精品解析：山东省枣庄市山亭区2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

2025－2026学年第一学期10月核心素养评价 八年级数学试题 （满分：120分 时间：120分钟） 一、单选题（共30分） 1. 用等式表示“的平方根等于”，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在一个长方形草坪上，嵌入一根长方体的木条，已知米，米，该木条的较长的棱长与平行，露出地面部分的横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木条到达点C处需要走的最短路程是（ ） A. 13米 B. 10米 C. 米 D. 米 3. 若都是有理数，且，则( ) A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 定义新运算“”，规定：，则的运算结果为（ ） A. B. C. 5 D. 3 6. 如图，在平面直角坐标系中，，连接，以点A为圆心，以半径作弧，交x轴于点C，则点C的横坐标为（ ） A. 3 B. C. D. 7. 《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈。倚木于垣，上与垣齐、引木却行一尺、其木至地。问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明1丈10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，，，将折叠后点恰好落在边上的点处，折痕为，，则线段的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 9. 有一个数值转换器，流程如下： 当输入的为256时，输出的是（ ） A. B. C. D. 4 10. 如图，已知中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为2，，之间的距离为4，则的长是（ ） A. B. C. D. 6 二、填空题（共18分） 11. ___________，___________，的平方根是___________； 12. 比较大小：________． 13. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形．底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数和n之间，则n的值是________． 14. 如图，大小正方形的边长均为整数，它们的面积之和等于74．则阴影部分的面积为__________． 15. 如图是一台手机支架的示意图，可分别绕点A，B转动，测得，若，垂足为点E，，则点D到的距离为___________． 16. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“最美弦图”（如图），图由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是______． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在中，，a、b、c分别表示、、的对边． （1）已知，，求c； （2）已知，，求b． 19. 新考法．求代数式的值，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． （1）_______的解法是错误的，错误的原因是_______； （2）求代数式的值，其中． 20. （1）已知，求a、b的值． （2）已知a满足，求的值． 21. 消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米． （1）求处与地面的距离． （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 22. 如图，图（1）、图（2）是两张形状大小完全相同的网格纸，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，请在两图中按要求作图． （1）在图（1）中，画出一个C点，连接，，使点必须在格点上； （2）在图（2）中，画出一个以为斜边的，D点必须在格点上，且； （3）写出图（2）中的周长； 23. 如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设． （1）用含的代数式表示的长； （2）请问点满足什么条件时，的值最小，最小值是多少？ （3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期10月核心素养评价 八年级数学试题 （满分：120分 时间：120分钟） 一、单选题（共30分） 1. 用等式表示“的平方根等于”，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 用等式表示“的平方根等于”为，即可得到答案． 【详解】解：A.被开方数不能为负数，故A选项错误，不符合题意； B. 能表示“的平方根等于”， 故B选项正确，符合题意； C. 错误，不能表示“的平方根等于”， 故C选项错误，不符合题意； D. 错误，不能表示“的平方根等于”，故D选项错误，不符合题意；  故选：B ． 2. 如图，在一个长方形草坪上，嵌入一根长方体的木条，已知米，米，该木条的较长的棱长与平行，露出地面部分的横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木条到达点C处需要走的最短路程是（ ） A. 13米 B. 10米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，解题的关键是将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：由题意可知，将木条展开，相当于是个正方形的宽， ∴长为米；宽为6米， 于是最短路径为：（米）． 故选：D． 3. 若都是有理数，且，则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，利用完全平方公式将等号右边的式子展开，进行求解即可． 【详解】解：， ∴； 故选D． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的化简、四则运算法则、完全平方公式以及二次根式的性质是解题的关键．根据以上知识点，分别对各选项进行计算和判断，即可求解． 【详解】A、，本选项计算错误，故本选项不符合题意； B、，本选项计算错误，故本选项不符合题意； C、，本选项计算正确，故本选项符合题意； D、，本选项计算错误，故本选项不符合题意； 故选：C． 5. 定义新运算“”，规定：，则的运算结果为（ ） A. B. C. 5 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义的运算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【点睛】题目主要考查新定义的运算，理解题意中的运算法则是解题关键． 6. 如图，在平面直角坐标系中，，连接，以点A为圆心，以半径作弧，交x轴于点C，则点C的横坐标为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，数轴上表示无理数， 先求出，再根据勾股定理求出，可得，然后求出，则答案可得. 【详解】解：∵， ∴. ∵， ∴， 由题意可知，， ∴， ∴C的横坐标为1． 故选：B． 7. 《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈。倚木于垣，上与垣齐、引木却行一尺、其木至地。问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明1丈10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题． 当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程． 【详解】解：如图，木杆长为尺，则木杆底端B离墙的距离即的长有尺， 在中， ， ∴， 故选：C． 8. 如图，中，，，，将折叠后点恰好落在边上的点处，折痕为，，则线段的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查勾股定理和折叠问题，设，由折叠可知，，求出，由勾股定理得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，由折叠可知，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， 即线段的长为， 故选：C 9. 有一个数值转换器，流程如下： 当输入的为256时，输出的是（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了流程图与实数运算，算术平方根，以及无理数，掌握无理数的概念是解题关键．根据流程图计算算术平方根，再根据无理数判断即可得到答案． 【详解】解：当输入的为256时， 是有理数， 是有理数， 是有理数， 是无理数， 即输出的是， 故选：A． 10. 如图，已知中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为2，，之间的距离为4，则的长是（ ） A. B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用二次根式的性质化简，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 作于D，作于E，证明，再由勾股定理求解． 【详解】解：作于D，作于E， ∵， ∴ 又 ∴∠， ， ∴ ∴ 在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得. 故选：C． 二、填空题（共18分） 11. ___________，___________，的平方根是___________； 【答案】 ①. 12 ②. ③. 【解析】 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，立方根和平方根，根据算术平方根，立方根和平方根的定义，逐一进行计算即可。 【详解】解：，，的平方根是是； 故答案为：12，， 12. 比较大小：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，通常用求差法比较两个无理数的大小，根据，可知． 【详解】解： ． 故答案为： ． 13. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形．底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数和n之间，则n的值是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，利用放缩法估算出的取值范围，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， n的值是2， 故答案为：2． 14. 如图，大小正方形的边长均为整数，它们的面积之和等于74．则阴影部分的面积为__________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数，求阴影部分的面积． 先根据题意得，结合整数解可求出a，b值，再根据面积公式可得答案． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，得， ∵a，b为整数， ∴， ∴. 故答案为：7． 15. 如图是一台手机支架的示意图，可分别绕点A，B转动，测得，若，垂足为点E，，则点D到的距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 先连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理可得，则此题可解. 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴点D到的距离为. 故答案为：． 16. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“最美弦图”（如图），图由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查整式的加减，全等三角形的性质，根据已知得出用含，表示出，，，再利用求出答案是解决问题的关键．根据图形的特征设四边形的面积设为，其余八个全等的三角形面积中的一个设为，从而用含，的式子表示出，，，得出答案即可． 【详解】解：设四边形的面积为，其余八个全等的三角形面积中的一个设为， 正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，， 得出，，， ， 故， ∴， 即． 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式混合运算法则和二次根式性质，进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，结合完全平方公式和平方差公式，进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在中，，a、b、c分别表示、、的对边． （1）已知，，求c； （2）已知，，求b． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据勾股定理可进行求解； （2）根据勾股定理可进行求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，即， ∴． 19. 新考法．求代数式的值，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． （1）_______的解法是错误的，错误的原因是_______； （2）求代数式的值，其中． 【答案】（1）小亮；未能正确运用二次根式的性质 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质． （1）由知，据此可得，从而做出判断； （2）利用二次根式的性质化简、代入求值即可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴小亮的解法是错误的，原因是未能正确运用二次根式的性质（或当时，，当时，）． 【小问2详解】 解：， ， 则 ． 当时，原式． 20. （1）已知，求a、b的值． （2）已知a满足，求的值． 【答案】（1），；（2）2025 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负数性质解答即可； （2）根据算术平方根和绝对值的非负数性质得出，再化简求值即可． 本题考查了二次根式有意义的条件以及算术平方根和绝对值的非负数性质，掌握实数的非负数性质是解答本题的关键． 【详解】解：，，， ，， 解得， （2）有意义， ， ， ， ， ， ， ， 21. 消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米． （1）求处与地面的距离． （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】（1）点处与地面的距离为米 （2）消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，正确确定每个线段的长度． （1）由题意可得，米，米，米，利用勾股定理求得，即可求解； （2）根据题意可得，，米，由勾股定理可得，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得，米，米，米， 由勾股定理可得，（米）， （米）， 则点处与地面的距离为米； 【小问2详解】 解：由题意可得，（米），米， 根据勾股定理可得，（米）， ∴（米）， 则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 22. 如图，图（1）、图（2）是两张形状大小完全相同的网格纸，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，请在两图中按要求作图． （1）在图（1）中，画出一个C点，连接，，使点必须在格点上； （2）在图（2）中，画出一个以为斜边的，D点必须在格点上，且； （3）写出图（2）中的周长； 【答案】（1） 如图，共有两个点C符合，画出一个即可； （2） 如图，即为所求． （3）周长为 【解析】 【分析】本题考查了格点中的作图，勾股定理，二次根式的加减运算，熟练掌握格点中的作图方法是解题的关键． （1）以为直角边，点B为直角顶点作等腰直角三角形，则点C即为所求； （2）作直角三角形，根据勾股定理，计算，，再求面积，符合条件； （3）根据勾股定理计算，在计算周长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：周长：． 23. 如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设． （1）用含的代数式表示的长； （2）请问点满足什么条件时，的值最小，最小值是多少？ （3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值． 【答案】（1） （2）、、三点共线 （3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，两点之间线段最短，数形结合是解题的关键． （1）根据题意，，，设，得到，利用勾股定理求解即可； （2）连接，根据，得到当、、三点共线时，的值最小； （3）根据，构造，，，，当、、三点共线时，最小，最小值为，延长到点，过点作于点，则四边形是长方形，根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：，设， ， ，，，， ，， ； 【小问2详解】 连接， ， 当、、三点共线时，的值最小． 故点满足的条件为、、三点共线； 【小问3详解】 如图所示，根据，构造，，，， 当、、三点共线时，最小，最小值为， 延长到点，过点作于点， 则四边形是长方形， ，，， ， 即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $