第07讲 一元二次方程判别式、根与系数关系（知识点+题型+分层强化）讲义-2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册满分全攻略备考系列

第07讲 一元二次方程判别式、根与系数关系（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.判别式的值与根的关系 2.根与系数的关系的定理 题型巩固 一、根据判别式判断一元二次方程根的情况 二、根据一元二次方程根的情况求参数 三、一元二次方程的根与系数的关系 分层强化 一、单选题（7） 二、填空题（10） 三、解答题（7） 知识梳理 知识点1.判别式的值与根的关系 1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 知识点2.根与系数的关系的定理 韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ，． 那么可推得． 这是一元二次方程根与系数的关系 题型巩固 题型一、根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）下列关于的方程中，一定有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）关于x的方程 根的情况是 （　　） A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程一定有两个实数根 D．方程可能没有实数根 3．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）关于的一元二次方程根的情况是 ． 4．（23-24八年级上·上海·单元测试）利用根的判别式，判断方程根的情况，首先将方程化成一般形式是 ，再代入判别式为 ，则方程根的情况是 ． 5．（24-25八年级上·上海崇明·期中）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个不小于4的根，求实数的取值范围． 题型二、根据一元二次方程根的情况求参数 6．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）已知关于的方程没有实数根，那么在下列各数中，的取值只能是（   ） A．2 B．1 C．0 D．1 7．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）当 时，关于x的方程有两个相等的实数根． 8．（24-25八年级上·上海·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 9．（24-25八年级上·上海青浦·期中）已知方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． 10．（24-25八年级上·上海崇明·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)如果方程的根的判别式的值为3，求m的值． (2)如果方程有实数根，求m的取值范围． 题型三、一元二次方程的根与系数的关系 11．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）已知方程的两个根都是整数，则k的值有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 12．（24-25八年级上·上海·期中）以关于的方程的两根的相反数为根的一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）若，，且，则 ． 14．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）已知关于x的方程的一个根为3，那么它的另一个根是 ． 15．（24-25八年级上·上海·阶段练习）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是，那么．例如：已知方程的两根分别是，则：． 请同学们阅读后利用以上结论完成以下问题： (1)已知方程的两根分别是，求和的值； (2)已知方程的两根分别是，求的值． 16．（23-24八年级上·上海·阶段练习）阅读：对于所有的一元二次方程中，对于两根，存在如下关系：试着利用这个关系解决问题．设方程的两根为， (1)不解方程，求 (2)不解方程，求 (3)不解方程，求 (4)不解方程，求下列式子的值： 分层强化 一、单选题 1．若方程没有实数根，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 3．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根且实数a，b，c互不相等，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．关于的方程的两个根是等腰的两条边长，已知一个根是2，则的周长为（   ） A．14 B．10 C．14或10 D．10或12 5．已知，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．已知关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 7．对于实数a，b定义运算“”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 二、填空题 8．已知，是一元二次方程的两个根，则 ． 9．若一元二次方程有两个不等的实数根，且，则 ． 10．在八年级学习一元二次方程时，数学老师对小明提出了以下的问题：请说出关于的一元二次方程的根的情况，小明的回答是：原方程有 实数根． 11．已知是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 12．一元二次方程的两个根为、，且，其中■表示一个数，则■为 ． 13．已知一元二次方程的两个实数根为a、b，且，则m的值是 ． 14．已知方程的两根分别为m、n，则的值为 ． 15．为方程的两个根，则代数式的值为 ． 16．已知两个关于x的一元二次方程：(b，c均为常数)，．其中，方程的一个根是，方程有两个相等的实数根，则b的值是 ． 17．若关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 三、解答题 18．已知关于的一元二次方程的一个解与分式方程的解相同，求方程的另一个解． 19．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求m的取值范围； (2)当时，求m的值． 20．已知关于x的方程． (1)求证：此方程有两个不等的实数根； (2)若方程的两个根分别为，，其中，若，求m的值． 21．嘉嘉准备完成题目：解一元二次方程． (1)若“□”表示常数5，请你求出方程的解． (2)若“□”表示一个字母，且一元二次方程有实根，求字母“□”的最大值． (3)在（2）的条件下，直接写出方程的解． 22．如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程 是“3倍根方程”． (1)通过计算，判断是否是“3倍根方程”． (2)若关于x的方程是“3倍根方程”，求代数式的值； (3)已知关于x的一元二次方程（是常数）是“3倍根方程”，请写出的值． 23．已知是关于x的一元二次方程． (1)若，则该方程的两个实数根分别为______和______； (2)若该方程有两个不相等的实数根， ①当两根之差为时，求m的值； ②当m为正整数，且两根均为整数时，求m的值． 24．阅读材料：已知实数满足，且，求的值． 解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 根据上述材料解决以下问题： (1)已知实数满足，，且，求的值． (2)已知实数分别满足，，且．求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 一元二次方程判别式、根与系数关系（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.判别式的值与根的关系 2.根与系数的关系的定理 题型巩固 一、根据判别式判断一元二次方程根的情况 二、根据一元二次方程根的情况求参数 三、一元二次方程的根与系数的关系 分层强化 一、单选题（7） 二、填空题（10） 三、解答题（7） 知识梳理 知识点1.判别式的值与根的关系 1.一元二次方程根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”表示，记作． 2.一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程没有实数根． 知识点2.根与系数的关系的定理 韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ，． 那么可推得． 这是一元二次方程根与系数的关系 题型巩固 题型一、根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）下列关于的方程中，一定有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟知判别式是解题关键．根据二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根．逐一计算各选项的判别式，判断其是否恒大于0． 【详解】A、方程，判别式，方程无实数根，故本选项不符合题意； B、方程，判别式，方程有两个相等实数根，故本选项不符合题意； C、方程，判别式．因，故，方程恒有两个不相等实数根，故本选项符合题意； D、方程，判别式．当时，，方程有两个相等实数根，不满足“一定不相等”，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）关于x的方程 根的情况是 （　　） A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程一定有两个实数根 D．方程可能没有实数根 【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此先把原方程化为一般式，再利用判别式求解即可． 【详解】解：原方程化为一般式得， ∴ ， ∴原方程一定有两个实数根， 故选：C． 3．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）关于的一元二次方程根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，把原方程整理成一般形式，算出一元二次方程根的判别式的值，即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解： 整理得到， ∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 4．（23-24八年级上·上海·单元测试）利用根的判别式，判断方程根的情况，首先将方程化成一般形式是 ，再代入判别式为 ，则方程根的情况是 ． 【答案】 33 有两个不相等的实数根 【知识点】一元二次方程的一般形式、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及一元二次方程的一般式．解题的关键是掌握一元二次方程的根的判别式为，当时，原方程有两个不相等的实数根；当时，原方程有两个相等的实数根；当时，原方程没有实数根．先整理方程，根据一元二次方程根的判别式的情况，即可得出结果． 【详解】解： ，即， ， ， 方程有两个不相等的实数根， 故答案为：，33，有两个不相等的实数根． 5．（24-25八年级上·上海崇明·期中）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个实数根； (2)若方程有一个不小于4的根，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程： （1）根据题意只需要证明即可； （2）利用因式分解法求出方程的两个根为，再根据方程有一个不小于4的根列出不等式求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得， ， ∴无论取何值，方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， 解得， ∵方程有一个不小于4的根， ∴， ∴． 题型二、根据一元二次方程根的情况求参数 6．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）已知关于的方程没有实数根，那么在下列各数中，的取值只能是（   ） A．2 B．1 C．0 D．1 【答案】A 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式的应用，根据关于的方程没有实数根，得出，得，即可作答． 【详解】解：∵关于的方程没有实数根， ∴， ∴， 观察4个选项，唯有2符合条件， 故选：A． 7．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）当 时，关于x的方程有两个相等的实数根． 【答案】2 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系，当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． 根据根的判别式的意义得到，然后解一次方程即可． 【详解】解∶根据题意得 解得 即当时，关于x的方程有两个相等的实数根． 故答案为：2． 8．（24-25八年级上·上海·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根的定义，根据有两个不相等的实数根，得出，，再代入数值计算，即可作答． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，， ， 即， 且． 故答案为：且． 9．（24-25八年级上·上海青浦·期中）已知方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． 【答案】且 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根的判别式与一元二次方程的定义．根据一元二次方程有两个不相等的实数根时，，以及二次项系数不为0，建立式子，求出m的取值范围即可． 【详解】解： . 方程有两个不相等的实数根， ，且， 解得， 综上所述，m的取值范围为且． 10．（24-25八年级上·上海崇明·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)如果方程的根的判别式的值为3，求m的值． (2)如果方程有实数根，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程根的判别式结合题意可得，求解即可； （2）由题意可得且，计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意得：且， ∴且 ∴且， ∴m的取值范围是：且． 题型三、一元二次方程的根与系数的关系 11．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）已知方程的两个根都是整数，则k的值有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根与系数的关系，可以把分解成几个因数的积的形式，然后利用根与系数的关系就可以确定的值，掌握根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵方程的两个根都是整数， ∴， ∴，则， ，则， ，则， ，则， ∴k的值有个， 故选：C． 12．（24-25八年级上·上海·期中）以关于的方程的两根的相反数为根的一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关计算公式是解题的关键； 以，，为根的一元二次方程的形式为，根据这个公式代入即可求解； 【详解】解：， ， 关于的方程的两根的相反数为根， 则应满足，， A、中，，，符合题意； B、中，，，不符合题意； C、中，，，不符合题意； D、中，，，不符合题意； 故选：A 13．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）若，，且，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据题意，得是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系解答即可． 本题考查了构造一元二次方程解题，根与系数的关系的应用，正确构造方程，活用根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵，，且， ∴是一元二次方程的两个根， ∴． 故答案为：． 14．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）已知关于x的方程的一个根为3，那么它的另一个根是 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系，即可解出方程的另一个根． 【详解】解：设另一个根为m， 由根与系数的关系得， ∴． 故答案为：． 15．（24-25八年级上·上海·阶段练习）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是，那么．例如：已知方程的两根分别是，则：． 请同学们阅读后利用以上结论完成以下问题： (1)已知方程的两根分别是，求和的值； (2)已知方程的两根分别是，求的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的应用，掌握如果一元二次方程程的两个根分别是，那么是解题的关键． （1）直接根据公式求解即可； （2）先化为一般式，将化为，再求出值，代入即可． 【详解】（1）解：， 则； （2）解： ， 则， 而， ∴． 16．（23-24八年级上·上海·阶段练习）阅读：对于所有的一元二次方程中，对于两根，存在如下关系：试着利用这个关系解决问题．设方程的两根为， (1)不解方程，求 (2)不解方程，求 (3)不解方程，求 (4)不解方程，求下列式子的值： 【答案】(1)， (2) (3)3 (4)34 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】（1）根据方程的两个根为，，可得，； （2）根据方程的两个根为，，，代入即可； （3）由题意得，等式变形代入即可； （4）根据一元二次方程根的定义得到，，则原式，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】（1）解：方程的两个根为，， ∴，， 故答案为：， （2）∵， ∴ 故答案为： （3）方程的两个根为，， ， 即， 故答案为：3 （4）方程的两个根为，， ，， 即，， 原式 ， 原式． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程根的定义． 分层强化 一、单选题 1．若方程没有实数根，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与判别式的关系，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键． 根据方程没有实数根，得到判别式，从而求出的取值范围，进行判断即可． 【详解】解：∵方程没有实数根， ∴， 解得； ∴的值可以是：， 故选：D． 2．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键． 通过计算一元二次方程根的判别式的值，根据其正负来判断根的情况． 【详解】解：∵在一元二次方程中，，，， ∴． ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 3．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根且实数a，b，c互不相等，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，解题关键是掌握求一元二次方程根的情况的方法． 根据一元二次方程有两个相等的实数根且实数a，b，c互不相等，列出式子求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，且， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4．关于的方程的两个根是等腰的两条边长，已知一个根是2，则的周长为（   ） A．14 B．10 C．14或10 D．10或12 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义；由方程的解求出，解方程求出另一个根，由等腰三角形的定义即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 设另一根为， ， 解得：， 当为腰时， 此种情况不符合； 当为腰时， ， 符合题意， 的周长为：， 故选：A． 5．已知，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，是一元二次方程的两根时，，．根据题意得，，再根据计算即可． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ， 故选：D． 6．已知关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义． 根据题意得出，，，再根据判别式的意义可知，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，． ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项A结论正确，不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项B结论正确，不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项C结论正确，不符合题意； ∵，，． ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，选项D结论错误，符合题意． 故选：D． 7．对于实数a，b定义运算“”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了定义新运算，一元二次方程根的判别式，先根据新定义把方程化为一元二次方程，再根据根的判别式的值得到，进而得到，然后根据根的判别式的意义进行判断即可． 【详解】解：关于x的方程化为：， 整理得， ∵ ， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 二、填空题 8．已知，是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系得，即可求解；掌握、是一元二次方程的两个根，则有是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， 故答案为：． 9．若一元二次方程有两个不等的实数根，且，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，首先根据题意得到，求出，然后得到一元二次方程，解方程求出，或，，然后代入求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不等的实数根，且， ∴ ∴ ∴一元二次方程 ∴ ∴，或， ∴或． 故答案为：． 10．在八年级学习一元二次方程时，数学老师对小明提出了以下的问题：请说出关于的一元二次方程的根的情况，小明的回答是：原方程有 实数根． 【答案】有两个不相等的 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的． 11．已知是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、代数式求值等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系求得和，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， ∴． 故答案为． 12．一元二次方程的两个根为、，且，其中■表示一个数，则■为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键．根据一元二次方程的两根为，，得到，结合得到，解答即可． 【详解】解：由一元二次方程的两根为，， 故， 又， 故， 解得． 故答案为：． 13．已知一元二次方程的两个实数根为a、b，且，则m的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解答的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，结合求得b值，再将b值代入方程中求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为a、b， ∴， 又∵， ∴，即，解得：， ∴方程有一个实数根是， 将代入中，得，解得：． 故答案为：． 14．已知方程的两根分别为m、n，则的值为 ． 【答案】﹣1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数关系，再整体代入求值即可得到答案； 【详解】解：由条件可知：，， ∴， ∴． 故答案为：． 15．为方程的两个根，则代数式的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据方程的系数结合根与系数的关系解题即可． 【详解】解：由题意知：，， ∴ ． 故答案为： ． 16．已知两个关于x的一元二次方程：(b，c均为常数)，．其中，方程的一个根是，方程有两个相等的实数根，则b的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的解．依据题意，由方程的一个根是，求得，再由方程有两个相等的实数根，可得，进而，最后计算即可判断得解． 【详解】解：由题意，∵方程的一个根是， ∴， ∴， ∵方程有两个相等的实数根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．若关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，二元一次方程组，解题的关键是掌握：是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．先把方程组的两个方程相加得到，则，从而得到，再根据根的判别式的意义得到，则可求出的值，然后计算的值． 【详解】解：， ①②得：， 即， ∵， ∴， 解得：， ∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， ∴， 即的值为． 故答案为：． 三、解答题 18．已知关于的一元二次方程的一个解与分式方程的解相同，求方程的另一个解． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及分式方程的解，通过解分式方程找出一元二次方程的一个解是解题的关键． 先解分式方程，可以得出，再将代入方程，得出关于的一元一次方程，解方程即可得出值，再根据两根之和，即可求得方程的另一个解． 【详解】解：解分式方程，得， 经检验，是该分式方程的解． 把代入，得． 解方程， ∵ ∴ 故方程的另一个解为． 19．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求m的取值范围； (2)当时，求m的值． 【答案】(1)且； (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，， 再根据已知条件得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，且 ∴且； （2）由题意得，，， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得：或（舍）， ∴． 20．已知关于x的方程． (1)求证：此方程有两个不等的实数根； (2)若方程的两个根分别为，，其中，若，求m的值． 【答案】(1)见详解 (2)3 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程根的判别式． （1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出，此题得证； （2）利用求根公式即可得出、的值， 结合，即可得出关于m的一元一次方程， 解之即可得出结论． 【详解】（1）证明：对于关于x的方程， 可有， ∴该方程一定有两个不相等的实数根． （2）解方程， 可得， 又， ∴，， 又， ∴， 解得：． 21．嘉嘉准备完成题目：解一元二次方程． (1)若“□”表示常数5，请你求出方程的解． (2)若“□”表示一个字母，且一元二次方程有实根，求字母“□”的最大值． (3)在（2）的条件下，直接写出方程的解． 【答案】(1)， (2)9 (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）设“□”表示的字母为，则一元二次方程有实根，再利用根的判别式，求出的取值范围，即可解答； （3）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， 解得：，， ∴方程的解为，； （2）解：设“□”表示的字母为，则一元二次方程有实根， ∴， 解得：， ∴的最大值为9， 即字母“□”的最大值为9； （3）解：由题意得，， ∴， 解得：， ∴方程的解为． 22．如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程 是“3倍根方程”． (1)通过计算，判断是否是“3倍根方程”． (2)若关于x的方程是“3倍根方程”，求代数式的值； (3)已知关于x的一元二次方程（是常数）是“3倍根方程”，请写出的值． 【答案】(1)是“3倍根方程” (2)50或 (3)17或 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，解一元二次方程，代数式求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程，得，然后根据“3倍根方程”定义即可； （2）由得，，根据“3倍根方程”定义可得或，然后代入求解即可； （3）由关于的一元二次方程（m是常数）是“3倍方程”，设是的三倍，根据根与系数的关系得，，，解得，然后分情况代入解方程即可． 【详解】（1）解（1）∵， ∴解得． ∵， ∴是“3倍根方程”． （2）∵， 解得  ． ∵是“3倍根方程”， 分情况讨论： ①则：． ②则：． （3）∵（是常数）是“3倍根方程”， ∴不妨设是的三倍， 由韦达定理：，解得． 当时， ， ∴． 当， ， ∴． 23．已知是关于x的一元二次方程． (1)若，则该方程的两个实数根分别为______和______； (2)若该方程有两个不相等的实数根， ①当两根之差为时，求m的值； ②当m为正整数，且两根均为整数时，求m的值． 【答案】(1)，； (2)①6；②5或8． 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． （1）时，则原方程变形为，然后利用直接开平方法解方程即可； （2）根据根的判别式的意义得到， ①设方程的两个为α，β，利用根与系数的关系得，，再由，得到，所以，然后解关于m的一次方程即可； ②解方程得到，由于且m为整数，所以当或时，方程的两根均为整数，从而得到m的值． 【详解】（1）解：时，原方程变形为， 解得，； 故答案为：，； （2）根据题意得． 解得， ①设方程的两个为α，β， 根据根与系数的关系得，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 即m的值为6； ②∵， ∴， ∵且m为整数， ∴当或时，方程的两根均为整数， 解得或， 即m的值为5或8． 24．阅读材料：已知实数满足，且，求的值． 解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 根据上述材料解决以下问题： (1)已知实数满足，，且，求的值． (2)已知实数分别满足，，且．求的值． 【答案】(1) (2)-1 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握根与系数的关系． 由题意得出是方程的两个不相等的实数根，据此知，将其代入计算即可； 把变形为，据此可得实数和可看作方程的两个不相等的实数根，继而知，进一步代入计算可得． 【详解】（1）解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 故答案为：． （2）解：把两边同时除以，得 ． 又， 实数和可看作方程的两个不相等的实数根， ． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $