 (支) 2.同学们去植树，如果每人植5棵，则少25棵树苗；如果每人植4棵，则正好分完。问：有多少名同学？一共要植多少棵树？ 【答案】同学：25名；树：100棵。 【分析】一次亏，一次正好型。亏数25棵。两次每人植树棵数差(5-4)棵。 【解析】 两次分配的差：5 - 4 = 1 (棵/人) 总差额（亏数）：25 (棵) 同学人数（份数）：25 ÷ 1 = 25 (名) 树的总数：5 × 25 - 25 = 125 - 25 = 100 (棵) 或 4 × 25 = 100 (棵) 3.若干名士兵背炮弹，如果每人背7发，则少6发；如果每人背5发，则正好背完。问：有多少名士兵？有多少发炮弹？ 【答案】士兵：3名；炮弹：15发。 【分析】一次亏，一次正好型。亏数6发。两次每人背的炮弹数差(7-5)发。 【解析】 两次分配的差：7 - 5 = 2 (发/人) 总差额（亏数）：6 (发) 士兵人数（份数）：6 ÷ 2 = 3 (名) 炮弹总数：7 × 3 - 6 = 21 - 6 = 15 (发) 或 5 × 3 = 15 (发) 4.食堂买来一批大米，如果每天吃80千克，则会少2天的口粮；如果每天吃60千克，则正好够吃。问：这批大米有多少千克？原计划吃多少天？ 【答案】大米：480千克；原计划吃：8天。 【分析】一次亏，一次正好型。“少2天的口粮（每天80千克）”转化为亏数：80×2=160千克。即按原计划天数，每天吃80千克，则少160千克。 【解析】 “少2天口粮（每天80千克）”转化为亏数：80 × 2 = 160 (千克) 两次每天吃的差：80 - 60 = 20 (千克/天) 总差额（亏数）：160 (千克) 原计划天数（份数）：160 ÷ 20 = 8 (天) 大米总数：80 × 8 - 160 = 640 - 160 = 480 (千克) 或 60 × 8 = 480 (千克) 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 盈亏问题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解“盈”和“亏”的含义，以及盈亏问题的基本特点。 2.能够识别盈亏问题中的关键量：如“每人分得的数量”、“剩余（盈）的数量”、“缺少（亏）的数量”、“参与分配的人数或单位数”和“物品的总数量”。 3.掌握盈亏问题的几种基本类型及其解题思路和方法，并能熟练运用公式解决问题。 4.培养分析问题、解决问题的能力，以及运用数学知识解决实际生活中简单问题的能力。 知识梳理 知识点一、基本概念 1.盈： 指分配物品时，每份分得同样多后，还剩余（多出来）的部分。 2.亏： 指分配物品时，每份分得同样多后，不够分（还差）的部分。 3.盈亏问题： 把一定数量的物品平均分给一定数量的人（或单位），如果按某种标准分配，会产生“盈”；按另一种标准分配，会产生“亏”。要求出物品总数和参与分配的人数（或单位数），这类问题叫做盈亏问题。 4.核心特点： 有两次分配方案，且参与分配的“人数”和“物品总数”是固定不变的。两次分配的结果不同（一盈一亏，或两盈，或两亏）。 知识点二、解决盈亏问题的关键 找出两次分配中： 1.总差额： 即两次分配结果（盈与亏）的相差总数。 2.每份差额（两次分配的差）： 即两次分配中，平均每份所分得的数量的相差数。 3.根据“总差额 ÷ 每份差额 = 参与分配的份数（人数或单位数）”，先求出参与分配的份数，再求出物品的总数量。 知识点三、基本类型及解题方法 1.类型一：一盈一亏 （1）特点： 第一次分配有剩余（盈），第二次分配不够分（亏）。 （2）数量关系式： ①总差额 = 盈数 + 亏数 (因为一次多出来，一次少了，两次的差距是两者之和) ②参与分配的份数（人数/单位数）= 总差额 ÷ 两次分配每份的差额 ③物品总数量 = 第一次每份分得的数量 × 份数 + 盈数 ④或 = 第二次每份分得的数量 × 份数 - 亏数 （3）解题步骤： ①确定题目中的“盈数”和“亏数”。 ②计算“两次分配每份的差额”（通常是第二次每份数量减去第一次每份数量，注意顺序，保证差额为正数以便理解）。 ③计算“总差额”（盈数 + 亏数）。 ④利用“参与分配的份数 = 总差额 ÷ 两次分配每份的差额”求出份数（人数或单位数）。 ⑤利用求出的份数和任意一次分配情况，求出物品总数量。 2.类型二：两盈 （1）特点： 两次分配都有剩余（盈），但剩余的数量不同。 （2）数量关系式： ①总差额 = 大盈数 - 小盈数 (两次都多，差距是多出来的部分相减) ②参与分配的份数（人数/单位数）= 总差额 ÷ 两次分配每份的差额 ③物品总数量 = 第一次每份分得的数量 × 份数 + 小盈数 (或 + 大盈数，对应第一次或第二次分配) ④或 = 第二次每份分得的数量 × 份数 + 小盈数 (同上) （3）解题步骤： ①确定题目中的“大盈数”和“小盈数”。 ②计算“两次分配每份的差额”。 ③计算“总差额”（大盈 - 小盈）。 ④求出份数。 ⑤求出物品总数量。 3.类型三：两亏 （1）特点： 两次分配都不够分（亏），但缺少的数量不同。 （2）数量关系式： ①总差额 = 大亏数 - 小亏数 (两次都少，差距是少的部分相减) ②参与分配的份数（人数/单位数）= 总差额 ÷ 两次分配每份的差额 ③物品总数量 = 第一次每份分得的数量 × 份数 - 大亏数 (或 - 小亏数，对应第一次或第二次分配) ④或 = 第二次每份分得的数量 × 份数 - 小亏数 (同上) （3）解题步骤： ①确定题目中的“大亏数”和“小亏数”。 ②计算“两次分配每份的差额”。 ③计算“总差额”（大亏 - 小亏）。 ④求出份数。 ⑤求出物品总数量。 4.类型四：一次盈（余），一次正好分完 （1）特点： 第一次分配有剩余（盈），第二次分配正好分完（没有剩余也不缺少）。 （2）数量关系式： ①总差额 = 盈数 (因为一次多，一次正好，差距就是盈数) ②参与分配的份数（人数/单位数）= 总差额 ÷ 两次分配每份的差额 ③物品总数量 = 第一次每份分得的数量 × 份数 + 盈数 ④或 = 第二次每份分得的数量 × 份数 (因为正好分完) 5.类型五：一次亏（缺），一次正好分完 （1）特点： 第一次分配不够分（亏），第二次分配正好分完。 （2）数量关系式： ①总差额 = 亏数 (因为一次少，一次正好，差距就是亏数) ②参与分配的份数（人数/单位数）= 总差额 ÷ 两次分配每份的差额 ③物品总数量 = 第一次每份分得的数量 × 份数 - 亏数 ④或 = 第二次每份分得的数量 × 份数 (因为正好分完) 知识点四、解题口诀 一盈一亏： （盈 + 亏）÷ 两次分配差 = 份数 两 盈： （大盈 - 小盈）÷ 两次分配差 = 份数 两 亏： （大亏 - 小亏）÷ 两次分配差 = 份数 一盈一平（正好）： 盈 ÷ 两次分配差 = 份数 一亏一平（正好）： 亏 ÷ 两次分配差 = 份数 求出份数后，再求总数量： 总数量 = 每份数量 × 份数 + 盈 总数量 = 每份数量 × 份数 - 亏 例题讲解 一、一盈一亏型 【例题1】小朋友分糖果，如果每人分5颗，还剩12颗；如果每人分8颗，就缺3颗。有多少个小朋友？共有多少颗糖果？ 【例题2】学校安排学生住宿，如果每间宿舍住4人，则有14人没有床位；如果每间宿舍住6人，则多出4个空床位。问：学校有多少间宿舍？住宿的学生有多少人？ 二、两盈型 【例题1】学校买来一批书奖励三好学生，如果每人奖5本，则多了23本；如果每人奖7本，则多了7本。有多少名三好学生？这批书有多少本？ 【例题2】同学们去种树，如果每人种4棵，还剩16棵树苗；如果每人种6棵，还剩4棵树苗。问：有多少名同学？一共有多少棵树苗？ 三、两亏型 【例题1】同学们去划船，如果每条船坐4人，则少2条船；如果每条船坐6人，则少1条船。问：有多少条船？多少名同学？ 【例题2】小明从家到学校，如果每分钟走50米，就要迟到3分钟；如果每分钟走60米，就要迟到1分钟。问：小明家到学校的距离是多少米？ 四、一次盈，一次正好型 【例题1】老师给学生发练习本，每人发5本，还剩20本；如果每人发7本，正好发完。有多少名学生？练习本有多少本？ 【例题2】某工厂要生产一批零件，原计划每天生产50个，可按期完成任务，实际每天生产75个，结果提前4天完成任务。问：这批零件共有多少个？原计划多少天完成？ 五、一次亏，一次正好型 【例题1】小朋友分饼干，如果每人分3块，则少12块；如果每人分2块，则正好分完。有多少个小朋友？有多少块饼干？ 【例题2】小明计划在规定时间内完成一批口算题。如果每分钟做10道，则还差12道没完成；如果每分钟做8道，则正好完成。问：小明计划几分钟完成？这批口算题共有多少道？ 考点练习 一、一盈一亏型 1.老师给同学们发练习本，如果每人发7本，则多出24本；如果每人发9本，则少12本。问：有多少名同学？老师一共有多少本练习本？ 2.同学们去划船，如果每条船坐5人，则有14人没有船可坐；如果每条船坐7人，则有一条船还可再坐4人。问：有多少条船？多少名同学？ 3.某班同学去植树，如果每人种3棵，还有12棵树没人种；如果每人种5棵，就有2人没树可种。问：这个班有多少名同学？一共要种多少棵树？ 4.幼儿园老师给小朋友分苹果，如果每个小朋友分4个苹果，则多出10个苹果；如果每个小朋友分6个苹果，则有一个小朋友只能分到2个苹果。问：有多少个小朋友？有多少个苹果？ 5.用一根绳子绕树三圈，余3米；如果绕树四圈，则差4米。树的周长是多少米？绳子长多少米？ 6.某班同学去公园划船，如果增加一条船，正好每条船坐6人；如果减少一条船，正好每条船坐9人。问：这个班共有多少名同学？ 二、两盈型 1.若干个小朋友分一堆苹果，如果每人分3个，就多18个；如果每人分5个，就多6个。问：有多少个小朋友？有多少个苹果？ 2.一群猴子分桃，如果每只猴子分10个桃，则多出6个桃；如果每只猴子分12个桃，则多出2个桃。问：有多少只猴子？多少个桃？ 3.某工厂要生产一批零件，如果每天生产100个，则可以提前3天完成任务；如果每天生产80个，则可以提前1天完成任务。问：原计划多少天完成任务？这批零件共有多少个？ 三、两亏型 1.幼儿园给小朋友分苹果，如果每人分4个，则少18个苹果；如果每人分3个，则少6个苹果。问：有多少个小朋友？有多少个苹果？ 2.学校将一批图书分给各班，如果每班分10本，则少24本；如果每班分8本，则少4本。问：有多少个班级？这批图书共有多少本？ 3.同学们去植树，如果每人植5棵，则少20棵树苗；如果每人植3棵，则少4棵树苗。问：有多少名同学？一共要植多少棵树？ 4.某班同学去参加劳动，如果每人搬5块砖，则少27块砖；如果每人搬3块砖，则少3块砖。问：有多少名同学？要搬多少块砖？ 5.学校安排学生参加社会实践活动，如果每辆车坐50人，则有30个空位；如果每辆车坐40人，则有10个空位。问：有多少辆车？有多少名学生？ 6.工人铺一条路，如果每天铺260米，铺完全路就会延期8天；如果每天铺300米，铺完全路就会延期4天。问：这条路全长多少米？原计划多少天铺完？ 四、一次盈，一次正好型 1.学校买来一批跳绳，分给各班。如果每班分6根，则多12根；如果每班分8根，则正好分完。问：学校有多少个班？共买来多少根跳绳？ 2.小朋友分苹果，如果每人分3个，则多18个；如果每人分4个，则正好分完。问：有多少个小朋友？有多少个苹果？ 3.一批货物，如果用大卡车运，每辆车装10吨，就会余下15吨；如果用同样数量的小卡车运，每辆车正好装7吨。问：有多少辆小卡车？这批货物有多少吨？ 4.某班同学去划船，如果每条船坐5人，则有10人没船坐；如果每条船坐7人，则正好坐满所有船。问：有多少条船？多少名同学？ 5.学校为新生分配宿舍，如果每间住4人，则多出20人；如果每间住6人，则正好住满。问：有多少间宿舍？新生有多少人？ 五、一次亏，一次正好型 1.学校买来一批钢笔奖给三好学生，如果每人奖5支，则缺18支；如果每人奖3支，则正好分完。问：有多少名三好学生？学校共买了多少支钢笔？ 2.同学们去植树，如果每人植5棵，则少25棵树苗；如果每人植4棵，则正好分完。问：有多少名同学？一共要植多少棵树？ 3.若干名士兵背炮弹，如果每人背7发，则少6发；如果每人背5发，则正好背完。问：有多少名士兵？有多少发炮弹？ 4.食堂买来一批大米，如果每天吃80千克，则会少2天的口粮；如果每天吃60千克，则正好够吃。问：这批大米有多少千克？原计划吃多少天？ 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $