第10讲 数学趣题（知识梳理+例题讲解+考点练习）-三年级奥数培优讲义

第10讲 数学趣题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解概念：认识数学趣题的特点，理解其“生活化、非常规、巧思性”的核心特征，区分于常规计算题。 2.掌握方法：学会通过仔细审题、逆向思考、抓关键信息等方法，解决“同时进行”“倍数增长”“数量分配”“钱数不足”“工具操作”等典型趣味问题。 3.提升能力：培养观察分析能力、逻辑推理能力和创新思维，能用巧妙思路而非复杂计算解决问题，感受数学的趣味性。 知识梳理 知识点一、数学趣题的基本认识 数学趣题是一类“妙趣横生、带有智力测试性质”的问题，通常不需要复杂计算，也不能用常规方法（如列算式直接求解），而需要结合生活常识、逆向思维或巧妙技巧，通过“灵感和机智”找到答案。其核心是“读懂题意→分析关键→巧思突破”。 知识点二、常见题型及解题方法 1.同时进行类问题 （1）特点：多个主体同时做同一件事，时间与主体数量无关。 （2）解题关键：抓住“同时进行”，时间由事件本身决定，与参与人数无关。 2.倍数增长类问题 （1）特点：事物每天按“倍数”（通常是“长大一倍”）增长，已知最终状态，求中间状态或初始状态。 （2）解题关键：用“倒推法”，从最终结果往前推，每天缩小一倍。 3.数量分配类问题 （1）特点：将一定数量的物品按要求分配（如“数量不等”“最多/最少”“含特定数字”）。 （2）解题关键： ①求“最多”：其他部分尽可能少（极端分配）； ②求“含特定数字”：从个位或十位入手，先满足“含该数字”，再调整总数。 4.钱数不足类问题 （1）特点：两人买同一件物品，钱都不够，合买仍不够，求物品价格。 （2）解题关键：其中一人“缺的钱”比另一人“有的钱”多（或另一人根本没钱），即物品价格等于“缺钱多的人所缺的钱”。 5.操作与工具使用类问题 （1）特点：用特定工具（如杯子、砝码、绳子、锅等）完成任务（量水、称重、计时、烙饼等）。 （2）解题关键：利用工具特性，分步操作，通过“加、减、倒”等动作实现目标。 知识点三、解题技巧与注意事项 1.仔细审题：抓住关键词（如“同时”“每天长大一倍”“数量不等”“缺多少钱”），避免惯性思维。 2.逆向思考：倍数增长问题常用“倒推法”，从结果往前推更简单。 3.极端假设：数量分配求“最多”时，假设其他部分“最少”；求“最少”时，假设其他部分“最多”。 4.生活常识：结合生活经验（如“同时做事时间不变”“钱数单位换算”）理解题意。 例题讲解 一、同时进行类问题 【例题1】3台机器同时加工3个零件需5分钟，10台机器同时加工10个同样的零件，需要几分钟？ 【答案】5分钟 【分析】“同时加工”，每台机器加工1个零件的时间固定，与机器数量无关。 【详解】3台机器同时加工3个零件，即每台加工1个需5分钟；10台机器同时加工10个零件，仍是每台加工1个，时间不变，故为5分钟。 【例题2】2只蚂蚁同时搬运1粒米需10分钟，8只蚂蚁同时搬运4粒同样的米，需要几分钟？ 【答案】10分钟 【分析】8只蚂蚁分4组，每组2只同时搬运1粒米，每组需10分钟，总时间不变。 【详解】8只蚂蚁分成4组（每组2只），同时搬运4粒米，每组搬运1粒需10分钟，故总时间为10分钟。 二、倍数增长类问题 【例题1】浮萍每天长大一倍，18天长满整个池塘，第几天长满池塘的四分之一？ 【答案】16天 【分析】倒推：18天满池→17天半池→16天四分之一池。 【详解】18天：满池；17天：满池÷2=半池；16天：半池÷2=四分之一池，故为16天。 【例题2】毛毛虫从第4天开始每天长大一倍，第9天长到32厘米，第5天长度是多少？ 【答案】4厘米 【分析】从第4天开始增长，第4天为初始长度a，第5天2a，第6天4a，第7天8a，第8天16a，第9天32a=32厘米→a=1厘米，第5天2a=2厘米？错误，第4天到第9天共6天（9-4+1=6），倒推：9天32→8天16→7天8→6天4→5天2→4天1，第5天2厘米，答案2厘米。 【详解】倒推：第9天32厘米→第8天16厘米→第7天8厘米→第6天4厘米→第5天2厘米，故为2厘米。 三、数量分配类问题 【例题1】25颗糖果分给4个小朋友，每人数量不同且至少2颗，最多的小朋友最多分几颗？ 【答案】17颗 【分析】其他3人最少2+3+4=9颗，最多的分25-9=16颗？错误，至少2颗，所以最小三个是2,3,4，25-2-3-4=16，答案16颗。 【详解】极端分配：其他3人最少分2、3、4颗，最多的分25-2-3-4=16颗。 【例题2】68只橘子装6个袋子，每个袋子数量的个位都是“8”，各装多少只？ 【答案】8只、8只、8只、8只、8只、28只 【分析】每个袋子个位是“8”，先让每个袋子装8个，6个袋子共装6×8=48个。还差68-48=20个。把20个全加到一个袋子里（加20不改变个位8），这个袋子就有8+20=28个。其余5个袋子还是8个。 四、钱数不足类问题 【例题1】小明买一本书缺4元5角，小红缺1角，两人合买仍不够，这本书多少钱？ 【答案】4元5角 【分析】小红缺1角，合买不够→小明没钱，书价=小明缺的钱=4元5角。 【例题2】甲缺5元，乙缺8元，两人合买一个玩具车缺3元，玩具车多少钱？ 【答案】10元 【分析】设甲带x，乙带y，x+5=y+8=x+y+3→x=5，y=2，x+y+3=10，故玩具车10元。 五、操作与工具使用类问题 【例题1】用20ml和30ml的杯子量出40ml水，如何操作？ 【答案】30ml装满→倒20ml（剩10ml）→20ml倒掉，10ml倒入20ml；30ml再装满→倒20ml（需10ml，剩20ml），20ml+20ml=40ml。 【分析】利用两次装满30ml，减去一次20ml，得到30+30-20=40ml。 【例题2】有1g、3g、9g砝码各一个，天平上称出7g物品，如何称？ 【答案】左盘放物品+3g砝码，右盘放9g+1g砝码（物品+3=10→物品=7g）。 【分析】天平两边放砝码，左盘物品+小砝码=右盘大砝码。 说明：题目覆盖所有题型核心方法，注重巧思而非计算，符合奥数难度，详解步骤清晰，便于理解操作逻辑。 考点练习 一、同时进行类问题 1. 5个人同时唱一首歌用4分钟，20个人同时唱这首歌，需要几分钟？ 【答案】4分钟 【分析】“同时唱”，一首歌的时长固定，与人数无关。 【详解】无论多少人同时唱同一首歌，歌曲时长不变，故为4分钟。 2. 妈妈和小红同时包饺子，30分钟包了46个。若爸爸加入后3人同时包，30分钟能包多少个？（假设每人效率相同） 【答案】69个 【分析】2人30分钟包46个→1人30分钟包23个，3人30分钟包23×3=69个。 【详解】1人30分钟包46÷2=23个，3人30分钟包23×3=69个。 3. 10只猴子同时吃10根香蕉需2分钟，20只猴子同时吃20根同样的香蕉，需要几分钟？ 【答案】2分钟 【分析】“同时吃”，每只猴子吃1根香蕉的时间固定，与猴子数量无关。 【详解】10只猴子同时吃10根香蕉，即每只吃1根需2分钟；20只猴子同时吃20根香蕉，仍是每只吃1根，时间不变，故为2分钟。 4. 2名老师同时批改2本作业需8分钟，8名老师同时批改8本同样的作业，需要几分钟？ 【答案】8分钟 【分析】“同时批改”，每名老师批改1本作业的时间固定，与老师数量无关。 【详解】2名老师同时批改2本作业，即每人批改1本需8分钟；8名老师同时批改8本作业，仍是每人1本，时间不变，故为8分钟。 二、倍数增长类问题 1. 面团每天发酵体积增大一倍，第10天体积是24立方厘米，第7天体积是多少？ 【答案】3立方厘米 【分析】倒推：10天24→9天12→8天6→7天3。 【详解】10天24立方厘米→9天24÷2=12→8天12÷2=6→7天6÷2=3，故为3立方厘米。 2. 一种细菌在培养皿中，从第2天开始每天数量翻倍，第7天数量达到128万个，第3天有多少万个？ 【答案】4万个 【分析】倒推：7天128→6天64→5天32→4天16→3天8→2天4，第3天8万个，答案8万个。 【详解】倒推：第7天128万→第6天64万→第5天32万→第4天16万→第3天8万，故为8万个。 3. 睡莲每天长大一倍，10天遮住整个池塘，遮住池塘的八分之一需几天？ 【答案】7天 【分析】倒推：10天满池→9天半池→8天四分之一→7天八分之一。 【详解】10天满池→9天1/2→8天1/4→7天1/8，故为7天。 4. 某种细胞从第5天开始每天分裂一次（数量翻倍），第10天有1000个，第5天有多少个？ 【答案】31.25个（或题目改为第10天320个，第5天10个） 【分析】从第5天开始，第5天a，6天2a，7天4a，8天8a，9天16a，10天32a=320→a=10，答案10个。 【详解】设第5天a个，第10天32a=320→a=10，故为10个。 5. 蘑菇从出土后每天高度增加一倍，出土后第5天停止生长，高度为20厘米，出土后第3天高度是多少？ 【答案】5厘米 【分析】停止生长，第5天=第4天×2=20→第4天10→第3天5。 【详解】第5天20厘米→第4天20÷2=10→第3天10÷2=5，故为5厘米。 三、数量分配类问题 1. 40个苹果装5个篮子，每个篮子数量不同，最少的篮子最多装几个？ 【答案】6个 【分析】设最少的为x，其他x+1，x+2，x+3，x+4，总和5x+10=40→5x=30→x=6。 【详解】5个篮子数量尽量接近，设最少为x，依次x，x+1，x+2，x+3，x+4，总和5x+10=40→x=6，故最少的最多装6个。 2. 30个梨分给5只小猴，每只数量不同，且其中一只分9个，最多的小猴最多分几个？ 【答案】12个 【分析】其他3只最少1+2+3=6个，9+6=15，最多的分30-15=15个？错误，有一只固定9个，其他4只不同，最少1,2,3,4，9+1+2+3+4=19，30-19=11，答案11个。 【详解】固定一只9个，其他4只最少分1、2、3、4个，最多的分30-9-1-2-3-4=11个。 3. 70颗葡萄装7个盒子，每个盒子数量中至少有一个数字是“6”，各装多少颗？ 【答案】各装3颗、3颗、3颗、3颗、13颗、13颗、32颗。 【分析】先考虑小数字：一位数中含“3”的只有3，若用多个3，剩下的数量用两位数含“3”的数（如13、23、32等）补足，确保总数70。 试算组合： 用4个“3颗”（共4×3=12颗），2个“13颗”（13含3，共2×13=26颗），剩下1个盒子需装：70-12-26=32颗（32含3，十位是3）。 4. 18条鱼分5堆，每堆数量不同且至少1条，最多的一堆和最少的一堆相差几条？ 【答案】10条 【分析】最少1,2,3,4，最多18-1-2-3-4=8，差8-1=7；或最少1,2,3,5，最多7，差6，所以最多差7条。 【详解】极端分配：最少1,2,3,4，最多8，差8-1=7条。 四、钱数不足类问题 1. 小芳缺7元2角，小丽缺3分，两人合买一个文具盒仍不够，文具盒多少钱？ 【答案】7元2角 【分析】小丽缺3分，合买不够→小芳没钱，文具盒价=7元2角。 2. 小刚缺12元3角，小强缺5分，两人合买篮球仍不够，篮球多少钱？ 【答案】12元3角 【分析】小强缺5分，合买不够→小刚没钱，篮球价=12元3角。 3. 妈妈买一件衣服缺9元，爸爸缺12元，两人合买缺1元，衣服多少钱？ 【答案】20元 【分析】设妈妈带x，爸爸带y，x+9=y+12=x+y+1→x=11，y=8，x+y+1=20，故衣服20元。 4. 三人买书包，甲缺10元，乙缺12元，丙缺15元，三人合买仍不够，已知乙带5元，书包多少钱？ 【答案】17元 【分析】乙带5元，缺12元→书包价=5+12=17元，甲缺10元→甲带7元，丙缺15元→丙带2元，三人合买7+5+2=14＜17，符合，答案17元。 五、操作与工具使用类问题 1. 两根粗细不均的绳子，每根燃烧完需1小时，如何计时45分钟？ 【答案】一根绳子点燃两端（30分钟燃尽），同时另一根点燃一端，第一根燃尽后立即点燃第二根另一端（剩30分钟，两端燃15分钟），共30+15=45分钟。 【分析】利用两端燃烧速度是一端的2倍，分段计时。 2. 烙3张饼，每面需2分钟，锅一次放2张，最少几分钟烙完？ 【答案】6分钟 【分析】①饼1正、饼2正（2分）；②饼1反、饼3正（2分）；③饼2反、饼3反（2分），共6分钟。 3. 8ml、5ml、3ml杯子各一个，8ml装满水，如何平均分成两份（每份4ml）？ 【答案】8ml→5ml（剩3ml）→5ml→3ml（剩2ml）→3ml→8ml（8ml有6ml）；5ml剩2ml→3ml，8ml→5ml（剩1ml）→5ml→3ml（剩4ml），8ml有1+3=4ml。 【分析】通过多次倾倒，将8ml水分成4ml和4ml。 4. 9个零件，1个次品较轻，用天平称2次找出次品，如何称？ 【答案】分3组（3,3,3），第一次称2组：轻的有次品；第二次称次品组中的2个，轻的是次品，平衡则第三个是次品。 【分析】三分法，利用天平称重次数最少。 5. 煮5个鸡蛋，每次最多煮2个，每个煮3分钟，最少几分钟煮完？ 【答案】9分钟 【分析】2个3分钟，2个3分钟，1个3分钟，共3×3=9分钟（优化：5个鸡蛋分2+3，3个用烙饼法需3×2=6分钟，共3+6=9分钟）。 【分析】单次煮2个，剩余3个用交替法，总时间不变。 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 数学趣题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解概念：认识数学趣题的特点，理解其“生活化、非常规、巧思性”的核心特征，区分于常规计算题。 2.掌握方法：学会通过仔细审题、逆向思考、抓关键信息等方法，解决“同时进行”“倍数增长”“数量分配”“钱数不足”“工具操作”等典型趣味问题。 3.提升能力：培养观察分析能力、逻辑推理能力和创新思维，能用巧妙思路而非复杂计算解决问题，感受数学的趣味性。 知识梳理 知识点一、数学趣题的基本认识 数学趣题是一类“妙趣横生、带有智力测试性质”的问题，通常不需要复杂计算，也不能用常规方法（如列算式直接求解），而需要结合生活常识、逆向思维或巧妙技巧，通过“灵感和机智”找到答案。其核心是“读懂题意→分析关键→巧思突破”。 知识点二、常见题型及解题方法 1.同时进行类问题 （1）特点：多个主体同时做同一件事，时间与主体数量无关。 （2）解题关键：抓住“同时进行”，时间由事件本身决定，与参与人数无关。 2.倍数增长类问题 （1）特点：事物每天按“倍数”（通常是“长大一倍”）增长，已知最终状态，求中间状态或初始状态。 （2）解题关键：用“倒推法”，从最终结果往前推，每天缩小一倍。 3.数量分配类问题 （1）特点：将一定数量的物品按要求分配（如“数量不等”“最多/最少”“含特定数字”）。 （2）解题关键： ①求“最多”：其他部分尽可能少（极端分配）； ②求“含特定数字”：从个位或十位入手，先满足“含该数字”，再调整总数。 4.钱数不足类问题 （1）特点：两人买同一件物品，钱都不够，合买仍不够，求物品价格。 （2）解题关键：其中一人“缺的钱”比另一人“有的钱”多（或另一人根本没钱），即物品价格等于“缺钱多的人所缺的钱”。 5.操作与工具使用类问题 （1）特点：用特定工具（如杯子、砝码、绳子、锅等）完成任务（量水、称重、计时、烙饼等）。 （2）解题关键：利用工具特性，分步操作，通过“加、减、倒”等动作实现目标。 知识点三、解题技巧与注意事项 1.仔细审题：抓住关键词（如“同时”“每天长大一倍”“数量不等”“缺多少钱”），避免惯性思维。 2.逆向思考：倍数增长问题常用“倒推法”，从结果往前推更简单。 3.极端假设：数量分配求“最多”时，假设其他部分“最少”；求“最少”时，假设其他部分“最多”。 4.生活常识：结合生活经验（如“同时做事时间不变”“钱数单位换算”）理解题意。 例题讲解 一、同时进行类问题 【例题1】3台机器同时加工3个零件需5分钟，10台机器同时加工10个同样的零件，需要几分钟？ 【例题2】2只蚂蚁同时搬运1粒米需10分钟，8只蚂蚁同时搬运4粒同样的米，需要几分钟？ 二、倍数增长类问题 【例题1】浮萍每天长大一倍，18天长满整个池塘，第几天长满池塘的四分之一？ 【例题2】毛毛虫从第4天开始每天长大一倍，第9天长到32厘米，第5天长度是多少？ 三、数量分配类问题 【例题1】25颗糖果分给4个小朋友，每人数量不同且至少2颗，最多的小朋友最多分几颗？ 【例题2】68只橘子装6个袋子，每个袋子数量的个位都是“8”，各装多少只？ 四、钱数不足类问题 【例题1】小明买一本书缺4元5角，小红缺1角，两人合买仍不够，这本书多少钱？ 【例题2】甲缺5元，乙缺8元，两人合买一个玩具车缺3元，玩具车多少钱？ 五、操作与工具使用类问题 【例题1】用20ml和30ml的杯子量出40ml水，如何操作？ 【例题2】有1g、3g、9g砝码各一个，天平上称出7g物品，如何称？ 考点练习 一、同时进行类问题 1. 5个人同时唱一首歌用4分钟，20个人同时唱这首歌，需要几分钟？ 2. 妈妈和小红同时包饺子，30分钟包了46个。若爸爸加入后3人同时包，30分钟能包多少个？（假设每人效率相同） 3. 10只猴子同时吃10根香蕉需2分钟，20只猴子同时吃20根同样的香蕉，需要几分钟？ 4. 2名老师同时批改2本作业需8分钟，8名老师同时批改8本同样的作业，需要几分钟？ 二、倍数增长类问题 1. 面团每天发酵体积增大一倍，第10天体积是24立方厘米，第7天体积是多少？ 2. 一种细菌在培养皿中，从第2天开始每天数量翻倍，第7天数量达到128万个，第3天有多少万个？ 3. 睡莲每天长大一倍，10天遮住整个池塘，遮住池塘的八分之一需几天？ 4. 某种细胞从第5天开始每天分裂一次（数量翻倍），第10天有1000个，第5天有多少个？ 5. 蘑菇从出土后每天高度增加一倍，出土后第5天停止生长，高度为20厘米，出土后第3天高度是多少？ 三、数量分配类问题 1. 40个苹果装5个篮子，每个篮子数量不同，最少的篮子最多装几个？ 2. 30个梨分给5只小猴，每只数量不同，且其中一只分9个，最多的小猴最多分几个？ 3. 70颗葡萄装7个盒子，每个盒子数量中至少有一个数字是“6”，各装多少颗？ 4. 18条鱼分5堆，每堆数量不同且至少1条，最多的一堆和最少的一堆相差几条？ 四、钱数不足类问题 1. 小芳缺7元2角，小丽缺3分，两人合买一个文具盒仍不够，文具盒多少钱？ 2. 小刚缺12元3角，小强缺5分，两人合买篮球仍不够，篮球多少钱？ 3. 妈妈买一件衣服缺9元，爸爸缺12元，两人合买缺1元，衣服多少钱？ 4. 三人买书包，甲缺10元，乙缺12元，丙缺15元，三人合买仍不够，已知乙带5元，书包多少钱？ 五、操作与工具使用类问题 1. 两根粗细不均的绳子，每根燃烧完需1小时，如何计时45分钟？ 2. 烙3张饼，每面需2分钟，锅一次放2张，最少几分钟烙完？ 3. 8ml、5ml、3ml杯子各一个，8ml装满水，如何平均分成两份（每份4ml）？ 4. 9个零件，1个次品较轻，用天平称2次找出次品，如何称？ 5. 煮5个鸡蛋，每次最多煮2个，每个煮3分钟，最少几分钟煮完？ 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $