第08讲 分式及其性质（知识点+题型+分层强化）讲义-2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学上册满分全攻略备考系列

第08讲 分式及其性质（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.分式 2.分式的值 3.分式有意义、无意义、值为零的条件 4.分式的基本性质 5.约分、最简分式 题型巩固 一、分式的判断 二、按要求构造分式 三、分式有意义的条件 四、分式无意义的条件 五、分式值为零的条件 六、分式的求值 七、求使分式值为整数时未知数的整数值 八、判断分式变形是否正确 九、利用分式的基本性质判断分式值的变化 十、将分式的分子分母各项系数化为整数 十一、最简分式 十二、约分 分层强化 一、单选题（7） 二、填空题（11） 三、解答题（8） 知识梳理 知识点1.分式 一般地，对于两个整式A、B（B是非零整式），A÷B可以表示为的形式，叫作分式，也称为有理式，其中A称为分子，B称为分母。 知识点2.分式的值 用数值代替分式中的字母，计算得出的代数式的值就是分式的值. 知识点3.分式有意义、无意义、值为零的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 知识点4.分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题 1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数． 2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号． 3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的． 知识点5.约分、最简分式 把一个分式的分子和分母中的公因式约去的过程，叫作约分 如果分式的分子和分母是几个因式的积的形式，可约去相同因式．有时，需要先对分子、分母因式分解，再约分．分式的约分一般要使结果成为最简分式. 题型巩固 题型一、分式的判断 1．在下列式子：，，，，中，分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：，的分母中含有字母，属于分式，其它的属于整式． 故选：B． 2．将分式写成除法的形式： ． 【答案】 【知识点】分式的判断 【分析】根据分式的意义将分式写成除法形式即可． 【详解】解：将分式写成除法的形式为． 故答案为： 【点睛】本题考查了分式的意义， 表示，其中分数线表示相除的意思． 3．（22-23七年级·上海·假期作业）在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？ ，，，，． 【答案】是分式，其余的都是整式． 【知识点】分式的判断 【分析】判断分式的依据是：两个整式相除，且分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：代数式，，，，中，只有是分式， ，，，分母中都不含字母，不是分式，是整式， 答：是分式，其余的都是整式． 【点睛】本题主要考查分式的定义．熟练掌握分式的定义是解决本题的关键． 题型二、按要求构造分式 4．一件工作，甲、乙两人合作需小时完成，甲单独做需小时完成，则乙单独做完工作需要的小时是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】按要求构造分式 【分析】甲、乙两人合作需小时完成，得甲乙一小时完成，甲单独做需小时完成得甲一小时完成，由此即可得乙一小时的工作效率，再用1除以工作效率即可得到答案. 【详解】， 故选D 【点睛】此题考查分式的实际应用，根据题意列分式即可解答此题，注意是甲乙工作效率的和，需减去甲的工作效率才能得到乙的工作效率，由此求得乙单独做完工作所需要的时间. 5．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）从整式，，，中，任选两个构造一个分式 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】按要求构造分式 【分析】本题考查分式的定义．分式的定义：如果A，B表示两个整式，且B中含有字母，则称为分式，根据定义选取含有字母的整式作为分母即可构造分式． 【详解】解：2和可构造分式，答案不唯一，以或为分母均可． 故答案为：（答案不唯一）． 6．阅读下面的材料，并解答后面的问题 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式. 解：由分母为，可设. 因为， 所以. 所以，解之，得. 所以 这样，分式就被拆分成了一个整式与一个分式的差的形式. 问题：（1）请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式； （2）请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】按要求构造分式 【分析】（1）仿照例题将分解为，求出a、b的值即可得到答案； （2）将分解为，得到，求出m、n，整理后即可得到答案. 【详解】（1）由分母为x-1，可设=， ∵=， ∴ ∴，得， ∴===； （2）由分母为，可设=， ∵= ∴=， ∴，得， ∴==. 【点睛】此题是仿照例题解题的形式解题，正确理解题意，明确例题中的计算的方法是解题的关键. 题型三、分式有意义的条件 7．（24-25七年级上·上海·阶段练习）使分式有意义的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为零是解题的关键．根据分式有意义的条件为，即可求得x的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义，   ∴， 解得：． 故选：B． 8．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）当 时，分式有意义． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题主要考查分式有意义的条件，根据分式有意义，分母不为0列式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得，， 故答案为：． 题型四、分式无意义的条件 9．（24-25七年级上·上海普陀·期末）如果分式无意义，那么的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式无意义的条件 【分析】本题考查了分式无意义的条件．根据分式无意义的条件为分母为零可得，计算即可得解． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， ∴或， ∴或， 故选：C． 10．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）当 时，分式无意义． 【答案】 【知识点】分式无意义的条件 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，分式无意义的条件是分母为0，据此求解即可． 【详解】解；∵分式无意义， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（22-23七年级·上海·假期作业）为何值时，分式无意义？ 【答案】 【知识点】分式无意义的条件 【分析】分式无意义的条件是分母等于0，根据分母等于0，列出方程，求出的值即可． 【详解】解：分式无意义． ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要是考查了分式无意义的条件，掌握“分式的分母为0，分式无意义”是解决本题的关键． 题型五、分式值为零的条件 12．（2024七年级上·上海·专题练习）如果分式的值为0，那么的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】分式值为零的条件 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分式的分母不为零是解题关键． 直接利用分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，进而得出答案． 【详解】解：∵分式的值为0， 且， 解得：． 故选：B． 13．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）若分式的值为0，则 ． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， ∴， 故答案为：． 14．（22-23七年级·上海·假期作业）当为何值时，下列分式的值为0？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分式值为零的条件 【分析】（1）根据分式值为零的条件可得，且，再解即可； （2）根据分式值为零的条件可得，且，再解即可； （3）根据分式值为零的条件可得，且，再解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ，且， 解得：； （2）解：由题意得： ，且， 解得：； （3）解：由题意得： ，且， 解得：． 【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 题型六、分式的求值 15．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）已知，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】分式的求值 【分析】本题考查分式的求值，根据，求出的关系式，进而求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 16．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）若，求 ． 【答案】3 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、分式的求值 【分析】本题考查分式的基本性质、完全平方公式变形求值，解答的关键是分式的基本性质的灵活运用．先将化为，进而求得，将分子、分母同除以得到，进而代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴，则， 两边平方，得，则， ∵ ． 故答案为：3． 17．已知：，求的值 【答案】27 【知识点】分式的求值 【分析】等式两边同除m可得出，两边平方可得，将变形即可得出答案. 【详解】∵ ∴ 等式两边同除m得， 即， 两边同时平方得， ∴ 即 ∴ 【点睛】本题考查分式的求值，将已知条件变形得出是解题的关键. 题型七、求使分式值为整数时未知数的整数值 18．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知x为整数，且分式的值为整数，则x可取的值是 ． 【答案】1或3或5 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了分式的值，先化简得到原式，再根据为整数，从而得到x的值． 【详解】解：∵， ∴为，时，的值为整数， ∴解得或3或5或， ∵， ∴，， ∴x可取的值是1，3，5． 故答案为：1或3或5． 19．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）阅读下列材料，解决问题： 在处理分式的时候，有时候分子的次方高于分母的次方，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式． 例如：将分式拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加． (1)请将拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加的形式． (2)如果分式的值是整数，求所有符合条件的整数x的值． 【答案】(1) (2)x的值为2或4或16或 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了分式的值，关键读懂题意，把分式表示成一个整式与分式的和的形式； （1）按照题干的拆分方法进行即可； （2）由（1）知，只要拆分后的分式的分母是分子的整数因数即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； ∵的值为整数， ∴是13的所有整数因数， 即， ∴或或或； 即x的值为2或4或16或． 题型八、判断分式变形是否正确 20．（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列式子从左到右变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题主要考查了分式的性质，分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数，分式的值不变．根据分式的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A、当时，，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 21．“约去”指数： 如 你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果竟然正确！这是什么原因？仔细观察式子，我们可作如下猜想：，试说明此猜想的正确性.（供参考：） 【答案】正确. 说明见解析. 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】根据公式：，将分子、分母因式分解，再约分即可. 【详解】 ， 故正确. 【点睛】此题考查的是分式的化简，掌握分式的基本性质是解决此题的关键. 题型九、利用分式的基本性质判断分式值的变化 22．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）对于分式，当、都扩大到原来的倍时，分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的3倍 C．扩大到原来的9倍 D．不能确定 【答案】B 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质是关键． 根据题意，扩大后的分式为，由此即可求解． 【详解】解：分式，当、都扩大到原来的倍， ∴扩大后的分式为， ∴扩大到原来的3倍， 故选：B ． 23．分式中的同时扩大为原来的倍，则分式的值扩大为原来的 倍． 【答案】3 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】将同时扩大为原来的倍得到，与进行比较即可． 【详解】分式中的同时扩大为原来的倍，可得 故答案为：3． 【点睛】本题考查了分式的运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 24．（22-23七年级·上海·假期作业）若，的值扩大为原来的倍，下列分式的值如何变化？ (1) (2) (3) 【答案】(1)不变 (2)不变 (3)不变 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】（1）用替换原来的x、y，然后化简并与原式比较即可解答； （2）用替换原来的x、y，然后化简并与原式比较即可解答； （3）用替换原来的x、y，然后化简并与原式比较即可解答． 【详解】（1）解：的，的值扩大为原来的倍可得：，即分式的大小不变； （2）解：的，的值扩大为原来的倍可得：，即分式的大小不变； （3）解：的，的值扩大为原来的倍可得：，即分式的大小不变． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质等知识点，灵活运用分式的基本性质是解答本题的关键． 题型十、将分式的分子分母各项系数化为整数 25．不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题考查分式的基本性质．解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于0的数，分式的值不变来解决问题．根据分式的基本性质，即可求解． 【详解】解：． 故选：D 26．不改变分式的值，把分式的分子分母的各项系数化为整数为 ． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，即可求出答案． 【详解】解：根据题意得： ； 故答案为：. 【点睛】本题考查的是分式的基本性质，解题关键是分子分母同乘以一个数，值不变，进而化简出各项系数为整数的结果即可. 27．不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题考查了分式基本性质的应用，掌握分式基本性质是关键． （1）根据分式分子分母中小数最多是两位小数，由分式基本性质，分式分子分母都乘100即可； （2）分子、分母的最小公倍数都为6，分式的分子分母都乘6即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十一、最简分式 28．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）下列各式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简分式 【分析】本题考查了最简分式的判断，分式的分子分母中再没有公因式，则是最简分式，据此判断即可． 【详解】解：，，， 只有不能约分，它是最简分式； 故选：A． 29．从、、、这四个整式中，选取两个分别作分子、分母并组成分式，这样的最简分式共有 个 【答案】7 【知识点】最简分式 【分析】根据最简分式的定义分别写出组成的最简分式． 【详解】解：选取两个分别作分子、分母并组成分式，组成的最简分式有：，，，，，，． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了最简分式，解题的关键是掌握一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 题型十二、约分 30．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）小陈同学计算了四个分式，其中有一个结果忘记约分了，是下面的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】约分 【分析】此题考查了约分．观察各分式，找出分子分母含有公因式的即可． 【详解】解：，，都是最简分式，不符合题意； ， 故选：D． 31．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）化简： ． 【答案】 【知识点】约分 【分析】本题考查了分式的化简，因式分解，先将分子分母进行因式分解，再约分是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 32．（24-25七年级上·上海普陀·期末）小普在化简一个分式的时候，书写过程如下：        ①        ②        ③ (1)小普在检查时发现，这道题解错了．现请你指出：小普从第_____步开始出现错误；（填入表示解题步骤的序号①②③即可） (2)小普对这道题进行了探究，发现虽然自己的解题过程出现了错误，但当，时，按照上述错误的化简方法所求得的值与的值相等，他将满足这一情况的数对，称为“巧数对”，小普发现，这样的“巧数对”不止一对，请再写出一对“巧数对”：_____，______． (3)小普与同学一起运用所学的数学知识对“巧数对”进行进一步探究，找到了确定“巧数对”的方法．请写出确定“巧数对”的方法，并说明理由． 【答案】(1)① (2)，2（答案不唯一） (3)当，或时，可以找到“巧数对”． 【知识点】约分 【分析】本题考查了约分，解决本题的关键是将分式进行化简． （1）根据立方差公式，可以发现小普从第①步开始出现错误； （2）只要符合即可，a、b的值不止一组，比如，； （3）将化简，可得，化简得，即或，即当，或时，可以找到“巧数对”． 【详解】（1）解：因为， 所以小普从第①步开始出现错误． 故答案为：①； （2）解：将，代入可得： ， ， 即， 所以，． 故答案为：，2．（答案不唯一） （3）解：∵， 即， 即， 得， ， 即或， 得或， 即当，或时，可以找到“巧数对”． 分层强化 一、单选题 1．分式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件是分母不等于列式计算即可． 【详解】解：分式有意义， ， ， 故选：A． 2．若分式的值为0，则的值为（   ） A．0 B．2 C．2或 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查分式等于0的条件，掌握“分式的值等于0，分子等于0，分母不等于0”是解题的关键． 根据分式的值等于0，可得分子等于0，分母不等于0，进而即可求解． 【详解】∵分式的值为0， ∴， ∴ 或 ． ∵分母为0，分式无意义， ∴，即 ∴． 故选：D． 3．如果，那么分式的值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了分式的求值，利用整体代入法求值是解题的关键．由可得，将其代入分式中化简即可． 【详解】解：∵，   ∴， ∴． 故选：A． 4．若分式的值是负数，则x的取值范围是（　　） A．x＞ B．x＞ C．x＜ D．x＜ 【答案】B 【分析】根据题意列出不等式即可求出x的取值范围． 【详解】解：由题意可知：2﹣3x＜0，且x2+1＞0恒成立， ∴x＞， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的值，当分子和分母同号时，分式值为正数，当分子和分母异号时，分式值为负数． 5．若分式的值为整数，则整数的值为（   ） A．1 B． C．3 D．1或3 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的值，根据分式的值为整数，确定出整数x的值即可． 【详解】解：∵分式的值为整数，且x为整数， ∴， ∴整数x的值为1或3， 故选：D 6．只把分式中的，同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，则此时的值可以是下列中的（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的性质，分子分母的，同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，则为含或的一次单项式，据此判断即可． 【详解】解：∵中的，同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变， ∴为含或的一次单项式，故只有C符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质是解题的关键． 7．分式，，，，中，最简分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，约分的计算，掌握分式的性质是关键． 如果一个分式中没有可约的因式，则为最简分式，结合分式的性质即可求解． 【详解】解：是最简分式， ，原分式不是最简分式， 是最简分式， 是最简分式， ∴最简分式的有3个， 故选：C ． 二、填空题 8．在①，②，③，④，⑤中，是分式的有 （填序号） 【答案】②④⑤ 【分析】利用分式的定义，依次判断，其中注意是常数． 【详解】解：由分式的定义知 不是分式；是分式；不是分式；是分式；是分式； 故分式有：、、，共3个， 故答案是：②④⑤． 【点睛】本题考查了分式的定义，解题的关键是：理解分式的定义，判断的依据是看分母中是否含有字母． 9．如果每千克元的糖果千克与每千克元的糖果千克混合，总价保持不变，那么混合后糖果的单价为每千克 元． 【答案】 【分析】由公式：单价×数量=总价，根据题意即可求出． 【详解】解：由题意得：混合后糖果的总价为元，总质量为千克， ∴混合后糖果的单价为元， 故答案为： ． 【点睛】本题考查字母表示数，正确理解题意是关键． 10．要使分式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件． 直接根据分式有意义的条件计算即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 11．当 时，分式没有意义． 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件．根据分母等于即可求解． 【详解】解：当分式的分母为时，分式没有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12．若分式的值为0，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的基本条件，熟练掌握条件是解题的关键．根据分子为零，分母不为零列式计算即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得， 故答案为：2． 13．已知，那么的值为 ． 【答案】/0.125 【分析】本题考查分式的求值，利用设参法进行求解即可．熟练掌握设参法，是解题的关键． 【详解】解：设，则：， ∴； 故答案为：． 14．若分式的值为负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】根据分式的分母不能为0得出，再根据分式的值为负数得出，进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， ， 分式的值为负数， ， ， 的取值范围是且， 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件、分式值为负数时未知数的取值范围，熟练掌握以上知识点，准确进行计算是解题的关键． 15．若分式的值为整数，则整数x的值为 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值问题，将分式化为，分别代值计算，即可求解；掌握这类典型问题的解法是解题的关键． 【详解】解： ， 分式的值为整数，且x是整数， 或 或或， 解得：或或或， 故答案：或或或． 16．已知，则a的取值范围是 ． 【答案】a＜3 【分析】根据绝对值的意义作答，可得答案． 【详解】解：∵， ∴a-3＜0． 解得a＜3． 故答案为：a＜3． 【点睛】本题考查的是分式的基本性质，绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零． 17．不改变分式的值，若把其分子与分母中的各项系数都化成整数，其结果为 ． 【答案】 【分析】根据分式的性质“分子分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变”，分子和分母同时乘以10，即可获得答案． 【详解】解：分式， 分子、分母同时乘以10， 则有原式． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的性质，理解并掌握分式的性质是解题关键． 18．在分式中，最简分式有 ． 【答案】 【分析】根据最简分式的意义对每项进行检验判断． 【详解】解：由=，得到此分式不是最简分式； 由=m﹣n，得到此分式不是最简分式； 由=，得到此分式不是最简分式； 由=﹣1，得到此分式不是最简分式； 而分子分母没有公因式，是最简分式． 故答案为： ． 【点睛】本题考查分式的应用，熟练掌握最简分式的意义和正确进行分式约分的方法是解题关键． 三、解答题 19．当x为何值时，分式的值为0？ 【答案】 【分析】依据分式值为0（分子为0）及分式有意义（分母不为0）进行分析求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得:且， ∴． ∴当时，分式的值为0． 【点睛】本题考查了分式值为0及分式有意义的条件；解题的关键是熟练掌握相关性质． 20．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查分式的约分化简求值，根据分式的性质，进行约分，再代值计算即可． 【详解】解：原式， 当，时，原式． 21．下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式． (1)； (2)． 【答案】(1)不是最简分式，化简见解析 (2)不是最简分式，化简见解析 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．据此即可求解. 【详解】（1）解：； 则不是最简分式； （2）解：． 则不是最简分式． 【点睛】本题考查了最简分式，利用分式的基本性质对分式进行化简．最简分式判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 22．观察下面一列分式：，，，，…（其中）． (1)根据上述分式的规律写出第6个分式； (2)根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】此题主要考查了分式的规律性问题以及数字规律的探索问题，得出分子与分母的变化规律即可解题． （1）根据已知分式的分子与分母的次数与系数关系进而得出答案； （2）利用（1）中数据变化规律，进而得出答案． 【详解】（1）解：观察各分式的规律可得第6个分式为． （2）解：根据题意得：第n（n为正整数）个分式为．理由： ∵分母的底数为y，次数是连续的正整数，分子的底数是x，次数是连续的奇数，且第偶数个分式的系数为负， ∴第n（n为正整数）个分式为． 23．对分式的变形，甲同学的做法是：；乙同学的做法是：．请根据分式的基本性质，判断甲、乙两同学的解法是否正确． 【答案】乙同学的做法是错误的，详见解析 【分析】根据分式的基本性质分析判断即可． 【详解】解：甲同学将分式的分子、分母同时除以，而由分式有意义可知，所以甲同学的做法正确； 乙同学将分式的分子、分母同时乘），但的值是否等于0是不确定的，所以乙同学的做法是错误的． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，理解并掌握分式的基本性质是解题关键． 24．根据规划设计，某工程队准备修建一条长的公路，由于采取新的施工方式，实际每天修建公路的长度比原计划增加，从而缩短了工期.假设原计划每天修建公路，那么 (1)原计划修建这条公路需要______天．实际修建这条公路用了______天．（用含的代数式表示） (2)实际修建这条公路的工期比原计划缩短了几天？ 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意可用代数式表示出原计划修建这条公路需要的天数和实际修建这条公路需要的天数； （2）根据（1）中的答案可以表示出实际修建这条公路的工期比原计划缩短的天数． 【详解】（1）解：根据题意得，公路长为，计划每天修建公路， ∴原计划修建这条公路需要天， 又∵每天修建公路的长度比原计划增加， ∴实际修建这条公路用了天； （2）解：根据（1）可知， 实际修建这条公路的工期比原计划缩短了天． 【点睛】本题考查了分式的加减法，解答此类问题的关键是明确题意，用相应的分式表示出题目中的所求问题． 25．阅读材料题： 已知：，求分式的值． 解：设，则，，，所以． 参照上述材料解题： (1)已知，求分式的值． (2)已知，其中，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质，设法是分式运算中较为重要的方法，需要熟练掌握． （1）按照例子解题即可； （2）设，，，，三式相加得：，求得，代入计算即可． 【详解】（1）解：设，则，，， ； （2）解：设， ，，， 三式相加得：， ， ， ． 26．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，，这样的分式就是假分式．类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，如：；． (1)分式是         分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式、分别化为整式与真分式的和的形式； (3)如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． 【答案】(1)假 (2)， (3)当x＝2或0时，分式的值为整数 【分析】（1）根据定义即可求出答案； （2）根据假分式可以化为整式与真分式的和的形式来进行计算即可； （3）先化为带分式，然后根据题意列出方程，即可求出x的值． 【详解】（1）解：∵分子的次数大于分母的次数， ∴分式是假分式， 故答案为：假； （2）解： ， ； （3）解： ， ∵分式的值为整数，x为整数， ∴x﹣1＝1或x﹣1＝﹣1， 解得x=2或x=0， ∴当x＝2或0时，分式的值为整数． 【点睛】本题考查了分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 分式及其性质（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.分式 2.分式的值 3.分式有意义、无意义、值为零的条件 4.分式的基本性质 5.约分、最简分式 题型巩固 一、分式的判断 二、按要求构造分式 三、分式有意义的条件 四、分式无意义的条件 五、分式值为零的条件 六、分式的求值 七、求使分式值为整数时未知数的整数值 八、判断分式变形是否正确 九、利用分式的基本性质判断分式值的变化 十、将分式的分子分母各项系数化为整数 十一、最简分式 十二、约分 分层强化 一、单选题（7） 二、填空题（11） 三、解答题（8） 知识梳理 知识点1.分式 一般地，对于两个整式A、B（B是非零整式），A÷B可以表示为的形式，叫作分式，也称为有理式，其中A称为分子，B称为分母。 知识点2.分式的值 用数值代替分式中的字母，计算得出的代数式的值就是分式的值. 知识点3.分式有意义、无意义、值为零的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 知识点4.分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． 【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题 1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数． 2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号． 3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的． 知识点5.约分、最简分式 把一个分式的分子和分母中的公因式约去的过程，叫作约分 如果分式的分子和分母是几个因式的积的形式，可约去相同因式．有时，需要先对分子、分母因式分解，再约分．分式的约分一般要使结果成为最简分式. 题型巩固 题型一、分式的判断 1．在下列式子：，，，，中，分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．将分式写成除法的形式： ． 3．（22-23七年级·上海·假期作业）在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？ ，，，，． 题型二、按要求构造分式 4．一件工作，甲、乙两人合作需小时完成，甲单独做需小时完成，则乙单独做完工作需要的小时是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）从整式，，，中，任选两个构造一个分式 ． 6．阅读下面的材料，并解答后面的问题 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式. 解：由分母为，可设. 因为， 所以. 所以，解之，得. 所以 这样，分式就被拆分成了一个整式与一个分式的差的形式. 问题：（1）请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式； （2）请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式. 题型三、分式有意义的条件 7．（24-25七年级上·上海·阶段练习）使分式有意义的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）当 时，分式有意义． 题型四、分式无意义的条件 9．（24-25七年级上·上海普陀·期末）如果分式无意义，那么的值为（    ） A．1 B． C． D． 10．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）当 时，分式无意义． 11．（22-23七年级·上海·假期作业）为何值时，分式无意义？ 题型五、分式值为零的条件 12．（2024七年级上·上海·专题练习）如果分式的值为0，那么的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 13．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）若分式的值为0，则 ． 14．（22-23七年级·上海·假期作业）当为何值时，下列分式的值为0？ (1)； (2)； (3)． 题型六、分式的求值 15．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）已知，那么的值为 ． 16．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）若，求 ． 17．已知：，求的值 题型七、求使分式值为整数时未知数的整数值 18．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知x为整数，且分式的值为整数，则x可取的值是 ． 19．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）阅读下列材料，解决问题： 在处理分式的时候，有时候分子的次方高于分母的次方，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式． 例如：将分式拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加． (1)请将拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加的形式． (2)如果分式的值是整数，求所有符合条件的整数x的值． 题型八、判断分式变形是否正确 20．（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列式子从左到右变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 21．“约去”指数： 如 你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果竟然正确！这是什么原因？仔细观察式子，我们可作如下猜想：，试说明此猜想的正确性.（供参考：） 题型九、利用分式的基本性质判断分式值的变化 22．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）对于分式，当、都扩大到原来的倍时，分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的3倍 C．扩大到原来的9倍 D．不能确定 23．分式中的同时扩大为原来的倍，则分式的值扩大为原来的 倍． 24．（22-23七年级·上海·假期作业）若，的值扩大为原来的倍，下列分式的值如何变化？ (1) (2) (3) 题型十、将分式的分子分母各项系数化为整数 25．不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（    ） A． B． C． D． 26．不改变分式的值，把分式的分子分母的各项系数化为整数为 ． 27．不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项系数化为整数． (1)； (2)． 题型十一、最简分式 28．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）下列各式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 29．从、、、这四个整式中，选取两个分别作分子、分母并组成分式，这样的最简分式共有 个 题型十二、约分 30．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）小陈同学计算了四个分式，其中有一个结果忘记约分了，是下面的（    ） A． B． C． D． 31．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）化简： ． 32．（24-25七年级上·上海普陀·期末）小普在化简一个分式的时候，书写过程如下：        ①        ②        ③ (1)小普在检查时发现，这道题解错了．现请你指出：小普从第_____步开始出现错误；（填入表示解题步骤的序号①②③即可） (2)小普对这道题进行了探究，发现虽然自己的解题过程出现了错误，但当，时，按照上述错误的化简方法所求得的值与的值相等，他将满足这一情况的数对，称为“巧数对”，小普发现，这样的“巧数对”不止一对，请再写出一对“巧数对”：_____，______． (3)小普与同学一起运用所学的数学知识对“巧数对”进行进一步探究，找到了确定“巧数对”的方法．请写出确定“巧数对”的方法，并说明理由． 分层强化 一、单选题 1．分式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若分式的值为0，则的值为（   ） A．0 B．2 C．2或 D． 3．如果，那么分式的值为（   ） A． B．2 C． D．3 4．若分式的值是负数，则x的取值范围是（　　） A．x＞ B．x＞ C．x＜ D．x＜ 5．若分式的值为整数，则整数的值为（   ） A．1 B． C．3 D．1或3 6．只把分式中的，同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，则此时的值可以是下列中的（    ） A．2 B． C． D． 7．分式，，，，中，最简分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 8．在①，②，③，④，⑤中，是分式的有 （填序号） 9．如果每千克元的糖果千克与每千克元的糖果千克混合，总价保持不变，那么混合后糖果的单价为每千克 元． 10．要使分式有意义，则的取值范围是 ． 11．当 时，分式没有意义． 12．若分式的值为0，则的值是 ． 13．已知，那么的值为 ． 14．若分式的值为负数，则的取值范围是 ． 15．若分式的值为整数，则整数x的值为 ． 16．已知，则a的取值范围是 ． 17．不改变分式的值，若把其分子与分母中的各项系数都化成整数，其结果为 ． 18．在分式中，最简分式有 ． 三、解答题 19．当x为何值时，分式的值为0？ 20．先化简，再求值：，其中，． 21．下列分式中，哪些是最简分式？若不是最简分式，请化为最简分式． (1)； (2)． 22．观察下面一列分式：，，，，…（其中）． (1)根据上述分式的规律写出第6个分式； (2)根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由． 23．对分式的变形，甲同学的做法是：；乙同学的做法是：．请根据分式的基本性质，判断甲、乙两同学的解法是否正确． 24．根据规划设计，某工程队准备修建一条长的公路，由于采取新的施工方式，实际每天修建公路的长度比原计划增加，从而缩短了工期.假设原计划每天修建公路，那么 (1)原计划修建这条公路需要______天．实际修建这条公路用了______天．（用含的代数式表示） (2)实际修建这条公路的工期比原计划缩短了几天？ 25．阅读材料题： 已知：，求分式的值． 解：设，则，，，所以． 参照上述材料解题： (1)已知，求分式的值． (2)已知，其中，求的值． 26．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，，这样的分式就是假分式．类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，如：；． (1)分式是         分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式、分别化为整式与真分式的和的形式； (3)如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值. 学科网（北京）股份有限公司 $