第11讲 排列组合（知识梳理+例题讲解+考点练习）-六年级奥数培优讲义

第11讲 排列组合 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解“加法原理”和“乘法原理”的含义，能结合具体情境判断并运用原理解决简单计数问题； 2.掌握“排列”与“组合”的区别（核心：是否考虑顺序），能准确区分生活中的排列问题和组合问题； 3.学会用“枚举法”（有序列举）解决简单计数问题，做到不重复、不遗漏； 4.能运用排列组合思想解决排队、搭配、数字组数、选物品等典型应用问题，培养有序思考和逻辑推理能力。 知识梳理 知识点一、基础原理：加法原理与乘法原理 计数问题的核心：计算“完成一件事，共有多少种不同方法”，关键是明确“做事的步骤或类别”。 1. 加法原理（分类计数） （1）定义：做一件事，有 k类不同方法，第1类有 种做法，第2类有 种做法，……，第k类有 种做法，那么完成这件事共有 种不同方法。 （2）关键：每类方法都能独立完成这件事，类别之间是“或”的关系（选一类即可）。 2. 乘法原理（分步计数） （1）定义：做一件事，需要 分n个步骤，第1步有 种做法，第2步有 种做法，……，第n步有 种做法，那么完成这件事共有 种不同方法。 （2）关键：步骤之间是“先后顺序”，缺一不可，步骤之间是“且”的关系（需依次完成）。 知识点二、排列与组合：是否考虑“顺序” 在计数问题中，有时需要判断“选出的元素是否有顺序差异”，由此区分“排列”和“组合”。 1. 排列（有顺序） （1）定义：从n个不同元素中，任选m个（），按一定顺序排成一列，求共有多少种不同的排法，这类问题叫“排列问题”。 （2）核心特征：交换元素位置，结果不同（即“顺序影响结果”）。 2. 组合（无顺序） （1）定义：从n个不同元素中，任选m个（），组成一组（不考虑顺序），求共有多少种不同的选法，这类问题叫“组合问题”。 （2）核心特征：交换元素位置，结果相同（即“顺序不影响结果”）。 3. 排列与组合的判断方法 （1）关键：问自己：“交换选中元素的顺序，结果是否算同一种？” 若是，则为组合（如：选代表、选物品、组队）； 若否，则为排列（如：排队、编号、数字组数）。 知识点三、核心方法：枚举法（有序列举） 小学阶段解决排列组合问题的 主要工具，通过“有序列举”（按一定顺序，如从小到大、从左到右）避免重复和遗漏。 1. 枚举的“三要素” （1）有序性：按固定顺序列举（如编号、位置、类别）； （2）不重复：同一情况只列举一次； （3）不遗漏：所有可能情况都要考虑到。 2. 枚举的常用形式 （1）列表法：用表格记录所有可能（如搭配问题：上衣和裤子的搭配列表）； （2）画图法：用树状图（分支图）展示步骤（如数字组数：百位→十位→个位）； （3）标号法：给元素标号（如A、B、C或1、2、3），按标号顺序列举。 知识点四、典型应用题型 结合加法原理、乘法原理和枚举法，解决以下高频问题： 1. 搭配问题（乘法原理） （1）特征：两类或多类物品搭配（如衣裤、饮食、路线等），需分步完成。 （2）方法：用乘法原理，每类物品的数量相乘。 2. 排队问题（排列） （1）特征：n个不同元素排成一排或一列，考虑顺序。 （2）方法：用乘法原理（第1位n种，第2位n-1种，……，第m位n-m+1种），或枚举法。 3. 数字组数问题（排列，注意特殊数字0） （1）特征：用给定数字组成几位数，需注意“0不能在首位”，且数字可重复或不重复（题目会说明）。 （2）方法：分步确定每个数位（百位→十位→个位），优先考虑特殊位置（如首位）。 4. 选物品/选代表问题（组合） （1）特征：从n个元素中选m个，不考虑顺序。 （2）方法：枚举时按“从小到大”顺序选，避免重复（如选2个时，只列举“小+大”，不列举“大+小”）。 知识点五、易错点提醒 1.混淆排列与组合：看到“选”就认为是组合，忽略“顺序”（如“选2人分别担任正副班长”是排列，因为正副班长有顺序）； 2.枚举时无序：想到哪写到哪，导致重复或遗漏（如数字组数时，先确定高位再确定低位，更有序）； 3.忽略特殊条件：如数字组数中“0不能在首位”、“物品有重复”（题目未说“不同”则默认相同，如“3个相同苹果分给2人”是组合，且需考虑分法）； 4.乘法/加法原理用错：分不清“分类”还是“分步”（“或”用加法，“且”用乘法）。 例题讲解 一、搭配问题 (乘法原理) 【例题1】小明有5件不同的上衣，4条不同的裤子，3双不同的鞋子。若小明每天穿一件上衣、一条裤子和一双鞋子，他共有多少种不同的穿戴搭配方式？ 【答案】60种 【分析】本题考查乘法原理在多类物品搭配中的应用。完成穿戴需要分三步：选上衣、选裤子、选鞋子，每一步都有独立的选择数，且三步缺一不可。 【解析】根据乘法原理，穿戴搭配方式总数为上衣的选择数×裤子的选择数×鞋子的选择数。即：5 (上衣) × 4 (裤子) × 3 (鞋子) = 60 (种)。 【例题2】如图，一张长方形的卡片，里面有4个长方形的方格，要在每个方格内涂上一种颜色，现有红、黄、蓝、绿四种颜色可以选择，共有 种涂色方法。 【答案】256 【分析】一张长方形卡片里面有四个长方形的方格，要在每个方格内涂上一种颜色。因为题中没有告诉每相邻两格涂不同颜色，那么每个方格有四种不同的选法，每个方格的选法相乘即为所有的涂色方法。 【解析】4×4×4×4 ＝16×4×4 ＝64×4 ＝256（钟） 故一张长方形的卡片，里面有4个长方形的方格，要在每个方格内涂上一种颜色，现有红、黄、蓝、绿四种颜色可以选择，共有256种涂色方法。 二、排队问题 (排列) 【例题1】3名同学站成一排拍照，共有多少种不同的站法？ 【答案】6种 【分析】本题考查简单的全排列问题。3个不同元素的全排列。 【解析】第一位有3种选择，第二位有2种选择（剩下2人），第三位有1种选择。根据乘法原理：3 × 2 × 1 = 6 (种)。 【例题2】6名同学排成一排，其中A、B两名同学必须相邻，共有多少种不同的排法？ 【答案】240种 【分析】本题考查排列中的相邻问题，常用“捆绑法”。将必须相邻的元素看作一个整体。 【解析】将A、B两名同学“捆绑”在一起，看作一个“大元素”。此时共有 5 个“元素”（“AB整体”、C、D、E、F）。 这5个“元素”全排列：5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 (种)。 “AB整体”内部，A、B两人可以交换位置，有 2 种排法（AB或BA）。 所以总排法：120 × 2 = 240 (种)。 【例题3】3个3口之家在一起举行家庭宴会，围一桌吃饭，要求一家人不可以被拆开，那么一共有多少种排法？（如果某种排法可以通过旋转得到另一种排法，那么这两种排法算作同一种。） 【答案】432种 【分析】既然要求一家人不可以被拆开，也就是把每个家庭的3个人看成是一个整体，家庭内部是有顺序的，三个家庭之间也是要考虑顺序的。 【解析】每个家庭有种排法； 3个家庭有种排法； 然后将每个家庭看作一个整体，对3个整体进行排序（固定第一个位置为某一个整体），由于通过旋转可以重合的算同一种，只有2种排法； 总共有种排法； 答：一共有432种排法。 三、数字组数问题 【例题1】用0、1、2、3这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 【答案】18个 【分析】本题考查含0的数字排列问题，0不能在首位（百位）。 【解析】分三步： 百位：不能为0，有3种选择（1、2、3）。 十位：可以为0，但数字不能重复，有3种选择（剩下3个数字）。 个位：可以为0，数字不能重复，有2种选择（剩下2个数字）。 根据乘法原理：3 × 3 × 2 = 18 (个)。 【例题2】用0、2、5、7这四个数字，可以组成多少个能被5整除且没有重复数字的三位数？ 【答案】10个 【分析】本题考查数字排列与整除（被5整除）条件的结合。能被5整除的数，个位必须是0或5。 【解析】分两类讨论： 第一类：个位是0。 百位：从2、5、7中选，3种。 十位：从剩下的2个数字中选，2种。 个数：3 × 2 = 6 (个)。 第二类：个位是5。 百位：不能是0和5，从2、7中选，2种。 十位：不能是5和百位已选数字，可以是0，所以有2种（剩下2个数字）。 个数：2 × 2 = 4 (个)。 总个数：6 + 4 = 10 (个)。 四、选物品/选代表问题 (组合) 【例题1】从5名同学中选出2名参加数学竞赛，共有多少种不同的选法？ 【答案】10种 【分析】本题考查简单的组合问题。从5个不同元素中选2个，不考虑顺序。 【解析】组合数公式 C(n, m) = n(n-1)...(n-m+1)/(m(m-1)...1)。 C(5, 2) = (5 × 4)/(2 × 1) = 10 (种)。 【例题2】有红、黄、蓝、白四种颜色的球各一个，从中任取两个，有多少种不同的取法？如果取后放回，再任取两个（可以取到相同颜色），又有多少种不同的取法？ 【答案】6种；10种 【分析】本题考查组合与有放回组合（可重复组合）的区别。第一问无放回，不考虑顺序；第二问有放回，可重复，仍不考虑顺序。 【解析】第一问（无放回，组合）：C(4,2) = (4×3)/(2×1) = 6 (种)。 第二问（有放回，可重复组合）：可以分为两类，取到两个相同颜色，或两个不同颜色。 两个相同颜色：4种（红红、黄黄、蓝蓝、白白）。 两个不同颜色：C(4,2) = 6种。 总取法：4 + 6 = 10 (种)。 （公式：可重复组合数 C(n + k - 1, k)，此处n=4, k=2，C(4+2-1, 2)=C(5,2)=10。） 考点练习 一、搭配问题 (乘法原理) 1.书架上有4本不同的语文书，5本不同的数学书，3本不同的英语书。小明要从中各选一本语文书、一本数学书和一本英语书，共有多少种不同的选法？ 【答案】60种 【分析】本题考查乘法原理在不同类别物品选取中的应用。选书过程分三步：语文、数学、英语，每步选择互不影响。 【解析】根据乘法原理，不同的选法总数为语文书的本数×数学书的本数×英语书的本数。即：4 × 5 × 3 = 60 (种)。 2.从甲地到乙地有3条不同的路可以走，从乙地到丙地有4条不同的路可以走，从甲地直接到丙地有2条不同的路可以走。那么从甲地到丙地共有多少种不同的走法？ 【答案】14种 【分析】本题考查加法原理与乘法原理的结合应用。从甲地到丙地有两类走法：一是“甲地→乙地→丙地”，二是“甲地直接→丙地”。第一类走法需要分步，第二类走法是直接选择。 【解析】第一类走法（经乙地）：3 (甲到乙) × 4 (乙到丙) = 12 (种)。 第二类走法（直接到丙地）：2 种。 根据加法原理，总走法为 12 + 2 = 14 (种)。 3.某餐厅提供的菜单上有5种荤菜，3种素菜，2种汤。如果一份套餐必须包含1种荤菜、1种素菜和1种汤，那么共有多少种不同的套餐组合？ 【答案】30种 【分析】本题考查乘法原理在餐饮搭配中的应用。一份套餐由荤、素、汤三类组成，每类选一种。 【解析】根据乘法原理，不同套餐组合数为荤菜数×素菜数×汤数。即：5 × 3 × 2 = 30 (种)。 4.商店里有6种不同的玩具车，5种不同的洋娃娃。小明想买2辆不同的玩具车和1个洋娃娃，他有多少种不同的购买组合？ 【答案】75种 【分析】本题考查乘法原理与组合的初步结合（选玩具车是组合，因为不考虑顺序）。分两步：先选玩具车，再选洋娃娃。 【解析】第一步：从6种玩具车中选2辆不同的，这是组合问题。选法有 (6×5)/2 = 15 (种)。（六年级可通过枚举理解：ABCDEF六种，AB,AC,AD,AE,AF, BC,BD,BE,BF, CD,CE,CF, DE,DF, EF 共15种）。 第二步：从5种洋娃娃中选1个，有5种选法。 总购买组合数：15 × 5 = 75 (种)。 5．如图，A点处有一个“过河卒”，4个标“×”的点是“相”的控制点，如果“卒”不经过这4个“相”的控制点，且只能向下或向右，那么“卒”从A点到B点的路径共有 条。 【答案】14 【分析】路线结点法，如上图所示，从A点到C点是1种，从A点到D点是1种，则A到F的路线有2种（1＋1，对角相加为A到F点的路线方式为2种）；A到C到E有1种路线，E、F是对角，则相加后另外一个对角路线为3种（1＋2）；A到D到H的路线有一种，则F和H对角相加就是A到G的路线为3种。照此类推。 根据题目的要求是只能向下或向右走了，则有些地方是不能走的，将有用的0来标记。如下图 【详解】利用路线结点法标记位置，则“卒”从A点到B点的路径共有14条 6.有5个不同的开关，每个开关都有“开”和“关”两种状态。这5个开关一共可以表示多少种不同的状态组合？ 【答案】32种 【分析】本题考查乘法原理在状态组合中的应用。每个开关独立，都有2种状态。 【解析】每个开关有2种状态，5个开关的状态组合数为：2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2^5 = 32 (种)。 7.小明有3本不同的故事书，4本不同的科技书。他想选2本故事书和2本科技书送给好朋友，共有多少种不同的选法？ 【答案】18种 【分析】本题考查乘法原理与组合的结合。分两步：选故事书，选科技书，每步都是组合问题（不考虑顺序）。 【解析】第一步：从3本故事书中选2本，组合数 C(3,2) = 3×2/(2×1) = 3 (种)。 第二步：从4本科技书中选2本，组合数 C(4,2) = 4×3/(2×1) = 6 (种)。 总选法：3 × 6 = 18 (种)。 8.10个人走进只有辆不同颜色碰碰车的游乐场，每辆碰碰车必须且只能坐一个人，那么共有多少种不同的坐法？ 【答案】种 【分析】把6辆碰碰车看成是6个位置，而10个人作为10个不同元素，则问题就可以转化成从10个元素中取6个，排在6个不同位置的排列问题。 【详解】根据排列公式： （种） 答：不同的坐法有151200种。 二、排队问题 (排列) 1.4名同学排成一队做操，其中小明不能站在最左边，共有多少种不同的排法？ 【答案】18种 【分析】本题考查有限制条件的排列问题。可以用“总排列数减去不符合条件的排列数”，或“优先考虑特殊位置/特殊元素”。 【解析】方法一（排除法）： 4人全排列：4 × 3 × 2 × 1 = 24 (种)。 小明站在最左边的排法：1 (小明固定) × 3 × 2 × 1 = 6 (种)。 所以小明不站最左边的排法：24 - 6 = 18 (种)。 方法二（优先法）： 最左边位置不能是小明，所以有3种选择（其他3人）。 剩下3个位置，3人全排列：3 × 2 × 1 = 6 (种)。 总排法：3 × 6 = 18 (种)。 2.甲、乙、丙、丁4人站成一排，甲必须站在乙的左边（不一定相邻），共有多少种不同的站法？ 【答案】12种 【分析】本题考查排列中的定序问题。甲和乙的相对顺序固定。 【解析】方法一：4人全排列有 4! = 24 种。在这所有排列中，甲要么在乙左边，要么在乙右边，且这两种情况是对称的、数量相等的。所以甲在乙左边的排法有 24 ÷ 2 = 12 (种)。 方法二：先从4个位置中选2个位置给甲和乙，因为甲在乙左，所以选好位置后甲、乙的站法就固定了。有 C(4,2) = 6 种选法。剩下2个位置给丙、丁，有 2! = 2 种排法。总排法：6 × 2 = 12 (种)。 3.5个小朋友排成一排，其中小明和小红不能相邻，共有多少种不同的排法？ 【答案】72种 【分析】本题考查排列中的不相邻问题，常用“插空法”。先排其他元素，再将不相邻元素插入空位。 【解析】第一步：先排除小明和小红之外的3个小朋友，他们的全排列为 3! = 3 × 2 × 1 = 6 (种)。 第二步：这3个小朋友排好后，形成了4个空位（包括两端）：_ 小1 _ 小2 _ 小3 _。 从这4个空位中选2个，安排小明和小红，因为有顺序，所以是排列问题：P(4,2) = 4 × 3 = 12 (种)。 总排法：6 × 12 = 72 (种)。 4. 3男2女共5名同学站成一排，要求女生不能站在两端，共有多少种不同的排法？ 【答案】36种 【分析】本题考查有限制条件的排列问题，优先考虑特殊位置（两端）。 【解析】两端（第一位和第五位）只能站男生。 第一步：排第一位（左端），从3名男生中选1名：3种。 第二步：排第五位（右端），从剩下的2名男生中选1名：2种。 第三步：排中间三位（第二、三、四位），此时还剩3人（1男2女），全排列：3 × 2 × 1 = 6 (种)。 总排法：3 × 2 × 6 = 36 (种)。 5. 6个人站成一圈做游戏，共有多少种不同的站法？（注：旋转后相同的算同一种） 【答案】120种 【分析】本题考查环形排列问题。与直线排列不同，环形排列没有首尾之分，旋转后相同的排列视为一种。 【解析】n个人的环形排列数公式为 (n-1)!。 对于6个人，先固定其中1个人的位置（因为旋转相同算一种），剩下5个人进行全排列。所以排法有 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 (种)。 6.5名同学站成一排，其中甲、乙两人之间至少有1人，共有多少种不同的排法？ 【答案】72种 【分析】本题考查排列中的“至少”问题，可以用排除法（总排列数减去甲、乙相邻的排列数）。 【解析】5人全排列：5! = 120 (种)。 甲、乙相邻的排法：将甲乙捆绑，视为一个整体，共4个“元素”，全排列 4! = 24 种，甲乙内部 2 种，共 24 × 2 = 48 (种)。 所以甲、乙之间至少有1人的排法：120 - 48 = 72 (种)。 7．4个男生2个女生6人站成一排合影留念，有多少种排法？如果要求2个女生紧挨着排在正中间有多少种不同的排法？ 【答案】种；种 【分析】（1）4男2女6人站成一排，相当于是6个元素的全排列； （2）如果要求2个女生紧挨着，且排在正中间，分为两步来排列，第一步，先排4个男生，第二步，将2个女生安排完次序后再插到中间，需要考虑两个女生的顺序。 【详解】（1）根据排列公式： （种） 答：有720种排法。 （2）先排4个男生，一共有种不同的排法； 第二步，将2个女生安排完次序后再插到中间一共有2种方法； 根据乘法原理，一共有种排法； 答：2个女生紧挨着排在正中间有48种不同的排法。 三、数字组数问题 1.用1、2、3、4这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 【答案】12个 【分析】本题考查数字排列与偶数条件的结合。偶数的个位必须是偶数。 【解析】个位是特殊位置，必须为2或4，有2种选择。 个位确定后，剩下的三位（千位、百位、十位）用剩下的3个数字全排列：3 × 2 × 1 = 6 (种)。 总个数：2 × 6 = 12 (个)。 2.用1、1、2、3这四个数字（其中两个1是相同的），可以组成多少个不同的四位数？ 【答案】12个 【分析】本题考查有重复元素的排列问题。因为有两个1相同，所以全排列后要除以重复元素的排列数。 【解析】若四个数字全不同，有4! = 24种。但这里有两个1完全相同，它们交换位置得到的四位数是一样的。所以不同的四位数个数为 4! / 2! = (24)/2 = 12 (个)。 六年级学生可枚举理解： 千位是1：剩下1、2、3，百位有3种（1、2、3）。若百位是1，则十位和个位是2、3：1123、1132；若百位是2，则十位有2种（1、3）：1213、1231；若百位是3，则十位有2种（1、2）：1312、1321。共 2 + 2 + 2 = 6 种。 千位是2：剩下1、1、3，可组成 2113、2131、2311，共3种。 千位是3：同理千位是2，可组成 3112、3121、3211，共3种。 总计 6 + 3 + 3 = 12 种。 3.用1、2、3、4、5这五个数字，可以组成多少个没有重复数字且百位数字是5的三位数？ 【答案】12个 【分析】本题考查指定数位数字的排列问题。百位固定为5。 【解析】百位已确定为5，只需排十位和个位。 十位：从剩下的1、2、3、4中选1个，4种选择。 个位：从剩下的3个数字中选1个，3种选择。 总个数：4 × 3 = 12 (个)。 4.用0、1、2、3、4这五个数字，可以组成多少个能被2整除且没有重复数字的四位数？ 【答案】60个 【分析】本题考查数字排列与被2整除（偶数）条件的结合，且含0。个位必须是0、2、4。 【解析】分三类讨论： 第一类：个位是0。 千位：4种（1-4），百位：3种，十位：2种。个数：4×3×2=24。 第二类：个位是2。 千位：不能是0和2，3种（1、3、4）。 百位：可以是0，除去千位和个位，3种。 十位：除去千位、百位、个位，2种。个数：3×3×2=18。 第三类：个位是4。 与个位是2的情况相同，个数：3×3×2=18。 总个数：24 + 18 + 18 = 60 (个)。 5.一个三位数，它的各位数字之和是18，这样的三位数中，最大的是多少？最小的是多少？ 【答案】最大990，最小189 【分析】本题考查数字组合与大小比较。要找最大的三位数，应使高位数字尽可能大；找最小的三位数，应使高位数字尽可能小，但首位不能为0。 【解析】最大的三位数： 百位尽可能大，取9。十位也尽可能大，取9。则个位为18 - 9 - 9 = 0。所以最大数是990。 最小的三位数： 百位尽可能小，最小为1。则十位和个位数字之和为17。要使整个数最小，十位应尽可能小（因为百位已固定，十位小则数小）。十位最小为8（因为8+9=17），则个位为9。所以最小数是189。 （若百位为1，十位为7，则个位为10，不合法。十位为8，个位9；十位9，个位8。189比198小。） 因此，最大是990，最小是189。 四、选物品/选代表问题 (组合) 1.一个小组有8名同学，每两人之间都要互送一张贺卡，表示节日祝福，一共要送多少张贺卡？ 【答案】56张 【分析】本题看似是组合，但“互送贺卡”，甲送给乙和乙送给甲是不同的两张贺卡，所以是排列问题。 【解析】从8人中选2人，考虑顺序（谁送谁）。排列数 P(8, 2) = 8 × 7 = 56 (张)。 或：每个人要送7张贺卡，8人共送 8 × 7 = 56 张。 2.从分别写有1、2、3、4、5、6的六张卡片中，任取两张，卡片上的数字之和大于7的有多少种不同的取法？ 【答案】9种 【分析】本题考查组合与数字和条件的结合。需枚举所有两数之和大于7的组合。 【解析】枚举法（两数不同，不考虑顺序，和>6）： (1,6), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6), (4,5), (4,6), (5,6)。共9种。 3.某校六年级要从6名候选人中选出3名组成学生会，共有多少种不同的选法？ 【答案】20种 【分析】本题考查组合问题，从6人中选3人，不考虑顺序。 【解析】组合数 C(6,3) = (6 × 5 × 4)/(3 × 2 × 1) = 20 (种)。 4.从10名男生和8名女生中，选出2名男生和1名女生参加数学竞赛，共有多少种不同的选法？ 【答案】360种 【分析】本题考查组合与乘法原理的结合。分两步：选男生，选女生。 【解析】第一步：从10名男生中选2名，组合数 C(10,2) = (10×9)/(2×1) = 45 (种)。 第二步：从8名女生中选1名，组合数 C(8,1) = 8 (种)。 总选法：45 × 8 = 360 (种)。 5.一个口袋里有5个不同颜色的球，另一个口袋里有4个不同颜色的球，所有球颜色都不相同。从两个口袋中各取一个球，共有多少种不同的取法？ 【答案】20种 【分析】本题考查乘法原理在不同集合选取中的应用。从第一个口袋取一个，第二个口袋取一个，不涉及顺序，是组合的简单应用，但本质是乘法原理。 【解析】从第一个口袋取球有5种选择，从第二个口袋取球有4种选择。根据乘法原理：5 × 4 = 20 (种)。 6.从1、2、3、4、5、6这六个数中，任取两个数相加，和是单数的取法有多少种？ 【答案】9种 【分析】本题考查组合与奇偶性（和为单数）条件的结合。和为单数，即一个奇数加一个偶数。 【解析】1-6中，奇数有1、3、5（3个），偶数有2、4、6（3个）。 取一个奇数和一个偶数，其和为单数。 组合数：3 (奇数) × 3 (偶数) = 9 (种)。 7.某班有7名同学参加作文竞赛，其中恰有3名同学获奖。老师准备了3本相同的获奖证书，要颁发给这3名获奖同学，每人一本，共有多少种不同的颁奖方法？ 【答案】35种 【分析】本题考查组合问题，因为证书相同，所以只需要选出3名获奖同学即可，不需要考虑顺序。 【解析】从7名同学中选3名获奖，组合数 C(7,3) = (7 × 6 × 5)/(3 × 2 × 1) = 35 (种)。 8.圆周上有6个点，每两点之间连一条线段，一共可以连多少条线段？ 【答案】15条 【分析】本题考查组合在几何中的应用。圆周上的点，任意两点间都可以连一条线段，不考虑顺序。 【解析】这是从6个点中选2个点的组合问题。C(6,2) = (6 × 5)/(2 × 1) = 15 (条)。 9.小明为了练习加法，做了分别写着1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数的卡片放在右边的抽屉里，又做了同样的十张放在左边的抽屉里，然后每次从两个抽屉各取一张卡片做加法，这样一共可以组成多少个不同的算式，其中和为偶数的情况有几种？（1＋2和2＋1算作同一种算式） 【答案】55个；30种 【分析】（1）当两加数中较大者为10时，有10个加法算式；而当加数中较大者为9，8，7，6，5，4，3，2，1时，分别有9，8，7，6，5，4，3，2，1个算式。故共有10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝55（个）加法算式。 （2）两个加数都是奇数的有5＋4＋3＋2＋1＝15（个）算式；两个加数都是偶数的也有15个算式，共有15＋15＝30（个）算式。 【详解】共有算式：10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝55（个）， 两个加数都是奇数的有：5＋4＋3＋2＋1＝15（个）， 两个加数都是偶数的也有15个算式， 15＋15＝30（个）， 答：一共可以组成55个不同的算式，其中和为偶数的情况有30种。 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 排列组合 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解“加法原理”和“乘法原理”的含义，能结合具体情境判断并运用原理解决简单计数问题； 2.掌握“排列”与“组合”的区别（核心：是否考虑顺序），能准确区分生活中的排列问题和组合问题； 3.学会用“枚举法”（有序列举）解决简单计数问题，做到不重复、不遗漏； 4.能运用排列组合思想解决排队、搭配、数字组数、选物品等典型应用问题，培养有序思考和逻辑推理能力。 知识梳理 知识点一、基础原理：加法原理与乘法原理 计数问题的核心：计算“完成一件事，共有多少种不同方法”，关键是明确“做事的步骤或类别”。 1. 加法原理（分类计数） （1）定义：做一件事，有 k类不同方法，第1类有 种做法，第2类有 种做法，……，第k类有 种做法，那么完成这件事共有 种不同方法。 （2）关键：每类方法都能独立完成这件事，类别之间是“或”的关系（选一类即可）。 2. 乘法原理（分步计数） （1）定义：做一件事，需要 分n个步骤，第1步有 种做法，第2步有 种做法，……，第n步有 种做法，那么完成这件事共有 种不同方法。 （2）关键：步骤之间是“先后顺序”，缺一不可，步骤之间是“且”的关系（需依次完成）。 知识点二、排列与组合：是否考虑“顺序” 在计数问题中，有时需要判断“选出的元素是否有顺序差异”，由此区分“排列”和“组合”。 1. 排列（有顺序） （1）定义：从n个不同元素中，任选m个（），按一定顺序排成一列，求共有多少种不同的排法，这类问题叫“排列问题”。 （2）核心特征：交换元素位置，结果不同（即“顺序影响结果”）。 2. 组合（无顺序） （1）定义：从n个不同元素中，任选m个（），组成一组（不考虑顺序），求共有多少种不同的选法，这类问题叫“组合问题”。 （2）核心特征：交换元素位置，结果相同（即“顺序不影响结果”）。 3. 排列与组合的判断方法 （1）关键：问自己：“交换选中元素的顺序，结果是否算同一种？” 若是，则为组合（如：选代表、选物品、组队）； 若否，则为排列（如：排队、编号、数字组数）。 知识点三、核心方法：枚举法（有序列举） 小学阶段解决排列组合问题的 主要工具，通过“有序列举”（按一定顺序，如从小到大、从左到右）避免重复和遗漏。 1. 枚举的“三要素” （1）有序性：按固定顺序列举（如编号、位置、类别）； （2）不重复：同一情况只列举一次； （3）不遗漏：所有可能情况都要考虑到。 2. 枚举的常用形式 （1）列表法：用表格记录所有可能（如搭配问题：上衣和裤子的搭配列表）； （2）画图法：用树状图（分支图）展示步骤（如数字组数：百位→十位→个位）； （3）标号法：给元素标号（如A、B、C或1、2、3），按标号顺序列举。 知识点四、典型应用题型 结合加法原理、乘法原理和枚举法，解决以下高频问题： 1. 搭配问题（乘法原理） （1）特征：两类或多类物品搭配（如衣裤、饮食、路线等），需分步完成。 （2）方法：用乘法原理，每类物品的数量相乘。 2. 排队问题（排列） （1）特征：n个不同元素排成一排或一列，考虑顺序。 （2）方法：用乘法原理（第1位n种，第2位n-1种，……，第m位n-m+1种），或枚举法。 3. 数字组数问题（排列，注意特殊数字0） （1）特征：用给定数字组成几位数，需注意“0不能在首位”，且数字可重复或不重复（题目会说明）。 （2）方法：分步确定每个数位（百位→十位→个位），优先考虑特殊位置（如首位）。 4. 选物品/选代表问题（组合） （1）特征：从n个元素中选m个，不考虑顺序。 （2）方法：枚举时按“从小到大”顺序选，避免重复（如选2个时，只列举“小+大”，不列举“大+小”）。 知识点五、易错点提醒 1.混淆排列与组合：看到“选”就认为是组合，忽略“顺序”（如“选2人分别担任正副班长”是排列，因为正副班长有顺序）； 2.枚举时无序：想到哪写到哪，导致重复或遗漏（如数字组数时，先确定高位再确定低位，更有序）； 3.忽略特殊条件：如数字组数中“0不能在首位”、“物品有重复”（题目未说“不同”则默认相同，如“3个相同苹果分给2人”是组合，且需考虑分法）； 4.乘法/加法原理用错：分不清“分类”还是“分步”（“或”用加法，“且”用乘法）。 例题讲解 一、搭配问题 (乘法原理) 【例题1】小明有5件不同的上衣，4条不同的裤子，3双不同的鞋子。若小明每天穿一件上衣、一条裤子和一双鞋子，他共有多少种不同的穿戴搭配方式？ 【例题2】如图，一张长方形的卡片，里面有4个长方形的方格，要在每个方格内涂上一种颜色，现有红、黄、蓝、绿四种颜色可以选择，共有 种涂色方法。 二、排队问题 (排列) 【例题1】3名同学站成一排拍照，共有多少种不同的站法？ 【例题2】6名同学排成一排，其中A、B两名同学必须相邻，共有多少种不同的排法？ 【例题3】3个3口之家在一起举行家庭宴会，围一桌吃饭，要求一家人不可以被拆开，那么一共有多少种排法？（如果某种排法可以通过旋转得到另一种排法，那么这两种排法算作同一种。） 三、数字组数问题 【例题1】用0、1、2、3这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 【例题2】用0、2、5、7这四个数字，可以组成多少个能被5整除且没有重复数字的三位数？ 四、选物品/选代表问题 (组合) 【例题1】从5名同学中选出2名参加数学竞赛，共有多少种不同的选法？ 【例题2】有红、黄、蓝、白四种颜色的球各一个，从中任取两个，有多少种不同的取法？如果取后放回，再任取两个（可以取到相同颜色），又有多少种不同的取法？ 考点练习 一、搭配问题 (乘法原理) 1.书架上有4本不同的语文书，5本不同的数学书，3本不同的英语书。小明要从中各选一本语文书、一本数学书和一本英语书，共有多少种不同的选法？ 2.从甲地到乙地有3条不同的路可以走，从乙地到丙地有4条不同的路可以走，从甲地直接到丙地有2条不同的路可以走。那么从甲地到丙地共有多少种不同的走法？ 3.某餐厅提供的菜单上有5种荤菜，3种素菜，2种汤。如果一份套餐必须包含1种荤菜、1种素菜和1种汤，那么共有多少种不同的套餐组合？ 4.商店里有6种不同的玩具车，5种不同的洋娃娃。小明想买2辆不同的玩具车和1个洋娃娃，他有多少种不同的购买组合？ 5．如图，A点处有一个“过河卒”，4个标“×”的点是“相”的控制点，如果“卒”不经过这4个“相”的控制点，且只能向下或向右，那么“卒”从A点到B点的路径共有 条。 6.有5个不同的开关，每个开关都有“开”和“关”两种状态。这5个开关一共可以表示多少种不同的状态组合？ 7.小明有3本不同的故事书，4本不同的科技书。他想选2本故事书和2本科技书送给好朋友，共有多少种不同的选法？ 8.10个人走进只有辆不同颜色碰碰车的游乐场，每辆碰碰车必须且只能坐一个人，那么共有多少种不同的坐法？ 二、排队问题 (排列) 1.4名同学排成一队做操，其中小明不能站在最左边，共有多少种不同的排法？ 2.甲、乙、丙、丁4人站成一排，甲必须站在乙的左边（不一定相邻），共有多少种不同的站法？ 3.5个小朋友排成一排，其中小明和小红不能相邻，共有多少种不同的排法？ 4. 3男2女共5名同学站成一排，要求女生不能站在两端，共有多少种不同的排法？ 5. 6个人站成一圈做游戏，共有多少种不同的站法？（注：旋转后相同的算同一种） 6.5名同学站成一排，其中甲、乙两人之间至少有1人，共有多少种不同的排法？ 7．4个男生2个女生6人站成一排合影留念，有多少种排法？如果要求2个女生紧挨着排在正中间有多少种不同的排法？ 三、数字组数问题 1.用1、2、3、4这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 2.用1、1、2、3这四个数字（其中两个1是相同的），可以组成多少个不同的四位数？ 3.用1、2、3、4、5这五个数字，可以组成多少个没有重复数字且百位数字是5的三位数？ 4.用0、1、2、3、4这五个数字，可以组成多少个能被2整除且没有重复数字的四位数？ 5.一个三位数，它的各位数字之和是18，这样的三位数中，最大的是多少？最小的是多少？ 四、选物品/选代表问题 (组合) 1.一个小组有8名同学，每两人之间都要互送一张贺卡，表示节日祝福，一共要送多少张贺卡？ 2.从分别写有1、2、3、4、5、6的六张卡片中，任取两张，卡片上的数字之和大于7的有多少种不同的取法？ 3.某校六年级要从6名候选人中选出3名组成学生会，共有多少种不同的选法？ 4.从10名男生和8名女生中，选出2名男生和1名女生参加数学竞赛，共有多少种不同的选法？ 5.一个口袋里有5个不同颜色的球，另一个口袋里有4个不同颜色的球，所有球颜色都不相同。从两个口袋中各取一个球，共有多少种不同的取法？ 6.从1、2、3、4、5、6这六个数中，任取两个数相加，和是单数的取法有多少种？ 7.某班有7名同学参加作文竞赛，其中恰有3名同学获奖。老师准备了3本相同的获奖证书，要颁发给这3名获奖同学，每人一本，共有多少种不同的颁奖方法？ 8.圆周上有6个点，每两点之间连一条线段，一共可以连多少条线段？ 9.小明为了练习加法，做了分别写着1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数的卡片放在右边的抽屉里，又做了同样的十张放在左边的抽屉里，然后每次从两个抽屉各取一张卡片做加法，这样一共可以组成多少个不同的算式，其中和为偶数的情况有几种？（1＋2和2＋1算作同一种算式） 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $